4.3.1 对数函数的概念及y=log2x的图象和性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数概念、反函数及y=log₂x的图象性质，从指数函数单调性切入，引出对数函数定义，建立与指数函数的反函数联系，搭建从指数到对数的知识学习支架。 其亮点是“逐点理清式”教学，分模块解析概念、反函数、图象性质及应用，结合判断、解答等练习。通过指数与对数函数互逆关系培养数学思维的推理能力，用实例强化数学语言表达，帮助学生夯实基础，教师教学流程更清晰。

§3 对数函数 对数函数的概念及y=log2x的图象和性质 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解对数函数的概念.　 2.了解反函数的概念,知道同底数的对数函数与指数函数互为反函数. 3.掌握对数函数y=log2x的图象与性质,会利用y=log2x的图象与性质解决一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　对数函数的概念 逐点清(二)　反函数 逐点清(三)　对数函数y=log2x的图象 4 逐点清(四)　以常数为底的对数的性质的应用 5 课时检测 逐点清(一)　对数函数的概念 01 多维理解 1.对数函数的概念 给定正数a,且a≠1,指数函数y=ax是定义在R上、值域为(0,+∞)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为___________________,记作x=logay.习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成__________ (a>0,且a≠1),其中a称为_____. 以a为底的对数函数 y=logax 底数 2.对数函数的基本性质 (1)定义域是________; (2)图象过定点______. 3.两种特殊对数函数 (1)常用对数函数:称以___为底的对数函数为常用对数函数,记作y=_____;  (2)自然对数函数:称以无理数___为底的对数函数为自然对数函数,记作y= _____.  (0,+∞) (1,0) 10 lg x ln x e |微|点|助|解| 　 (1)同指数函数一样,对数函数仍然采用形式定义,如y=log2(x+1),y=log2x2, y=log2x+5等都不是对数函数,只有形如y=logax(a>0,且a≠1)的函数才是对数函数. (2)因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,因此对数函数的定义域是(0,+∞),且对数函数的底数a>0,且a≠1. (3)判断一个函数是否是对数函数,不仅要看该函数中是否含有对数符号“log”,还要看是否符合对数函数的定义,即满足y=logax(a>0,且a≠1)的形式. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对数函数的定义域为R. (　 ) (2)函数y=logx是对数函数. (　 ) (3)y=log2x2与logx3都不是对数函数. (　 ) 微点练明 × × √ 2.下列函数是对数函数的是 (　 ) A.y=log2x B.y=ln(x+1) C.y=logxe D.y=logxx √ 3.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=____.  1 解析:由a2-a+1=1,解得a=0或1. 又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1. 4.已知对数函数的图象过点M(8,3),则f=____.  -1 解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),由图象过点M(8,3),则有3=loga8, 解得a=2.所以对数函数的解析式为f(x)=log2x,所以f=log2=-1. 逐点清(二)　反函数 02 多维理解 　习惯上,对数函数表示为y=logax(a>0,且a≠1),指数函数表示为y=ax (a>0,且a≠1).因此,指数函数y=ax是对数函数y=logax的____________,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的_________.即它们_____________. 反函数 反函数 互为反函数 微点练明 1.已知函数f(x)=2x的反函数是y=g(x),则g的值为(　 ) A.1 B. C.- D.-1 √ 解析:∵由y=f(x)=2x,得x=log2y,∴原函数的反函数为g(x)=log2x,则g =log2=-1. 2.与函数y=的图象关于直线y=x对称的函数是(　 ) A.y=4x B.y=4-x C.y=x D.y=log4x √ 解析:因为函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,且这两个函数的图象关于直线y=x对称,因此与函数y=的图象关于直线y=x对称的函数是y=x. 3.已知函数y=ex与函数y=f(x)互为反函数,则 (　 ) A.f(3x)=e3x(x∈R) B.f(3x)=ln 3·ln x(x>0) C.f(3x)=3ex D.f=ln x+ln 3(x>0) √ 解析:因为y=ex,所以其反函数为y=ln x,即f(x)=ln x,所以f(3x)=ln 3x =ln x+ln 3(x>0). 4.函数y=3x+1的反函数的表达式为 (　 ) A.y=log3x+1 B.y=log3x-1 C.y=log3(x+1) D.y=log3(x-1) √ 解析:由y=3x+1得x=log3y-1,令y=x得y=log3x-1,所以函数y=3x+1的反函数的表达式为y=log3x-1. 逐点清(三)　 对数函数y=log2x的图象 03 多维理解 1.对数函数y=log2x的图象作法 方法一:描点法. 方法二:由指数函数的图象得到对数函数的图象. 2.对数函数y=log2x图象的特点 函数的图象位于y轴的_____;从靠近y轴最下端的位置逐渐______,过点_____,继续_____,函数值越来_____,直至_____. 3.对数函数y=log2x图象的性质 函数y=log2x在定义域________上是_______,且值域为____. 右边 上升 (1,0) 上升 越大 无穷 (0,+∞) 增函数 R 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称. (　 ) (2)由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度可得y=log2x+1的图象.(　 ) (3)函数y=log2x是偶函数. (　 ) × × × 解:易知y=lox=-log2x.故y=lox的图象如图①. 利用y=3x的图象变换得到y=log3x的图象如图②. 2.作出y=lox及y=log3x的图象. 逐点清(四) 以常数为底的对数的性质的应用 04 解:∵真数大于0, ∴解得<x<5. 又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, ∴2x-1<-x+5,解得x<2. 综上,x的取值集合为. [典例]　(1)求满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合. (2)比较下列各组数的大小. ①log2π与log20.9; ②log20.3与log24; ③与. 解:①∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,π>0.9, ∴log2π>log20.9. ②由于log20.3<log21=0,log24>log22=1, ∴log20.3<log24. ③∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数且log21=0, ∴log20.3<log20.9<0. ∴>. |思|维|建|模| 1.对数函数比较大小的策略 主要根据函数的单调性来判断,对于与函数y=log2x有关的数值比较大小时,还可以通过引入中间变量0,数值与0进行比较,从而得出结论. 2.解不等式的策略 (1)求形如log2x>log2y的不等式,常借助y=log2x在(0,+∞)是增函数求解. (2)求形如log2x>b的不等式,应将b化成以2为底对数的形式,再借助y=log2x的单调性求解. 1.已知log2m<0<log2n，则m,n的大小关系为______. 针对训练 m<n 解析：∵log2m<log21<log2n，且y=log2x在区间（0,+∞）上单调递增，∴0<m<1<n. 解:易知log216=4, 由函数y=log2x的单调性知,若满足log2x>4, 则x>16.故实数x的取值范围为(16,+∞). 2.(1)已知log2x>4，求实数x的取值范围； 解:由y=log2x的单调性知2x<x+1,解得x<1, 又解得x>0, 故实数x的取值范围为(0,1). (2)已知log2 (2x) <log2(x+1)，求x的取值范围. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ 1.下列函数是对数函数的是 (　 ) A.y=log2x2 B.y=x C.y=logx2(x>0，x≠1) D.y=log2 解析：对于A，真数为x2，而不是x，故A不是对数函数;对于B，底数π-e为常数，且0<π-e<1，真数为x，且函数系数为1，故B是对数函数;对于C，真数为常数，而不是x，故C不是对数函数;对于D，真数为，而不是x，故D不是对数函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 2.已知函数f(x)=loga(x+1)，若f(1)=2，则a= (　 ) A.0 B.1 C. D.2 解析：∵f(1)=loga(1+1)=2，∴a2=2，则a=，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 3.log2与log2的大小关系为(　 ) A.log2≥log2 B.log2>log2 C.log2≤log2 D.log2<log2 解析：∵y=log2x在(0，+∞)上是增函数，而a2+a+1=+≥， ∴log2(a2+a+1)≥log2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 4.已知对数函数y=logax(a>0，且a≠1)，且过点(9，2)，f(x)的反函数记为y=g(x)，则g(x)的解析式是 (　 ) A.g(x)=4x B.g(x)=2x C.g(x)=9x D.g(x)=3x 解析：由题意，可知loga9=2，则a=3，所以f(x)=log3x，则反函数g(x)=3x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 5.(多选)下列结论中正确的是 (　 ) A.log35<log36 B.lo5>lo7 C.log2(x2-1)≤3的解集为[-3，3] D.lo(x-1)>-2的解集为(-∞，5) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：易知A、B正确. 由log2(x2-1)≤3，得log2(x2-1)≤log28. 结合单调性知解得1<x≤3或-3≤x<-1，故C错误. 由lo(x-1)>-2，得log2(x-1)<2，则有解得1<x<5， 故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 6.设a>0，且a≠1，函数f(x)=ax，g(x)=bx的反函数分别是n(x)和m(x).若lg a+lg b=0，则n(x)与m(x)的图象 (　 ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于y=x对称 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由lg a+lg b=0，得b=a-1， ∴f(x)=ax，g(x)=a-x. 其反函数分别为n(x)=logax，m(x)=-logax， ∴n(x)与m(x)的图象关于x轴对称. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知f(x)为对数函数，f=-2，则f()=____.  解析：设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，则loga=-2，∴=，即a=. ∴f(x)=x，∴f()==1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)log23.4与log28.5的大小关系为_______________.  解析：直接利用函数y=log2x的单调性即可判断. log23.4<log28.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)若f(x)=log2x，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为______________.  解析：∵f(x)=log2x在[2，3]上是单调递增的， ∴log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23. [1，log23] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)不等式lo(5+x)<lo(1-x)的解集为___________.  解析：因为函数y=lox在(0，+∞)上是减函数， 所以解得-2<x<1. 故所求不等式的解集为(-2，1). (-2，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知f(x)=log2(x2-2ax+a+2). (1)若f(1)=2，求a的值;(3分) 解：f(1)=log2(3-a)=2， ∴3-a=22=4，解得a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围.(7分) 解：∵f(x)的定义域为R， ∴x2-2ax+a+2>0对∀x∈R恒成立， ∴Δ=(-2a)2-4(a+2)<0，即a2-a-2<0，解得-1<a<2，故a的取值范围为(-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=log2(x+1)，g(x)=log2(3x+1). (1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;(4分) 解：因为f(x)=log2(x+1)， g(x)=log2(3x+1)， g(x)≥f(x)，所以3x+1≥x+1>0，所以x≥0. 即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)当x∈[0，+∞)时，求函数y=g(x)-f(x)的值域.(6分) 解：y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)=log2 (x≥0). 令h(x)==3-， 则h(x)为[0，+∞)上的增函数， 所以1≤h(x)<3，故y=g(x)-f(x)∈[0，log23)， 即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0，log23). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)函数y=log2x，y=log5x，y=lg x的图象如图所示. (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么;(3分) 解：①对应函数y=lg x，②对应函数y=log5x，③对应函数y=log2x. 当底数大于1时，图象在x=1的右侧，底数越大的图象越在下方. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出y=lox，y=lox，y=lox的图象;(3分) 解：如图， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)从(2)的图中你发现了什么?(4分) 解：从图中发现，y=log2x，y=log5x，y=lg x的图象分别与y=lox，y=lox，y=lox的图象关于x轴对称.可推广到一般情况. ∵lox=-logax(a>0，且a≠1)，∴y=lox(a>0，且a≠1)的图象与y=logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，它们的单调性相反. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $