4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.认识增长的概念,通过数表的直观,体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异. 2.通过函数增长的比较过程,学习比较的方法,积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验. 三类函数增长的结论,函数增长快慢比较的常用方法. 通过数据分析表述函数增长快慢的理由. 2 这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢? 如果把自变量看作时间,我们来个函数增长快慢的赛跑,怎么样? 我们知道,指数函数(),对数函数(),幂函数(,)在定义域内都是增函数,当的值趋近于正无穷大时,的值都是趋近于正无穷大. x y O x y O O x y 3 怎么比较三个函数增长得快慢呢? 利用图表分析具体函数的增长. 先比较具体的和,观察下表: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 0 2 3 4 6 8 10 12 14 16 由数据可以看出,当x的取值充分大时,幂函数比对数函数增长快,指数函数比幂函数增长快. 再比较具体的和,观察下表: 2 1 试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征. 在上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 在上随x增大图象平稳上升 函数 性质 随着x的增大,的函数值增长远远大于的函数值增长;而的函数值增长又远远大于的函数值增长. 在区间上,当时,当x足够大时,随着x的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则越来越慢. 因此,总会存在一个,使得当x时,一定有 > >,指数函数值增长非常快,常称这种现象为“指数爆炸”. 当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. 当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长很大时,常常选用对数函数模型. 函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上. 从前,有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏,于是他决定奖赏国际象棋的发明者,满足他的一个心愿.“陛下,我深感荣幸,我的愿望是你赏我几粒米.”发明者说.“只是几粒米?”国王回答说,“是的,只要在棋盘的第一格放上一粒米,在第二格放上两粒米,在第三个加倍放上四粒米以此类推,每一格均是前一格的两倍,直到放慢棋盘为止,这就是我的愿望.”国王很高兴.“如此廉价便可以换的如此好的游戏,我的祖辈们一定是恩泽于我了.”国王想.于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”.国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗? 解:第格放的米粒数显然符合指数函数(x {1,2,3,…,64}),本题实际上是求64个函数值的和,我们不妨求.假定每1000颗麦子重40克,3500亿吨.显然国王不能满足发明者的要求. 7 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 解:令第天,回报为元.方案一:方案二:;方案三:.列出每天收益,如下表: 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 方案二 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 方案三 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6 按照天数累计收益列表如下: 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一总收益 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 方案二总收益 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 方案三总收益 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.6 显然通过表格可以看出: 投资1-6天选择方案一; 投资7天选择方案一、方案二均可; 投资8-10天选择方案二; 投资11天及以上选择方案三. 若不等式在内恒成立,求实数的取值范围. 解 :在同一坐标系中作和的图象: 由得,把不等式的两边分别看做两个函数,利用数形结合的方法,通过图象进行转化. 要使在内恒成立, 只需在的图像的上方,于是, ∵时,,∴只要时, ∴,即,又,所以,故取值范围为. O 10 对于函数与: (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数; (2)比增长得快,通过分析它们的图象解释其含义. 解:(1)通过软件绘图可以得到两个