3.1指数函数的概念、图象与性第1课时质课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象与性质，通过报纸对折实例引导学生发现折叠次数与层数、面积的函数关系，归纳共同特征后引出指数函数定义，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，通过“想一想”深化底数取值规定的理解，结合图象对比分析a>1与0<a<1时的性质。融入数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，如通过实例抽象函数模型，借助描点法画图象理解单调性。帮助学生培养逻辑思维与解题能力，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解 指数函数的概念 数学抽象 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的 图象，探索并理解指数函数的性质并会运用 直观想象、数学 运算 第一课时　指数函数的概念、图象与性质 目录 数学·必修第一册（BSD） 第一课时　指数函数的概念、图象与性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 将一张报纸连续对折，折叠次数 x 与对应的层数 y 之间存在什么 关系？对折后的面积 S （设原面积为1）与折叠的次数有怎样的关系？ 目录 数学·必修第一册（BSD） 折叠次数 对应层数 对折后的面积 S x ＝1 y ＝2＝21 x ＝2 y ＝4＝22 x ＝3 y ＝8＝23 …… …… …… 目录 数学·必修第一册（BSD） 　　由上面的对应关系，我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y ＝2 x （ x ∈N＋），对折后的面积 S ＝ （ x ∈N＋）. 【问题】　实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　指数函数的概念 1. 定义：当给定正数 a ，且 a ≠1时，对于任意的实数 x ，都有唯一确 定的正数 y ＝ ax 与之对应，因此， y ＝ ax 是一个定义在 ⁠ 上的函数，称为指数函数. 2. 性质：（1）定义域是 ，函数值 ⁠； 实数集　 R　 大于0　 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）图象过定点 ⁠. 提醒　指数函数概念的再理解 （0，1）　 目录 数学·必修第一册（BSD） ②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝ ， ，…， 该函数无意义. ③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0，且 a ≠1. 【想一想】 　为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？ 提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必 要；当 x ≤0时， ax 无意义. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　指数函数的图象和性质 a ＞1 0＜ a ＜1 定义域： ⁠ 值域： ⁠ 过定点 ，即当 x ＝0时， y ＝ ⁠ R　 （0，＋∞）　 （0，1）　 1　 目录 数学·必修第一册（BSD） a ＞1 0＜ a ＜1 当 x ＜0时， ＜ y ＜ ；当 x ＞0时， y ＞ ⁠ 当 x ＜0时， y ＞ ；当 x ＞0 时， ＜ y ＜ ⁠ 在R上是 函数，当 x 值趋 近于正无穷大时，函数值趋近 于正无穷大；当 x 值趋近于负无 穷大时，函数值趋近于0 在R上是 函数，当 x 值趋近 于正无穷大时，函数值趋近于0； 当 x 值趋近于负无穷大时，函数 值趋近于正无穷大 0　 1　 1　 1　 0　 1　 增　 减　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示.直线 x ＝1 与四个指数函数 y ＝ ax ， y ＝ bx ， y ＝ cx ， y ＝ dx 的交点依次为（1， a ），（1， b ），（1， c ），（1， d ），所以有0＜ b ＜ a ＜1＜ d ＜ c ，因此可得出以下结论：在 y 轴的右侧，底数越大，图象越高，简称 “底大图高”. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【想一想】 在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第 三、四象限. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） y ＝2 x＋1是指数函数. （　×　） （2）指数函数 y ＝ ax 中， a 可以为负数. （　×　） （3）已知函数 f （ x ）＝3 x ，若 m ＞ n ，则 f （ m ）＞ f （ n ）. （　√　） （4）指数函数的图象一定在 x 轴的上方. （　√　） × × √ √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数 y ＝2 x＋1的图象是（　　） 解析：　函数 y ＝2 x 的图象是经过定点（0，1），在 x 轴上方且 为增函数的曲线，依据函数图象的画法可得函数 y ＝2 x＋1的图象为 增函数且过点（0，2），故选A. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 函数 y ＝1－2 x ， x ∈[0，1]的值域是 ⁠. 解析：由指数函数 y ＝2 x 在 x ∈[0，1]上单调递增知1≤2 x ≤2，∴ y ＝1－2 x ∈[－1，0]. [－1，0]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 指数函数的解析式 【例1】　（1）若函数 f （ x ）＝ · ax 是指数函数，则 f ＝ （　D　） A. 2 B. －2 解析：因为函数 f （ x ）是指数函数，所以 a －3＝1，且 a ＞0， a ≠1，所以 a ＝8，所以 f （ x ）＝8 x ， f ＝ ＝2 . D 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若函数 f （ x ）是指数函数，且 f （2）＝9，则 f （ x ）＝ ⁠. 解析：由题意设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），因为 f （2）＝ a2 ＝9，所以 a ＝3，所以 f （ x ）＝3 x . 3 x 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解 析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的 解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. 2. 求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）为指数函数，且 f ＝ ，求 f （－2）的值. 解：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）， 由 f ＝ 得， ＝ ， 所以 a ＝3， 所以 f （ x ）＝3 x ， 所以 f （－2）＝3－2＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 指数函数的图象及应用 【例2】　（1）（多选）函数 y ＝ ax － （ a ＞0， a ≠1）的图象可能 是（　CD　） CD 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：当 a ＞1时， ∈（0，1），因此 x ＝0时，0＜ y ＝1－ ＜1，且 y ＝ ax － 在R上是增函数，故C符合；当0＜ a ＜1时， ＞1，因此 x ＝0时， y ＜0，且 y ＝ ax － 在R上是减函数，故D符合.故选C、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若直线 y ＝2 a 与函数 y ＝｜ ax －1｜＋1（ a ＞0，且 a ≠1）的图 象有两个公共点，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：当 a ＞1时，函数 y ＝｜ ax －1｜＋1的图象如图①所示， 则由图可知1＜2 a ＜2，解得 ＜ a ＜1，与 a ＞1矛盾；当0＜ a ＜ 1时，函数 y ＝｜ ax －1｜＋1的图象如图②所示，则由图可知1＜ 2 a ＜2，解得 ＜ a ＜1.综上可知， a 的取值范围为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 处理函数图象问题的策略 （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点（0，1），求指数型函数 图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的 y 的值，即可 得函数图象所过的定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换（左右平移、上下平 移）； （3）利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函 数图象的走势. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. （多选）已知实数 a ， b 满足（ ） a ＝（ ） b ，则下面给出的四个 选项，其中可能成立的为（　　） A. 0＜ b ＜ a B. b ＜ a ＜0 C. a ＜ b ＜0 D. b ＝ a ＝0 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由题意可令 f （ x ）＝（ ） x ， g （ x ）＝（ ） x ，在同一平面直角坐 标系中作出函数 f （ x ）＝（ ） x ， g （ x ）＝（ ） x 的图象，如图所示.若 f （ a ）＝ g （ b ）＞1，即（ ） a ＝（ ） b ＞1，则 a ＜ b ＜0，故C成立，B不成立； 目录 数学·必修第一册（BSD） 若0＜ f （ a ）＜ g （ b ）＜1，即0＜（ ） a＝（ ） b ＜1，则0＜ b ＜ a ，故A成立；若 f （ a ）＝ g （ b ）＝1，即（ ） a ＝（ ） b ＝1，则 a ＝ b ＝0，故D成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数 y ＝ ax－3＋3（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点 ⁠. 解析：法一　因为指数函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定 点（0，1），所以在函数 y ＝ ax－3＋3中，令 x ＝3，得 y ＝1＋3＝ 4，即函数的图象过定点（3，4）. （3，4）　 法二　将原函数解析式变形，得 y －3＝ ax－3，把 y －3看成 x －3的指 数函数，所以当 x －3＝0时， y －3＝1，即 x ＝3时， y ＝4，所以原函 数的图象过定点（3，4）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 指数型函数的定义域和值域 【例3】　求下列函数的定义域和值域： （1） y ＝ ； 解：要使函数式有意义，则1－3 x ≥0，即3 x ≤1＝30，因为函数 y ＝3 x 在R上是增函数，所以 x ≤0，故函数 y ＝ 的定义 域为（－∞，0]. 因为 x ≤0，所以0＜3 x ≤1，所以0≤1－3 x ＜1， 所以 ∈[0，1），即函数 y ＝ 的值域为[0，1）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） y ＝ ； 解：定义域为R. 因为 x2－2 x －3＝（ x －1）2－4≥－4， 所以 ≤ ＝16. 又因为 ＞0， 所以函数 y ＝ 的值域为（0，16]. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3） y ＝4 x ＋2 x＋1＋2. 解：因为对于任意的 x ∈R，函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2都有意义，所 以函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2的定义域为R. 因为2 x ＞0，所以4 x ＋2 x＋ 1＋2＝（2 x ）2＋2×2 x ＋2＝（2 x ＋1）2＋1＞1＋1＝2. 即函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2的值域为（2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件，变设问）若将本例（1）的函数换为“ y ＝ ”，求其定义域. 解：由 －1≥0得 ≥ ，∴ x ≤0，即函数的定义域为 （－∞，0]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件，变设问）若将本例（3）的函数增加条件“0≤ x ≤2”，再求函数的值域. 解：∵0≤ x ≤2，∴1≤2 x ≤4，∴ y ＝4 x ＋2 x＋1＋2＝（2 x ）2＋2×2 x ＋2＝（2 x ＋1）2＋1. 令2 x ＝ t ，则 t ∈[1，4]，且 f （ t ）＝（ t ＋1）2＋1，易知 f （ t ）在 [1，4]上单调递增， ∴ f （1）≤ f （ t ）≤ f （4），即5≤ f （ t ）≤26， 即函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2的值域为[5，26]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法 （1）定义域：形如 y ＝ af（ x）形式的函数的定义域是使得 f （ x ）有意 义的 x 的取值集合； （2）值域：①换元，令 t ＝ f （ x ）；②求 t ＝ f （ x ）的定义域 x ∈ D ；③求 t ＝ f （ x ）的值域 t ∈ M ；④利用 y ＝ at 的单调性求 y ＝ at ， t ∈ M 的值域. 提醒　（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不 等关系解集的交集； （2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分 类讨论. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是（　　） A. [2，4） B. [2，4）∪（4，＋∞） C. （2，4）∪（4，＋∞） D. [2，＋∞） 解析：　依题意有解得 x ∈[2，4）∪（4，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列各函数中，是指数函数的是（　　） A. y ＝（－3） x B. y ＝－3 x C. y ＝3 x－1 解析：　根据指数函数的定义知，D正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若指数函数 f （ x ）的图象过点（3，8），则 f （ x ）的解析式为 （　　） A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝2 x 解析：　设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），则由 f （3）＝8得 a3＝ 8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x . 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 函数 f （ x ）＝π x 与 g （ x ）＝ 的图象关于（　　） A. 原点对称 B. x 轴对称 C. y 轴对称 D. 直线 y ＝－ x 对称 解析：　设点（ x ， y ）为函数 f （ x ）＝π x 的图象上任意一点， 则点（－ x ， y ）为 g （ x ）＝π－ x ＝ 的图象上的点.因为点 （ x ， y ）与点（－ x ， y ）关于 y 轴对称，所以函数 f （ x ）＝π x 与 g （ x ）＝ 的图象关于 y 轴对称，故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （多选）已知函数 y ＝ ax ， y ＝ bx （ a ， b ＞0且 a ≠1， b ≠1）的图 象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. a ＞ b ＞1 B. 0＜ a ＜ b ＜1 C. 2 a ＜2 b D. b ＞ a ＞1 解析：　由指数函数图象可知 b ＞ a ＞1， 故A、B错误，D正 确；由 b ＞ a ＞1得2 a ＜2 b ，C正确.故选C、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 全集 U ＝R，集合 A ＝ ，则∁ UA ＝ 　 　. 解析：∵ A ＝ ＝ ，∴∁ UA ＝∁R A ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $