3.5 一元一次不等式组16大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，从定义入手，通过解集确定（数轴法、口诀法）、解法步骤，到整数解筛选、实际应用建模，构建由概念到应用的学习支架，衔接不等式解法与实际问题解决。 该资料以“即学即练+分层题型”为特色，通过数轴数形结合培养几何直观（数学眼光），实际应用题强化模型意识（数学语言），不同难度练习助力课中教学与课后查漏，提升推理能力与应用意识。

第三章 一元一次不等式 3.5 一元一次不等式组 课标要点 1. 理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握不等式组的定义与组成形式，能准确辨别不等式组类型。 2. 熟练掌握一元一次不等式组的求解步骤，能够独立解出不等式组，并会借助数轴确定公共解集。 3. 掌握利用数轴数形结合确定不等式组解集的方法，能区分无解、唯一区间等不同解集情况。 4. 能结合简单实际问题列出一元一次不等式组，通过求解分析问题，初步掌握建模解题方法。 5. 通过不等式组的学习与运算，提升代数推理、数形结合能力，培养严谨的数学思维素养。 学习重难点 重点： 1. 掌握一元一次不等式组的解法，会准确求解每个不等式并找公共解集。 2. 熟练运用数轴表示不等式组解集，准确判断各类解集取值范围。 3. 能根据实际题意列出不等式组，求解并选取符合条件的有效解。 难点： 1. 准确判断不等式组无解、有解的情况，掌握解集取值规律。 2. 熟练利用数轴比对解集，精准找出多个不等式的公共取值范围。 3. 结合实际限制条件，准确筛选不等式组的整数解与最优取值。 知识点一 一元一次不等式组的定义 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 特别提醒 由两个或两个以上含有同一个未知数的一元一次不等式组成的整体，叫做一元一次不等式组。需注意所有不等式必须共用同一个未知数，且每个不等式都符合一元一次的定义。单独多个不同未知数的不等式不能组成不等式组。不等式组的解集是所有不等式解集的公共部分，若无公共部分，则该不等式组无解，做题需严格区分单个不等式与不等式组的概念。 即学即练 1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二 不等式组的解集 1.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 2.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 即学即练 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点三 解不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 2.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 3.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 4.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 即学即练 5．解不等式组： 6．解不等式组． 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 特别提醒 一元一次不等式组整数解易错点：求解后容易漏找、多找区间内整数，混淆空心、实心端点，错误取舍边界整数。常忽略正整数、非负整数等限定条件，直接取值。部分学生不会结合解集范围精准筛选，容易出现少解、错解的情况。 即学即练 7．不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 知识点五 一元一次不等式组的实际应用 【解题核心步骤】审题找出题目中两个及以上不等关系，抓取至多、至少、不低于、不超过等关键量词，设未知数列一元一次不等式组，求解后结合实际情况取舍解集。 【核心解题原则】不等式组解集为公共取值范围，实际问题中数值多为正整数，如人数、物品数量、件数等，需在解集内筛选合规整数解。 【常见应用题型】主要包含方案选择、分配问题、最值问题、物资调配等，通过比较不同整数解，选出最优、最省钱或最合理的方案。 【高频易错点】易遗漏题目隐藏限制条件，忽略整数要求，或错判不等符号；同时需区分不等式组无解、唯一解、多组解的实际应用场景，避免答题失误。 特别提醒 解决一元一次不等式组实际应用题，首先要找准题目中两组及以上不等关系，准确翻译“至少、至多、不低于”等关键词，避免符号写错。解题需先正确求解不等式组解集，再结合实际情境筛选答案。人数、商品数量、天数等实际量必须为正整数，不可直接取用解集小数。同时注意隐藏限制条件，合理取舍边界值，根据题意选择最优方案，杜绝脱离实际的取值错误。 即学即练 9．学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买乙种图书的数量是甲种图书数量的2倍． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过650元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 10．今年夏天，某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学，已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，某单位应如何安排甲型，乙型货车使运费最少？最少运费是多少？ 题型01 一元一次不等式组的定义 典｜例｜精｜析 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 2．下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 求不等式组的解集 解题贴士 求不等式组解集的常见易错点：不会准确寻找多个不等式解集的公共部分，容易扩大或缩小取值范围。数轴判断时混淆端点虚实与延伸方向，边界取舍出错。常忽略无解的情况，变形时负数漏变号，导致单个解集出错，最终整体解集完全错误。 典｜例｜精｜析 5．不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 7．解不等式组，将解集在数轴上表示出来． 8．解不等式组： 题型03 解特殊不等式组 典｜例｜精｜析 9．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 10．阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 11．已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 12．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 题型04 解一元一次不等式组的整数解 解题贴士 解一元一次不等式组整数解的易错点：求取公共解集后，容易误取或漏取区间内整数，混淆空心、实心端点，错误取舍边界数值。常忽视题目正整数、非负整数等限定条件，盲目取值。部分同学不会结合实际情境筛除无效整数，出现多解、漏解、错解问题。 典｜例｜精｜析 13．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 变｜式｜巩｜固 14．利用数轴解不等式组：，并求它的最小整数解． ， 15．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 16．解不等式组，并直接写出它的正整数解． 题型05 由一元一次不等式组的解集求参数 解题贴士 由一元一次不等式组解集求参数的易错点：不会根据解集反向推导参数范围，忽视系数正负需分类讨论。极易混淆端点能否取等号，出现边界取舍错误。遇到整数解、无解、有解类题型，常遗漏参数隐藏限制条件，导致参数范围偏大或偏小，出现漏解错解。 典｜例｜精｜析 17．如果不等式组的解集为，则a的取值范围为__________． 变｜式｜巩｜固 18．若不等式组有解，则的取值范围是__________． 19．若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 20．已知关于的不等式组的解集是，则的值为___________． 题型06 求不等式组解集的情况（整数解个数）求参数 典｜例｜精｜析 21．一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 22．若关于x的不等式组的正整数解只有4，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．若关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 24．如果不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型07 求不等式组解集的情况（整数解的和）求参数 典｜例｜精｜析 25．若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A．25 B．26 C．27 D．28 变｜式｜巩｜固 26．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____． 27．已知a为整数，关于x的方程有整数解，关于y的不等式组至少有6个整数解，则符合条件的a的和为______． 28．若关于x的不等式组有整数解且最多有3个整数解，且关于m、n的方程的解均为整数，则所有满足条件的整数a的和为______． 题型08 不等式组和方程组相结合的问题 解题贴士 不等式组与方程组结合题型易错点：解方程组求含参解时计算失误，不能准确根据解的取值要求列出不等式组。容易混淆等量关系和不等关系，写错式子。忽略解为整数、正数等隐含条件，端点取值判断失误，遗漏分类讨论，最终造成参数范围出错。 典｜例｜精｜析 29．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 变｜式｜巩｜固 30．若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 31．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 32．阅读理解： 解答“已知， 且，试确定的取值范围”有如下解法∶ ， 又， ， 又， ． ① 同理得：．② 由①②得， 的取值范围是． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知， 且， 则的取值范围是 ； (2)已知关于的方程组的解都为正数． ①求的取值范围； ②已知，求的取值范围． 题型09 列一元一次不等式组 典｜例｜精｜析 33．实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 变｜式｜巩｜固 34．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 35．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 36．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 题型10 不等式组的行程问题 典｜例｜精｜析 37．某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 变｜式｜巩｜固 38．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 39．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 40．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型11 不等式组的工程问题 典｜例｜精｜析 41．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 变｜式｜巩｜固 42．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 43．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 44．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 题型12 不等式组的经济问题 典｜例｜精｜析 45．如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 46．某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 47．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 48．2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 题型13 不等式组的分配问题 典｜例｜精｜析 49．一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________． 变｜式｜巩｜固 50．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 51．为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 52．综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 题型14 不等式组的方案选择问题 典｜例｜精｜析 53．请你根据下列素材，完成有关任务. 背景 某班班委会决定组织同学到体育用品专卖店统一购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型运动跑鞋的总费用不超过6012元． 请完成下列任务： (1)任务一：A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)任务二：若购买了m双A型运动跑鞋，用含m的代数式表示总费用； (3)任务三：有哪几种购买方案？ 变｜式｜巩｜固 54．端午节期间，某商店决定采购A，B两种型号的纪念品进行销售，若购买A 型纪念品8件，B型纪念品3件，则需95元；若购买A型纪念品5件，B型纪念品6件，则需80元． (1)A，B两种型号的纪念品每件的进价分别是多少元? (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件(两种纪念品都要买)，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，那么该商店共有多少种进货方案? (3)若商家决定A型纪念品售价定为元/件，B型纪念品售价定为元/件，其中，则当a为何值时，上面（2）中的所有方案获利均相同． 55．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板161张，长方形纸板340张供选用，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒个． ①根据题意，完成表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 56．根据以下素材，探索完成任务： 制定某汽车销售公司的购买方案 背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，减少了二氧化碳气体的排放．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售． 素材1 据了解，购进2辆A型号新能源汽车、5辆B型号新能源汽车共需125万元，购进1辆A型号新能源汽车、6辆B型号新能源汽车共需115万元． 素材2 该汽车销售公司计划购进A、B两种型号的新能源汽车共10辆，且费用不少于170万元，不超过180万元． 素材3 该汽车销售公司计划每辆A型号新能源汽车在进价的基础上提高0.8万元销售，每辆B型号新能源汽车在进价的基础上提高销售． 问题解决 (1)任务1：A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)任务2：帮助该公司求出所有购买方案． (3)任务3：若任务2中所有购买方案的车都能全部卖出，采用哪种购买方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 题型15 一元一次不等式组的其他应用 典｜例｜精｜析 57．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （I）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的值可以是_________（写出一个满足条件的即可）； （II）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是_________． 变｜式｜巩｜固 58．为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． (1)求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ (2)702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ (3)由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 59．某市在创建全国文明城市过程中，需要购买A，B两种树苗进行种植．已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，需要800元． (1)购买A，B两种树苗每棵分别需要多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，用于购买这两种树苗的资金不能少于7600元且不能超过7650元．若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好1棵A种树苗可获得工钱30元，种好1棵B种树苗可获得工钱20元，在第（2）问的购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所支付的工钱最少？最少工钱是多少元？ 60．综合与实践． 【问题背景】荣昌某保洁公司为提高清洁广场效率，引进A，B两种型号机器人（如图）清洁广场．公司调研A，B两种型号机器人工作效率及价格如下表所示 机器人型号 每台机器人每分钟清洁面积（） 每台机器人价格（万元） A 20 8 B 8 3 (1)【现实问题】该公司目前有A型机器人1台，B型机器人2台，现承担的清洁广场面积是．利用这3台清洁机器人，最快多长时间能够将该广场清洁一遍？ (2)【问题解决】该公司拟与市政部门合作，承接城区某的公共广场的清洁任务，要求每半小时对这个公共广场清洁一遍，于是公司将原有的3台机器人调整过来工作，同时计划新投入30万元增购这两种型号机器人，要求A型机器人至少增购2台．你认为该公司有几种增购方案？请写出解答过程及具体的增购方案． (3)【拓展应用】从节约资金方面考虑，请你解答：在（2）的条件下，选用哪种增购方案投入资金最少？ 题型16 一元一次不等式组的新定义问题 典｜例｜精｜析 61．对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 变｜式｜巩｜固 62．对于任意有理数a，b，我们定义一种新的运算“”，即，例如． 请根据以上定义，解答下列问题： (1)______； (2)已知关于x的不等式，求x的取值范围； (3)已知x，y满足，若，且，求的取值范围． 63．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 64．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 基础通关 1．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 2．不等式组的所有整数解的和为（     ） A． B． C． D． 3．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集为__________． 6．不等式组的解集是________． 7．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 8．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 9．解不等式组：，并把解集表示在数轴上； 10．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 素养提升 11．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 12．如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 13．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 16．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 17．若不等式组无解，则实数的取值范围是________． 18．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为___________． 19．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 20．某篮球训练营开业抽奖活动，店家计划从商场购进篮球挂件和运动水壶共50个，用于赠送给新报名的学员．已知购买2个篮球挂件和3个运动水壶共需79元，购买5个篮球挂件和7个运动水壶共需190元． (1)求篮球挂件和运动水壶的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进篮球挂件个，购进运动水壶的数量不超过篮球挂件的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有哪几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个运动水壶； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进篮球挂件最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 迁移创新 21．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 22．若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 23．已知，，为有理数，且多项式能够被整除． （1）_______； （2）若，，为整数，且，则_______． 24．已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 25．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.5 一元一次不等式组 课标要点 1. 理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握不等式组的定义与组成形式，能准确辨别不等式组类型。 2. 熟练掌握一元一次不等式组的求解步骤，能够独立解出不等式组，并会借助数轴确定公共解集。 3. 掌握利用数轴数形结合确定不等式组解集的方法，能区分无解、唯一区间等不同解集情况。 4. 能结合简单实际问题列出一元一次不等式组，通过求解分析问题，初步掌握建模解题方法。 5. 通过不等式组的学习与运算，提升代数推理、数形结合能力，培养严谨的数学思维素养。 学习重难点 重点： 1. 掌握一元一次不等式组的解法，会准确求解每个不等式并找公共解集。 2. 熟练运用数轴表示不等式组解集，准确判断各类解集取值范围。 3. 能根据实际题意列出不等式组，求解并选取符合条件的有效解。 难点： 1. 准确判断不等式组无解、有解的情况，掌握解集取值规律。 2. 熟练利用数轴比对解集，精准找出多个不等式的公共取值范围。 3. 结合实际限制条件，准确筛选不等式组的整数解与最优取值。 知识点一 一元一次不等式组的定义 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 特别提醒 由两个或两个以上含有同一个未知数的一元一次不等式组成的整体，叫做一元一次不等式组。需注意所有不等式必须共用同一个未知数，且每个不等式都符合一元一次的定义。单独多个不同未知数的不等式不能组成不等式组。不等式组的解集是所有不等式解集的公共部分，若无公共部分，则该不等式组无解，做题需严格区分单个不等式与不等式组的概念。 即学即练 1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 2．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 知识点二 不等式组的解集 1.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 2.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 即学即练 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，对照选择支得出答案． 【详解】解： 解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：． 在数轴上表示对应着． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴这个不等式组的解集为； 在数轴上表示为： 知识点三 解不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 2.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 3.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 4.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 即学即练 5．解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 6．解不等式组． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到原不等式组的解集． 【详解】 解： ， 解不等式①， 得； 解不等式②， 得； 所以原不等式组的解集为． 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 特别提醒 一元一次不等式组整数解易错点：求解后容易漏找、多找区间内整数，混淆空心、实心端点，错误取舍边界整数。常忽略正整数、非负整数等限定条件，直接取值。部分学生不会结合解集范围精准筛选，容易出现少解、错解的情况。 即学即练 7．不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集内的整数，统计整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵为整数， ∴的整数解为0，1，2，共3个． 8．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组有且只有五个整数解，得出，最后解出k的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式，得：， ∵不等式组有且只有5个整数解， 即， ∴， 解得． 知识点五 一元一次不等式组的实际应用 【解题核心步骤】审题找出题目中两个及以上不等关系，抓取至多、至少、不低于、不超过等关键量词，设未知数列一元一次不等式组，求解后结合实际情况取舍解集。 【核心解题原则】不等式组解集为公共取值范围，实际问题中数值多为正整数，如人数、物品数量、件数等，需在解集内筛选合规整数解。 【常见应用题型】主要包含方案选择、分配问题、最值问题、物资调配等，通过比较不同整数解，选出最优、最省钱或最合理的方案。 【高频易错点】易遗漏题目隐藏限制条件，忽略整数要求，或错判不等符号；同时需区分不等式组无解、唯一解、多组解的实际应用场景，避免答题失误。 特别提醒 解决一元一次不等式组实际应用题，首先要找准题目中两组及以上不等关系，准确翻译“至少、至多、不低于”等关键词，避免符号写错。解题需先正确求解不等式组解集，再结合实际情境筛选答案。人数、商品数量、天数等实际量必须为正整数，不可直接取用解集小数。同时注意隐藏限制条件，合理取舍边界值，根据题意选择最优方案，杜绝脱离实际的取值错误。 即学即练 9．学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买乙种图书的数量是甲种图书数量的2倍． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过650元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书每本为20元，乙种图书每本为10元 (2)共有6种购买方案 【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用等知识，正确列出方程和不等式组是关键． （1）设乙种图书每本为元，则甲种图书每本为元．用600元单独购买乙种图书的数量是甲图书数量的2倍．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本．投入的经费不超过650元， 购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，据此列出不等式组并解不等式组即可． 【详解】（1）解：设乙种图书每本为元，则甲种图书每本为元． 由题意得， 解得：， 经检验，是此方程的解，且符合题意． ∴（元）， 答：甲种图书每本为20元，乙种图书每本为10元． （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． 由题意得， 解得：， ∵为整数， ∴，21，22，23，24，25， ∴共有6种购买方案． 10．今年夏天，某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学，已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，某单位应如何安排甲型，乙型货车使运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)饮用水和蔬菜分别为200件和120件； (2)应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元 【分析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有件，根据题意列方程求解即可； （2）设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆，根据题意列不等式组，求出整数解得到不同方案，再计算不同方案所需的运费，比较后确定方案即可． 【详解】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有件． 由题意，得， 解得． ∴． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）解：设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆． 由题意，得， 解得． ∵m为正整数， ∴或3或4， ∴安排甲、乙两种型号货车时有3种方案，分别为： ①甲型货车2辆，乙型货车6辆； ②甲型货车3辆，乙型货车5辆； ③甲型货车4辆，乙型货车4辆； 3种方案的运费分别为： ①（元）； ②（元）； ③（元）； ∵， ∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． 题型01 一元一次不等式组的定义 典｜例｜精｜析 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 2．下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 4．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 题型02 求不等式组的解集 解题贴士 求不等式组解集的常见易错点：不会准确寻找多个不等式解集的公共部分，容易扩大或缩小取值范围。数轴判断时混淆端点虚实与延伸方向，边界取舍出错。常忽略无解的情况，变形时负数漏变号，导致单个解集出错，最终整体解集完全错误。 典｜例｜精｜析 5．不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别计算两个不等式的解集，再取它们的公共解集即可． 【详解】解：解不等式，移项得． 解不等式，移项得， 系数化为得， 不等式组的解集为． 变｜式｜巩｜固 6．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示如下： 【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共解集即可得出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下：略 7．解不等式组，将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示该解集为： 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为． 8．解不等式组： 【答案】 【详解】解： 由①可得； 由②可得； 不等式组的解集为． 题型03 解特殊不等式组 典｜例｜精｜析 9．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 变｜式｜巩｜固 10．阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解： 由得： 解得： 将代入得： ∴方程组的解为： ∵方程组的解都为正数 ∴ 解得： （2）解：∵，且 ∴， ∵ ∴ ∵，且 ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键． 11．已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3）． 【分析】（1）将代入中，即可求出m的值． （2）由可得，代入中，即可得到y关于x的表达式． （3）由题意列不等式组，可求出m的取值范围，再根据（1），即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题可知：， ． （2）∵， ∴，代入中． ∴． （3）由题可知， 解得：． 由（1）知， ∴，即． 【点睛】本题考查代数式求值以及求解不等式组．掌握代数式求值和不等式组的解法是解答本题的关键． 12．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 【答案】 【分析】将待解不等式组变形为与已知不等式组结构一致的形式，对照已知解集求解即可； 【详解】解：对不等式组变形，同时加上得， 整理得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 题型04 解一元一次不等式组的整数解 解题贴士 解一元一次不等式组整数解的易错点：求取公共解集后，容易误取或漏取区间内整数，混淆空心、实心端点，错误取舍边界数值。常忽视题目正整数、非负整数等限定条件，盲目取值。部分同学不会结合实际情境筛除无效整数，出现多解、漏解、错解问题。 典｜例｜精｜析 13．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 整数解为，0，1，2． 变｜式｜巩｜固 14．利用数轴解不等式组：，并求它的最小整数解． 【答案】数轴如下： ， 原不等式组的解集为， 最小整数解为 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示略： ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 15．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，在数轴上表示为： 非负整数解为 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 数轴略； 非负整数解为． 16．解不等式组，并直接写出它的正整数解． 【答案】 ，正整数解为，， 【详解】解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴正整数解为：1、2、3． 题型05 由一元一次不等式组的解集求参数 解题贴士 由一元一次不等式组解集求参数的易错点：不会根据解集反向推导参数范围，忽视系数正负需分类讨论。极易混淆端点能否取等号，出现边界取舍错误。遇到整数解、无解、有解类题型，常遗漏参数隐藏限制条件，导致参数范围偏大或偏小，出现漏解错解。 典｜例｜精｜析 17．如果不等式组的解集为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则，得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 变｜式｜巩｜固 18．若不等式组有解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组有解说明两个解集存在公共部分，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解不等式组 解，移项得，即 解，移项得，合并同类项得，即 不等式组有解 两个解集存在公共部分，可得 解得． 19．若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组无解 ∴，解得． 20．已知关于的不等式组的解集是，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵该不等式组的解集为， ， 解得， ∴． 题型06 求不等式组解集的情况（整数解个数）求参数 典｜例｜精｜析 21．一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组的整数解个数，确定解集左端点的取值范围是解题关键. 【详解】解：解不等式，得. 解不等式，得； ∴ 不等式组的解集为； ∵ 不等式组有且仅有两个整数解，且， ∴ 两个整数解为和； ∵ 不是该不等式组的整数解， ∴ ； ∵ 是该不等式组的整数解， ∴ ， ∴ ； 解得； 变｜式｜巩｜固 22．若关于x的不等式组的正整数解只有4，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解出不等式组的两个不等式，找到公共部分即可得不等式组的解，再根据不等式组的正整数解只有4，即可得，解出即可得a的取值范围. 【详解】解： 解得：， 解得： ， ∴不等式组的解集为：. ∵不等式组的正整数解只有4， ∴，解得：. ∴a的取值范围是. 23．若关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先正确求解不等式组得到解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵原不等式组有整数解，即原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式组只有2个整数解， ∴原不等式组的整数解为0，1， ∴． 24．如果不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组只有两个整数解，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组只有两个整数解， ∴不等式组的两个整数解为， ∴． 题型07 求不等式组解集的情况（整数解的和）求参数 典｜例｜精｜析 25．若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰好只有2个整数解确定a的取值范围，找出范围内所有整数a，计算其和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好只有2个整数解， ∴这2个整数解为，， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为、、、，整数的和为． 变｜式｜巩｜固 26．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 27．已知a为整数，关于x的方程有整数解，关于y的不等式组至少有6个整数解，则符合条件的a的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，根据题意，得出关于a的不等式，再结合方程有整数解，求出a的整数值，并将它们相加即可． 【详解】解：由题知，由不等式组得， ， 因为此不等式组至少有6个整数解， 所以 解方程得， 因为此方程有整数解，且a为整数， 所以或， 所以符合条件的a的和为： 故答案为：． 28．若关于x的不等式组有整数解且最多有3个整数解，且关于m、n的方程的解均为整数，则所有满足条件的整数a的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组最多有3个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出n的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组最多有3个整数解， ， 解得， ， 得，，即， ∵方程组的解均为整数，a为整数， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 题型08 不等式组和方程组相结合的问题 解题贴士 不等式组与方程组结合题型易错点：解方程组求含参解时计算失误，不能准确根据解的取值要求列出不等式组。容易混淆等量关系和不等关系，写错式子。忽略解为整数、正数等隐含条件，端点取值判断失误，遗漏分类讨论，最终造成参数范围出错。 典｜例｜精｜析 29．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用含的代数式表示出方程组的解，然后将其代入二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）将原方程组的解代入不等式并求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得，解得， 将代入②，得， 即方程组的解为， 将代入，可得， 解得； （2）解：由（1）可知关于x、y的方程组的解为， 将其代入，得， 解得． 变｜式｜巩｜固 30．若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，代入不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解： ， 得， 由条件得 解得． 31．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【答案】(1) (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解集，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出临界点，再分情况作答即可． 【详解】（1）解：， ：， ：，得， 把代入②：， 可得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：当时，；当时，； 当时，原式； 当时，原式． 32．阅读理解： 解答“已知， 且，试确定的取值范围”有如下解法∶ ， 又， ， 又， ． ① 同理得：．② 由①②得， 的取值范围是． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知， 且， 则的取值范围是 ； (2)已知关于的方程组的解都为正数． ①求的取值范围； ②已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）按照阅读材料中的方法求解即可； （2）①先由加减消元法解关于的方程组，再由题意列不等式组求解即可；②由①中求出的的取值范围及阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 又， ． ① 同理得：．② 由①②得， 的取值范围是； （2）①解：， 得， ②③得，解得； 将代入①得，解得； 方程组的解为， 关于的方程组 的解都为正数， ，解得； ②解：，， ，则， 则的取值范围是． 题型09 列一元一次不等式组 典｜例｜精｜析 33．实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 【答案】 【分析】每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，列出不等式组即可． 【详解】解：设宿舍有x间，寄宿学生的人数为人， 由题意可得． 变｜式｜巩｜固 34．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总工艺品数量得到B型工艺品数量，再分别计算两种原料的总用量，根据总用量不超过剩余原料量列出不等式组即可. 【详解】∵ 制作个A型工艺品，一共制作100个工艺品， ∴ B型工艺品的数量为个. ∵ 制作个A型需甲原料千克，制作个B型需甲原料千克， 甲原料总用量不能超过剩余的29千克， ∴ . ∵ 制作个A型需乙原料千克，制作个B型需乙原料千克， 乙原料总用量不能超过剩余的千克， ∴ . 综上，可得不等式组：． 35．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 36．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 题型10 不等式组的行程问题 典｜例｜精｜析 37．某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据给定的地铁收费标准，先确定6元对应的最大乘坐里程，再计算7元对应的最大乘坐里程，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得，6元最多可乘坐，花费7元比6元多1元，可额外再乘坐， 因此7元最多可乘坐的里程为 ， 因此的取值范围是． 变｜式｜巩｜固 38．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 39．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 40．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型11 不等式组的工程问题 典｜例｜精｜析 41．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 变｜式｜巩｜固 42．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 43．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 44．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 题型12 不等式组的经济问题 典｜例｜精｜析 45．如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 【答案】(1)①，；②元； (2)店长的说法是对的，理由是： 设八年级学生总数为人， 则， 解得， 检验当时，， ∴是分式方程的解； ， 解得， ∴不符合题意； ∴店长的说法是对的 【分析】（1）①根据人数和钱数列式即可；②利用分式的减法进行解答即可； （2）设八年级学生总数为人，根据题意列方程并解方程得到，再列不等式组求出，则不符合题意，即可得到结论． 【详解】（1）解：若小明所在学校八年级的学生总数是a人， ①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元； ②根据题意可得，， 即一支铅笔的零售价比批发价多元； （2）略 变｜式｜巩｜固 46．某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． (2)共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买了件B款蒙古袍，分别根据蒙古袍的数量和销售所获总利润列出不等式组，求解出范围后得到不同的进货方案． 【详解】（1）解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意可列二元一次方程组， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． （2）解：设买了件B款蒙古袍，则买了件A款蒙古袍， 由题意可列不等式组， 解得，且为正整数，故或或，对应的或或， 答：共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 47．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 48．2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】(1)甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； (2)9 (3)①；②共4种方案 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【详解】（1）解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； （2）解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； （3）解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 题型13 不等式组的分配问题 典｜例｜精｜析 49．一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________． 【答案】 【分析】设小朋友的人数为，先得到书本总数，再根据最后一个分到书的小朋友分得书本数的范围列出不等式组，求解后结合是奇数的条件得到最终结果．本题主要考查列一元一次不等式组解应用题，正确地列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：设小朋友的人数为，为正整数，则书本的总数量为本． 根据题意得 ， 化简得， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 又∵小朋友人数是奇数，因此． 变｜式｜巩｜固 50．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 【答案】D 【分析】设有名同学，本图书，根据题意列出方程和不等式组，利用人数和图书数为正整数确定人数，再计算图书总数即可． 【详解】解：设有本图书，名同学，根据题意得 ，， 将代入不等式组，得 化简得 解不等式，得 解不等式，得 ∴ ∵ 为正整数， ∴ 将代入，得 ， 即这些图书有26本． 51．为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 【答案】(1)智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元 (2)最多可以采购23台智能学习平板 【分析】（1）设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元，根据表格数据建立方程组，解方程组即可； （2）设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机，根据题意建立不等式组，解不等式组，结合为正整数解答即可． 【详解】（1）解：设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元． （2）解：设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为23， 答：最多可以采购23台智能学习平板． 52．综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为，牛奶为 (3)共有三种选择方案：选择A套餐2天，B套餐3天；或A套餐3天，B套餐2天；或A套餐4天，B套餐1天 【分析】（1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为，牛奶为； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． 题型14 不等式组的方案选择问题 典｜例｜精｜析 53．请你根据下列素材，完成有关任务. 背景 某班班委会决定组织同学到体育用品专卖店统一购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型运动跑鞋的总费用不超过6012元． 请完成下列任务： (1)任务一：A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)任务二：若购买了m双A型运动跑鞋，用含m的代数式表示总费用； (3)任务三：有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元 (2)总费用为元 (3)有四种方案，方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双；方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双；方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双 【分析】（1）设A型、B型运动跑鞋的单价分别是元、元，根据素材一和素材二建立方程组，解方程组即可； （2）先求出和的取值范围，再根据素材四列式计算即可； （3）求出的取值范围，结合为整数得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：设A型、B型运动跑鞋的单价分别是元、元， 由题意得：， 解得， 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元． （2）解：若购买了双A型运动跑鞋，则购买了双B型运动跑鞋， 由素材三得：， 解得， ∴， 由素材四得：购买A型运动跑鞋的费用为（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为（元）， ∴总费用为（元）， 答：总费用为元． （3）解：由题意得：， 解得， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴所有可能的取值为，，，， 当时，；当时，；当时，；当时，， 答：有四种方案，方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双；方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双；方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双． 变｜式｜巩｜固 54．端午节期间，某商店决定采购A，B两种型号的纪念品进行销售，若购买A 型纪念品8件，B型纪念品3件，则需95元；若购买A型纪念品5件，B型纪念品6件，则需80元． (1)A，B两种型号的纪念品每件的进价分别是多少元? (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件(两种纪念品都要买)，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，那么该商店共有多少种进货方案? (3)若商家决定A型纪念品售价定为元/件，B型纪念品售价定为元/件，其中，则当a为何值时，上面（2）中的所有方案获利均相同． 【答案】(1)A型纪念品每件进价10元，B型纪念品每件进价5元 (2)该商店共有4种进货方案 (3)当时，（2）中的所有方案获利均相同 【分析】（1）根据两次购买的数量与总费用，列二元一次方程组求解进价； （2）根据资金范围列一元一次不等式组，结合正整数条件确定方案数； （3）表示总利润的表达式，令其与A型进货量无关，求解a的值． 【详解】（1）解：设A型纪念品每件进价为元，B型纪念品每件进价为元． 根据题意，得， 解得； 答：A型纪念品每件进价10元，B型纪念品每件进价5元； （2）解：设购进A型纪念品件，则购进B型纪念品件，为正整数． 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴可取50，51，52，53，共4种进货方案． 答：该商店共有4种进货方案； （3）解：设总利润为元， 每件A型纪念品的利润为（元）， 每件B型纪念品的利润为（元）， 则， 整理得， ∵所有方案获利均相同，即的值与无关 ， ∴， 解得， 答：当时，（2）中的所有方案获利均相同． 55．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板161张，长方形纸板340张供选用，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒个． ①根据题意，完成表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)① 纸盒纸板 竖式纸盒 （个） 横式纸盒 （个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个 (2)方案①销售利润最大，最大利润是261元 【分析】（1）①观察图形得到一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板，所以竖式纸盒需要的正方形纸板数是其本身的一倍，横式纸盒需要的长方形纸板数是其本身的三倍，根据这个标准便可填空．②将填表结果与题干信息结合，列出不等式，求出x的具体范围，再结合x所含有的实际意义进行取值，根据取值结果的不同便有不同种的生产方案． （2）根据②的结果分别计算每一个方案的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：①∵一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板， ∴x个竖式纸盒需x个正方形纸板，个横式纸盒需个长方形纸板． ②由题意有，解得， ∵x为正整数， ∴或， ∴有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个． （2）解：方案①利润为：（元）， 方案②利润为：（元）， ∵， ∴方案①销售利润最大，最大利润是261元． 56．根据以下素材，探索完成任务： 制定某汽车销售公司的购买方案 背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，减少了二氧化碳气体的排放．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售． 素材1 据了解，购进2辆A型号新能源汽车、5辆B型号新能源汽车共需125万元，购进1辆A型号新能源汽车、6辆B型号新能源汽车共需115万元． 素材2 该汽车销售公司计划购进A、B两种型号的新能源汽车共10辆，且费用不少于170万元，不超过180万元． 素材3 该汽车销售公司计划每辆A型号新能源汽车在进价的基础上提高0.8万元销售，每辆B型号新能源汽车在进价的基础上提高销售． 问题解决 (1)任务1：A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)任务2：帮助该公司求出所有购买方案． (3)任务3：若任务2中所有购买方案的车都能全部卖出，采用哪种购买方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型号新能源汽车每辆进价为25万元，B型号新能源汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购进A型号新能源汽车2辆，购进B型号新能源汽车8辆；方案二：购进A型号新能源汽车3辆，购进B型号新能源汽车7辆 (3)采用购车方案二能获得最大利润，最大利润为6.6万元 【分析】（1）设A型号新能源汽车每辆进价为万元，B型号新能源汽车每辆进价为万元，根据素材1列出方程组，求解即可； （2）设购进A型号新能源汽车辆，则购进B型号新能源汽车辆．根据素材2列出不等式组，求出整数解即可； （3）根据（2）中的方案求出利润，比较即可解答。 【详解】（1）解：设A型号新能源汽车每辆进价为万元，B型号新能源汽车每辆进价为万元． 由题意可列方程组， 解得， 答：A型号新能源汽车每辆进价为25万元，B型号新能源汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购进A型号新能源汽车辆，则购进B型号新能源汽车辆． 由题意可列不等式组， 解得． 因为为正整数， 所以或， 所以有两种购车方案． 方案一：购进A型号新能源汽车2辆，购进B型号新能源汽车8辆； 方案二：购进A型号新能源汽车3辆，购进B型号新能源汽车7辆． （3）解：方案一获利：（万元） 方案二获利：（万元） 因为6.6万元万元，所以方案二能获得最大利润． 答：采用购车方案二能获得最大利润，最大利润为6.6万元． 题型15 一元一次不等式组的其他应用 典｜例｜精｜析 57．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （I）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的值可以是_________（写出一个满足条件的即可）； （II）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是_________． 【答案】 （答案不唯一，只要满足即可） 【分析】（I）根据第一次就停止列一元一次不等式求解即可； （II）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】解：（I）根据题意，得， 解得：， ∴的值可以是； （II）根据题意得，， 解得：， ∴如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是． 变｜式｜巩｜固 58．为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． (1)求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ (2)702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ (3)由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 【答案】(1)A型挂书袋售价20元，B型挂书袋25元 (2)购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元 (3)八年级段共有380名学生 【分析】（1）根据题意，设两个未知数A型挂书袋每只售价和B型挂书袋每只售价分别为x元和y元，联立二元一次方程组并求解； （2）根据题意，购买两种型号都有的挂书袋共1000元，设购买A型挂书袋和B型挂书袋数量分别为m只和n只，建立二元一次方程，再用B型挂书袋数量表示A型挂书袋的数量，即得，因为两种型号挂书袋数量都为正整数，即可表示购买挂书袋总数量为的值，要使购买数量最大，再进一步求出购买A型挂书袋和B型挂书袋数量即可； （3）根据题意，设未知量八年级学生人数和C型挂书袋每只售价分别为a人和b元，再根据题干信息八年级学生每人购买一个需付款2000元，列出方程：，八年级学生多购买95个，就可享受8折优惠，列出方程：，联立方程组，由代入法化简得分式方程并求解． 【详解】（1）解：设A型挂书袋每只售价x元，B型挂书袋每只售价y元， 则由题意可知：， 解得：， 答：A型挂书袋每只售价20元，B型挂书袋每只售价25元． （2）解：设李老师购买了A型挂书袋m只，B型挂书袋n只， 则由题意可知：，　 化简得， 即， 因为m是正整数，所以必须是整数，即n是4的倍数， 设 (为正整数)，代入得：， ∵， ∴，即， 购买挂书袋总数量为：， 因为要使购买数量最大，则最小， 所以，当时，，， 即购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元． （3）解：设八年级学生人数为a人，C型挂书袋每只售价b元， 则根据题意可得：， 整理得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， C型挂书袋每只售价（元）， 若多买95个，数量为（个），可享受8折优惠， 总价为：（元），符合条件． 答：八年级段共有380名学生． 59．某市在创建全国文明城市过程中，需要购买A，B两种树苗进行种植．已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，需要800元． (1)购买A，B两种树苗每棵分别需要多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，用于购买这两种树苗的资金不能少于7600元且不能超过7650元．若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好1棵A种树苗可获得工钱30元，种好1棵B种树苗可获得工钱20元，在第（2）问的购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所支付的工钱最少？最少工钱是多少元？ 【答案】(1)购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元 (2) 共有2种购买方案：方案一，购买A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案二，购买A种树苗53棵，B种树苗47棵． (3)选择方案一，即购买A种树苗52棵，B种树苗48棵所支付的工钱最少，最少工钱是2520元 【分析】（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，根据购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，需要800元建立方程组求解即可； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据用于购买这两种树苗的资金不能少于7600元且不能超过7650元建立不等式组求解即可； （3）根据（2）所求求出两种方案所支付的工钱，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元， 依题意，得， 解得 答：购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元． （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵， 依题意，得 解得， ∵m为整数， ∴当时，， 当时，， 答：共有2种购买方案：方案一，购买A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案二，购买A种树苗53棵，B种树苗47棵． （3）解：选择方案一需支付工钱（元）； 选择方案二需支付工钱（元）． ， 选择方案一，即购买A种树苗52棵，B种树苗48棵所支付的工钱最少，最少工钱是2520元． 60．综合与实践． 【问题背景】荣昌某保洁公司为提高清洁广场效率，引进A，B两种型号机器人（如图）清洁广场．公司调研A，B两种型号机器人工作效率及价格如下表所示 机器人型号 每台机器人每分钟清洁面积（） 每台机器人价格（万元） A 20 8 B 8 3 (1)【现实问题】该公司目前有A型机器人1台，B型机器人2台，现承担的清洁广场面积是．利用这3台清洁机器人，最快多长时间能够将该广场清洁一遍？ (2)【问题解决】该公司拟与市政部门合作，承接城区某的公共广场的清洁任务，要求每半小时对这个公共广场清洁一遍，于是公司将原有的3台机器人调整过来工作，同时计划新投入30万元增购这两种型号机器人，要求A型机器人至少增购2台．你认为该公司有几种增购方案？请写出解答过程及具体的增购方案． (3)【拓展应用】从节约资金方面考虑，请你解答：在（2）的条件下，选用哪种增购方案投入资金最少？ 【答案】(1)最快5分钟能够将该广场清洁一遍 (2)解：设增购A型机器人m台，B型机器人n台， ∵要求每半小时对这个公共广场清洁一遍， ∴， ∴，     ∵计划新投入30万元增购这两种型号机器人， ∴， ∵要求A型机器人至少增购2台， ∴； 又∵m为整数， ∴当时，则， 解得， 又∵n为整数， ∴n的值为3或4； 当时，则， 解得， 又∵n为整数， ∴n的值为1或2； 当时，，不符合题意； 答：一共有4种增购方案：方案1，增购A型机器人2台，B型机器人3台；方案2，增购A型机器人2台，B型机器人4台；方案3，增购A型机器人3台，B型机器人1台；方案4，增购A型机器人3台，B型机器人2台； (3)当增购A型机器人2台，B型机器人3台时，投入资金最少 【分析】（1）设需要x分钟可把该广场清洁一遍，根据每分钟清洁的总面积不低于建立不等式求解即可； （2）设增购A型机器人m台，B型机器人n台，根据每半小时对这个公共广场清洁一遍，增购资金不超过30万元，以及A型机器人至少增购2台列出关于m、n的不等式，讨论m的值，从而得到关于n的不等式组，求出对应的n的取值范围，进而确定n的值即可得到答案； （3）根据（2）所求求出对应方案的投入资金，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设需要x分钟可把该广场清洁一遍， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为5， 答：最快5分钟能够将该广场清洁一遍； （2）略 （3）解：当增购A型机器人2台，B型机器人3台时，投入资金为万元， 当增购A型机器人2台，B型机器人4台时，投入资金为万元， 当增购A型机器人3台，B型机器人1台时，投入资金为万元， 当增购A型机器人3台，B型机器人2台时，投入资金为万元， ∵， ∴当增购A型机器人2台，B型机器人3台时，投入资金最少． 题型16 一元一次不等式组的新定义问题 典｜例｜精｜析 61．对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 【答案】 【分析】根据新定义求出，代入求解即可． 【详解】解：由新定义可得： ， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 62．对于任意有理数a，b，我们定义一种新的运算“”，即，例如． 请根据以上定义，解答下列问题： (1)______； (2)已知关于x的不等式，求x的取值范围； (3)已知x，y满足，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义列式求解即可； （2）根据定义可得不等式，则，再分两种情况：和，分别去绝对值，解不等式即可得到答案； （3）根据定义可得，则，再分两种情况：，，通过去绝对值求出x与y的关系式，根据求出x或y的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 当，即时，则，解得，不符合题意； 当，即时，则，解得； 综上所述，； （3）解：∵x，y满足， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，． 63．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 64．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 基础通关 1．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 2．不等式组的所有整数解的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集内的所有整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，即， ∴不等式组的解集为， ∴该范围内的整数解为和， ∴所有整数解的和为． 3．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵给定不等式为，逐一分析各选项： A、若另一个不等式为，与组成不等式组，则可知该不等式组无解，符合题意； B、若另一个不等式为，根据“同小取小”，不等式组解集为，有解，不符合题意； C、若另一个不等式为，不等式组解集为，有解，不符合题意； D、若另一个不等式为，根据“大小小大中间找”，不等式组解集为，有解，不符合题意． 4．已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 5．不等式组的解集为__________． 【答案】 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 故原不等式组的解集是：． 6．不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，去括号得 ， 移项、合并同类项得， 系数化为得， 解不等式②，移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得， 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． 7．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 8．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 9．解不等式组：，并把解集表示在数轴上； 【答案】，数轴表示如下： 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示略． 10．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解：，0，1 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后结合整数的概念进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 这个不等式组的所有整数解：，0，1． 素养提升 11．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 12．如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中运算程序列出第次和第次运行结果满足的不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，运行第次结果满足，解得， 由于第次运行的结果为，则第次运行结果满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 13．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 14．若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 15．若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：已知不等式组的解集为， ∴， 即． 16．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【答案】 【分析】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【详解】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 17．若不等式组无解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 18．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为___________． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 【详解】解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 19．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或； 故答案为或． 20．某篮球训练营开业抽奖活动，店家计划从商场购进篮球挂件和运动水壶共50个，用于赠送给新报名的学员．已知购买2个篮球挂件和3个运动水壶共需79元，购买5个篮球挂件和7个运动水壶共需190元． (1)求篮球挂件和运动水壶的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进篮球挂件个，购进运动水壶的数量不超过篮球挂件的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有哪几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个运动水壶； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进篮球挂件最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)篮球挂件单价为17元，运动水壶单价为15元 (2)店家一共有4种采购方案： ①购买篮球挂件27个，运动水壶23个， ②购买篮球挂件28个，运动水壶22个， ③购买篮球挂件29个，运动水壶21个， ④购买篮球挂件30个，运动水壶20个 (3)选择方式二采购总价更低 【分析】（1）购买2个篮球挂件和3个运动水壶共需79元，购买5个篮球挂件和7个运动水壶共需190元，据此列出二元一次方程组即可； （2）根据购进运动水壶的数量不超过篮球挂件的，并且预算总费用不超过810元，据此列出一元一次不等式组即可； （3）按方式一和方式二分别算出费用，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设篮球挂件的单价为元，运动水壶的单价为元， 根据题意，得 解得 答：篮球挂件单价为17元，运动水壶单价为15元； （2）解：根据题意，得 解得，   为正整数， ，，，， ∴店家一共有4种采购方案： ①购买篮球挂件27个，运动水壶23个， ②购买篮球挂件28个，运动水壶22个， ③购买篮球挂件29个，运动水壶21个， ④购买篮球挂件30个，运动水壶20个； （3）解：由（2）知店家想要购进篮球挂件最多的方案：篮球挂件30个，运动水壶20个， 方式一：因为买任意产品满十件送一个运动水壶，所以先购买30个篮球挂件和10个运动水壶，可以送4个运动水壶，然后再购买6个运动水壶． 采购总价为（元）； 方式二：采购总价为（元）， ， ∴选择方式二采购总价更低． 迁移创新 21．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有6个，即可得出a的取值范围是． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∵不等式组的整数解共有6个， ∴整数解为， ∴． 22．若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解的条件得出的范围；再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零的条件进一步确定的范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组无解， ∴， ， 解分式方程，得， ∴且， 且， 且， ，，，，． ． 故选：A． 23．已知，，为有理数，且多项式能够被整除． （1）_______； （2）若，，为整数，且，则_______． 【答案】 【分析】（1）设商式为，根据系数关系用含的代数式表示出，，，再代入即可； （2）根据题意推出，得，确定符合题意的整数解即可． 【详解】解：（1）∵多项式能够被整除， 设商式为，其中为常数， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，，为整数，且， ∴， 解得：， ∴，，，，， 又∵，且为整数， ∴， ∴， ∴． 24．已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 【详解】解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． 25．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程的解直接代入各不等式验证，选出成立的序号即可； （2）先解方程组用含的式子表示，，再代入不等式组，解出的范围后取整数解； （3）先求出方程的解与不等式组的解集，再根据整数解的和确定整数解的范围，最后联立不等式求的取值范围． 【详解】（1）解：，解得，符合条件， 把代入①，可得左边，不成立； 把代入②，可得左边，左右两边相等，不成立； 把代入③，可得左边，成立， 故是方程和的“梦想解”． （2）解：已知， ，可得， 代入可得， 即二元一次方程组的解为， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 将代入， 可得， 解得， 为整数， 为或． （3）解： ，可得， 解不等式组，可得， 据题意可知，所有整数“梦想解”的和为， 整数“梦想解”为，，，，或，，，， 且，解得且， 综上的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $