4.3.2 对数函数的图象和性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，通过课前自主落实基础，以表格对比a>1与0<a<1时的定义域、值域等性质，结合微点助解强调分类讨论和图象特点，帮助学生类比指数函数构建知识脉络。 其亮点是采用梯度进阶式教学，分课前基础、课堂题型研究（定义域、图象应用、比较大小）和课时检测，通过思维建模总结方法。结合数学思维和数学眼光，如例3利用绝对值函数图象解决不等式，培养学生推理能力与几何直观，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

对数函数的图象和性质　 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.　　 2.会类比指数函数研究对数函数的性质. 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 对数函数的图象和性质 图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:_______ 值域:____ 过定点_____,即当x=___时,y=___ 当x>1时,____;当0<x<1时,____ 当x>1时,____;当0<x<1时,_____ 续表 (0,+∞) R (1,0) 1 0 y>0 y<0 y<0 y>0 性质 在定义域(0,+∞)上是________ 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于__________; 当x值趋近于0时,函数值趋近于__________ 在定义域(0,+∞)上是________ 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于__________ 当x值趋近于0时,函数值趋近于_________ 续表 增函数 正无穷大 负无穷大 减函数 负无穷大 正无穷大 |微|点|助|解| 　 (1)注意点:讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)图象的特点:函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象无限靠近y轴,但永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称. (3)底数对图象的影响:比较图象与y=1的交点,此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a,1).交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大,即沿着直线y=1由左向右看,底数a增大(如图): 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0). (　 ) (2)函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是单调函数. ( ) √ √ 2.已知函数f(x)=logax的图象如图所示,则a的取值可能是 (　 ) A.10 B. C. D. √ 解析:由函数图象的变化趋势可知,底数a>1,故选A. 3.若函数f(x)=log(a+1)x在(0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为______.  (-1,0) 解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以0<a+1<1,即-1<a<0. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　与对数函数有关的定义域问题 [例1]　求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x); 解:由得-3<x<3.故函数的定义域是{x|-3<x<3}. (2)y=log2(16-4x). 解：由16-4x>0，得4x<16=42，由指数函数的单调性得x<2.故函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. 变式拓展 把本例(1)中的函数改为y=loga[(x+3)(x-3)],求定义域. 解:由(x+3)(x-3)>0,得或 解得x<-3或x>3. 故函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. |思|维|建|模| 求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 1.求下列函数的定义域: (1)y=log5(1-x); 针对训练 解:由1-x>0,得x<1.故所求函数的定义域为{x|x<1}. (2)y=; 解：由log2x≠0，得x≠1.又x>0，故所求函数的定义域为{x|x>0且x≠1}. 解:由log0.8(4x-3)≥0=log0.81,得0<4x-3≤1, 解得<x≤1.故所求函数的定义域为. (3)y=. [例2]　函数y=lg(x+1)的图象大致是 (　 ) 题型(二)　对数函数的图象及应用 √ 解析:因为y=lg x过点(1,0),函数单调递增,将其向左平移一个单位长度可得y=lg(x+1)过点(0,0),函数单调递增.故选C. [例3]　已知f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),则a的取值范围为_______________.  ∪(2,+∞) 解析:作出函数f(x)的图象,如图所示. 由于f(2)=f,故结合图象可知, 当f(a)>f(2)时,a的取值范围为∪(2,+∞). |思|维|建|模| 1.根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 2.函数图象的变换规律 (1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 针对训练 2.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b=______,c=____.  -2　 2 解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c.又当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立,∴c=2,3+b=1. ∴b=-2,c=2. 解:函数y=|log2(x+1)|的图象如图所示. 由图象知,其值域为[0,+∞),单调递减区间是(-1,0],单调递增区间是(0,+∞). 3.画出函数y=|log2(x+1)|的图象,并写出函数的值域及单调区间. 题型(三)　比较大小问题 解:y=lox在(0,+∞)上单调递减, 因为<,所以lo>lo. [例4]　比较下列各组数的大小. (1)lo与lo; 解:法一:lo3-lo3=-=. ∵y=lg x是增函数,∴lg <lg <0<lg 3. ∴lo3-lo3<0.∴lo3<lo3. (2)lo3与lo3; 法二:因为在x∈(1,+∞)上,y=lox的图象在y=lox图象的上方,所以lo3<lo3. 解:当a>1时,y=logax为增函数,所以loga2<loga3; 当0<a<1时,y=logax为减函数,所以loga2>loga3. (3)loga2与loga3. |思|维|建|模| 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. [提醒]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小. 针对训练 4.已知实数a=log45,b=,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为(　 ) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析:由题知,a=log45>1,b==1,c=log30.4<0,故c<b<a. √ 5.已知lom<lon<0,则(　 ) A.n<m<1 B.m<n<1 C.1<m<n D.1<n<m 解析:因为0<<1,lom<lon<0,所以m>n>1.故选D. √ 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.函数f(x)=ln(ex-2)+定义域为(　 ) A.(1，2) B.(ln 2，2) C.(ln 2，1)∪(1，2) D.[ln 2，1)∪(1，2] 解析：因为函数f(x)=ln(ex-2)+，所以解得ln 2<x<2且x≠1，所以函数的定义域为(ln 2，1)∪(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知a=log20.3，b=log3π，c=log73，则a，b，c的大小关系为 (　 ) A.a<c<b B.a<b<c C.c>a>b D.b>a>c 解析：∵a=log20.3<log21=0，∴a<0.∵b=log3π>log33=1，∴b>1. ∵0=log71<log73<log77=1，∴0<c<1.故a<c<b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.当a>1时，在同一坐标系中，函数y=与y=logax的图象为(　 ) 解析：∵a>1，∴0<<1.∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.函数y=2log4(1-x)的图象大致是 (　 ) 解析：由已知得函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞，1)，排除A、B; 又函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减，排除D.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.已知函数y=loga(x+c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的 图象如图所示，则下列结论成立的是 (　 ) A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1 C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1 解析：由函数图象可知函数为单调递减函数，结合y=loga(x+c)可知0<a<1，当x=1时，loga(1+c)<0，∴1+c>1，∴c>0，当x=0时，logac>0，∴0<c<1，故0<c<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，h(x)=log3x，直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是 (　 ) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 解析：分别作出三个函数的大致图象， 如图所示.由图可知，x2<x3<x1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)函数y=log5(x2-x-2)的定义域是______________.  {x|x>2或x<-1} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0，且a≠1)的图象必经过点______.  解析：当x=2时，f(2)=a0+loga1+1=2，所以图象必经过点(2，2). (2，2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若函数f(x)=logax(≤x≤2)的最大值比最小值大1，则实数a=__________.  解析：当0<a<1时，f(x)=logax在[，2]上是减函数，则loga-loga2 =1，解得a=;当a>1时，f(x)=logax在[，2]上是增函数，则loga2-loga=1，解得a=. 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设函数f(x)满足：①对∀x，y∈(0，+∞)，f(x·y)=f(x)+f(y); ②∀x，y∈(0，+∞)，且x≠y，都有>0，则该函数的解析式可以是_________________________________.  f(x)=logax(a>1)(答案不唯一) 解析：因为函数f(x)满足对∀x，y∈(0，+∞)，f(x·y)=f(x)+f(y)，所以考虑函数f(x)=logax(a>0且a≠1).因为函数f(x)满足∀x，y∈(0，+∞)，且x≠y，都有>0，即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=logax(a>1)符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)比较下列各组数的大小 (1)log0.13与log0.1π;(2分) 解：∵函数y=log0.1x是减函数，π>3， ∴log0.13>log0.1π. (2)log45与log65;(2分) 解：法一：∵函数y=log4x和y=log6x都是增函数，∴log45>log44=1，log65<log66=1.∴log45>log65. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二：画出y=log4x和y=log6x在同一坐标系中的图象，如图所示， 由图可知log45>log65. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)3log45与2log23;(3分) 解：∵3log45=log453=log4125= =log2125=log2， 2log23=log232=log29， 又函数y=log2x是增函数，>9， ∴log2>log29，即3log45>2log23. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0，且a≠1).(3分) 解：∵a+2<a+3， 故①当a>1时，loga(a+2)<loga(a+3); ②当0<a<1时，loga(a+2)>loga(a+3). 解：先作出函数y=lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得到f(x)=|lg x|的图象(如图).由图象可知，f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 由>a>b>1，得f>f(a)>f(b). 因为f==|-lg c|=|lg c|=f(c). 所以f(c)>f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知f(x)=|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知f(x)为定义在区间(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)=log2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)当x∈(-∞，0)时，求函数f(x)的解析式;(3分) 解：设任意x∈(-∞，0)，则-x∈(0，+∞)， 所以f(-x)=log2(-x)，又f(x)为定义在区间(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，得f(-x)=f(x)，所以f(x)=log2(-x)(x∈(-∞，0)). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性.(7分) 解：画出函数图象如图所示. 观察图象，得f(x)的单调递增区间是(0，+∞)，单调递减区间是(-∞，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上. (1)写出函数g(x)的解析式;(4分) 解：设P(x，y)为g(x)图象上的任意一点， 则Q(-x，-y)是点P关于原点的对称点. ∵Q(-x，-y)在f(x)的图象上， ∴-y=loga(-x+1)，即y=g(x)=-loga(1-x). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当x∈[0，1)时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.(6分) 解：∵f(x)+g(x)≥m，即loga≥m. 设F(x)=loga=loga，x∈[0，1)，由题意知， 只要F(x)min≥m即可. ∵F(x)在[0，1)内是增函数， ∴F(x)min=F(0)=0. 故m的取值范围为(-∞，0]. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $