3.3.1 指数函数的概念-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件围绕指数函数展开，涵盖概念、性质、解析式求解及实际应用。通过人口增长、森林面积变化等实例导入，衔接指数幂知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其特色在于采用“逐点清”结构，分概念辨析、解析式求解、应用建模三模块，结合“多维理解”“微点练明”强化认知。通过待定系数法推理、指数模型解决住房面积问题，培养数学思维与模型观念，助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

§3 指数函数 3.1 指数函数的概念 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.会从形式上判断一个函数是否是指数函数. 2.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　指数函数的概念 逐点清(二)　求指数函数的解析式或值 逐点清(三)　指数增长与衰减的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　指数函数的概念 01 多维理解 1.指数函数的定义 根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应.因此______是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数. y=ax 2.指数函数y=ax的基本性质 (1)定义域是____,函数值________; (2)图象过定点______. R 大于0 (0,1) |微|点|助|解| 　 指数函数有4个特点 (1)定义域必须是R; (2)自变量是x,x位于指数位置上,且指数位置上只有x这一项; (3)指数式只有一项,并且指数式的系数为1,例如y=5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数; (4)底数a的范围必须是a>0且a≠1. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=x2是指数函数. (　 ) (2)指数函数y=ax中,a可以为负数. (　 ) (3)y=2x-1是指数函数. (　 ) 微点练明 × × × 2.函数y=(a-2)ax是指数函数,则 (　 ) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1 √ 解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,则a-2=1,a>0,且a≠1,解得a=3,故选C. 3.给出下列函数: ①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=;⑦y=xx; ⑧y=(2a-1)x. 其中为指数函数的有　 　　(填序号).  ①⑤⑧ 解析:对于③,-4x是-1与4x的乘积,故③不是指数函数;对于④,底数-4<0,故④不是指数函数;对于⑥,指数不是自变量x,而是x的函数x2,故⑥不是指数函数;对于②、⑦,底数x不是常数,故②、⑦不是指数函数.由指数函数的概念可知,①⑤⑧是指数函数. 逐点清(二)　 求指数函数的解析式或值 02 多维理解 (1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.` 1.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(1)=2,则f(0)+f(2)= (　 ) A.4　　　 B.5　　　 C.6　　　 D.8 √ 解析:由f(1)=2⇒a=2⇒f(x)=2x,所以f(0)+f(2)=20+22=5. 微点练明 2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为(　 ) A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ 解析:因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-1=1,a>0,且a≠1,即a=4.所以f(x)=4x.则f==2. 3.如图所示,面积为8的平行四边形OABC的 对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E,B,则a等于 (　 ) A. B. C.2 D.3 √ 解析:设点C(0,m)(m>0),则由已知条件可得A,E,B.因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以解得m=2, 所以a=-(舍去)或a=. 4.已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)=________.  125 解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f===,得a=5,故f(x)=5x. 因此,f(3)=53=125. 逐点清(三)　指数增长与衰减的应用 03 　在实际问题中,经常遇到指数增长模型,形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0, 且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. [典例]　某地2022年年底人口数为500万,人均住房面积为6平方米,若该地区人口数的年平均增长率为1%,要使2032年年底该地区人均住房面积至少为7平方米,则平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米;参考数据:1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7).  87  解析:设平均每年新增住房面积为x万平方米,则≥7, 解得x≥86.61≈87(万平方米). |思|维|建|模| (1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段. (2)在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示. 针对训练 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止,森林面积为a. (1)求p%的值. 解:由题意得a(1-p%)10=, 即(1-p%)10=,解得p%=1-. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解:设经过m年森林面积为a,则a(1-p%)m=a,即=,得=, 解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年. (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:设从今年开始,n年后森林面积为a·(1-p%)n, 令a(1-p%)n≥a,即(1-p%)n≥, ≥,得≤,解得n≤15, 故今后最多还能砍伐15年. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1.下列函数为指数函数的是 (　 ) A.y=2·3x B.y=-3x C.y=5x D.y=1x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 2.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= (　 ) A.8 B. C.4 D.2 解析:∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,∴2a-3=1,a>0,且a≠1.解得a=2.∴f(x)=2x.∴f(1)=2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 3.若函数y=(2a-1)x是指数函数,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞) C.∪(1,+∞) D. 解析:易知解得a>且a≠1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 4.函数f(x)=ax(a>0且a≠1),对于任意实数x,y都有 (　 ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 解析:f(x+y)==axay=f(x)f(y).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 5.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 (　 ) A.12 h B.4 hq C.3 h D.2 h 解析:设需经过x次分裂,则2x=4 096,解得x=12.所以所需时间t==3(h). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 6.已知一种产品的成本是a元,今后m年,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0<x<m)的函数,其关系式是 (　 ) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1-p%)x(0<x<m) C.y=a(p%)x(0<x<m) D.y=a-(p%)x(0<x<m) 解析:∵产品的成品是a元,1年后,成本为a-p%·a=a(1-p%);2年后,成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2;…,∴x年后,成本y=a(1-p%)x(0<x<m). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 7.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是(　 ) A.f(1)>f(-1) B.f(1)<f(-1) C.f(1)=f(-1) D.不确定 解析:∵f(x)=+2,∴f(1)=+2=,f(-1)=+2=4. ∵<4,∴f(1)<f(-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 8.已知f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)g(b)=,则下列各式正确的是(　 ) A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 解析:由3a·9b=知3a·32b=3-1.即a+2b=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 9.已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　 ) A.f(-x)+f(x)=1 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=0 D.f(-x)-f(x)=-1 解析:因为f(x)=,所以f(-x)+f(x)=+=+=1.故A正确, C错误;f(-x)-f(x)=-=-==-1,不是常数,故B、D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 10.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值为(　 ) A.10 B.9 C.8 D.5 解析:由题设可得方程组由2ae5n=a⇒e5n=,代入ae(m+5)n=⇒emn=,联立两个等式可得解得m=5.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 11.(5分)已知指数函数f(x)=(2b-3)ax经过点(1,2),则a=____,f(a+b)=____. 2 16 解析:由指数函数的定义可知2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入f(x)=ax,得a=2.故f(x)=2x,a+b=4,所以f(a+b)=f(4)=24=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 12.(5分)设函数f(x)=则f(f(-4))=__________. 4 解析:依题意,知f(-4)==16,f(16)==4,所以f(f(-4))=f(16)=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.(5分)若函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,则a的取值范围是_____________. (1,2) 解析:∵函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,∴0<a-1<1. 解得1<a<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 14.(5分)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=_____________. 解析:因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),因为f(x)+g(x)=ex　①,所以f(-x)+g(-x)=e-x,所以f(x)-g(x)=e-x　②,由①②消去f(x),得g(x)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 15.(10分)有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案: 甲方案:栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案:栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答:10年内哪一个方案可以得到较多的木材? 解:设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∵a>0,∴4.98a>4.01a,即y2>y1,∴10年内乙方案可以得到较多的木材. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16.(10分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值;(3分) 解:由已知,得a2=, ∵a>0且a≠1,∴a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)若g(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.(7分) 解:当x≤0时,g(x)=f(x)=,设x>0,则-x<0,则g(-x)==3x, 因为g(x)是定义在R上的偶函数, 所以g(x)=g(-x)=3x, 所以函数g(x)的解析式为g(x)= 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $