专题13 相似三角形的性质及应用 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形性质及应用，系统梳理相似三角形对应边、高线、中线、角平分线、周长的比等于相似比，面积比等于相似比平方的性质，结合三角形重心分中线1:2的特性，构建从基础性质到实际应用（影长测高、构造相似测河宽等）的递进学习支架。 资料通过9类题型（含动点、古题应用等）精讲，如《孙子算经》测树高问题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理相似比的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

专题13 相似三角形的性质及应用 同步培优讲义 ✺知识框架 1.相似三角形的性质：包括基本性质、对应线段的性质、周长与面积的性质。 2.三角形的重心：包括重心的定义与性质。 3.相似三角形的实际应用：包括利用影长测量物体的高度、构造相似三角形测量河的宽度、借助标杆或直尺测量物体的高度。 ✅相似三角形的所有长度类对应量（对应边、对应高线、对应中线、对应角平分线、周长）的比都等于相似比 k，面积的比等于 k²；三角形的重心分每一条中线成 1∶2 的两条线段； 实际测量问题均归结为构造相似三角形，利用对应边成比例求不可直接测量的高度或距离。 ✺学习目标 1.理解相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例；能正确识别相似三角形的对应角与对应边。 2.掌握相似三角形的性质定理：对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。 3.了解三角形的重心的概念，知道三角形的重心分每一条中线成 1∶2 的两条线段。 4.能运用相似三角形的性质解决有关线段长、周长、面积的计算问题，以及测量物体高度、河流宽度等实际问题。 ✺题型归纳 题型1.利用相似三角形的性质求解 题型2.利用相似求坐标 题型3.在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型4.相似三角形——动点问题 题型5.相似三角形实际应用 题型6.相似三角形的判定与性质综合 题型7.重心的概念 题型8.重心的有关性质 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 相似三角形对应高的比等于相似比。 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 相似三角形对应中线的比等于相似比。 知识点二、相似三角形的周长之比、面积比 相似三角形的周长之比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方 知识点三、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心。 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 知识点四、 相似三角形的实际应用 1.利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和 "在同一时刻物高与影长的比相等" 的原理解决。 ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。 2.利用相似测量河的宽度（测量距离） ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造 "A" 型或 "X" 型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。 ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。 3.借助标杆或直尺测量物体的高度 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。 ✺题型精讲 题型1.利用相似三角形的性质求解 1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 3．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． 题型2.利用相似求坐标 1．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    2．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 3．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 题型3.在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 2．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 3．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似； (2)在图2中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 【答案】(1) 解：如图1， 即为所求； (2) 解：如图2，即为所求． 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，则，由相似三角形的判定方法可知； （2）取格点，，，连接，，，使，，即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型4.相似三角形——动点问题 1．如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ）    A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 【答案】C 【分析】求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ，， ∵D为的中点， ∴，E为的中点，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 2．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为t（s），请求出t为何值时，△EFC和△ACD相似． 【答案】s或2s 【分析】点F在AC上，点E在BD上时，①时，△CFE∽△CDA，②当时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：如图中， 点F在AC上，点E在BD上时， ①当时，△CFE∽△CDA， ∴， ∴， ②当时，即， ∴t＝2， 当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似， 综上所述，s或2s时，△EFC和△ACD相似． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，由相似三角形的性质正确列出方程是解题的关键． 题型5.相似三角形实际应用 1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【分析】要想求出地上阴影部分的面积，只需求出底面圆的直径，首先画出该立体图形主视图，不难发现线段即为底面圆的直径，根据题目已知数据可以得到，，．由“”字型相似容易得到，通过相似三角形对应线段成比例可以求出，最后代入圆的面积公式即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，依题意知，，，， 由得，即， 故． 题型6.相似三角形的判定与性质综合 1．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 2．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 3．如图，在和中，D，分别是，上一点，．当时，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似证得，推出，再证明即可． 【详解】略 题型7.重心的概念 1．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 2．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是_______．    【答案】D 【分析】分别确定边与边的中点，然后连接中线，其交点D就是三条中线的交点． 【详解】如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．    故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角形三条中线的交点（即三角形的“重心”）的画法，解题的关键是熟知三角形的三条中线相交于一点． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出的重心，并直接写出重心的坐标：（______，______）（保留画图痕迹） 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求，． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，重心．解决本题的关键是掌握轴对称的性质和重心的定义． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）分别画边的中线和边的中线交于点，再写出点的坐标． 【详解】（1）略 （3） 略 题型8.重心的有关性质 1．如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 2．若O为的重心，的面积为4，则的面积为___． 【答案】12 【分析】、、，交、、于点D、E、F，根据三角形重心的定义得到、、是的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形进行解答． 【详解】解：如图，分别延长、、，交、、于点D、E、F， ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴，， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴的面积为：． 3．在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，即为的中点，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出中线的长，最后根据重心的性质计算的长即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点 ， ∵是的重心， ∴是的中线，即为的中点， ∵ ， ∴ ， 在 中，， ， ， ∴由勾股定理得： ， ∴， 根据重心的性质可知， ∴， 即的重心到斜边中点的距离是． ✺课堂小练 一、单选题 1．若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 2．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 【答案】B 【分析】如图，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯A的高度等于米． 3．如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 二、填空题 4．把一个平面组合图形分割成甲乙两部分，建立平面直角坐标系．若甲乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心为，则有，．一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）如图所示，延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，，其重心分别为，．则“”形图形的重心坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，认真分析题意，先算出的值，再结合重心分别为，．以及公式，进行代入数值化简，即可作答． 【详解】解：∵一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，， ∴， ∵其重心分别为，， ∴， ， ∴“”形图形的重心坐标为． 5．如图，点是的重心，如果，，，那么__________． 【答案】10 【分析】利用重心得到中线，根据中线平分面积得到，再利用勾股定理逆定理和直角三角形斜边中线的性质得到的长度，从而得到答案． 【详解】解：延长交于点M，设点A到边的距离为，点B到边的距离为，点A到边的距离为， ∵点是的重心， ∴、都是的中线， 即，， ∴，，，， ∴，， 同理，，， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 根据勾股定理逆定理得，是直角三角形， 即， 在中，， ∴， ∴． 6．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解． 【详解】解：∵直线，即恒过点， 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴，即， ， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据网格的特点，连接的网格的对角线，与交于点； （2）根据三角形重心的性质，连接边上的中线，交于点，则． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 【答案】14 【分析】根据和的面积比求出边长比，再根据，利用相似三角形的性质确定各边长的比例求出的长度，进而求出的长． 【详解】解：的面积等于，的面积等于， ． ． ， ． ， ， ． ， ， ． 9．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 相似三角形的性质及应用 同步培优讲义 ✺知识框架 1.相似三角形的性质：包括基本性质、对应线段的性质、周长与面积的性质。 2.三角形的重心：包括重心的定义与性质。 3.相似三角形的实际应用：包括利用影长测量物体的高度、构造相似三角形测量河的宽度、借助标杆或直尺测量物体的高度。 ✅相似三角形的所有长度类对应量（对应边、对应高线、对应中线、对应角平分线、周长）的比都等于相似比 k，面积的比等于 k²；三角形的重心分每一条中线成 1∶2 的两条线段； 实际测量问题均归结为构造相似三角形，利用对应边成比例求不可直接测量的高度或距离。 ✺学习目标 1.理解相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例；能正确识别相似三角形的对应角与对应边。 2.掌握相似三角形的性质定理：对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。 3.了解三角形的重心的概念，知道三角形的重心分每一条中线成 1∶2 的两条线段。 4.能运用相似三角形的性质解决有关线段长、周长、面积的计算问题，以及测量物体高度、河流宽度等实际问题。 ✺题型归纳 题型1.利用相似三角形的性质求解 题型2.利用相似求坐标 题型3.在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型4.相似三角形——动点问题 题型5.相似三角形实际应用 题型6.相似三角形的判定与性质综合 题型7.重心的概念 题型8.重心的有关性质 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 相似三角形对应高的比等于相似比。 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 相似三角形对应中线的比等于相似比。 知识点 二、相似三角形的周长之比、面积比 相似三角形的周长之比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方 知识点三、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心。 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 知识点四、 相似三角形的实际应用 1.利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和 "在同一时刻物高与影长的比相等" 的原理解决。 ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。 2.利用相似测量河的宽度（测量距离） ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造 "A" 型或 "X" 型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。 ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。 3.借助标杆或直尺测量物体的高度 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。 ✺题型精讲 题型1.利用相似三角形的性质求解 1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．已知，的周长为的周长为________． 3．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 题型2.利用相似求坐标 1．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    3．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    题型3.在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 2．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 3．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似； (2)在图2中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 题型4.相似三角形——动点问题 1．如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ）    A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 2．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为t（s），请求出t为何值时，△EFC和△ACD相似． 题型5.相似三角形实际应用 1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 3．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 题型6.相似三角形的判定与性质综合 1．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 3．如图，在和中，D，分别是，上一点，．当时，判断与是否相似，并说明理由． 题型7.重心的概念 1．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 2．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是_______．    3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出的重心，并直接写出重心的坐标：（______，______）（保留画图痕迹） 题型8.重心的有关性质 1．如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若O为的重心，的面积为4，则的面积为___． 3．在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． ✺课堂小练 一、单选题 1．若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 3．如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 二、填空题 4．把一个平面组合图形分割成甲乙两部分，建立平面直角坐标系．若甲乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心为，则有，．一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）如图所示，延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，，其重心分别为，．则“”形图形的重心坐标为__________． 5．如图，点是的重心，如果，，，那么__________． 6．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为__________． 三、解答题 7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 8．如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 9．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $