精品解析：北京市三帆中学2026～2027学年上学期九年级开学考数学试卷

北京市三帆中学2027届暑假学习反馈 初三数学 注意：（1）考试时间100分钟；（2）请将答案填写在答题纸相应的位置上． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形． 【详解】根据中心对称图形的定义，选项A，C，D不符合要求，只有选项B图形绕中心点旋转，图形能够与原图形重合，符合要求． 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等，就能组成直角三角形． 【详解】解：A选项中，∵，， ∴能组成直角三角形，符合题意； B选项中，∵，，， ∴不能组成直角三角形； C选项中，∵，，， ∴不能组成直角三角形； D选项中，∵，，， ∴不能组成直角三角形． 3. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到， ， ， 是的外角， ， ． 4. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 函数的图象与轴交于点 C. 当时， D. 直线经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由一次项系数确定函数增减性，结合特殊点坐标验证各选项正误． 【详解】解：A、∵一次项系数，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、当时，，∴函数图象与轴交于点，结论正确，不符合题意； C、当时，，∵随的增大而减小，∴当时，，结论错误，符合题意； D、∵一次项系数，常数项，∴直线经过第一、二、四象限，结论正确，不符合题意． 5. 如图，在我校女子800米比赛中，小莹和小珊所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，下列说法正确的是（ ） A. 小莹的速度随时间的增大而增大 B. 在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面 C. 在起跑后180秒时，两人相遇 D. 小珊的平均速度比小莹的平均速度大 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图像，明确横轴表示时间，纵轴表示路程，根据图像走势及关键点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，小莹的图像是线段，表示路程随时间均匀增加，即做匀速运动，速度保持不变，故A错误； B.由图像可知，当时，小珊的对应点B在小莹的对应点上方，即， 所以在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面，故B正确； C.由图像可知，当时，小莹到达终点A（），小珊到达点C（），两人路程不相等，未相遇，故C错误 D.小莹跑完全程用时180秒，小珊跑完全程用时220秒，路程均为800米， ∵， ∴小莹的平均速度比小珊的大，故D错误． 6. 某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意可得． 7. 小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（　　） ①小亮测试成绩的平均数比小明的高；②小亮测试成绩比小明的稳定；③小亮测试成绩的中位数比小明的高；④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可． 【详解】①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩且幅度较大，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误； ②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确； ③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误； ④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高， ∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了平均数和方差以及读折线图的能力和利用统计图获取信息的能力． 8. 如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，构造直角三角形，结合题意推出且，进而证明，再利用直角三角形性质，以及勾股定理推出，即可解题． 【详解】解：延长交于点，  正方形各边与正方形平行， ， 正方形中， ， ，  由题知，且， ， ， 在中，， ， ， ， 即正方形的边长为． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解得． 10. 在中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴． 11. 在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．据此即可列出函数关系式． 【详解】解：设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为． ∵在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为． ∴与的函数关系式为． 12. 如图，四边形中，，，平分，取中点，中点，连接，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用角平分线定义、直角三角形斜边上的中线定理、等边对等角和三角形外角性质求出的度数，再利用三角形的中位线定理求出，得到的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，平分， ， ，是的中点， ， ， 是的外角， ， 是的中点，是的中点， ， ， ∴． 13. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程无实数根的条件为判别式小于0，只需通过判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴判别式， 展开整理得， 解得， 因此的取值范围是． 14. 一位求职者参加某公司的招聘，笔试和面试的成绩分别是90和86，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，则此次招聘中面试的权重为________． 【答案】 【解析】 【分析】设面试权重为未知数，根据加权平均数的计算方法列方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设面试的权重为，则笔试的权重为， 根据题意可得： 展开整理得： 解得： ∴此次招聘中面试的权重为（或）． 15. 已知正方形，点是中点，点是直线上的一个动点，若的最小值是，则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质证明，将转化为，再利用三角形三边关系得到的最小值为，最后在中利用勾股定理求出正方形的边长． 【详解】解：如图所示，连接、、， 在正方形中，平分，， ， 在与中， ． ． （当、、三点共线时取等号）． 由题意得，最小值为， ． 设正方形的边长为， 是中点， ． 在中，由勾股定理可得，， 解得， 即正方形的边长为． 16. 如图（1），在中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，已知是关于的一次函数，图象如图（2）所示，①________；②当时，四边形的面积为________． 【答案】 ①. 10 ②. 15 【解析】 【分析】由函数图象可知  的最大值为 10，即 ，结合  可得  长；当  时 ，此时 ，可得  边上的高为 6；利用  可得  关于  的表达式，利用平行线分线段成比例可得  关于  的表达式，代入  计算矩形面积即可． 【详解】解：由图（2）可知， 的取值范围是 ，即      当  时， 此时点  与点  重合， ，即点  到  的距离为 6  四边形  是平行四边形        ∴,     即     ，，   四边形  是矩形，  设点  到  的距离为 ，则      又         当  时， ,   四边形  的面积． 三、解答题（共68分，17、19每题8分，18、23每题10分，20、22、24题每题7分，21题5分，25题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将原式中的各二次根式化简，再根据运算法则进行计算即可． （2）先利用二次根式乘法法则和平方差公式进行计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ， ， ∴或， 解得． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出一次函数的图象； （3）不等式的解集为________； （4）函数的图象与轴交于点，点在轴上．若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 一次函数的图象如下： （3） （4）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由函数的平移可得，再将点代入求出，即可求解； （2）根据列表、描点、连线，即可求解； （3）观察函数图象即可求解； （4）先求出点的坐标，再设，再用含的式子表示出，最后根据，列方程即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， 将点代入中得， 解得， 这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：列表： 描点、连线即可； 【小问3详解】 解：由图可知，当时，，当时，， 不等式的解集为； 【小问4详解】 解：令，则， 解得， ， 点在轴上， 设， ， 的面积为，点， ， 解得或， 点的坐标为或． 20. 如图，已知，点在的平分线上．求作：菱形，使点，分别在边，上． 作法： ①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点，，作直线，分别交，于点，； ②连接，，则四边形就是所求作的菱形． 请你根据以上过程： （1）利用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：是的平分线， ， 垂直平分， ， ________． ________________． ． 同理可证：_____________． ∴四边形是平行四边形（________________________________）．（填推理依据） 又 是菱形（______________________________________________）．（填推理依据） 【答案】（1） （2），，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（）的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得为，为，根据题意可得，，，再根据当时，对于的每一个值都成立即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入得 ， 解得，； 【小问2详解】 由（1）可得，为，为， 当时，对于的每一个值，函数（）的值小于函数的值，且大于函数的值， ，， 对于， ， ， 当，即时，恒成立； 当，即时，， ∴，即，与相矛盾，舍去； ； 对于，有， ， ， 此时， ， 解得； ． 22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 23. 随着信息化脚步的加快，电子产品在学生群体中使用越来越普遍，青少年视力健康受到较大影响．某校对全体学生的视力情况开展了调查统计，为了解九年级学生的视力情况，男女生各随机抽取了20名学生的视力数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．抽取的女生视力数据如下： 4.1，4.2，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5， 4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.2； b．将抽取的男生视力数据进行整理，分为九组（用表示视力情况），分别为，，，，，，，，，得到了男生的视力情况直方图如下； c．抽取的男生、女生的视力情况箱线图如下（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的女生视力的众数是________，第二四分位数________，第三四分位数________；在抽取的男生、女生的视力情况箱线图中绘制女生的视力情况箱线图，并标注数据； （2）如果被抽取的一名学生的视力是4.6，且此视力处于中等偏下的水平，则这名学生是________生（男或女）； （3）小帆观察发现抽取的男生与女生视力的第一四分位数都是4.3，他判断抽取的男生与女生的视力低于4.3的人数一样多．你认为小帆的判断是否正确，并说明理由． ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ （4）已知该校九年级男生共240人，女生共220人，估计该校视力在5.0及以上的九年级学生共有多少人？ 【答案】（1）4.2、4.4；4.5；4.85；绘制女生的视力情况箱线图如下： （2）男 （3）解：小帆的判断不正确，理由如下： ∵由女生视力数据可得，女生视力低于4.3的人数是4人，由男生视力情况直方图可得，有1人，有2人，有2人，若的两人视力均为4.2，则男生视力低于4.3的人数为5人，若的两人视力分别为4.2，4.3，则男生视力低于4.3的人数为4人，若的两人视力均为4.3，则男生视力低于4.3的人数为3人， ∴抽取的男生与女生的视力低于4.3的人数不一定一样多． （4）估计该校视力在5.0及以上的九年级学生约有105人 【解析】 【分析】（1）由出现次数最多的数据即可确定众数，根据第二、第三四分位数的计算方法即可求解，确定数据的最大值，最小值，第一分位数，即可绘制出女生的视力情况箱线图； （2）根据视力4.6高于女生视力情况的中位数，低于男生视力情况的中位数，即可判断； （3）由女生视力数据可得，女生视力低于4.3的人数是4人，由男生视力情况直方图无法确定男生视力低于4.3的人数，即可得小帆的判断不正确； （4）根据抽取的男女生的视力数据可得男女生视力在5.0及以上的人数比例，即可求解． 【小问1详解】 解：由女生视力数据可得，4.2，4.4均出现了3次，则众数为4.2、4.4． 第二四分位数即中位数，取第10个和第11个数的平均数，即； 第三四分位数： 解法一：女生视力数据后10个为：4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.2， 取第5个和第6个数的平均数，即． 解法二：∵， ∴取第15个和第16个数的平均数，即． 由女生视力数据可得，最小值为4.1，最大值为5.2， 第一四分位数： 解法一：女生视力数据前10个为：4.1，4.2，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5， 取第5个和第6个数的平均数，即． 解法二：∵， ∴取第5个和第6个数的平均数，即． 绘制女生的视力情况箱线图略． 【小问2详解】 解：∵女生视力的中位数， ∴视力4.6在女生中是中等偏上的水平， ∵男生视力的中位数， ∴视力4.6在男生中是中等偏下的水平， ∵被抽取的学生视力是4.6，且此视力处于中等偏下的水平， ∴这名学生是男生． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：． 答：估计该校视力在5.0及以上的九年级学生约有105人． 24. 如图，在正方形中，点在延长线上，点与点关于直线对称，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，在上取一点使得，连接． （1）求证：； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F与点B关于对称， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 设， 由轴对称可得， ∵在正方形中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 过点P作于点Q，则， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接．由正方形的性质得到，，由轴对称的性质得到，．证明，得到，证明，得到，即可得证结论； （2）设，由轴对称可得，则，，因此，得到，．过点P作于点Q，则，根据同角的余角相等得出，即可证明，因此，．根据线段的和差证明，因此在中，根据勾股定理得到，即可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕点顺时针旋转，得到点，我们称点所组成的图形为图形关于点的“旋转图形”，称线段的中点为点与图形的“旋转中点”． 已知点，． （1）当，时，在点，，中，点与线段的“旋转中点”是___________； （2）当，时，线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域的面积是________； （3）当，时，已知点，，若线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，则的取值范围为_____________． 【答案】（1） （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点，则点，，取的中点记为，则点与线段的“旋转中点”组成的图形即为线段，然后求出线段的函数表达式，再判断点是否在线段上即可； （2）设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点，求出，，再确定出线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域是矩形即可； （3）可求，，，，则，设以T为中心的正方形绕点R顺时针旋转得到的正方形为正方形，同（2）可求，连接，取的中点为，则，然后以为中心作出正方形，设点的对应点为点，则正方形即为点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”组成的图形，求出，,由于线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，则得到不等式组，再解不等式组即可． 【小问1详解】 解：当，时，点， 设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点， 则点，， ∴线段关于点的“旋转图形”是线段， 取的中点记为， 则点与线段的“旋转中点”组成的图形即为线段， 设线段， 则， 解得， ∴线段， 对于，当时，，故点是点与线段的“旋转中点”， 对于，当时，，故点不是点与线段的“旋转中点”， 对于，当时，，故点是点与线段的“旋转中点”， 故点是点与线段的“旋转中点”； 【小问2详解】 解：由题意得，，则， 设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点， 由旋转可得，， ∴， 过点作轴于点，则， 由旋转可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 对于，设，可得， 当时，，即，此时与点B重合， 当时，，设为 ∴点轨迹为线段，此时， 对于，设，可得 当，即时，，设为， 当，即时，，设为 ∴点轨迹为线段，此时， ∴， 再由线段，的函数表达式可得，， 故四边形是平行四边形， 连接， 则，， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 由题意可得，线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域是矩形， ∴面积为； 【小问3详解】 解：由题意得， 同（2）可求， ∵点， ∴， 设以为对角线的正方形的中心为，则 ∴ 设以T为中心的正方形绕点R顺时针旋转得到的正方形为正方形，的对应点为点 同（2）可求 由题意得，轴， 则轴， 连接，取的中点为 ∴ 然后以为中心作出正方形，设点的对应点为点，，则正方形即为点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”组成的图形， ∴轴， ∴ ∴，即 ，即, 如图： ∵线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”， ∴ 解得， ∴的取值范围为． 附加题（共10分，26题3分、27题7分） 26. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 【答案】 ①. 5 ②. 6 【解析】 【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5个班各赛一场，每天进行3场比赛，先计算总天数，再根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果． 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． 27. 不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.07 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … （1）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； （2）根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） （3）查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 【答案】（1）如图所示，即为函数，的图象 （2） （3）①丙；②乙，60 【解析】 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①②根据图象直接作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； 【小问3详解】 解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，当时，； 时，甲最大，时长为； 时，； 时，乙最大，时长为； 时，丙最大，时长为， ∴总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市三帆中学2027届暑假学习反馈 初三数学 注意：（1）考试时间100分钟；（2）请将答案填写在答题纸相应的位置上． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 函数的图象与轴交于点 C. 当时， D. 直线经过第一、二、四象限 5. 如图，在我校女子800米比赛中，小莹和小珊所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，下列说法正确的是（ ） A. 小莹的速度随时间的增大而增大 B. 在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面 C. 在起跑后180秒时，两人相遇 D. 小珊的平均速度比小莹的平均速度大 6. 某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（　　） ①小亮测试成绩的平均数比小明的高；②小亮测试成绩比小明的稳定；③小亮测试成绩的中位数比小明的高；④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 10. 在中，，则______． 11. 在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 12. 如图，四边形中，，，平分，取中点，中点，连接，，则________． 13. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 14. 一位求职者参加某公司的招聘，笔试和面试的成绩分别是90和86，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，则此次招聘中面试的权重为________． 15. 已知正方形，点是中点，点是直线上的一个动点，若的最小值是，则正方形的边长为________． 16. 如图（1），在中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，已知是关于的一次函数，图象如图（2）所示，①________；②当时，四边形的面积为________． 三、解答题（共68分，17、19每题8分，18、23每题10分，20、22、24题每题7分，21题5分，25题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出一次函数的图象； （3）不等式的解集为________； （4）函数的图象与轴交于点，点在轴上．若的面积为，求点的坐标． 20. 如图，已知，点在的平分线上．求作：菱形，使点，分别在边，上． 作法： ①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点，，作直线，分别交，于点，； ②连接，，则四边形就是所求作的菱形． 请你根据以上过程： （1）利用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：是的平分线， ， 垂直平分， ， ________． ________________． ． 同理可证：_____________． ∴四边形是平行四边形（________________________________）．（填推理依据） 又 是菱形（______________________________________________）．（填推理依据） 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（）的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的值． 22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 23. 随着信息化脚步的加快，电子产品在学生群体中使用越来越普遍，青少年视力健康受到较大影响．某校对全体学生的视力情况开展了调查统计，为了解九年级学生的视力情况，男女生各随机抽取了20名学生的视力数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．抽取的女生视力数据如下： 4.1，4.2，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5， 4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.2； b．将抽取的男生视力数据进行整理，分为九组（用表示视力情况），分别为，，，，，，，，，得到了男生的视力情况直方图如下； c．抽取的男生、女生的视力情况箱线图如下（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的女生视力的众数是________，第二四分位数________，第三四分位数________；在抽取的男生、女生的视力情况箱线图中绘制女生的视力情况箱线图，并标注数据； （2）如果被抽取的一名学生的视力是4.6，且此视力处于中等偏下的水平，则这名学生是________生（男或女）； （3）小帆观察发现抽取的男生与女生视力的第一四分位数都是4.3，他判断抽取的男生与女生的视力低于4.3的人数一样多．你认为小帆的判断是否正确，并说明理由． ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ （4）已知该校九年级男生共240人，女生共220人，估计该校视力在5.0及以上的九年级学生共有多少人？ 24. 如图，在正方形中，点在延长线上，点与点关于直线对称，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，在上取一点使得，连接． （1）求证：； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕点顺时针旋转，得到点，我们称点所组成的图形为图形关于点的“旋转图形”，称线段的中点为点与图形的“旋转中点”． 已知点，． （1）当，时，在点，，中，点与线段的“旋转中点”是___________； （2）当，时，线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域的面积是________； （3）当，时，已知点，，若线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，则的取值范围为_____________． 附加题（共10分，26题3分、27题7分） 26. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 27. 不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.07 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … （1）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； （2）根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） （3）查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $