4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数、幂、对数函数增长的比较，通过数据表格（如例1变量变化表）导入，结合函数定义、图象梳理增长差异，以“比较差异、模型比较、模型选择”题型为支架构建知识脉络。 其亮点在于通过例题解析、思维建模（如总结解析法等比较方法）和实际问题（如奖励方案设计），培养数学眼光（观察数据与图象）、数学思维（逻辑推理增长规律）、数学语言（用模型表达现实问题）。采用习题讲评式教学，学生提升分析能力，教师可高效开展针对性训练。

§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 课时目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长速度的差异. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　几个函数模型增长差异的比较 题型(二)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 题型(三)　函数模型的选择 4 课时检测 题型(一)　 几个函数模型增长差异的比较 01 [例1]　已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如下表: x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 4 8 16 24 32 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 (　 ) A.y1=4x,y2=2x,y3=log2x B.y1=2x,y2=4x,y3=log2x C.y1=log2x,y2=4x,y3=2x D.y1=2x,y2=log2x,y3=4x √ 解析:从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化,故选B. |思|维|建|模|　常见的函数模型及增长特点 常见函数模型 增长特点 一次函数模型 一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变 指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓 1.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数y与生长时间t的关系的函数是 (　 ) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 针对训练 √ 解析:根据已知所给的关系图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数拟合最好,故选A. 题型(二) 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 02 [例2]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; 解:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. 解:因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2, 9<x2<10,所以x1<6<x2,2 020>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时, f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 020)>g(2 020).又g(2 020)>g(6),所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6). (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 020),g(2 020)的大小. |思|维|建|模|　比较函数增长情况的方法 解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数,其中当x较大时,指数型函数增长速度最快,一次函数增长速度其次,对数型函数增长速度最慢 表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异 图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象,观察图象并借助计算器,便能直观地得出这三个函数增长速度的差异 针对训练 2.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数; 解:由函数图象特征及变化趋势, 知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. 解:当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x); 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x). g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的, f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 题型(三)　函数模型的选择 03 [例3]　某公司为了实现60万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该公司的要求? 解:作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上, y=0.2x, y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合公司的要求. |思|维|建|模| 　　开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝试,找到最合适的模型,解题过程为: (1)用待定系数法求出函数的解析式; (2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数模型; (3)利用所求出的函数模型解决问题. 针对训练 3.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表: 为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系. 请问:用以上哪个模拟函数较好?请说明理由. 月份 1 2 3 产量(千件) 50 52 53.9 解:将(1,50),(2,52)分别代入两个解析式得 或(a>0), 解得(两方程组的解相同). 所以两个函数分别为y=2x+48或y=2x+48. 当x=3时,对于y=2x+48有y=54; 当x=3时,对于y=2x+48有y=56. 由于56与53.9的误差较大,所以选y=ax+b较好. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型 (　 ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.(多选)当a>1时，下列结论正确的有 (　 ) A.指数函数y=ax，当a越大时，其函数值增长越快 B.指数函数y=ax，当a越小时，其函数值增长越快 C.对数函数y=logax，当a越大时，其函数值增长越快 D.对数函数y=logax，当a越小时，其函数值增长越快 解析：结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是 (　 ) A.y=0.2x B.y=(x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 解析：将x=1，2，3，y=0.2，0.4，0.76分别代入验算. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2<x<4时，有 (　 ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 解析：由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是 单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2.所以 y3最小.由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上， 函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是 (　 ) A.y=mx+n(m>0) B.y=m+n(m>0) C.y=max+n(m>0，a>1) D.y=mlogax+n(m>0，a>1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误;C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与题图不符合，故C错误;D选项，对数函数模型在x=0时没有意义，故D错误;B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x=0时有意义，故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.下列函数图象中，估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 (　 ) 解析：由于函数y=lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0， 所以当x>0时，y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.C0表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0 (t>0，h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0，据此推算该生物距今约(参考数据lg 2≈0.301)(　 ) A.1.36h年 B.1.34h年 C.1.32h年 D.1.30h年 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，C0=0.4C0. 所以lg=lg 0.4，即lg =lg 0.4.所以==. 所以t=·h≈1.32h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于____.(取lg 2≈0.3进行计算)  解析：由模拟函数及散点图得 两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2，即alg 2=0.2，所以a≈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的一个是______.  解析：∵=，∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度，∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的是y=x3. y=x3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为______万件.  解析：∵y=a·0.5x+b，且当x=1时，y=1，当x=2时，y=1.5，则有解得∴y=-2×0.5x+2. 当x=3时，y=-2×0.125+2=1.75(万件). 1.75 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若已知16<x<20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为____________.  >log2x 解析：作出f(x)=和g(x)=log2x的图象，如图所示. 由图象可知，在(0，4)内，>log2x;当x=4或x=16时，=log2x; 在(4，16)内，<log2x;在(16，20)内，>log2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)函数f(x)=1.1x，g(x)=ln x+1，h(x)=的图象如图所示，试分别指出各 曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得，曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)=，曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x); 当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x);当x>d时，f(x)>h(x)>g(x). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt，那么桶2中的水就是y2= a-a·e-nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 L? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：由题意，得a·e-5n=a-a·e-5n，即e-5n=. ① 设再过t min桶1中的水只有 L， 则a·e-n(t+5)=a，即e-n(t+5)=. ② 将①式两边平方得e-10n=， ③ 比较②③，得-n(t+5)=-10n，所以t=5. 即再过5 min桶1中的水只有 L. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数，y(万元)表示每个仓库收取的总费用). (1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)，y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，要从这两个函数中选出一个来模拟表中x，y之间的关系，问：选择哪一个函数较好?请说明理由.(7分) x 1 3 7 14 y 1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)， 将(1，1)，(3，2)代入函数得 解得∴y1=()x-1=. 当x=7时，y1=23=8;当x=14时，y1==64，可知当x=7或14时， 与实际数据差距较大. 若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，将(1，1)(3，2)代入函数得 解得∴y2=log2(x+1).当x=7时，y2=log28=3;当x=14时， y2=log215，可知当x=7或14时，与实际数据比较接近. 综上所述，选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)该公司旗下有10个这样的仓库，每个仓库储存货物时，每天需要2 000元的运营成本，不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天，设该批货物存放在m个仓库内，其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元，则m的最小值是多少?注：收益=收入-成本.(8分) 解：设该公司这7天的仓库收益为f(m)元，由表格数据可知若货物存放7天，则每个仓库收费30 000元，∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)] ×7=19 500m-35 000.由f(m)≥43 000，得m≥4.∴m的最小值为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $