专题14相似多边形、图形的位似 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦相似多边形与图形的位似核心知识点，系统梳理相似多边形的概念、性质（对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比k，面积比等于k²），以及位似图形的特殊性质（位似中心、位似比，对应点连线过中心且对应线段平行或共线），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料亮点在于知识清单通过对比表格明晰相似图形、多边形与位似图形的联系，15类题型覆盖判断、计算、坐标系作图等，培养几何直观与推理能力。题型精讲实例引导用数学语言表达，课中辅助教学，课后小练助力查漏补缺，提升应用意识。

专题14相似多边形、图形的位似同步培优讲义 ✺知识框架 1.相似多边形：图形的相似、相似多边形的概念与相似比，相似多边形的性质。 2.图形的位似：位似图形、位似中心、位似比的概念，位似图形的性质，位似与相似的关系，利用位似放大或缩小图形。 ✅相似多边形的性质以相似比 k 为核心：对应角相等，对应边成比例，周长之比等于 k，面积之比等于 k²。位似图形是特殊的相似图形，位似比即相似比；位似比大于 1 时图形放大，小于 1 时图形缩小。 ✺学习目标 1.理解相似多边形的概念及相似比，能判断两个多边形是否相似。 2.掌握相似多边形的性质：对应角相等、对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，并能进行有关计算。 3.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能识别位似图形并确定位似中心与位似比。 4.掌握位似图形的性质，能按给定位似比画出位似图形（放大或缩小）。 ✺题型归纳 题型1.相似多边形 题型2.相似图形 题型3.相似多边形的性质 题型4.位似图形的识别 题型5.判断位似中心 题型6.位似图形相关概念辨析 题型7.求两个位似图形的相似比 题型8.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型9.求位似图形的对应坐标 题型10.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型11.在坐标系中画位似图形 题型12.在坐标系中画位似中心 题型13.坐标与图形综合 题型14.相似三角形的综合问题 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、相似多边形 1.图形的相似：由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，图形的形状没有改变，这种图形的改变叫作图形的相似。 2.相似多边形：一般地，对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。如下图： ▲相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比。 3.相似多边形的性质： （1）对应角相等，对应边成比例； （2）周长之比等于相似比； （3）面积之比等于相似比的平方。 ▲相似图形、相似多边形、位似图形对比 名称 定义要点 相互关系 相似图形 形状相同的图形 图形的相似即形状相同 相似多边形 对应角相等、对应边成比例的多边形 两个条件缺一不可 位似图形 对应点连线交于一点，且交点到对应点的距离之比相等 位似图形必定是相似图形 知识点二、图形的位似 1.位似图形：如果两个图形满足：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫作位似图形。如下图. ▲位似中心：经过各对应两点的直线的交点叫作位似中心。 ▲位似比：位似中心到两个对应点的距离之比叫作位似比。 2.位似图形的性质： （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； （2）位似图形的对应线段平行或在同一条直线上。（3）两个位似图形一定是相似形，位似比也就是相似比 3.利用位似放大或缩小图形：若所画图形与原图形的位似比大于 1，则将图形放大；若位似比小于 1，则将原图形缩小。 知识点三、画位似图形 画位似图形的要点 1.确定位似中心，依次连接位似中心与图形各关键点； 2.按位似比在相应连线或其延长线上取对应点，顺次连接各对应点，即得所求图形。 ✺题型精讲 题型1.相似多边形 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 2．下列各组多边形中，一定相似的是___________（填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 3．如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 题型2.相似图形 1．下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．观察图①、图②并填空： 图②中，与A相似的图形有_______；与B相似的图形有_______；与C相似的图形有_______（填字母序号）． 3．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 题型3.相似多边形的性质 1．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 3．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 题型4.位似图形的识别 1．下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为___________． 3．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 题型5.判断位似中心 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    3．用直尺画出下面位似图形的位似中心． 题型6.位似图形相关概念辨析 1．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 2．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 题型7.求两个位似图形的相似比 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 2．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 3．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 题型8.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 1．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 2．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出； (2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出． 题型9.求位似图形的对应坐标 1．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 3．如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 题型10.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 1．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，将放大倍，得到． (1)点的对应点的坐标是______． (2)若的面积为，求的面积． 题型11.在坐标系中画位似图形 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    3．网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 题型12.在坐标系中画位似中心 1．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 3．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 题型13.坐标与图形综合 1．已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是，，． (1)请在图中画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点M在x轴上，若三角形的面积为2，请直接写出点M的坐标． 题型14.相似三角形的综合问题 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 2．如图，已知，若，，则_____. 3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 2．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，(．若的长为10，则的长为______． AI 6．如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 三、解答题 7．根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 8．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 9．在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14相似多边形、图形的位似同步培优讲义 ✺知识框架 1.相似多边形：图形的相似、相似多边形的概念与相似比，相似多边形的性质。 2.图形的位似：位似图形、位似中心、位似比的概念，位似图形的性质，位似与相似的关系，利用位似放大或缩小图形。 ✅相似多边形的性质以相似比 k 为核心：对应角相等，对应边成比例，周长之比等于 k，面积之比等于 k²。位似图形是特殊的相似图形，位似比即相似比；位似比大于 1 时图形放大，小于 1 时图形缩小。 ✺学习目标 1.理解相似多边形的概念及相似比，能判断两个多边形是否相似。 2.掌握相似多边形的性质：对应角相等、对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，并能进行有关计算。 3.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能识别位似图形并确定位似中心与位似比。 4.掌握位似图形的性质，能按给定位似比画出位似图形（放大或缩小）。 ✺题型归纳 题型1.相似多边形 题型2.相似图形 题型3.相似多边形的性质 题型4.位似图形的识别 题型5.判断位似中心 题型6.位似图形相关概念辨析 题型7.求两个位似图形的相似比 题型8.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型9.求位似图形的对应坐标 题型10.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型11.在坐标系中画位似图形 题型12.在坐标系中画位似中心 题型13.坐标与图形综合 题型14.相似三角形的综合问题 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、相似多边形 1.图形的相似：由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，图形的形状没有改变，这种图形的改变叫作图形的相似。 2.相似多边形：一般地，对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。如下图： ▲相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比。 3.相似多边形的性质： （1）对应角相等，对应边成比例； （2）周长之比等于相似比； （3）面积之比等于相似比的平方。 ▲相似图形、相似多边形、位似图形对比 名称 定义要点 相互关系 相似图形 形状相同的图形 图形的相似即形状相同 相似多边形 对应角相等、对应边成比例的多边形 两个条件缺一不可 位似图形 对应点连线交于一点，且交点到对应点的距离之比相等 位似图形必定是相似图形 知识点二、图形的位似 1.位似图形：如果两个图形满足：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫作位似图形。如下图. ▲位似中心：经过各对应两点的直线的交点叫作位似中心。 ▲位似比：位似中心到两个对应点的距离之比叫作位似比。 2.位似图形的性质： （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； （2）位似图形的对应线段平行或在同一条直线上。（3）两个位似图形一定是相似形，位似比也就是相似比 3.利用位似放大或缩小图形：若所画图形与原图形的位似比大于 1，则将图形放大；若位似比小于 1，则将原图形缩小。 知识点三、画位似图形 画位似图形的要点 1.确定位似中心，依次连接位似中心与图形各关键点； 2.按位似比在相应连线或其延长线上取对应点，顺次连接各对应点，即得所求图形。 ✺题型精讲 题型1.相似多边形 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． 2．下列各组多边形中，一定相似的是___________（填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 3．如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 【答案】 不相似．理由如下： ，，，，， ，． ，． ∴ 矩形和矩形不相似． 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，欲判断矩形和矩形是否相似，需判断的值和的值是否相等，据此求解即可． 【详解】略 题型2.相似图形 1．下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 2．观察图①、图②并填空： 图②中，与A相似的图形有_______；与B相似的图形有_______；与C相似的图形有_______（填字母序号）． 【答案】 ad b cf 【分析】本题考查相似图形的识别，掌握相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 通过观察图形的形状，判断哪些图形与分别具有相同的形状． 【详解】解：与相似的图形：观察形状，与的形状相同，故①为； 与相似的图形：与的形状相同，故②为； 与相似的图形：与的形状相同，故③为． 故答案为：． 3．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【分析】（1）将原图形的每个顶点沿格点方向，使得到对应顶点的距离变为原来的2倍，然后依次连接这些新顶点，即可得到放大2倍后的图形． （2）在左边格点图中画一个直角梯形，然后在右边格点图中画出一个边长比例不同但形状相同的直角梯形，使其与左边图形相似． 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 题型3.相似多边形的性质 1．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 2．已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，与是对应边，， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 题型4.位似图形的识别 1．下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为___________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，运用相似比的平方等于面积比求解即可． 【详解】由题，根据位似图形的性质可得：， 且放大得到， ∴△ABC∽△DEF，相似比为， 根据相似图形面积比等于相似比的平方， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的性质及相似三角形的面积比，熟记面积比等于相似比的平方是解题关键． 3．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 题型5.判断位似中心 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 3．用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】 如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：略． 题型6.位似图形相关概念辨析 1．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似的性质可得，，则，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为， 故选：A． 2．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 题型7.求两个位似图形的相似比 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 2．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 3．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】(1) 解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)， (3) 解：如图， 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 题型8.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 1．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 2．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】 位似中心 位似中心 相似比 【解析】略 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出； (2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用位似变换的性质，分别作出的对应点即可． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求． 题型9.求位似图形的对应坐标 1．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 3．如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换，掌握位似的定义和性质是解题的关键． （1）位似中心为点O，根据位似比，连接，，并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点A的坐标为， ∴点A的对应点D的坐标是， 故答案为：． 题型10.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 1．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的周长比为． 2．如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为， ∴，即，解得：． ∴的面积为5． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，将放大倍，得到． (1)点的对应点的坐标是______． (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)或； (2) 【分析】本题考查了位似变换的性质，包括位似图形对应点的坐标变化规律以及面积比与位似比的关系，熟练运用相关性质是解答本题的关键． （1）利用位似变换中对应点坐标的变化规律，结合位似中心为原点，确定点对应点的坐标； （2）根据位似图形的面积比等于位似比的平方，结合已知的面积，计算的面积． 【详解】（1）解：位似图形对应点的坐标比等于位似比，点的坐标为， 当位似图形与原图形在位似中心同侧时：， 当位似图形与原图形在位似中心异侧时： 点的坐标是或； （2）解：位似比为，则面积比为， ， ． 题型11.在坐标系中画位似图形 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 2．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 3．网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 题型12.在坐标系中画位似中心 1．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 3．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1) 如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； (2) 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型13.坐标与图形综合 1．已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算． 利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 【详解】解：∵直线轴 ∴点P与点Q的横坐标相等 ∵点P横坐标为，点Q横坐标为6 ∴ 解得 将代入，得点P的纵坐标为，即 ∴线段的长为 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分别当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点为E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是，，． (1)请在图中画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点M在x轴上，若三角形的面积为2，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求，， (2) (3)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，再顺次连接，然后写出的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； （3）设的纵坐标是b，根据三角形的面积为2，可得，求出，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：略； （2）解：； （3）解：设的纵坐标是b， ∵三角形的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴或． 题型14.相似三角形的综合问题 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 2．如图，已知，若，，则_____. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 2．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 二、填空题 4．如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 【答案】 4 ，，， 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴，，，， ∴，，，，共4对相似三角形， 故答案为：4；，，，． 5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，(．若的长为10，则的长为______． AI 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，过点A作轴于E，通过解，分别求出和，进一步即可求出点A的坐标． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， 过点A作轴于E， 在中， ，． ∴，， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关计算，坐标与图形，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 三、解答题 7．根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【详解】（1）略； （2）解：，且， ∴； （3）解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 8．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1) 点即为所求； (2) 作图如下： 【分析】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答关键． （1）连接、、相交于点，即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点得到，即可． 【详解】（1）解：连接、、相交于点， ∵， ∴， ∵与关于点位似， ∴与的面积比为； 故答案为： （2）解：取、、的中点、、，顺次连接各点得到． 9．在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 【答案】(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下： ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $