26.2.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象特征、平移规律及性质，通过绘制\(y=x^2\)与\(y=x^2±1\)的图象，列表描点对比，搭建从\(y=ax^2\)到\(y=ax^2+k\)的学习支架，梳理前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动（如平移对比）培养几何直观（数学眼光），分层练习（基础到综合）提升推理能力（数学思维），表格归纳性质规范数学语言。助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 二次函数y=ax²+k的图象和性质专项练习 本次专项练习针对人教版数学九年级上册26.2.2.1知识点，聚焦二次函数y=ax²+k的图象特征、平移规律、函数性质及应用，题型涵盖选择、填空、解答，由浅入深夯实基础、提升解题能力，全面覆盖核心考点。 一、核心知识梳理 1. 图象特征：y=ax²+k的图象是抛物线，与y=ax²形状、开口、对称轴完全相同，仅上下平移，对称轴为y轴（直线x=0），顶点坐标为(0，k)。 2. 平移规律：遵循“上加下减”，k＞0时，由y=ax²图象向上平移k个单位；k＜0时，向下平移|k|个单位，平移不改变开口大小与方向。 3. 函数性质：a＞0时，开口向上，顶点为最低点，x=0时y取最小值k，x＜0时y随x增大而减小，x＞0时y随x增大而增大；a＜0时，开口向下，顶点为最高点，x=0时y取最大值k，x＜0时y随x增大而增大，x＞0时y随x增大而减小。 二、基础专项练习题 选择题 1. 抛物线y=3x²-2的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A. 向上，(0，-2) B. 向上，(0，2) C. 向下，(0，-2) D. 向下，(0，2) 2. 将抛物线y=2x²向上平移3个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. y=2x²+3 B. y=2x²-3 C. y=2(x+3)² D. y=2(x-3)² 填空题 3. 抛物线y=-5x²+4的对称轴是________，最大值为________。 4. 已知抛物线y=ax²+k过点(1，1)、(0，-3)，则a=________，k=________。 基础解答题 5. 已知抛物线y=-2x²+5，说出该函数的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及函数的增减性和最值。 三、能力提升练习题 1. 已知点A(-2，y₁)、B(1，y₂)、C(3，y₃)都在抛物线y=4x²-1上，比较y₁、y₂、y₃的大小。 2. 抛物线y=ax²+k与y=-3x²的图象形状相同，且顶点坐标为(0，4)，求该抛物线的解析式。 四、综合拓展练习题 已知抛物线y=-x²+k与直线y=2x+1交于点A(1，m)，求：（1）m和k的值；（2）抛物线的解析式、顶点坐标和最值；（3）当x取何值时，抛物线中y随x的增大而减小。 五、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：A。解析：a=3＞0，开口向上；y=ax²+k顶点为(0，k)，k=-2，故顶点(0，-2)。 2. 答案：A。解析：根据“上加下减”，向上平移3个单位，解析式为y=2x²+3。 填空题解析 3. 答案：直线x=0（y轴）；4。解析：a=-5＜0，开口向下，顶点(0，4)，故最大值为4，对称轴恒为y轴。 4. 答案：4；-3。解析：将(0，-3)代入得k=-3，再将(1，1)代入y=ax²-3，得a-3=1，解得a=4。 基础解答题解析 5. 解析：a=-2＜0，开口向下；顶点坐标(0，5)，对称轴为y轴；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小；x=0时，函数取得最大值5，无最小值。 能力提升题解析 1. 解析：抛物线开口向上，对称轴为y轴，抛物线上点到对称轴距离越远，函数值越大。A点距离对称轴2个单位，B点1个单位，C点3个单位，故y₂＜y₁＜y₃。 2. 解析：图象形状相同则|a|=3，即a=3或a=-3，顶点(0，4)得k=4，解析式为y=3x²+4或y=-3x²+4。 综合拓展题解析 （1）将A(1，m)代入y=2x+1，得m=3，即A(1，3)；代入抛物线得3=-1+k，解得k=4。（2）抛物线解析式为y=-x²+4，顶点(0，4)，a=-1＜0，最大值为4，无最小值。（3）开口向下，对称轴为y轴，故x＞0时，y随x增大而减小。 练习总结：本次练习重点突破y=ax²+k的平移规律与性质应用，核心易错点为混淆上下平移规则、忽略a的符号对增减性和最值的影响、比较函数值时未利用对称轴的对称性解题。掌握“看a定开口、看k定顶点、依对称轴判增减”的解题思路，可高效解决此类题型。（字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 会画二次函数y=ax2+k的图象. 理解抛物线y=ax²与抛物线 y=ax²+k之间的联系. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点. 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象. 【解析】 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x2+1 … … y=x2-1 … … 10 5 2 1 2 5 10 8 3 0 -1 0 3 8 探究新知 二次函数y=ax2+k图象的画法 知识点 1 1.列表： 情境导入 3 3 y=x2+1 10 8 6 4 2 -2 -5 5 x y y=x2-1 y=x2 O 2.描点，连线： 探究新知 情境导入 4 4 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …  y=x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 …  y=x2-2 … 6 2.5 0 −1.5 −2 −1.5 0 2.5 6 … 先列表： 然后描点画图，就得到 y=x2+2， y=x2-2 的图象. y=x2+2 y=x2-2 探究新知 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0,2)； 抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0,-2). y=x2+2 y=x2-2 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 探究新知 探究 (2) 抛物线 y=x2+2， y=x2-2 与抛物线 y=x2 有什么关系？ y=x2+2 y=x2-2 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2； 把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 探究新知 也可以利用信息技术工具画函数 y=a+k 的图象 （不妨令a为0.5）. 改变 k 的值，可以发现，随着 k 的变化，二次函数y=a+k 的图象在向上或向下平移，即把抛物线y=a 向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位长度，就得到抛物线 y=a+k. 探究新知 知识点1 二次函数 的图象和性质 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 ______ _____ ______ ______ _____ ________ ______ _____ ______ ______ _____ ________ 向上 轴 向下 轴 向上 轴 向下 轴 返回 探究新知 9 2.二次函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 返回 探究新知 10 3.[天津津南区期中] 二次函数 的最值情况是( ) B A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值5 D.有最大值 返回 探究新知 11 思考：你能归纳出二次函数 y=a+k 的图象特征和性质吗？ 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向下平移|k|个单位长度 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 （1）当k>0时： （2）当k<0时： 简记为“上加下减常数项” 探究新知 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 二次函数y=ax²+k的图象和性质 探究新知 已知抛物线 y=2x²-3. (1)它的开口向_______,对称轴为__________________,顶点坐标为_______; (2)把抛物线 y=2x² 向_______平移_______个单位长度可得抛物线 y=2x²-3; (3)当x_______时，y随x的增大而减小，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，函数y有最小值，最小值是_______. 例1 y=2x²-3 y=2x² y轴(或直线x=0) (0,-3) 上 下 3 <0 >0 =0 -3 探究新知 4.已知点，都在二次函数 的图象上， 则， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 返回 探究新知 15 5.在抛物线的对称轴左侧，随的增大而减小，则 的取值 范围是( ) A A. B. C. D. 返回 探究新知 16 6. 已知二次函数 的图象不经过第一、二象 限，请写出一个合适的常数 的值：__________________. （答案不唯一） 返回 探究新知 17 7.抛物线与 的形状相同，开口方向相反，且其顶 点坐标是 ，则该抛物线的解析式是____________. 返回 探究新知 18 知识点2 抛物线与 的关系 8.[上海中考] 将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的新 函数的解析式为____________. 返回 探究新知 19 9.抛物线经过平移得到抛物线 ，则这个平移过程 是( ) C A.向左平移5个单位长度 B.向右平移5个单位长度 C.向上平移5个单位长度 D.向下平移5个单位长度 返回 探究新知 20 10.［教材P 38 练习变式］在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ，， 的图象. 解：如图. 探究新知 21 （1）指出抛物线经过怎样的平移可以得到抛物线 与 ； [答案] 抛物线向上平移1个单位长度得到抛物线 ； 抛物线向下平移1个单位长度得到抛物线 . 返回 探究新知 22 （2）分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标以及随着 的增大， 的变化情况. [答案] 抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 ， 当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小；抛 物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 ，当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小；抛物 线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 ，当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. 探究新知 23 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴 平移规律： 上加下减常数项 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $