3.2 指数幂的运算性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的运算性质，通过课前自主落实基础公式，课堂分求值、化简、条件求值题型梯度进阶，结合思维建模构建从基础到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是梯度进阶式教学与思维建模结合，通过题型分类训练和技巧总结（如负指数转化、整体代入），培养运算能力和推理意识。例如条件求值中整体代入法，提升学生数学思维，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

§2 指数幂的运算性质　 (教学方式:深化学习课 梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握指数幂的运算性质及应用.　 2.能准确熟练地进行根式、指数式的相互转化. 3.能够熟练地利用性质进行代数式的化简与求值. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: (1)aα·aβ=_______;(2)(aα)β=______;  (3)(ab)α=________. aα+β aαβ aαbα |微|点|助|解| 　 (1)除上述运算性质外,还有如下性质: ①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②=(a>0,b>0,r∈Q). (2)有理数指数幂的几个常见结论: ①当a>0时,ab>0; ②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义; ③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s; ④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:(+)(-)=()2-()2= a-b(a>0,b>0). 基础落实训练 1.下列运算结果中,正确的是(　 ) A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6 √ 解析:a2·a3=a2+3=a5,故A正确;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D错误; 当a=1时无意义,故C错误. 2.计算的结果是(　 ) A.π B. C.-π D. √ 3.若10x=3,10y=4,则1=　　　　.  解析:∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y==. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　利用指数幂的运算性质求值 [例1]　计算下列各式: (1)3π×+(+=________;  18 解析:原式=++1=1π+24+1=18. (2)+22×-×=　　　　 ; 解析:原式=1+4×-×=1+6-×=7-=. (3)=　　 　.   4 608 解析:原式==29×32=4 608. |思|维|建|模| 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质. 针对训练 1.计算下列各式: (1)+2-2×-(0.01)0.5; 解:原式=1+×-=1+-=. (2)+0.1-2+-3π0+; 解:原式=++-3+ =+100+-3+=100. (3)(0.064-++16-0.75+. 解:原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1 =-1+++=. 题型(二)　利用指数幂的运算性质化简 [例2]　化简求值:(a,b>0). 解:原式= ====a-1=. [例3]　化简求值:2(-3)÷(-6·)(x,y>0). 解:原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y. |思|维|建|模| 指数式的化简、求值问题的解题思路 (1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减. (2)仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错. 针对训练 2. 化简(a,b为正数)的结果是(　 ) A. B.ab C. D.a2b √ 解析:原式==·=. 故选C. 3.化简求值:÷ (a>0). 解:原式=[×]÷[×]=a0=1. 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [例4]　已知+=3,求下列各式的值: (1)a+a-1; 解:将+=3两边平方, 得a+a-1+2=9,即a+a-1=7. (2)a2+a-2; 解:将a+a-1=7两边平方, 可得a2+a-2+2=49,∴a2+a-2=47. (3). 解:∵+=()3+()3 =(+)(a-·+a-1) =3(a+a-1-1)=3(7-1)=18, 而a2+a-2=47, ∴原式===3. |思|维|建|模| (1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0): ①a±2+b=(±)2; ②(+)(-)=a-b; ③+=(+)(a-+b); ④-=(-)(a++b). 针对训练 4.已知10m=2,10n=4,则1的值为(　 ) A.2 B. C. D.2 √ 解析:1====. 5.已知a2x=+1,则=(　 ) A.2-1 B.2-2 C.2+1 D.+1 √ 解析:令ax=t,则t2=+1,所以== =t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.若102x=25,则10-x= (　 ) A.- B. C. D. 解析:102x=(10x)2=25,∵10x>0,∴10x=5,10-x==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.设a>0,则下列运算正确的是 (　 ) A.=a B.=0 C.a÷= D.=a 解析:易知A正确;对于选项B,=a0=1,B错误; 对于选项C,a÷=,C错误;对于选项D,==,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.设2a=5b=m,且+=2,则m=(　 ) A. B.10 C.20 D.100 解析:∵2a=m,5b=m,∴2=,5=,∴2×5=·=.又+=2,∴m2=10,∴m=或m=-(舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.(多选)下列式子中,正确的是 (　 ) A.(27a3÷0.3a-1=10a2 B.(-)÷(+)=- C.[(2+3)2(2-3)2=-1 D.= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:对于A,原式=3a÷0.3a-1==10a2,A正确; 对于B,原式==-,B正确; 对于C,原式=[(3+2)2(3-2)2=(3+2)(3-2)=1.这里注意3>2, (a≥0)是正数,C错误; 对于D,原式= = ==,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.若0<a<1,b>0,且ab+a-b=2,则ab-a-b等于(　 ) A. B.2或-2 C.-2 D.2 解析:由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6, 所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得0<ab<1,a-b>1,故ab-a-b<0, 所以ab-a-b=-2.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.,,这三个数的大小关系为　(　 ) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析:===,===,=.因为<<,所以<<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.已知正数a,b满足×=3,则3a+2b的最小值为(　 ) A.10 B.12 C.18 D.24 解析:因为×=×==3,所以+=1.因为a,b为正数,所以3a+2b=(3a+2b)·=12++≥12+2=24,当且仅当=时,即a=4,b=6时,等号成立.所以3a+2b的最小值为24. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=______,(2α)β=________. 解析:利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=.则2α·2β==2-2=,(2α)β=2αβ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)计算:(0.008 1-×-10× =_____________. - 解析:原式=-3×-3=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为________. 4 解析:为所以①×②得a3m=26.所以am=22.将am=22 代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an =(22)4·2-6=22=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)碳14是一种著名的放射性物质,像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称做半衰期.则在连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原有物质的___________. 解析:根据题意可知,一个半衰期里放射性物质衰减为原来的,则连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原来的=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)计算下列各式的值: (1)(a>0);(2分) 解:原式==a0=1. (2);(2分) 解:原式===π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)(-3)(4)÷(-2);(3分) 解:原式=[-3×4÷(-2)]×·=6a0b0=6. (4)(+)(-)(+).(3分) 解:原式=[()2-()2](+) =(-)(+)=(-)(+) =()2-()2=x-y. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)(1)化简:--π0;(3分) 解:原式=(0.064-0.5--1=--1=0. (2)已知x-=1,且x>0,求--的值.(7分) 解:由x-=1,且x>0,可得x2=x+1,则--=-- =(x+)--=x-==1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω, =++,求a,b,c的值. 解:∵ax=70ω,且x,ω为非零实数,∴=7. 同理可得=,=. ∴··=7··7,即=7. 又++=,a,b,c为正整数, ∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $