3.2 不等式的基本性质6大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式的基本性质这一核心知识点，系统梳理不等式两边加减同一数或整式不等号方向不变、乘除正数不变向、乘除负数变向的三条性质，搭建从不等式概念到解不等式的学习支架，明确变形依据与运算规律。 该资料通过对比等式与不等式性质差异，结合“即学即练+多题型分类（如实际问题、新定义问题）”设计，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过基础通关与素养提升练习查漏补缺，强化代数推理与应用能力。

第三章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 课标要点 1. 探索并掌握不等式三条基本性质，理解不等式变形的依据与运算规律。 2. 能运用不等式基本性质对不等式进行简单变形，规范完成式子变换操作。 3. 对比等式与不等式性质差异，提升代数推理能力与数学符号运算素养。 学习重难点 重点： 1. 熟练掌握不等式的三条基本性质，熟记性质内容，明确适用运算条件。 2. 正确运用性质对不等式进行移项、系数化等常规变形操作。 3. 区分等式与不等式性质异同，掌握不等式变形的核心规则与方法。 难点： 1. 掌握不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变的易错核心规则。 2. 灵活运用性质进行精准变形，避免混淆等式与不等式变形规则。 3. 根据题目条件判断变形依据，结合性质进行严谨的代数推理运算。 知识点一 不等式的基本性质 1.不等式的性质： （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：   若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 特别提醒 不等式两边同时加、减同一个数或整式，不等号方向保持不变，此性质与等式性质一致。两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；但乘除同一个负数时，必须改变不等号方向，这是核心易错点。解题时切勿遗漏变号步骤，同时注意零不能作为乘除数值。区分等式与不等式变形规则，熟练依据性质变形，避免凭直觉做题，防止变号错误、性质混用导致失分。 即学即练 1．若，则下列式子一定成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质一一辨别即可． 【详解】选项A：∵，∴，即A成立； 选项B：∵，∴，即B不成立； 选项C：∵，∴，即C不成立； 选项D：∵，∴，即D不成立． 2．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，，故C、D错误． 题型01 不等式的基本性质 解题贴士 不等式加减同一数或整式，不等号方向不变。乘除正数方向不变，乘除负数必须变号，这是最大易错点。零不可作为乘除除数，做题严格依据性质变形，切勿混淆等式规则，杜绝凭主观直觉解题。 典｜例｜精｜析 1．如果，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，，， 故只有选项B错误. 变｜式｜巩｜固 2．若，则下列不等式变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； C、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形错误，符合题意． 3．若，则______（填、或） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质对已知条件变形，即可比较两个代数式的大小． 【详解】解：已知 ， 根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得 ， 根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ． 4．已知，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型02 不等式基本性质的多结论问题 典｜例｜精｜析 5．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．取，，满足，但，故A不一定成立； B．当时，不成立，故B不一定成立． C．∵，∴，∴，故C一定成立． D．∵，∴，∴，故D不成立． 变｜式｜巩｜固 6．已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例说明A、B、C选项错误，利用不等式的性质，负整数指数幂的意义判断D选项即可. 【详解】解：当，时，，，满足， 此时，，，，， ，， 故A、B、C选项错误， ， ， ， ， ， ． 故D选项正确． 7．对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答． 【详解】解：若,当时，,则①错误， 若，那么，那么,则②正确， 若,当，时，那么，则③错误， 若，那么 ∵，两边同时除以得，则④正确， 若，，则， 整理得，由得， 那么，故异号， 那么，．则⑤正确， 故答案为：②④⑤． 8．下列说法不一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则； D．若，则 【答案】D 【详解】解：A选项：，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，一定成立，不符合题意； B选项：，不等式两边同时减4，不等号方向不变，一定成立，不符合题意； C选项：，不等式两边同时除以正数4，不等号方向不变，一定成立，不符合题意； D选项：，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，因此不成立，即该说法不一定成立，符合题意． 题型03 利用不等式的性质解决实际问题 典｜例｜精｜析 9．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（     ） A． B． C． D．与和的大小无关 【答案】A 【分析】以赔钱时总售价小于总成本为不等关系，列不等式推导与的大小即可得解． 【详解】解：买鱼总成本为元，鱼的总数量为条，总售价为元． ∵赔钱说明总售价小于总成本， ∴， 两边同乘2，得， 移项，得， 即． 变｜式｜巩｜固 10．甲、乙两名同学各自在同一台实验仪器完成实验，甲完成实验需要分钟，乙完成实验需要分钟（），要使两人都完成实验所用时间之和（包含等待时间）最少，则合理的使用顺序是（     ） A．当时，甲同学优先使用仪器 B．当时，乙同学优先使用仪器 C．当时，乙同学优先使用仪器 D．无论先后顺序，总耗时始终相等 【答案】C 【分析】分别计算两种使用顺序下两人都完成实验的总耗时，比较大小后得到合理的使用顺序. 【详解】解：同一台仪器一次只能供一人使用，分别计算两种顺序的总耗时：若甲优先使用仪器，总耗时和为；若乙优先使用仪器，总耗时和为；计算两种总耗时的差：， 当时，，即甲优先总耗时大于乙优先总耗时，此时乙同学优先使用仪器总耗时更少； 当时，，即甲优先总耗时小于乙优先总耗时，此时甲同学优先使用仪器总耗时更少， 结合选项描述，只有C选项正确. 11．甲、乙两人绕同一段环湖步道匀速跑步，甲从起点跑到终点的速度为，沿原路折返的速度为，（，，）；乙全程以固定速度匀速跑完往返全程．设甲、乙两人往返全程总用时分别为、，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．与无法比较 【答案】B 【分析】设单程环湖步道长度为，根据“时间路程速度”分别表示出和，再用作差法比较两者大小，即可得到结论． 【详解】解：设单程环湖步道长度为， ∵ 甲从起点跑到终点的时间为，折返时间为， ∴ ∵ 乙往返总路程为，速度为， ∴ ， ，，, ， ， ，即， ． 12．实验背景：在“探秘质量守恒”综合实践课上，某数学兴趣小组用实验室天平测量4个未知质量的砝码（质量各不相同），实验记录如下： 实验步骤 操作描述 天平状态（绘图区） 步骤一 左盘放，右盘放 步骤二 左盘放和，右盘放和 步骤三 左盘放和，右盘放和，此时天平平衡． 任务一：数据分析 (1)根据图1、图2，分别写出能反映砝码质量关系的不等式； 任务二：数据推理 (2)根据图3，请你完成变形__________；（用含的代数式表示） 任务三：数量关系 (3)结合三个图的信息，将四个砝码的质量按从小到大的顺序排列，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)， (2) (3) ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴； ∴． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据等式的性质求解即可； （3）根据等式以及不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ （3）略 题型04 根据不等式的性质求参数 解题贴士 含参系数未分类讨论，默认系数为正数导致漏解。不等式方向改变时，忽略参数为负数的隐含条件。求解解集、无解或整数解问题时，容易出错边界取值，遗漏参数取值限制，造成答案不完整。 典｜例｜精｜析 13．若的解集为，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此可解本题． 【详解】解：∵的解集为， ∴，解得． 变｜式｜巩｜固 14．已知，且，则n满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，且， ， 解得． 15．已知的解集是，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，不等式的解集不等号方向发生改变，判断不等式系数的正负，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的基本性质，可得，解得． 16．已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等式的性质得到，代入得到，即； （2）根据等式的性质得到，根据不等式的性质得到，可知的取值范围． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05 不等式基本性质的新定义问题 典｜例｜精｜析 17．定义新运算：．例如：，．若，，且，则，的大小关系为________． 【答案】 【分析】先求得的数值，然后分两种情况讨论：；． 【详解】解：根据题意，得： ，． ． ①当时，则，可得 ． 即 ． ②当时，则． 又， 则， 即． ． 即 ． 综上所述，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不等式，牢记不等式的性质（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）及采用求差法比较大小的方法是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 18．定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时，_______； （2）当时，的范围是_______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了新定义、代数式求值、不等式的性质等知识点，灵活运用知识成为解题的关键． （1）直接运用新定义求解即可； （2）分、、三种情况，分别根据新定义和不等式的性质求解即可． 【详解】解（1）有题意可得：当时，． ∴当时，． 故答案为：． （2）当时： 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 当时，． 将代入，可得． 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 综上，y的取值范围为或． 答案为或． 19．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确； 若，根据的意义，得，结论②错误； 若，则，结论③正确； 当，时，有，，，或6，结论④是正确． 综上所述：①③④正确． 故答案为：①③④． 20．定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 【答案】(1)否；2 (2)或． 【分析】本题考查了新定义、一元一次方程的解，不等式的应用．解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义求解；由平衡数的定义得，据此求解即可； （2）根据平衡数的定义求得，分或两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：与3的平衡数是， ∴与3不是关于的平衡数， 由题意得， 即，解得， 故答案为：否；2； （2）解：由题意得， ∴， ∵， ∴或， 当时，，则， ∴， ∴； 当时，， 则，即； 综上，或． 题型06 不等式基本性质的最值问题 典｜例｜精｜析 21．设表示大于的最小整数，如，，下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数，使成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义逐个算式分析即可． 【详解】解：①∵表示大于的最小整数，∴，∴不正确； ②∵表示大于的最小整数，∴，∴的最小值是0不正确； ③∵表示大于的最小整数，设(n为整数)，则，， ∴，即的最大值是1，正确； ④∵表示大于的最小整数，∴当x的小数部分为0.5时，，∴存在实数，使，正确． 故选B． 【点睛】此题考查了新定义，正确理解新定义是解本题的关键． 变｜式｜巩｜固 22．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值，相应的的值为 (3) (4) 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； （3）解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； （4）略 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 23．在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴．∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长； (3)已知，求的最小值． 【答案】(1)，小， (2) (3)19 【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式，不等式的性质是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解作答即可； （2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可； （3）由，判断作答即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴． ∴当时，的值最小，最小值是， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：，小， （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，代数式的最大值是， ∴， 此时该三角形的周长是 （3）∵ ∴， ∴ 当时，的最小值为19 24．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”． (1)当时，此方程的“和谐值”是＿＿＿＿，二元一次方程的“和谐平衡值”是＿＿＿； (2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由． 【答案】(1)1，1或3 (2) ， (3)3 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解题中新概念，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）当时，代入，解得，根据“和谐值”的概念即可得解；根据“和谐平衡值”的概念，分类讨论当时和时，即可得解； （2）根据“和谐值”的概念，分类讨论当，的4种情况即可得解； （3）将代入方程，求得，根据，分情况时，和时，分别求出其“和谐值”，然后再确定是否有最小值即可． 【详解】（1）解：当时，即，代入， 解得， ， ， 是方程的“和谐值”， 若，当时，则，即， 是方程的“和谐平衡值”， 当时，则，即， 是方程的“和谐平衡值”， 综上，二元一次方程的“和谐平衡值”是1或3． （2）解： 二元一次方程的“和谐值”为5， ① 当时，即，解得， ， 5是方程的“和谐值”，符合题意； 此时方程的解为． ② 当时，即，解得， ， 5是方程的“和谐值”，符合题意； 此时方程的解为． ③ 当时，即，解得， ， 4是方程的“和谐值”，不符合题意； ④ 当，即，解得， ， 1是方程的“和谐值”，不符合题意； 综上所述，所有满足条件的方程的解为，． （3）解：当，将代入，即， 解得， 方程的解为 ， ， ，， ，， 当时，， ， 是方程的“和谐值”， 且，不存在最小值， 当时，， 3是方程的“和谐值”，且，即3是最小“和谐值”． 综上，存在最小“和谐值”为3． 基础通关 1．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴，A选项正确． ，B选项错误． ，C选项错误． ，D选项错误． 2．设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 【答案】A 【分析】设△、○、□的质量为、、，根据图形，可列出不等式和等式，由此可将质量从大到小排列． 【详解】解：设△、○、□的质量为a、b、c， 由图形可得，， 由①得， 由②得， ∵， ∴， ∴， 故可得， 所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为□△○． 3．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，A错误； ∵， ∴，B错误； ∵， ∴，C错误； ∵， ∴， ∴，D正确. 4．设，则下列不等关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为1减分数的形式，再根据分子相同的正分数比较大小的规则，推导得到的大小关系． 【详解】解：，，， ∵，分子为1的正分数，分母越大分数越小， ∴， ，即． 5．若，则___________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，从已知逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 6．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，再利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 8．已知，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．下列不等式的变形对不对？为什么？ (1)由，得； (2)由，得； (3)由，得； (4)由，得． 【答案】(1) 不对： 已知，不等式两边同时乘以，不等号方向需要改变，得，与题目给出的不符，因此变形不对； (2) 不对： 已知，不等式两边同时加，得，不等式两边同时除以，得，与题目给出的不符，因此变形不对； (3) 不对： 已知，不等式两边同时除以正数，不等号方向不改变，得，与题目给出的不符， 因此变形不对； (4) 对：已知，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，得，与题目给出的结果一致，因此变形对． 【分析】根据不等式的性质依次分析即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 10．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断： ①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变； ②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变； ③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； （2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较． 【详解】（1）解：若，两边同时加1，则； 若，两边同时乘正数3，则； 若，两边同时乘负数，则． （2）解：， 根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变， ， 两边同时减，不等号方向不变， ． 素养提升 11．已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； B、不等式两边先同时乘以，再减，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； C、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号变号，得到，选项结论正确，符合题意. 12．下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴两边同除以，得，变形正确； B、∵的符号未确定，若，则，且时分式无意义，∴变形错误； C、∵当时，，∴变形错误； D、∵的符号未确定，当时，不成立，∴变形错误． 13．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（     ） A． B． C． D．与和的大小无关 【答案】A 【分析】以赔钱时总售价小于总成本为不等关系，列不等式推导与的大小即可得解． 【详解】解：买鱼总成本为元，鱼的总数量为条，总售价为元． ∵赔钱说明总售价小于总成本， ∴， 两边同乘2，得， 移项，得， 即． 14．关于代数式的说法正确的是（     ） A．当时，代数式有最大值 B．当时，代数式有最小值 C．当时，代数式有最大值 D．当时，代数式有最小值 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式将代数式恒等变形，再根据非负数的性质和不等式性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ， ，则， ∴当时，代数式有最大值． 15．如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。 【详解】解：， ，不满足原命题的结论， 因此任取一个负数作为即可，如． 16．若，则下列各式中错误的个数是___________． （1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）． 【答案】 【详解】解：（1）已知，由不等式的基本性质1，不等式两边同时减，不等号方向不变，得，故（1）错误． （2）中，的符号不确定，当时，，原式不成立，故（2）错误． （3）已知，由不等式的基本性质3，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，故（3）错误． （4）已知，由不等式的基本性质2，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，故（4）正确． （5）已知，由不等式的基本性质3得，再由不等式的基本性质1，两边同时加得，故（5）错误． （6）当时，满足，但，故（6）错误． （7）已知，当时，，由不等式的基本性质2得，当时，，故不成立，故（7）错误． 综上，错误的式子共个． 17．若，且，是正整数，则的值是______． 【答案】1 【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值． 【详解】解：，且， ， 解不等式得， 又是正整数， ． 18．阅读以下材料，解决问题： 问题：已知，求的最小值． 解：因为， 所以， 则， 因为的最小值为0， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】仿照题干给出的消元配方方法，将用含的代数式表示，代入后配方为顶点式，根据平方的非负性求最大值即可 【详解】解：， ， 将代入得： ， ， ， ， 的最大值为． 19．已知，当时，． (1)求k与b的数量关系； (2)当时，证明不等式成立． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，      ． ， ．     ，， ，     ． 【分析】（1）把，代入，即可解答； （2）先将代入不等式的左边，得出，再根据，，得出，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， ，     即． （2）略 20．下面是华师版七年级下册数学教材第62页的部分内容．请你认真阅读并完成下列任务． ▶例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等关系具有传递性，即如果且，那么．它也可以作为推理的依据． (1)填空：①若，，则的取值范围是________； ②若，，则的取值范围是________； (2)若，，求的取值范围； (3)如果，，，都是负数，且，，求证：． 【答案】(1)①；② (2) (3)证明：a、b、c、d都是负数，且， ，， ． 【分析】（1）根据题干所给结论计算即可； （2）根据不等式的性质得到，根据题干所给结论计算即可； （3）根据题干所给结论得到，，可知． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴， 即； （2）解：， ， 即； （3）略． 迁移创新 21．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过等量代换求出和的取值范围，再化简各选项的表达式，结合不等式性质判断正误即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得，故A错误， ∴，即，故B错误， 对于C，， ∵， ∴， ∴，即，故C错误， 对于D，， ∵， ∴，即，故D正确． 22．已知 ，则下列不等式不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式用a表示b和c，结合不等式得到a的符号，即，再结合每个选项的式子进行整理化简，分析，然后判断选项正误即可． 【详解】解：依题意，即 得， 化简得， 将代入①得， 解得， 将 代入， 得 ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ，， ∵， ∴ ， 故A选项不符合题意； ∵， ∴ ， 故B选项符合题意； 则， ∵， ∴ ， 故C选项不符合题意； 则， ∵， ∴ ∴， 故D选项不符合题意； 23．某校七年级数学文化节有一个“猜数游戏”：在张同样的纸片上各写了一个正整数，分别为，，，，，若，且，则的最大值为________． 【答案】1212 【分析】已知五个正整数的和固定，要使最大，需使取最小值，同时取满足不等关系的最大值，根据正整数的性质和大小关系求解即可． 【详解】因为是正整数，且满足，要使最大，则取最小值，取满足条件的最大值， 因此可得：，，，， 所以， 因为，所以，即， 因为是正整数，所以的最大值为，此时最大为，最大为，最小为， ，满足， 因此． 【点睛】 24．已知三个实数，，满足，且，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据已知，且，逐个验证每个结论，判断正确性． 【详解】三个实数，，满足，且， ①若，则，即，①正确. ②若，则，， 将代入得：， 整理得，即，②正确. ③若，根据平方差公式得， ，，即， ，即，③正确. ④若，则， ， ， ，解得，故④错误. 综上，正确结论的序号是①②③． 25．已知实数x，y满足． (1)因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； (2)已知实数z，k，满足，且．求证：； (3)在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得． ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得， ； (3)，， 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行证明即可； （3）由（2）得，且k，x均为整数，从而得出，即可得出，或，，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 在不等式两边同时乘以正数得：； （2）略 （3）解：由（2）得，且k，x均为整数， 为整数， ． ，；，． ①当，时， ， ，即， ，且z，y都是整数， ， ，故此种情况不成立，舍去； ②当，时， ， ，即， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 课标要点 1. 探索并掌握不等式三条基本性质，理解不等式变形的依据与运算规律。 2. 能运用不等式基本性质对不等式进行简单变形，规范完成式子变换操作。 3. 对比等式与不等式性质差异，提升代数推理能力与数学符号运算素养。 学习重难点 重点： 1. 熟练掌握不等式的三条基本性质，熟记性质内容，明确适用运算条件。 2. 正确运用性质对不等式进行移项、系数化等常规变形操作。 3. 区分等式与不等式性质异同，掌握不等式变形的核心规则与方法。 难点： 1. 掌握不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变的易错核心规则。 2. 灵活运用性质进行精准变形，避免混淆等式与不等式变形规则。 3. 根据题目条件判断变形依据，结合性质进行严谨的代数推理运算。 知识点一 不等式的基本性质 1.不等式的性质： （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：   若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 特别提醒 不等式两边同时加、减同一个数或整式，不等号方向保持不变，此性质与等式性质一致。两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；但乘除同一个负数时，必须改变不等号方向，这是核心易错点。解题时切勿遗漏变号步骤，同时注意零不能作为乘除数值。区分等式与不等式变形规则，熟练依据性质变形，避免凭直觉做题，防止变号错误、性质混用导致失分。 即学即练 1．若，则下列式子一定成立的是（     ）． A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 题型01 不等式的基本性质 解题贴士 不等式加减同一数或整式，不等号方向不变。乘除正数方向不变，乘除负数必须变号，这是最大易错点。零不可作为乘除除数，做题严格依据性质变形，切勿混淆等式规则，杜绝凭主观直觉解题。 典｜例｜精｜析 1．如果，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 2．若，则下列不等式变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则______（填、或） 4．已知，且，则的取值范围是__________． 题型02 不等式基本性质的多结论问题 典｜例｜精｜析 5．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 7．对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 8．下列说法不一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则； D．若，则 题型03 利用不等式的性质解决实际问题 典｜例｜精｜析 9．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（     ） A． B． C． D．与和的大小无关 变｜式｜巩｜固 10．甲、乙两名同学各自在同一台实验仪器完成实验，甲完成实验需要分钟，乙完成实验需要分钟（），要使两人都完成实验所用时间之和（包含等待时间）最少，则合理的使用顺序是（     ） A．当时，甲同学优先使用仪器 B．当时，乙同学优先使用仪器 C．当时，乙同学优先使用仪器 D．无论先后顺序，总耗时始终相等 11．甲、乙两人绕同一段环湖步道匀速跑步，甲从起点跑到终点的速度为，沿原路折返的速度为，（，，）；乙全程以固定速度匀速跑完往返全程．设甲、乙两人往返全程总用时分别为、，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．与无法比较 12．实验背景：在“探秘质量守恒”综合实践课上，某数学兴趣小组用实验室天平测量4个未知质量的砝码（质量各不相同），实验记录如下： 实验步骤 操作描述 天平状态（绘图区） 步骤一 左盘放，右盘放 步骤二 左盘放和，右盘放和 步骤三 左盘放和，右盘放和，此时天平平衡． 任务一：数据分析 (1)根据图1、图2，分别写出能反映砝码质量关系的不等式； 任务二：数据推理 (2)根据图3，请你完成变形__________；（用含的代数式表示） 任务三：数量关系 (3)结合三个图的信息，将四个砝码的质量按从小到大的顺序排列，并写出完整的推理过程． 题型04 根据不等式的性质求参数 解题贴士 含参系数未分类讨论，默认系数为正数导致漏解。不等式方向改变时，忽略参数为负数的隐含条件。求解解集、无解或整数解问题时，容易出错边界取值，遗漏参数取值限制，造成答案不完整。 典｜例｜精｜析 13．若的解集为，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 14．已知，且，则n满足的条件是（     ） A． B． C． D． 15．已知的解集是，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 题型05 不等式基本性质的新定义问题 典｜例｜精｜析 17．定义新运算：．例如：，．若，，且，则，的大小关系为________． 变｜式｜巩｜固 18．定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时，_______； （2）当时，的范围是_______． 19．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是______． 20．定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 题型06 不等式基本性质的最值问题 典｜例｜精｜析 21．设表示大于的最小整数，如，，下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数，使成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 22．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 23．在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴．∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长； (3)已知，求的最小值． 24．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”． (1)当时，此方程的“和谐值”是＿＿＿＿，二元一次方程的“和谐平衡值”是＿＿＿； (2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由． 基础通关 1．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 3．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．设，则下列不等关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若，则___________（填“”或“”）． 6．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 8．已知，且，则的取值范围是__________． 9．下列不等式的变形对不对？为什么？ (1)由，得； (2)由，得； (3)由，得； (4)由，得． 10．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 素养提升 11．已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 12．下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（     ） A． B． C． D．与和的大小无关 14．关于代数式的说法正确的是（     ） A．当时，代数式有最大值 B．当时，代数式有最小值 C．当时，代数式有最大值 D．当时，代数式有最小值 15．如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 16．若，则下列各式中错误的个数是___________． （1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）． 17．若，且，是正整数，则的值是______． 18．阅读以下材料，解决问题： 问题：已知，求的最小值． 解：因为， 所以， 则， 因为的最小值为0， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 若，则的最大值为______． 19．已知，当时，． (1)求k与b的数量关系； (2)当时，证明不等式成立． 20．下面是华师版七年级下册数学教材第62页的部分内容．请你认真阅读并完成下列任务． ▶例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等关系具有传递性，即如果且，那么．它也可以作为推理的依据． (1)填空：①若，，则的取值范围是________； ②若，，则的取值范围是________； (2)若，，求的取值范围； (3)如果，，，都是负数，且，，求证：． 迁移创新 21．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 22．已知 ，则下列不等式不正确的是（     ） A． B． C． D． 23．某校七年级数学文化节有一个“猜数游戏”：在张同样的纸片上各写了一个正整数，分别为，，，，，若，且，则的最大值为________． 24．已知三个实数，，满足，且，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是________（填序号） 25．已知实数x，y满足． (1)因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； (2)已知实数z，k，满足，且．求证：； (3)在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $