4.3.1 对数函数的概念及y=log2x的图象和性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数函数概念、反函数及y=log₂x的图象性质与应用，从指数函数单调性引入对数函数定义，通过反函数建立与指数函数的联系，再学习具体函数图象性质，形成概念到应用的完整学习支架。 资料通过“微点助解”辨析概念（如判断log₂(x+1)非对数函数），“微点练明”用实例（过点求解析式）巩固，“思维建模”归纳解题策略（比较大小、解不等式），培养抽象能力、推理能力与应用意识。课中分层教学提升效率，课后检测助学生查漏补缺。

§3　对数函数 第1课时　对数函数的概念及y=log2x的图象和性质 　　　　　　[教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解对数函数的概念.　 2.了解反函数的概念,知道同底数的对数函数与指数函数互为反函数. 3.掌握对数函数y=log2x的图象与性质,会利用y=log2x的图象与性质解决一些简单问题. 逐点清(一)　对数函数的概念 [多维理解] 1.对数函数的概念 给定正数a,且a≠1,指数函数y=ax是定义在R上、值域为(0,+∞)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数. 2.对数函数的基本性质 (1)定义域是(0,+∞); (2)图象过定点(1,0). 3.两种特殊对数函数 (1)常用对数函数:称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;  (2)自然对数函数:称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.  |微|点|助|解| (1)同指数函数一样,对数函数仍然采用形式定义,如y=log2(x+1),y=log2x2,y=log2x+5等都不是对数函数,只有形如y=logax(a>0,且a≠1)的函数才是对数函数. (2)因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,因此对数函数的定义域是(0,+∞),且对数函数的底数a>0,且a≠1. (3)判断一个函数是否是对数函数,不仅要看该函数中是否含有对数符号“log”,还要看是否符合对数函数的定义,即满足y=logax(a>0,且a≠1)的形式. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对数函数的定义域为R. (　 ) (2)函数y=logx是对数函数. (　 ) (3)y=log2x2与logx3都不是对数函数. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)√ 2.下列函数是对数函数的是 (　 ) A.y=log2x B.y=ln(x+1) C.y=logxe D.y=logxx 答案:A 3.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=　　　　.  解析:由a2-a+1=1,解得a=0或1. 又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1. 答案:1 4.已知对数函数的图象过点M(8,3),则f=　　　　.  解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),由图象过点M(8,3),则有3=loga8,解得a=2.所以对数函数的解析式为f(x)=log2x,所以f=log2=-1. 答案:-1 逐点清(二)　反函数 [多维理解] 　　习惯上,对数函数表示为y=logax(a>0,且a≠1),指数函数表示为y=ax(a>0,且a≠1).因此,指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数. [微点练明] 1.已知函数f(x)=2x的反函数是y=g(x),则g的值为 (　 ) A.1 B. C.- D.-1 解析:选D　∵由y=f(x)=2x,得x=log2y,∴原函数的反函数为g(x)=log2x,则g=log2=-1. 2.与函数y=的图象关于直线y=x对称的函数是 (　 ) A.y=4x B.y=4-x C.y=x D.y=log4x 解析:选C　因为函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,且这两个函数的图象关于直线y=x对称,因此与函数y=的图象关于直线y=x对称的函数是y=x. 3.已知函数y=ex与函数y=f(x)互为反函数,则 (　 ) A.f(3x)=e3x(x∈R) B.f(3x)=ln 3·ln x(x>0) C.f(3x)=3ex D.f=ln x+ln 3(x>0) 解析:选D　因为y=ex,所以其反函数为y=ln x,即f(x)=ln x,所以f(3x)=ln 3x=ln x+ln 3(x>0). 4.函数y=3x+1的反函数的表达式为 (　 ) A.y=log3x+1 B.y=log3x-1 C.y=log3(x+1) D.y=log3(x-1) 解析:选B　由y=3x+1得x=log3y-1, 令y=x得y=log3x-1,所以函数y=3x+1的反函数的表达式为y=log3x-1. 逐点清(三)　对数函数y=log2x的图象 [多维理解] 1.对数函数y=log2x的图象作法 方法一:描点法. 方法二:由指数函数的图象得到对数函数的图象. 2.对数函数y=log2x图象的特点 函数的图象位于y轴的右边;从靠近y轴最下端的位置逐渐上升,过点(1,0),继续上升,函数值越来越大,直至无穷. 3.对数函数y=log2x图象的性质 函数y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数,且值域为R. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称. (　 ) (2)由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度可得y=log2x+1的图象. (　 ) (3)函数y=log2x是偶函数. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.作出y=lox及y=log3x的图象. 解:易知y=lox=-log2x.故y=lox的图象如图①. 利用y=3x的图象变换得到y=log3x的图象如图②. 逐点清(四)　以常数为底的对数的性质的应用 [典例]　(1)求满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合. (2)比较下列各组数的大小. ①log2π与log20.9; ②log20.3与log24; ③与. 解:(1)∵真数大于0, ∴解得<x<5. 又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, ∴2x-1<-x+5,解得x<2. 综上,x的取值集合为. (2)①∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,π>0.9, ∴log2π>log20.9. ②由于log20.3<log21=0,log24>log22=1, ∴log20.3<log24. ③∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数且log21=0, ∴log20.3<log20.9<0. ∴>. |思|维|建|模| 1.对数函数比较大小的策略 主要根据函数的单调性来判断,对于与函数y=log2x有关的数值比较大小时,还可以通过引入中间变量0,数值与0进行比较,从而得出结论. 2.解不等式的策略 (1)求形如log2x>log2y的不等式,常借助y=log2x在(0,+∞)是增函数求解. (2)求形如log2x>b的不等式,应将b化成以2为底对数的形式,再借助y=log2x的单调性求解. [针对训练] 1.已知log2m<0<log2n,则m,n的大小关系为　　　　.  解析:∵log2m<log21<log2n,且y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,∴0<m<1<n. 答案:m<n 2.(1)已知log2x>4,求实数x的取值范围; (2)已知log2(2x)<log2(x+1),求x的取值范围. 解:(1)易知log216=4, 由函数y=log2x的单调性知,若满足log2x>4, 则x>16.故实数x的取值范围为(16,+∞). (2)由y=log2x的单调性知2x<x+1,解得x<1, 又解得x>0, 故实数x的取值范围为(0,1). [课时检测] 1.下列函数是对数函数的是 (　 ) A.y=log2x2 B.y=x C.y=logx2(x>0,x≠1) D.y=log2 解析:选B　对于A,真数为x2,而不是x,故A不是对数函数;对于B,底数π-e为常数,且0<π-e<1,真数为x,且函数系数为1,故B是对数函数;对于C,真数为常数,而不是x,故C不是对数函数;对于D,真数为,而不是x,故D不是对数函数. 2.已知函数f(x)=loga(x+1),若f(1)=2,则a= (　 ) A.0 B.1 C. D.2 解析:选C　∵f(1)=loga(1+1)=2,∴a2=2,则a=,故选C. 3.log2与log2的大小关系为 (　 ) A.log2≥log2 B.log2>log2 C.log2≤log2 D.log2<log2 解析:选A　∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,而a2+a+1=+≥, ∴log2(a2+a+1)≥log2. 4.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是 (　 ) A.g(x)=4x B.g(x)=2x C.g(x)=9x D.g(x)=3x 解析:选D　由题意,可知loga9=2,则a=3,所以f(x)=log3x,则反函数g(x)=3x. 5.(多选)下列结论中正确的是 (　 ) A.log35<log36 B.lo5>lo7 C.log2(x2-1)≤3的解集为[-3,3] D.lo(x-1)>-2的解集为(-∞,5) 解析:选AB　易知A、B正确. 由log2(x2-1)≤3, 得log2(x2-1)≤log28. 结合单调性知解得1<x≤3或-3≤x<-1,故C错误. 由lo(x-1)>-2,得log2(x-1)<2, 则有解得1<x<5,故D不正确. 6.设a>0,且a≠1,函数f(x)=ax,g(x)=bx的反函数分别是n(x)和m(x).若lg a+lg b=0,则n(x)与m(x)的图象 (　 ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于y=x对称 解析:选A　由lg a+lg b=0,得b=a-1, ∴f(x)=ax,g(x)=a-x. 其反函数分别为n(x)=logax,m(x)=-logax, ∴n(x)与m(x)的图象关于x轴对称. 7.(5分)已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()=　　　　.  解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则loga=-2,∴=,即a=. ∴f(x)=x,∴f()==1. 答案:1 8.(5分)log23.4与log28.5的大小关系为　　　　.  解析:直接利用函数y=log2x的单调性即可判断. 答案:log23.4<log28.5 9.(5分)若f(x)=log2x,x∈[2,3],则函数f(x)的值域为　　　　.  解析:∵f(x)=log2x在[2,3]上是单调递增的, ∴log22≤log2x≤log23,即1≤log2x≤log23. 答案:[1,log23] 10.(5分)不等式lo(5+x)<lo(1-x)的解集为　　　　.  解析:因为函数y=lox在(0,+∞)上是减函数, 所以解得-2<x<1. 故所求不等式的解集为(-2,1). 答案:(-2,1) 11.(10分)已知f(x)=log2(x2-2ax+a+2). (1)若f(1)=2,求a的值;(3分) (2)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.(7分) 解:(1)f(1)=log2(3-a)=2,∴3-a=22=4,解得a=-1. (2)∵f(x)的定义域为R, ∴x2-2ax+a+2>0对∀x∈R恒成立, ∴Δ=(-2a)2-4(a+2)<0,即a2-a-2<0,解得-1<a<2,故a的取值范围为(-1,2). 12.(10分)已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1). (1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;(4分) (2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.(6分) 解:(1)因为f(x)=log2(x+1), g(x)=log2(3x+1), g(x)≥f(x),所以3x+1≥x+1>0,所以x≥0. 即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0,+∞). (2)y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)=log2(x≥0). 令h(x)==3-, 则h(x)为[0,+∞)上的增函数, 所以1≤h(x)<3, 故y=g(x)-f(x)∈[0,log23), 即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log23). 13.(10分)函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示. (1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;(3分) (2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y=lox,y=lox,y=lox的图象;(3分) (3)从(2)的图中你发现了什么?(4分) 解:(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.当底数大于1时,图象在x=1的右侧,底数越大的图象越在下方. (2)如图, (3)从图中发现,y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象分别与y=lox,y=lox,y=lox的图象关于x轴对称.可推广到一般情况. ∵lox=-logax(a>0,且a≠1),∴y=lox(a>0,且a≠1)的图象与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,它们的单调性相反. 学科网（北京）股份有限公司 $