4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，通过澳大利亚兔子繁殖情境导入，衔接对数运算与对数函数知识，以表格对比和实例分析为支架，帮助学生理解不同函数的增长规律。 其特色在于以现实问题驱动数学抽象，通过数据表格、图像分析培养逻辑推理，结合化工厂产量预测等案例强化数学建模。学生能直观感受增长差异，教师可借助分层训练提升教学效果。

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章　对数运算与对数函数 1 课标要求 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型（数学抽象）. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义（逻辑推理）. 3.能根据具体问题选择合适的函数模型（数学建模）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于 澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数 量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚， 数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔 子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气. 【问题】　想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到 75亿只？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 三种函数的增长趋势 y＝ax（a＞ 1） y＝logax（a ＞1） y＝xα（x＞0，α＞0） 在（0，＋∞）上 的增减性 ⁠ 图象的变化趋势 随x增大， 近似与y轴 平行 随x增大，近 似与x轴平行 α值较小（α＜1）时，增 长较慢；α值较大（α＞ 1）时，增长较快 增函数 数学·必修第一册（BSD） 目录 增长 速度 ①随x增大，y＝ax增长速度 ，并且当a越大时，y ＝ax增长速度 .随x增大，y＝ax增长速度会超过并远远 大于y＝xα（α＞0）的增长速度； ②随x增大，y＝logax增长速度 ，并且当a越大 时，y＝logax增长速度 ⁠； ③存在一个x0，当x＞x0时，有 ⁠ 提醒：三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快时，常常选用 指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很 大时，常常选用对数函数模型. 越来越快　 越快　 越来越慢　 越慢　 ax＞xα＞logax　 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函 数. （　√　） （2）对任意的x＞0，kx＞logax. （　×　） （3）对任意的x＞0，ax＞logax. （　×　） （4）函数y＝log2x增长的速度越来越慢. （　√　） √ × × √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利 润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司 调整后利润y与产量x的关系，则可选用（　D　） A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型 D 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数型函数变化的变量是 ⁠. y2　 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以看出， 四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来 越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于 x呈指数型函数变化. 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　几类函数模型的比较 下面对函数f（x）＝lo x，g（x）＝ 与h（x）＝ 在区间 （0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是（　　） A. f（x）衰减速度越来越慢，g（x）衰减速度越来越快，h（x）衰减速 度越来越慢 B. f（x）衰减速度越来越快，g（x）衰减速度越来越慢，h（x）衰减速 度越来越快 C. f（x）衰减速度越来越慢，g（x）衰减速度越来越慢，h（x）衰减速 度越来越慢 D. f（x）衰减速度越来越快，g（x）衰减速度越来越快，h（x）衰减速 度越来越快 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：画出三个函数的图象如图，由图象可知选C. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　一般地，在（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（0＜a＜1），y＝xn （n＜0），y＝logax（0＜a＜1）都是减函数，但它们的衰减速度不同， 而且不在同一个“档次”上. 　　随着x的增大，函数y＝ax（0＜a＜1）的衰减速度会越来越慢，并且 一开始远远大于函数y＝xn（n＜0）的衰减速度，但是它们的函数值始终 大于0；而对于函数y＝logax（0＜a＜1），衰减速度也是越来越慢，并且 当x＞1时，函数值小于0，会越来越小. 　　因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜ax＜xn（0＜a＜ 1，n＜0）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会存在 一个x0，使得当x＞x0时，若a＞1，n＞0，则logax＜xn＜ax；若0＜a＜ 1，n＜0，则logax＜ax＜xn.而当x＜x0时，ax，logax与xn（n≠0）的大 小关系不确定. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（　） A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3 C. y3，y2，y1 D. y3，y1，y2 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增 长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知，y1是幂函数型函数， y2是指数函数型函数，y3是对数函数型函数，故选C. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　几种函数模型增长的差异 函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于 点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2. （1）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； 解： C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）结合函数图象，判断f（6），g（6），f（2 026），g（2 026）的 大小. 解：因为f（1）＞g（1），f（2）＜g（2），f（9）＜g（9），f （10）＞g（10）， 所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 026＞x2， 从图象上可以看出当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），所以f（6）＜g （6）； 当x＞x2时，f（x）＞g（x），所以f（2 026）＞g（2 026）. 又因为g（2 026）＞g（6）， 所以f（2 026）＞g（2 026）＞g（6）＞f（6）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 常见的函数模型及增长特点 （1）线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线 上升，其增长速度不变； （2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自 变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为 “指数爆炸”； （3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓； （4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对 数增长之间. 数学·必修第一册（BSD） 目录 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4） 关于时间x（x＞1）的函数关系是f1（x）＝x2，f2（x）＝2x，f3（x）＝ log2x，f4（x）＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有 的函数关系是（　　） A. f1（x）＝x2 B. f2（x）＝2x C. f3（x）＝log2x D. f4（x）＝2x 解析：　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大. 故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　函数模型的构建 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量 为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数 可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数， x∈N＋）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N ＋），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两 个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：根据题意可列方程组 解得 所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70.　① 同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140.　② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130， g（4）＝－80×0.54＋140＝135. 与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以 ②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模 拟函数较好. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 函数模型构建的一般步骤 （1）收集数据； （2）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图； （3）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型； （4）选择其中的几组数据求出函数模型； （5）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实 际，若不符合实际，则返回步骤（3）；若符合实际，则进入下一步； （6）用所得函数模型解析实际问题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的 奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y（单 位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超 过3万元，同时奖金不超过利润的20％.现有三个奖励模型：y＝0.2x， y ＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都 有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（　　） A. y＝2 025ln x B. y＝x2 025 C. y＝ D. y＝2 025·2x 解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝2 025·2x的函数值的增长速度最快.故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是（　　） A. y＝2x B. y＝x2－1 C. y＝2x－2 D. y＝log2x 解析：将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C. 故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的 大小关系为 ⁠. 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图象，如图所示，由于函数f（x）＝3x的图象在函数g（x）＝2x图象的上方，则f（x）＞g（x）. f（x）＞g（x）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增 长，那么2026年年底该地区的农民人均年收入为 元.（精确到个 位）（附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59） 解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2018年年底到2026年年底经过了8年，故把x＝8代入， 即可求得y＝3 000×1.068≈4 770. 4 770　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 32 1. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分 别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关 于年数x的函数关系较为近似的是（　　） A. y＝0.2x B. y＝ （x2＋2x） C. y＝ D. y＝0.2＋log16x 解析：当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加， 并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分 率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份（　　） A. 甲食堂的营业额较高 B. 乙食堂的营业额较高 C. 甲、乙两食堂的营业额相同 D. 不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增 加a（a＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋ 8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营 业额y2＝m×（1＋x）4＝ .因为 － ＝（m＋4a）2－ m（m＋8a）＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4％，要增长到原来的x 倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　） 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），∴y＝f（x）的图象大致为D中图象. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所 以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象 可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2 ＞y1＞y3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕以下四种说法中，正确的是（　　） A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B. 已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax C. 对任意的x＞0，xa＞logax D. 不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；对于选项B，因为a＞1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax ＞logax，故B正确；对于选项C，当0＜a＜1时，结合图象易知xa＞logax 不恒成立，故C错；对于选项D，当a＞1时，结合图象易知，一定存在 x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”， 则结论不成立，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角 度看，更为有前途的生意是 .（填序号） ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50. ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水 的高度随着时间的变化而变化，在如图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应 ；B对应 ；C对应 ；D对应 ⁠. （4） （1） （3） （2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器 为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形 的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的 变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与 （2）对应. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律：①v＝ log2t；②v＝lo t；③v＝ ；④v＝2t－2.则其中最接近的一个 是 .（填上代表函数的序号） ③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于①，当t＝4时，v＝2，可知①不适合，应排除.对于②，当t ＝4时，v＝－2，可知②不适合，应排除.对于④，当t＝5.1时，v＝ 8.2；当t＝6.12时，v＝10.24.数据有较大差异，应排除.③最接近. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是 ⁠ ⁠. 解析：由于a ＞1，则函数y＝ax为增函数，而xn在n ＞0时也是增函数，不过该函数的增长速度要比函数y ＝ax的增长速度小，根据函数y＝ax与y＝logax互为反 函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，可知当x 足够大时， ax，xn，logax的大小关系是ax＞xn＞ logax. ax ＞xn＞logax　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示. （1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； 解：C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x. （2）以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较. 解：当0＜x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝ g（x）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方 案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上 信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是（　　） A. 投资3天以内（含3天），采用方案一 B. 投资4天，不采用方案三 C. 投资6天，采用方案一 D. 投资12天，采用方案二 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　若投资3天以内（含3天），由图易知方案一每天的回报最大， 故采用方案一；若投资4天，方案三回报最小，故不采用；若投资6天，方 案一为40×6＝240（元），方案二为10＋20＋…＋60＝210（元），故采 用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的 描述中，正确的是（　　） A. 随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B. 随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C. 当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3 D. 当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度有时快于y2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始， y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是 ，符合指数函数模型的变量 是 ，符合幂函数模型的变量是 ⁠. 解析：由题中表格，可知三个变量y1，y2，y3随着x的增大都是越来越大 的，其中y2的增长速度最快，符合指数函数模型，y3的增长速度最慢，符 合对数函数模型，y1符合幂函数模型. y3　 y2　 y1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元 的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达 到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资 收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且不超过 投资收益的20％. （1）现有三个奖励函数模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x ＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，试分析这三个函 数模型是否符合公司要求； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：由题意符合公司要求的函数f（x）在[3 000，9 000]上单调递增，且∀x∈[3 000，9 000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤ . 对于①，函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f（3 000）＝98＜ 100，不符合要求； 对于②，函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求； 对于③，函数f（x）＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上单调递增， 且当x＝3 000时，f（3 000）＝100log203 000＋50＞100， 又因为f（x）max＝f（9 000）＝100log209 000＋50＜100log20160 000 ＋50＝450，而（ ）min＝ ＝600， 所以当x∈[3 000，9 000]时，f（x）max≤（ ）min，所以f（x）≤ 恒 成立. 因此，f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金金额达到350万 元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 解：由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000， 所以要使奖金金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到8 000万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $