2.2 一元二次方程的解法—因式分解法 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层设计梯度清晰，从单一解法到综合应用，适配新授课知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接因式分解求解|选择、填空题考查基本解法，如方程根的判断| |中档层|根的概念及简单应用|结合根与方程关系（如第9题）、代数式求值（第5题）| |提升层|综合应用与跨情境|解答题融入几何（菱形对角线，第10题）、新定义运算（第12题）及推理证明（第16题）|

2.2 一元二次方程的解法—因式分解法 同步练习 一、选择题： 1.方程的根可以是(    ) A. B. C. D. 2.解一元二次方程最适宜的方法是(    ) A. 直接开平方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 配方法 3.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 4.已知一元二次方程的两个根分别为，，则这个方程可能是(    ) A. B. C. D. 5.已知实数满足，则代数式的值为(    ) A. B. C. 或 D. 以上均不正确 6.关于的方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题： 7.一元二次方程的解是          ． 8.一元二次方程的解为          ． 9.已知关于的一元二次方程的两个根是和，则的值是          ． 10.菱形的两条对角线的长是方程的两个实数根，则该菱形的边长为          ． 11.若，则的值为          ． 12.定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：若，则          ． 三、解答题： 13.用因式分解法解下列方程： ． ． ． 14.用适当的方法解下列方程： ． ． ． ． 15.小明与小红两位同学解方程的过程如下框： 小明： 等号两边同除以， 得， 则． 小红： 移项得， 提取公因式得． 则或， 解得，． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 16.关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 17.已知的两条直角边的长，满足，且，求此三角形的斜边长和面积． 18.【阅读理解】对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： ． 【理解运用】如果，那么，即有，或因此，方程和的所有解就是方程的解． 【解决问题】求方程的解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2.2一元二次方程的解法一因式分解法同步练习 一、选择题： 1.方程x2-8x=0的根可以是() A.x=0 B.X=1 C.x=2 D.X=-1 2.解一元二次方程(x-1)2=2(x-1)最适宜的方法是() A.直接开平方法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 3.一元二次方程x(x-5)=x-5的根是() A.x=1 B.x=-5 C.x1=1,x2=5D.x1=0,x2=5 4.已知一元二次方程的两个根分别为x1=3,x2=一5，则这个方程可能是() A.(x-3)(x-5)=0 B.(x+3)(x-5)=0 C.(x+3)(x+5)=0 D.(x-3)x+5)=0 5.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值为() A.-1 B.7 C.-1或7 D.以上均不正确 6.关于x的方程ax(x-b)+(b一x)=0(a≠0)的根是() A.x1=a,x2=b Bx1=b,x2=日 C.x=a,=君 D.x1=a2,x2=b2 二、填空题： 7.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的解是 8.一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为 9.已知关于x的一元二次方程3(x-1)(x-m)=0的两个根是1和2，则m的值是 10.菱形的两条对角线的长是方程x2-6x+8=0的两个实数根，则该菱形的边长为 11.若(x+y)2-4(x+y)+3=0,则x+y的值为 12.定义新运算：对于任意实数m,n都有mm=m2-mn+n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘 方运算.例如：(-3)☆2=(-3)2-(-3)×2+2=17.若x☆4=1，则x= 三、解答题： 13.用因式分解法解下列方程： (1)x2-9=3-x. 第1页，共3页 (2)(x-3)2+4x(x-3)=0. (3)(2x-1)2=(x-3)2. 14.用适当的方法解下列方程： (1)5(x-1)2=125 (2)x2+4x-2=0. (3)x2-1=2(x+1). (4x2-3x-1=0. 15.小明与小红两位同学解方程3(x-3)=(x-3)的过程如下框： 小红： 小明： 移项得3(x-3)-(x-3)2=0, 等号两边同除以(x一3)， 提取公因式得(x-3)3-x-3)=0. 得3=x-3, 则x-3=0或3-x-3=0, 则x=6. 解得x1=3,x2=0. 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程， 16.关于x的一元二次方程x2+(m-3)x+2-m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围. 17.已知Rt△ABC的两条直角边的长a,b满足(a2+b2)(a2+b2-2)=24,且a+b=2V2,求此三角形的 斜边长和面积. 第2页，共3页 18.【阅读理解】对于x3-(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3-n2+1)x+n=x3-n2x-x+n=x(x2-n2)-(x-n)=x(x+n)(x-n)-(x-n)=(x-n)(x2+ nx-1). 【理解运用】如果x3-(m2+1)x+n=0,那么(x-n)(x2+nx-1)=0,即有x-n=0,或x2+nx-1=0. 因此，方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程x3-(n2+1)x+n=0的解. 【解决问题】求方程x3-5x+2=0的解. 第3页，共3页答案和解析 1.【答案】A 【解析】方程可化为x(X-8)=0,故x=0或x-8=0,所以X1=0,x2=8.故选A. 2.【答案】C 解：方程(x-1=2x-1)变形得，(x-1P-2(x-1)=0 因式分解得：（x-1)(x-3)=0, X-1=0或x-3=0 解得：X1=1,X2=3 则解此方程最简便的方法是因式分解法. 故选：C. 3.【答案】C 【解析】解：移项得x(x-5)-(x-5)=0,提取公因式得x-5)(x-1)=0, x-5=0或x-1=0 解得X1=1,X2=5,故选C. 4.【答案】D 5.【答案】B 解：(x2-x-4x2-x)-12=0' .（x2-x+2)(x2-x-6)=01 .X-x+2=0或X2-X-6=0 x-x=-2或X-x=6 第1页，共1页 当x2-x=-2时， x2-x+2=0'方程无实数解。 当x2-X=6时， x2-x+1=71 故选B 6.【答案】B 7.【答案】X1=2,X2=-7 8【答案1X=2,X= 【解析】解：4x(x-2)=x-2 4x(x-2)-（x-2)=0 (x-2)(4x-1)=0 X-2=0或4x-1=0 解得刘=2名子 1 故答案为：X1=2,X2=4 9.【答案】2 10.【答案】5 11.【答案】1或3 12.【答案】1或3 【解析】由题意，得x-4x+4=1, 第2页，共1页 整理，得x2-4x+3=0, 因式分解，得（x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,X2=3. 故答案为1或3. 13.【答案】【小题1】 .x2-9=3-x,.(x+3)(x-3)=-(x-3), ∴.(x+3)(x-3)+(x-3)=0,.(x-3)(x+3+1)=0, ∴.X-3=0或x+3+1=0,.∴.X1=3,X2=-4 【小题2】 .(x-32+4xx-3)=0'∴.（x-3)(x-3+4x)=0 ∴.（x-3)(5x-3)=0,∴.x-3=0或5x-3=0, 3目 【小题3】 移项，得(2x-1-(x-3}=0 .(2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0, .（3x-4)(x+2)=0, 4 3x-4=0减x+2=0,X=3X,=-2. 14.【答案】【小题1】 两边都除以5得(x-1P=25 开平方，得x-1=±5.∴.X1=6,x2=-4. 【小题2】 移项，得x+4X=2配方，得X+4X+4=6°即(x+2}=6 开平方，得x+2=±6：.X=-2+V6x2=-2-6 第3页，共1页 【小题3】 原方程变形为x+1)(x-1)-2(x+1)=0 因式分解，得x+1)(x-1-2)=0,即(x+1)(x-3)=0, x+1=0或x-3=0X=-1'x,=3 【小题4】 a=1’b=-3’c=-1'∴.=b2-4ac=(-32-4×1×(-1)=13>0' 3+V13,.3-V13 =-v6-4ac_313,:.x1 2a 2 X22 15.【答案】小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3(x-3)=(x-32, 3x-3)-（x-32=0 (x-3)(3-x+3)=0 (x-3)(6-x)=0 则x-3=0或6-x=0, 所以x=3”X2=6 【解析】解：由题知， 小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3(x-3)=(x-32, 3(x-3)-(x-32=0 第4页，共1页 (x-3)(3-x+3)=0 (x-3)(6-x)=0 则x-3=0或6-x=0, 所以X1=3,X2=6. 16.【答案】【小题1】 解：：X2+m-3x+2-m=0 ∴.△=m-3}2-42-m=m2-2m+1=m-12≥0' ∴该方程总有两个实数根： 【小题2】 解：：X+m-3x+2-m=0' .x-1川x+m-2=0, 解得，X1=1,X2=2-m, 该方程的实数根均为非负数， .∴.2-m≥0， 解得，m≤2， .∴.m的取值范围为m≤2. 17.【答案】解：设斜边长为c,a+b=m,则m(m-2)=24. .m2-2m-24=0°∴.(m-6)(m+4)=01 解得m1=6,m2=-4. .m=a2+b≥0 .a2+b2=m=6∴.c2=a2+b2=6 第5页，共1页 :斜边长 =v61 .a+b=2V2' .a2+2ab+b2=(2V22=8 ∴.2ab=8-（a2+b2)=8-6=2 ∴.ab=1' 5amb-号 综上所述，此三角形的斜边长为6，面积为 18【答案】解：方程x-5x+2=0可变形为x2-(4+1)x+2=0” .x3-4X-x+2=0 ∴.(x3-4x)-（x-2)=0 .x(x+2)(x-2)-（x-2)=01 ∴.(x-2)(x2+2x-1)=01 x-2=0或2+2x-1=0 ∴.X1=2'X2=-1+V2’X3=-1-V2 第6页，共1页 第7页，共1页