3.1 指数幂的拓展&3.2 指数幂的运算性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦指数幂的拓展与运算性质核心知识点，从初中整数指数幂出发，通过n次方根、根式建立分数指数幂定义，进而推广到无理数指数幂，系统整合实数指数幂运算性质，构建完整知识支架。 资料以薇甘菊侵害面积实例引入，激发探究欲，体现数学抽象与建模。通过定义辨析、性质推导培养数学运算能力，题型分层设计，课中辅助教师引导，课后助力学生巩固，有效提升核心素养。

§1　指数幂的拓展 §2　指数幂的运算性质 课标 要求 通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0），实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质（数学抽象、数学运算）. 　　薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S（单位：hm2）与年数t（单位：年）满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0（单位：hm2）为侵害面积的初始值.如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·1.05715.5. 【问题】　这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的 　n次方根　，其中n＞1，且n∈N＋ 性质 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为　 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为　± a＜0 x在实数范围内不存在 【想一想】 正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数.当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数. 知识点二　根式 1.定义：式子　　叫作根式，这里n叫作　根指数　，a叫作　被开方数　. 2.性质（n＞1，且n∈N＋）： （1）（）n＝　a　； （2）＝ 提醒：与（）n的区别：①是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制；②（）n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方（都是n次），结果恒等于a. 知识点三　指数幂及其运算性质 1.正分数指数幂 （1）定义：给定正数a和正整数m，n（n＞1，且m，n互素），若存在唯一的正数b，使得　bn＝am　，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂； （2）性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：＝　　；②＝　　. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n（n＞1，且m，n互素），定义＝　　＝　　 . 提醒：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝. 4.指数幂的运算性质 （1）aα·aβ＝　aα＋β　（a＞0，α，β∈R）； （2）（aα）β＝　aαβ　（a＞0，α，β∈R）； （3）（ab）α＝　aαbα　（a＞0，b＞0，α∈R）. 提醒：（1）分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法；（2）正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数；（3）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分；（4）在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）＝3－π.（　×　） （2）的运算结果是±2.（　×　） （3）可以写成.（　√　） （4）[（a3）2·（－b2）3]3＝－a18b18.（　√　） 2.可化为（　　） A. B. C. D. 解析：C　＝＝. 3.化简（x＞0）的结果是（　　） A.x B.x2 C.1 D. 解析：A　原式＝··＝＝x.故选A. 4.若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝　6　，10α－β＝　　，10－3α＝　　. 解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝＝.10－3α＝（10α）－3＝2－3＝. 题型一　根式与分数指数幂的互化 将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）·； 解：·＝·＝. （2） ； 解：原式＝··＝. （3）·； 解：原式＝·＝. （4）（）2·. 解：原式＝（）2··＝. 通性通法 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 1.化简（的结果是（　　） A. B. C.3 D.5 解析：A　原式＝（＝（）－1＝. 2.用分数指数幂表示为（　　） A. B. C. D.a 解析：A　＝＝＝，故选A. 题型二　指数幂的运算 计算下列各式： （1）；（式中字母均是正数） 解：原式＝＝＝＝＝a－1＝. （2）－－（π－3）0＋； 解：原式＝－－1＋2＝2. （3）（×； 解：原式＝［（23× ＝（23×＝23×3＝24. （4）（. 解：原式＝（＝（＝＝＝. 通性通法 指数幂运算的解题通法 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； （4）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算； （5）运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 　计算下列各式（式中的字母都是正实数）： （1）－（－2）0－＋； 解：原式＝－1－＋＝－1－＋＝. （2）2（－3）÷（－6）（x，y＞0）. 解：原式＝[2×（－3）÷（－6）]＝x2y. （3）（2； 解：原式＝（2·＝26·m3＝64m3. （4）a－π. 解：原式＝＝a0＝1. 题型三　条件求值问题 已知＋＝，求下列各式的值： （1）a＋a－1； 解：将＋＝两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. （2）a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， 即a2＋a－2＝7. 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，则a2－a－2＝　±3　. 解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3. 通性通法 解决条件求值问题的一般方法 　　对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下： （1）a±2＋b＝； （2）a－b＝； （3）＋＝； （4）－＝（其中a＞0，b＞0）. 1.已知＋＝4，则＝（　　） A.2 B.4 C.14 D.16 解析：C　因为＋＝4，所以（＋）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以＝＝a＋a－1＝14，故选C. 2.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则＝　　. 解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴∵a＞b＞0，∴＞.∵＝＝＝＝，∴＝＝. 1.下列运算结果中，正确的是（　　） A.a2a3＝a5 B.（－a2）3＝（－a3）2 C.（－1）0＝1 D.（－a2）3＝a6 解析：A　a2a3＝a2＋3＝a5；（－a2）3＝－a6≠＝a6；（－1）0＝1若成立，需要满足a≠1.故选A. 2.化简[的结果为（　　） A.5 B. C.－ D.－5 解析：B　[＝（＝＝. 3.已知＋＝5（x＞0），那么＋＝（　　） A. B.－ C.± D.7 解析：A　（＋）2＝＋＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故＋＝. 4.化简 ·· （m＞0）＝　1　. 解析：原式＝··＝＝m0＝1. 5.计算：0.25×－4÷20－＝　－4　. 解析：原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4. 1.下列运算中正确的是（　　） A.＝ B.（－a2）5＝（－a5）2 C.（－2）0＝1 D.（－）5＝－ 解析：D　＝，故A错误；（－a2）5＝－a2×5＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（－2）0无意义，故C错误；（）5＝，故D正确. 2.2＋1－－＝（　　） A.3 B.6 C. D.15 解析：A　原式＝（33＋（42－（2－1）－2－＝9＋4－1－4－＝9＋－4－＝9－6＝3. 3.化简 ÷（a＞0）＝（　　） A. B. C.1 D. 解析：D　原式＝÷＝＝.故选D. 4.计算（2a－3）·（－3a－1b）÷（4a－4）得（　　） A.－b2 B.b2 C.－ D. 解析：A　原式＝＝－b2. 5.设－＝m，则＝（　　） A.m2－2 B.2－m2 C.m2＋2 D.m2 解析：C　将－＝m两边平方，得＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2. 6.〔多选〕下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A.－＝（－x（x＞0） B.＝（y＞0） C.＝（x＞0，y＞0） D.＝－（x＞0） 解析：BC　对于A，－＝－（x＞0），故错误；对于B，＝（y＞0），故正确；对于C，＝（x＞0，y＞0），故正确；对于D，＝（x＞0），故错误.故选B、C. 7.化简＝　1　. 解析：原式＝＝＝＝1. 8.设a2＝b4＝m（a＞0，b＞0），且a＋b＝6，则m＝　16　. 解析：因为a2＝b4＝m（a＞0，b＞0），所以a＝b2.由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3（舍去），所以m＝24＝16. 9.已知x－＝1，其中x＞0，则－－＝　1　. 解析：由x－＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝－－＝x＋－－＝x－＝＝1. 10.化简下列各式（式中的字母都是正实数）： （1）； （2）÷； （3）（＋）. 解：（1）＝＝m2n－3＝. （2）原式＝[－3×4÷（－2）]·＝6a0b0＝6. （3）原式＝（＋）＝（＋）＝（－）（＋）＝（）2－（）2＝x－y. 11.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（　　） A. B.10 C.20 D.100 解析：A　由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝. 12.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项中正确的有（　　） A.a2＋a－2＝7 B.a3＋a－3＝16 C.＋＝± D.＋＝2 解析：AD　∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝（a＋a－1）2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a－3＝（a＋a－1）·（a2＋a－2－1）＝3×（7－1）＝18，因此B不正确；∵（＋）2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a＞0，∴＋＝，因此C不正确；∵a＋＝（a＋a－1－1）（＋）＝2，因此D正确.故选A、D. 13.如果45x＝3，45y＝5，那么2x＋y＝　1　. 解析：由45x＝3，得（45x）2＝9.即452x＝9，又45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，∴2x＋y＝1. 14.（1）已知a2x＝3，求的值； （2）已知a是128的七次方根.求下列各式的值： ①＋＋＋； ②＋. 解：（1）＝＝＝±＝±＝±. （2）因为a是128的七次方根，所以a＝＝＝2. ①＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝＋＝＝－. ②原式＝＋＝＋＝＋a－a－1＝a＋a－1＋a－a－1＝2a＝4. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $