精品解析：北京市海淀区人大附中2026～2027学年上学期九年级开学考数学试卷

2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习1 2026.9 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，，3 B. 0，，3 C. 0，2，3 D. 1，2，3 2. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 6. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知边长为1的正方形，为边上一动点（点不与点，重合），过点作，交边于点，作点、关于的对称点、，连接，交于点，．给出下面三个结论： ①四边形的周长是一个定值； ②四边形的周长是一个定值； ③和的交点为线段的中点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有① B. 仅有② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_________． 10. 不等式组的解集为________． 11. 窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个内角都等于________度． 12. 将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 14. 如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为________． 15. 如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 16. 暴雨过后，某小区物业同一时刻发现处设施故障，需一名维修工逐一抢修．故障情况如下表： 故障设施 电梯 供水水泵 大门门禁 车库道闸 影响住户（户） 120 80 30 20 所需维修时间（分钟） 50 20 40 10 维修工修完一处立即前往下一处（衔接时间忽略不计）．某处设施的等待时间是指从维修工开始第一处抢修起，到该处抢修完成所经过的时间； 该处故障的影响量=影响住户数×等待时间（单位：户·分钟）． （1）若按“道闸→水泵→门禁→电梯”的顺序抢修，则处故障影响量之和为________户·分钟； （2）若维修工可以自选抢修顺序，为了使影响量之和最小，则应按________________的顺序抢修． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知二次函数． （1）在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）直接写出当时，的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 21. 直角三角形作为特殊的三角形，有它特殊的性质，下面是其中两条重要的性质： 性质一：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 请你选择其中一条，根据以下信息，完成对性质的证明． 性质一 已知：如图，中，，． 求证：． 性质二 已知：如图，中，，为中点，连接． 求证：． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某校为提升学生的科学素养，举办了“未来科学家”科普知识竞赛．九年级甲、乙两个班各派10名学生参加校级决赛．决赛成绩（满分10分，均为整数）的统计信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲班10名同学得分的平均数为________，乙班10名同学得分中最高分为________分； （2）甲班小乐的成绩是9分，乙班小思的成绩也是9分．请结合本班统计图信息，判断在各自班级中的排名更靠前的是________（填“小乐”或“小思”）； （3）小研通过统计图信息发现，甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少，由此判断甲班的平均分也比乙班低．你是否同意小研的判断？若同意，请说明理由；若不同意，请举出反例． 24. 如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 25. 在一定温度下，空气中最多能容纳的水汽质量（单位：）叫做该温度下空气的饱和含湿量．当空气中的实际水汽超过时，超出的部分会凝结成小水珠，这种现象叫做结露（如冬天窗玻璃上的水珠、浴室镜子上的雾）．某中学科技小组查阅气象资料，得到不同温度下空气的饱和含湿量（单位：）的数值如下表： 温度 饱和含湿量 （1）根据表中数据，在给出的平面直角坐标系中，画出范围内关于的函数图象； （2）冬季某天中午，号教室（体积）门窗紧闭，室内温度为，湿度传感器测得空气的实际含湿量为．夜间寒潮来袭，教室温度持续下降： ①当温度降至________时（精确到个位），教室空气中的水汽恰好达到饱和（结露开始发生）； ②当温度降至时，此时号教室的空气中共凝结约________水（精确到整数）； （3）次日清晨，号、号教室（体积均为）温度均为，传感器测得两教室空气的实际含湿量分别为和，两教室的窗玻璃上均出现了结露．为使结露消失（即空气中的水汽不再超过当时的饱和含湿量），有以下两种方案： 方案一：将两教室均升温至（含湿量不变），使两教室空气中的水汽均不再凝结； 方案二：保持，利用新风系统向教室通入室外的干燥空气（含湿量为）并充分混合．经实验测定：向含湿量为的教室通入干燥空气后，教室空气的含湿量变为． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，若1号、2号教室分别通入、干燥空气（、均取整数），使两教室空气中的水汽均不再凝结，则的最小值为________． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． （1）当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； （2）记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 27. 在中，为的角平分线． （1）如图，．求证：； （2）若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若以点，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点为线段的“平行四边形关联点”．已知点，． （1）如图，点，在点，，，中，线段的“平行四边形关联点”是________； （2）点在直线上．若轴上存在线段的“平行四边形关联点”，直接写出此时点的坐标； （3）点在直线上．已知平行于轴且到轴距离为，线段（点在点的左侧），对于线段上任意一点，总存在点，使得点是线段的“平行四边形关联点”．直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习1 2026.9 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，，3 B. 0，，3 C. 0，2，3 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1、一次项系数为，常数项是3， 故选：A 2. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意可得，且，由“两直线平行，内错角相等”可得，然后计算的度数即可． 【详解】解：如下图， 根据题意可知，，且， ∴， ∴． 3. 若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴得，，再利用实数的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 5. 如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 6. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 7. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 8. 如图，已知边长为1的正方形，为边上一动点（点不与点，重合），过点作，交边于点，作点、关于的对称点、，连接，交于点，．给出下面三个结论： ①四边形的周长是一个定值； ②四边形的周长是一个定值； ③和的交点为线段的中点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有① B. 仅有② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据边长为1的正方形和，得到，设，则，，，再根据对称得到，，，，即可得到四边形和都是矩形，再分别求出四边形和的周长即可判断①②；设和的交点为，连接，，证明四边形是平行四边形，结合四边形是矩形，根据对角线互相平分判断③． 【详解】解：∵边长为1的正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵点、关于的对称点、， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， ①四边形的周长为，是一个定值，说法正确； ②四边形的周长为，不是定值，说法错误； ③如图，设和的交点为，连接，， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，即是中点，也是中点， ∵，， ∴， 由正方形可得， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴是中点，也是中点， ∴和的交点为线段的中点，说法正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①③． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 10. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 11. 窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个内角都等于________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，再根据正多边形各个内角均相等，除以边数6即可求解． 【详解】解：正六边形的边数， 根据多边形内角和公式，可得正六边形的内角和为， 因为正六边形的每个内角相等， 所以每个内角的度数为． 12. 将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 【详解】解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得 ， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵垂直且平分线段， ∴． 14. 如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过P作于E，延长交于F，由题意可得四边形是矩形，，根据等腰三角形的性质和矩形性质可得，，，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：连接，，过P作于E，延长交于F， 由题意，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，，即， ∴， 故点到所在直线的距离为． 15. 如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的性质，结合函数图象，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，故①正确； ②∵当时，一次函数图象在二次函数图象的上面， ∴当时，，故②正确； ③根据函数图象可得：抛物线与x轴的两个交点都在的右侧， ∴把代入得， ∴不在二次函数图象上， ∴方程的一个解一定不是，故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点为，另外一个交点在的右侧，且， ∴抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴当时，函数值随着的增大而减小，故④正确； 综上，正确的是①②④． 16. 暴雨过后，某小区物业同一时刻发现处设施故障，需一名维修工逐一抢修．故障情况如下表： 故障设施 电梯 供水水泵 大门门禁 车库道闸 影响住户（户） 120 80 30 20 所需维修时间（分钟） 50 20 40 10 维修工修完一处立即前往下一处（衔接时间忽略不计）．某处设施的等待时间是指从维修工开始第一处抢修起，到该处抢修完成所经过的时间； 该处故障的影响量=影响住户数×等待时间（单位：户·分钟）． （1）若按“道闸→水泵→门禁→电梯”的顺序抢修，则处故障影响量之和为________户·分钟； （2）若维修工可以自选抢修顺序，为了使影响量之和最小，则应按________________的顺序抢修． 【答案】 ①. 19100 ②. 供水水泵→电梯→车库道闸→大门门禁 【解析】 【分析】（1）根据题意依次计算每处故障的等待时间和影响量，再求和即可； （2）4处设施共有24种抢修顺序，依次计算各种顺序的总影响量，对比大小即可解答． 【详解】解：(1)按“道闸→水泵→门禁→电梯”顺序抢修， 道闸等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 水泵等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 门禁等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 电梯等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 总影响量之和为（户·分钟）． （2）按“道闸水泵门禁电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸水泵电梯门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸门禁水泵电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸门禁电梯水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸电梯水泵门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸电梯门禁水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵道闸门禁电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵道闸电梯门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵门禁道闸电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵门禁电梯道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵电梯道闸门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵电梯门禁道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁道闸水泵电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁道闸电梯水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁水泵道闸电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁水泵电梯道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁电梯道闸水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁电梯水泵道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯道闸水泵门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯道闸门禁水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯水泵道闸门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯水泵门禁道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯门禁道闸水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯门禁水泵道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 由上可得，影响量之和最小的是15200户·分钟，则应按“供水水泵→电梯→车库道闸→大门门禁” 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 19. 已知二次函数． （1）在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）二次函数的图象如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出图象即可； （2）先求出该二次函数的顶点坐标，再根据图象求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：列表如下， 描点、画图如下：略 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∴由图象可知，当时，的取值范围为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】（1）证明： ． 方程总有两个实数根 （2）整数的值为． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 21. 直角三角形作为特殊的三角形，有它特殊的性质，下面是其中两条重要的性质： 性质一：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 请你选择其中一条，根据以下信息，完成对性质的证明． 性质一 已知：如图，中，，． 求证：． 性质二 已知：如图，中，，为中点，连接． 求证：． 【答案】性质一 证明：如图，延长到，使，连接， ， 为线段的垂直平分线， ， 又在中，，， ， 为等边三角形， ， ， ． 性质二 证明：如图，延长到，使，连接、， 为中点，即， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为矩形， ， ， ． 【解析】 【分析】性质一：根据三角形内角和定理，由已知的、，计算出的度数．选取构造辅助线的方法，可在斜边上截取线段等于直角边，或者延长至某点使延长的线段等于，构造出等边三角形，结合等边三角形的判定与性质，得到边长的等量关系，进而推导出与的数量关系． 性质二：采用倍长中线的思路，延长至某点，使延长部分等于，连接该点与点，构造矩形，利用矩形的性质，推导得到与的数量关系． 【详解】略 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，即可得到答案． （2）由（1）得到两个一次函数的解析式，根据一次函数的图象和性质，以及正比例函数的图象和性质，得到满足已知条件的答案． 【小问1详解】 解：把和分别代入得：， 解得：， ∴的值为，的值为； 【小问2详解】 解：由（1）得，两个一次函数的解析式分别为：和， 当时，代入函数中，得：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， 即当时，函数的图象在函数和的图象的下方， ∵函数的图象为一条过原点的直线， ∴如图所示，当时，当函数与函数平行时，函数的图象在函数和的图象的下方， 此时函数的解析式为， 如图所示，当时，当函数与函数相交于点时，函数的图象在函数和的图象的下方， 此时函数经过点，即， ∴此时函数的解析式为， ∴当时，当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值． 23. 某校为提升学生的科学素养，举办了“未来科学家”科普知识竞赛．九年级甲、乙两个班各派10名学生参加校级决赛．决赛成绩（满分10分，均为整数）的统计信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲班10名同学得分的平均数为________，乙班10名同学得分中最高分为________分； （2）甲班小乐的成绩是9分，乙班小思的成绩也是9分．请结合本班统计图信息，判断在各自班级中的排名更靠前的是________（填“小乐”或“小思”）； （3）小研通过统计图信息发现，甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少，由此判断甲班的平均分也比乙班低．你是否同意小研的判断？若同意，请说明理由；若不同意，请举出反例． 【答案】（1）7.5，10 （2）小乐 （3）不同意，反例为：乙班决赛成绩为3，3，6，6，8，9，9，10，10，10，此时平均分为7.4低于甲班 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义和统计图、箱线图即可解答； （2）根据统计图和箱线图即可解答； （3）根据甲班的平均数、中位数、众数、满分人数，举反例即可； 【小问1详解】 解：根据统计图可得，甲班10名同学得分的平均数（分）， 根据箱线图可得，纵轴得分的最大值为10，因此乙班10名同学得分中最高分为10分； 【小问2详解】 解：甲班中，成绩高于9分的只有1个得10分的学生，因此小乐的9分在甲班排第2名； 乙班的箱线图显示上四分位数为10，说明乙班有至少3名学生得分为10分，小思的9分在乙班的排名比小乐靠后， 因此排名更靠前的是小乐； 【小问3详解】 解：根据题意，甲班平均数是7.5、中位数是7、众数是7，满分1人； 我们可以构造符合条件的乙班成绩：比如乙班众数为10、中位数为8.5，满分3人， 成绩可以为3分、3分、6分、6分、8分、9分、9分、10分、10分、10分， 乙班平均分为， 此时乙班平均分7.4低于甲班的7.5，满足“甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少”，但甲班平均分更高，因此小研的判断不成立． 24. 如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 【答案】（1）证明：点是的中点，， 四边形为平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， 四边形为菱形； （2）， 取得最小值时点的位置如图所示： 【解析】 【分析】（1）首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，继而通过证明为的中位线，得到，继而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形为菱形． （2）根据菱形的性质得到为线段的垂直平分线，继而得到当点为线段和线段的交点时，取得最小值，为的长，根据的直角三角形的性质以及菱形的性质得到，，过点作交的延长线于，通过证明，根据勾股定理以及的直角三角形的性质得，即的最小值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可知，在菱形中，为线段的垂直平分线，而点在线段上运动， ， ， 当点为线段和线段的交点时，取得最小值，为的长，如图所示， 在中，，，， ， 点是的中点， ， 又在菱形中，，， ，， 如图，过点作交的延长线于， ， ， 在中，， ，， 又在中，， ， 的最小值为． 25. 在一定温度下，空气中最多能容纳的水汽质量（单位：）叫做该温度下空气的饱和含湿量．当空气中的实际水汽超过时，超出的部分会凝结成小水珠，这种现象叫做结露（如冬天窗玻璃上的水珠、浴室镜子上的雾）．某中学科技小组查阅气象资料，得到不同温度下空气的饱和含湿量（单位：）的数值如下表： 温度 饱和含湿量 （1）根据表中数据，在给出的平面直角坐标系中，画出范围内关于的函数图象； （2）冬季某天中午，号教室（体积）门窗紧闭，室内温度为，湿度传感器测得空气的实际含湿量为．夜间寒潮来袭，教室温度持续下降： ①当温度降至________时（精确到个位），教室空气中的水汽恰好达到饱和（结露开始发生）； ②当温度降至时，此时号教室的空气中共凝结约________水（精确到整数）； （3）次日清晨，号、号教室（体积均为）温度均为，传感器测得两教室空气的实际含湿量分别为和，两教室的窗玻璃上均出现了结露．为使结露消失（即空气中的水汽不再超过当时的饱和含湿量），有以下两种方案： 方案一：将两教室均升温至（含湿量不变），使两教室空气中的水汽均不再凝结； 方案二：保持，利用新风系统向教室通入室外的干燥空气（含湿量为）并充分混合．经实验测定：向含湿量为的教室通入干燥空气后，教室空气的含湿量变为． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，若1号、2号教室分别通入、干燥空气（、均取整数），使两教室空气中的水汽均不再凝结，则的最小值为________． 【答案】（1）关于的函数图象如图所示， （2）①（或都得分）；② （3）①（此空需与（2）①一致才得分）；② 【解析】 【分析】（1）先描点，再画出图象即可； （2）①根据图象找出时的值即可得出答案； ②根据表格得出当时，每空气中共凝结水，进而求出空气中凝结水的质量即可； （3）①分别求出1号、2号教室空气中的水汽恰好达到饱和时的温度，即可得出答案； ②根据公式，分别求出需加入的干燥空气的体积，即可求出的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由图象可知，当时，， ∴当温度降至时（精确到个位），教室空气中的水汽恰好达到饱和． ②由表格可知，当时，， ∴当时，每空气中共凝结水， ∵教室体积为， ∴当温度降至时，此时号教室的空气中共凝结约水． 【小问3详解】 解：①由（2）可知，当实际含湿量为时，温度降至时开始凝结， ∴号教室需从升温至，空气中的水汽不再凝结， 由图象可知，当时，， ∴号教室需从升温至，空气中的水汽不再凝结， ∴方案一中，的最小值为． ②∵当时，， ∴，， 解得：，， 经检验，，是分式方程的解，且符合题意， ∴的最小值为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． （1）当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； （2）记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①抛物线的对称轴为直线；② （2）或． 【解析】 【分析】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【小问1详解】 解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 27. 在中，为的角平分线． （1）如图，．求证：； （2）若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 【答案】（1）证明：在上截，连接， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）当时， 当时， 的度数为或 【解析】 【分析】（1）在上截，连接，证明，可得，再根据线段的加减即可解答； （2）分三种情况，即当时，当时，当时，分别画出图形，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，图1为示意图，延长到，使，连接， ， ，． 为的角平分线， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，且， ，解得； ②当时，图2为示意图，延长到，使，连接， 同理可得， ， ， ， 在中，且， ，解得； ③当时， 根据三线合一，为的高， ， ， 即与无交点，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若以点，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点为线段的“平行四边形关联点”．已知点，． （1）如图，点，在点，，，中，线段的“平行四边形关联点”是________； （2）点在直线上．若轴上存在线段的“平行四边形关联点”，直接写出此时点的坐标； （3）点在直线上．已知平行于轴且到轴距离为，线段（点在点的左侧），对于线段上任意一点，总存在点，使得点是线段的“平行四边形关联点”．直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 （3）若在轴上方，；若在轴下方， 【解析】 【分析】（1）设线段的“平行四边形关联点”是，以对角线进行分类讨论，利用平行四边形的对角线互相平分可求出P的坐标，即可判断线段的“平行四边形关联点”； （2）设点的坐标为，线段的“平行四边形关联点”为，利用平行四边形的对角线互相平分可分别求出以为对角线、以为对角线、以为对角线时的坐标； （3）当在轴上方，，，设点坐标为，点坐标为，利用平行四边形的对角线互相平分求出的坐标，从而判断点的位置，再利用点在直线上，分别讨论当和与轴垂直时的情况，即可求出的范围；当在轴下方时，，，用同样方法也可求出的范围，最后综合两种情况下的的范围即可． 【小问1详解】 解：设线段的“平行四边形关联点”是， 由平行四边形的对角线互相平分，可知：两条对角线的中点重合， 当为对角线时，与的中点坐标相同，则： ，解得：， 此时点P的坐标为； 当为对角线时，与的中点坐标相同，则 ，解得：， 此时点P的坐标为； 当为对角线时，与的中点坐标相同，则 ，解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或， ∴点，，是线段的“平行四边形关联点”． 【小问2详解】 解：∵点在直线上， ∴设点的坐标为， ∵轴上存在线段的“平行四边形关联点” ∴设线段的“平行四边形关联点”为， 当为对角线时，则 ，解得：， 此时点的坐标为； 当为对角线时，则 ，解得：， 此时点的坐标为； 当为对角线时，则 ，解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：当在轴上方，，， 设点坐标为，，点坐标为， 当为对角线时，则 ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴此时点在直线上，横坐标最小值为，最大值为， ∵点在直线， 当时，直线与直线的交点坐标为； 当直线与轴垂直时，与直线的交点坐标为， ∴此时且，即且， ∴此时不存在，不符合题意； 当为对角线时，则 ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴此时点在直线上，横坐标最小值为，最大值为， ∵点在直线， 当时，直线与直线的交点坐标为； 当直线与轴垂直时，与直线的交点坐标为， ∴此时且，即且， ∴此时不存在，不符合题意； 当为对角线时，则 ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴此时点在直线上，横坐标最小值为，最大值为， ∵点在直线， 当时，直线与直线的交点坐标为； 当直线与轴垂直时，与直线的交点坐标为， ∴此时且，即； 当在轴下方，，， 设点坐标为，，点坐标为， 同理：当为对角线时，则 ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴此时点在直线上，横坐标最小值为，最大值为， ∵点在直线， 当时，直线与直线的交点坐标为； 当直线与轴垂直时，与直线的交点坐标为， ∴此时且，即且； ∴此时不存在，不符合题意； 当为对角线时，则 ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴此时点在直线上，横坐标最小值为，最大值为， ∵点在直线， 当时，直线与直线的交点坐标为； 当直线与轴垂直时，与直线的交点坐标为， ∴此时且，即； 当为对角线时，则 ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴此时点在直线上，横坐标最小值为，最大值为， ∵点在直线， 当时，直线与直线的交点坐标为； 当直线与轴垂直时，与直线的交点坐标为， ∴此时且，即； ∴综上：当在轴下方时，； 综上所述：当在轴上方，；当在轴下方，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $