3.3 一元一次不等式及其解法10大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式及其解法核心知识点，从概念辨析（含一个未知数、次数为1、整式构成）到解法步骤（去分母、去括号等五步及注意事项），再到解集的数轴表示（空心与实心点区分），最后通过整数解、含参问题等题型深化应用，构建完整学习支架。 资料以“概念解析-即学即练-典例精析-变式巩固”螺旋设计，结合数轴图示培养几何直观（数学眼光），解题步骤规范及易错点提示强化推理意识（数学思维），覆盖基础到迁移创新题型，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

第三章 一元一次不等式 3.3 一元一次不等式及其解法 课标要点 1. 理解一元一次不等式的定义，掌握其标准形式，能准确识别相关不等式。 2. 掌握一元一次不等式的解题步骤，能独立求解不等式并写出解集。 3. 会在数轴上表示不等式解集，借助数形结合思想提升几何直观能力。 学习重难点 重点： 1. 熟记一元一次不等式的完整解法步骤，规范每一步解题书写格式。 2. 熟练求解一元一次不等式，准确得出不等式的最终取值解集。 3. 掌握用数轴表示不等式解集的方法，区分空心点与实心点用法。 难点： 1. 不等式系数化为1时，准确判断负系数，规范改变不等号方向。 2. 精准区分方程与不等式解法差异，避免解题步骤和规则混淆误用。 3. 结合数轴理解解集含义，精准处理含参数不等式的取值范围问题。 知识点一 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式． 特别提醒 判断一元一次不等式需满足三个核心条件：只含一个未知数、未知数最高次数为1、左右两边均为整式。需注意未知数不能出现在分母、根号内，也不含绝对值复杂形式。严格区分一元一次方程与不等式，前者是等量关系，后者是不等范围。同时注意含参式子辨析，参数不算未知数，只要未知数次数为1，依然符合一元一次不等式定义，避免概念误判。 即学即练 1．下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A，中不含有未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合题意； ∵选项B，中含有两个未知数，是二元不等式，∴B不符合题意； ∵选项C，中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，∴C不符合题意； ∵选项D，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． 2．若不等式是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， 解得． 知识点二 一元一次不等式的解集 1. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2. 解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 特别提醒 一元一次不等式的解集是满足不等式的所有未知数的值，通常有无数个，区别于方程的唯一确定解。在数轴表示解集时，牢记“空心不取、实心取，大于向右、小于向左”的规则。解题需注意不等号方向，变形失误会直接导致解集反向。含参数题型中，需根据解集反向判断系数正负，准确取舍边界数值，避免漏判、多取、错取解集范围，这是考试高频失分点。 即学即练 3．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得： ， 去括号得：， 移项合并得：，     系数化为1得：． 4．解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】； 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算，再将解集正确标注在数轴上即可． 【详解】解：移项，得 合并同类项，得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 知识点三 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 即学即练 5．不等式的最小整数解为________． 【答案】 【分析】先求解不等式得到解集，再在解集范围内找出最小的整数即可． 【详解】解：原不等式为， 解得， 即， ∴ 大于的整数中，最小的整数是， 即不等式的最小整数解为． 6．解不等式，并写出其正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3 【详解】解： 解得，正整数解为1，2，3． 题型01 一元一次不等式的定义 典｜例｜精｜析 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：一元一次不等式满足三个条件：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1， 选项A： 是分式，不是整式，不符合题意； 选项B：未知数的最高次数为2，不是1，不符合题意； 选项C：含有和两个未知数，不符合题意； 选项D：满足一元一次不等式的所有要求，符合题意． 变｜式｜巩｜固 2．已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 3．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 4．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴且， 即且或， ∴ 题型02 求一元一次不等式的解集 解题贴士 求解一元一次不等式解集常见易错点：系数化为1时，负数漏变不等号方向，导致解集完全相反。数轴表示时常混淆空心圈与实心点、左右方向。含参题目不会根据解集反向判断系数正负，容易对错边界取值，出现多解、漏解情况。 典｜例｜精｜析 5．解不等式：． 【答案】 【详解】解： . 变｜式｜巩｜固 6．解不等式． 【答案】 【详解】解： ． 7．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得，， 移项、合并同类项得， 得． 8．解不等式：． 【答案】 【分析】利用不等式的性质，将不等式逐步化为或的形式，即可求解． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型03 求一元一次不等式的整数解 解题贴士 求一元一次不等式整数解的常见易错点：求解集后直接取值，忽略题目正整数、非负整数等特殊限制。容易漏找、多找边界整数，对错空心、实心点对应的临界数值。部分学生遗漏0的整数身份，或未按题意筛选符合实际意义的整数解。 典｜例｜精｜析 9．不等式的正整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， ∴ ， 解集 中的正整数只有 ， ∴ 不等式的正整数解有1个． 变｜式｜巩｜固 10．不等式的所有正整数解之和为________． 【答案】 【分析】先求解该一元一次不等式，得到解集后找出解集中的所有正整数，再计算所有正整数解的和即可． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 为正整数， 的取值为，， 所有正整数解之和为． 11．解不等式，并写出该不等式的非负整数解． 【答案】解集为，该不等式的非负整数解是0，1，2 【详解】解： ∴不等式的解集为 ∴该不等式的非负整数解是0，1，2 12．求的负整数解． 【答案】， 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式的负整数解为，． 题型04 在数轴上表示不等式的解集 解题贴士 在数轴上表示不等式解集的常见易错点：分不清实心点与空心圈，含等号用实心、不含等号用空心。容易搞反大于向右、小于向左的绘制方向，标错取值范围。同时常出现数轴无刻度、端点描错、整体画反等不规范问题，导致解题扣分。 典｜例｜精｜析 13．解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】； 【详解】解：去分母，得，     移项、合并同类项，得，     系数化为1，得， ∴不等式的解集为．     变｜式｜巩｜固 14．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)；见解析 (2)；见解析 【详解】（1）解： 移项合并同类项得：， 解得：； 把解集在数轴上表示出来，如图： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 把解集在数轴上表示出来，如图： 15．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】解集为，数轴表示为： 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 所以，不等式的解集为， 数轴表示略． 16．解下列不等式，并将解集表示在数轴上 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 在数轴上表示如图所示： ； （2）解：去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得： 在数轴上表示如图所示： ． 题型05 求一元一次不等式解的最值 典｜例｜精｜析 17．已知关于的方程组的解满足，求的最大值． 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可推出，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于的方程组的解满足， ∴， 解得， ∴的最大值为． 变｜式｜巩｜固 18．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 19．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 20．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 题型06 解|x|≥a型的不等式 典｜例｜精｜析 21．若的值小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据题意列出绝对值不等式，再利用绝对值的性质将绝对值不等式转化为连写形式的一元一次不等式，根据不等式的基本性质求解得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得 则， 解得， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 22．若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 23．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集即可得到答案； （2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出，则；设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集，进而求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，不等式的解集为 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集是或 ∴或， ∴或； （2）解： 得， ∴； ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴； 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集为， ∴， ∴， ∴m的整数值为． 24．阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【答案】(1) (2)或 (3)5；7 (4)或 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【详解】（1）解：不等式的解集是； （2）解：不等式的解集是或； （3）解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； （4）解：，则， 或， 解得或． 题型07 一元一次不等式的含参问题 典｜例｜精｜析 25．已知关于，的方程组，且，满足，则的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组可得：，根据可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围，最后找出的最大整数值． 【详解】解：， ②①得：， ， ， 解得：， 的最大整数值为． 变｜式｜巩｜固 26．若为正整数，且二元一次方程组有整数解，已知关于的不等式的非正整数解有且仅有5个，则的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先消元解二元一次方程组，根据m为正整数、方程组有整数解的条件求出m的值，再结合不等式非正整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：， ，得 解得， 把代入，得， 方程组有整数解，是正整数， 是10和15的正公约数， ∵10和15的正公约数为1和5， ∴只有符合条件， ∴， 把代入不等式，得 解得， 不等式的非正整数解有且仅有5个， ∴这5个非正整数为， ， ∴． 27．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集，再根据不等式有3个非负整数解，确定该不等式的非负整数解，从而确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可得该不等式的解集为， ∵该不等式恰好有3个非负整数解， ∴该不等式的非负整数解为0，1，2， ∴． 28．已知关于，的方程组为且，若为负整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两个等式相加整理，得到关于的表达式，再结合求出的范围，最后根据为负整数确定的值． 【详解】， 得， 整理得， ， ， 解得， 为负整数， ． 题型08 一元一次不等式与方程组结合 解题贴士 一元一次不等式与方程组结合题型易错点：解方程组求含参未知数时计算出错，代入不等式符号混淆。容易忽略题目隐含条件，不会根据解的正负、大小等要求列不等式。常出现不等关系列写错误、参数范围取舍不当，导致最终取值范围出错。 典｜例｜精｜析 29．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】解题时无需分别解出，直接将方程组两个方程相加得到目标式，再代入不等式求出的取值范围，即可得到最小整数解． 【详解】解：， 由①+②得：， 方程组的解满足， ， 解得， 为整数， 的最小整数解为，故选C． 变｜式｜巩｜固 30．若关于x，y的方程组的解满足，则的最小整数解为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式的求解，熟练掌握用代入消元法解方程组，以及解不等式的步骤是解题的关键．先通过解方程组，用含的式子表示出和，再将其代入不等式，解关于的不等式，从而确定的最小整数解． 【详解】解：原方程组，先化简： 对两边同乘，得 ①； 对移项，得 ②． 由①得，代入②： ， 展开得， 合并同类项得， 两边同除以，得 ． 把代入，得： ． 将，代入： ， 两边同乘去分母得， 展开括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得 ． ， 的最小整数解为 ． 故选： ． 31．已知关于，的二元一次方程组．若，那么正整数的值为__________． 【答案】 【分析】利用加减消元法得到，结合已知不等式得到的取值范围，再根据为正整数确定的值． 【详解】解： ①②得， 整理得， ， ， 解得， 是正整数， ． 32．已知关于的方程，请解决下面的问题： (1)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (2)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先从已知方程变形，用含的代数式表示，再结合得到关于的一元一次不等式，解不等式求出取值范围． （2）先从方程变形得到用表示的代数式，把代数式代入不等式，解不等式得到的取值范围，再在取值范围内找出最小整数． 【详解】（1）解：由题意知，则， 由得， ，解得， 的取值范围是． （2）解：由得， 将代入中，得， 解得， 满足的最小整数为， 适合上面方程并满足的最小整数的值为． 题型09 一元一次不等式的错解纠正问题 典｜例｜精｜析 33．下面是小明解不等式的过程： 解：第一步：， 第二步：， 第三步：． 小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】 解：第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，正确过程如下： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 【分析】根据题意可知，第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，观察第三步可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号要改变方向，故第三步错误，据此可得答案． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 34．以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法均错误； 正确解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵甲在去分母时，不等号右边的1没有乘最简公分母，去括号时没有变号，乙同学在裂项时，去括号没有变号， ∴甲、乙两位同学的解法均错误 35．下面是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 第一步正确，其依据是________； 第二步符合去括号法则，也正确； 第三步出错了！ (1)第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：_________________ (2)第三步出错的原因是：______________________________； (3)请从第三步开始，写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变 (2)移项没有变号 (3) 移项，得：−5x−2x＞−10＋5−6， 合并同类项，得−7x＞−11， 系数化为1，得x＜． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质2； （2）第三步是移项，移项时注意要变号； （3）根据第三步移项，第四步把x的系数化为1，解不等式即可，注意不等号方向的变化． 【详解】（1）解：一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变． 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变． （2）第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号． 故答案为：移项没有变号． （3）略 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变． 36．仔细观察以下解不等式的过程，并回答相应问题． 解：去分母，得第一步， 去括号，得 第二步， 移项，得  第三步， 合并同类项，得第四步， 系数化为1，得第五步， (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； (2)第 步出现错误，这一步正确变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； (3)画出数轴并在数轴上表示出该不等式的正确解集． 【答案】(1)2，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变 (2)五，3，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变 (3) 解：将解集表示在数轴上如图： 【分析】本题考查不等式的性质、在数轴上表示不等式的解集， （1）根据不等式的性质2求解即可； （2）根据不等式的性质3求解即可； （3）根据不等式解集在数轴的表示方法求解即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质2，其内容是不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变， 故答案为：2，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变． （2）解：由题意得，第五步出现错误，这一步正确变形的依据是不等式的基本性质3，其内容是不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：五，3，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． （3）略 题型10 一元一次不等式的新定义问题 典｜例｜精｜析 37．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 变｜式｜巩｜固 38．对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【答案】(1)；3 (2) 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）由题意可得 ，按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由题意得 ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得． 39．在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义判断即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，进而得到，的关系，根据，是正整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∵两个不等式解集相同， ∴不等式与是同解不等式； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 解得； （3）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 整理得． ，是正整数， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，结果为或或． 40．定义：对于任何有理数，符号表示不小于的最小整数．例如：，，． (1)填空： ， ； (2)如果，求满足条件的的取值范围； (3)如果（是整数），则 （填的代数式）方程的整数解是 ． 【答案】(1)； (2) (3)；； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 由题意求整数解可得，是整数， ∴， ∴原方程为， 解得． 基础通关 1．下列不等式的变形不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】不等式的基本性质有三条：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A选项，由，两边同时加，得，变形正确； B选项，由，两边同时乘，得，变形正确； C选项，由，两边同时加，得，变形正确； D选项，由，两边同时除以，得，原变形错误． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元一次不等式求出解集，根据“小于向左，大于向右，无等号画空心，有等号画实心”的原则判断数轴表示． 【详解】解： 移项，得， 合并同类项，得， 在数轴上表示： ． 3．不等式的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： . 所以选项B符合题意． 5．不等式的负整数解是_________． 【答案】 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数即可． 【详解】解：， 移项得， 合并得， 因此不等式的负整数解为． 6．不等式的负整数解有_____个． 【答案】2 【分析】先按一元一次不等式的解法求出解集，再找出解集范围内的负整数，统计其个数即可. 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的负整数解为，，共个. 7．若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 8．不等式的最小正整数解是_____． 【答案】 【详解】解： 去分母，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 因此不等式的最小正整数解是． 9．解不等式： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】 ； 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：， 两边同乘去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将解集表示在数轴上见答案． 素养提升 11．关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式得到解集；在数轴上在处画实心圆点，线条向左延伸． 【详解】解：∵， ∴． 在数轴上表示为在处取实心点，方向向左．与选项D匹配． 12．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的正整数解个数确定最大正整数解为6，结合不等号方向推导的取值范围． 【详解】解：解不等式，得 ， ∵该不等式的正整数解有6个， ∴正整数解为， ∴ ． 13．某学校计划用17件同样的奖品全部用于奖励在“扫黑除恶宣传”活动中表现突出的班级，每个一等奖奖励3件，每个二等奖奖励2件，则分配一、二等奖班级个数的方案有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】设一等奖班级个数为个，二等奖班级个数为个．根据题意得到二元一次方程，根据条件进一步求解即可． 【详解】解：设一等奖班级个数为个，二等奖班级个数为个，根据题意，得． ∴ ． ∵ ，均为正整数， ∴ ，且是的倍数． ∴ ，且为奇数． ∴ 为正奇数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 共3种方案． 14．已知是关于，的二元一次方程组（）的解，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，进一步可得，把化为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 两式相减得，即， 将不等式移项得， 把代入得， ∵， ∴， 两边同时除以得， 解得． 15．不等式的非负整数解有_____个． 【答案】3 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集内的所有非负整数，统计个数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 满足条件的非负整数为 0，1，2， 因此非负整数解共有个． 16．方程组中，若未知数，满足，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相减得到的表达式，结合列不等式求解即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，． ， ， 解得． 17．若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质先计算不等式的解集，再计算不等式得到，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， ， 去分母得，， 解得，， ∵不等式的解都能使关于x的不等式成立， ∴， 解得，． 18．定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据新定义可得不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．解下列不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可； （2）求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 解集在数轴上表示略． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解集在数轴上表示略． 20．已知关于的方程组的解满足，求的最大值． 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可推出，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于的方程组的解满足， ∴， 解得， ∴的最大值为． 迁移创新 21．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知不等式的解集判断的符号，得到与的数量关系，再代入所求不等式，结合不等式性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向改变， ∴，且， 整理得， ∵， ∴，即， 将代入不等式得， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即所求不等式的解集为． 22．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 23．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据给定不等式的解集，求出的关系，再求新的不等式的解集即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵， 将代入得， 移项得， ∵， ∴. 24．已知，，记，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先对已知二元一次方程组整体加减变形，构造出的代数式，结合不等式求出的取值范围，再通过方程组整体加减构造出关于m的关系式，最后利用不等式性质代入m的范围，推导出t的取值范围． 【详解】解： 得， 得， ∵， ∴， 解得． 得 ∵， ∴． ∵， ∴ ∴，即． ∴的取值范围是． 25．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.3 一元一次不等式及其解法 课标要点 1. 理解一元一次不等式的定义，掌握其标准形式，能准确识别相关不等式。 2. 掌握一元一次不等式的解题步骤，能独立求解不等式并写出解集。 3. 会在数轴上表示不等式解集，借助数形结合思想提升几何直观能力。 学习重难点 重点： 1. 熟记一元一次不等式的完整解法步骤，规范每一步解题书写格式。 2. 熟练求解一元一次不等式，准确得出不等式的最终取值解集。 3. 掌握用数轴表示不等式解集的方法，区分空心点与实心点用法。 难点： 1. 不等式系数化为1时，准确判断负系数，规范改变不等号方向。 2. 精准区分方程与不等式解法差异，避免解题步骤和规则混淆误用。 3. 结合数轴理解解集含义，精准处理含参数不等式的取值范围问题。 知识点一 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式． 特别提醒 判断一元一次不等式需满足三个核心条件：只含一个未知数、未知数最高次数为1、左右两边均为整式。需注意未知数不能出现在分母、根号内，也不含绝对值复杂形式。严格区分一元一次方程与不等式，前者是等量关系，后者是不等范围。同时注意含参式子辨析，参数不算未知数，只要未知数次数为1，依然符合一元一次不等式定义，避免概念误判。 即学即练 1．下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式是关于x的一元一次不等式，则______． 知识点二 一元一次不等式的解集 1. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2. 解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 特别提醒 一元一次不等式的解集是满足不等式的所有未知数的值，通常有无数个，区别于方程的唯一确定解。在数轴表示解集时，牢记“空心不取、实心取，大于向右、小于向左”的规则。解题需注意不等号方向，变形失误会直接导致解集反向。含参数题型中，需根据解集反向判断系数正负，准确取舍边界数值，避免漏判、多取、错取解集范围，这是考试高频失分点。 即学即练 3．解不等式：． 4．解不等式，并将解集表示在数轴上． 知识点三 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 即学即练 5．不等式的最小整数解为________． 6．解不等式，并写出其正整数解． 题型01 一元一次不等式的定义 典｜例｜精｜析 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 2．已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 3．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 题型02 求一元一次不等式的解集 解题贴士 求解一元一次不等式解集常见易错点：系数化为1时，负数漏变不等号方向，导致解集完全相反。数轴表示时常混淆空心圈与实心点、左右方向。含参题目不会根据解集反向判断系数正负，容易对错边界取值，出现多解、漏解情况。 典｜例｜精｜析 5．解不等式：． 变｜式｜巩｜固 6．解不等式． 7．解不等式：． 8．解不等式：． 题型03 求一元一次不等式的整数解 解题贴士 求一元一次不等式整数解的常见易错点：求解集后直接取值，忽略题目正整数、非负整数等特殊限制。容易漏找、多找边界整数，对错空心、实心点对应的临界数值。部分学生遗漏0的整数身份，或未按题意筛选符合实际意义的整数解。 典｜例｜精｜析 9．不等式的正整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 10．不等式的所有正整数解之和为________． 11．解不等式，并写出该不等式的非负整数解． 12．求的负整数解． 题型04 在数轴上表示不等式的解集 解题贴士 在数轴上表示不等式解集的常见易错点：分不清实心点与空心圈，含等号用实心、不含等号用空心。容易搞反大于向右、小于向左的绘制方向，标错取值范围。同时常出现数轴无刻度、端点描错、整体画反等不规范问题，导致解题扣分。 典｜例｜精｜析 13．解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 变｜式｜巩｜固 14．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 15．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 16．解下列不等式，并将解集表示在数轴上 (1)； (2)． 题型05 求一元一次不等式解的最值 典｜例｜精｜析 17．已知关于的方程组的解满足，求的最大值． 变｜式｜巩｜固 18．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 19．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 20．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 题型06 解|x|≥a型的不等式 典｜例｜精｜析 21．若的值小于，则的取值范围是________． 变｜式｜巩｜固 22．若，则x的取值范围_______． 23．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 24．阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 题型07 一元一次不等式的含参问题 典｜例｜精｜析 25．已知关于，的方程组，且，满足，则的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 26．若为正整数，且二元一次方程组有整数解，已知关于的不等式的非正整数解有且仅有5个，则的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 27．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 28．已知关于，的方程组为且，若为负整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型08 一元一次不等式与方程组结合 解题贴士 一元一次不等式与方程组结合题型易错点：解方程组求含参未知数时计算出错，代入不等式符号混淆。容易忽略题目隐含条件，不会根据解的正负、大小等要求列不等式。常出现不等关系列写错误、参数范围取舍不当，导致最终取值范围出错。 典｜例｜精｜析 29．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 变｜式｜巩｜固 30．若关于x，y的方程组的解满足，则的最小整数解为（   ） A． B． C． D．0 31．已知关于，的二元一次方程组．若，那么正整数的值为__________． 32．已知关于的方程，请解决下面的问题： (1)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (2)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 题型09 一元一次不等式的错解纠正问题 典｜例｜精｜析 33．下面是小明解不等式的过程： 解：第一步：， 第二步：， 第三步：． 小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 变｜式｜巩｜固 34．以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 35．下面是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 第一步正确，其依据是________； 第二步符合去括号法则，也正确； 第三步出错了！ (1)第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：_________________ (2)第三步出错的原因是：______________________________； (3)请从第三步开始，写出正确解答过程． 36．仔细观察以下解不等式的过程，并回答相应问题． 解：去分母，得第一步， 去括号，得 第二步， 移项，得  第三步， 合并同类项，得第四步， 系数化为1，得第五步， (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； (2)第 步出现错误，这一步正确变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； (3)画出数轴并在数轴上表示出该不等式的正确解集． 题型10 一元一次不等式的新定义问题 典｜例｜精｜析 37．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 变｜式｜巩｜固 38．对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 39．在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 40．定义：对于任何有理数，符号表示不小于的最小整数．例如：，，． (1)填空： ， ； (2)如果，求满足条件的的取值范围； (3)如果（是整数），则 （填的代数式）方程的整数解是 ． 基础通关 1．下列不等式的变形不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．不等式的解是（     ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．不等式的负整数解是_________． 6．不等式的负整数解有_____个． 7．若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 8．不等式的最小正整数解是_____． 9．解不等式： (1) (2)； 10．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 素养提升 11．关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 12．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．某学校计划用17件同样的奖品全部用于奖励在“扫黑除恶宣传”活动中表现突出的班级，每个一等奖奖励3件，每个二等奖奖励2件，则分配一、二等奖班级个数的方案有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 14．已知是关于，的二元一次方程组（）的解，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 15．不等式的非负整数解有_____个． 16．方程组中，若未知数，满足，则的取值范围是________ 17．若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 18．定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为_________． 19．解下列不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 20．已知关于的方程组的解满足，求的最大值． 迁移创新 21．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 22．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 23．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为__________． 24．已知，，记，则的取值范围是__________． 25．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $