5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦函数零点、方程解与图象交点的联系这一核心知识点，从函数零点概念出发，梳理三者关系，通过零点存在定理构建判定零点区间的方法，结合单调性形成判断零点个数的递进式学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过基础训练、题型分类及变式拓展，培养学生数学思维的推理能力与运算能力。结合零点存在定理应用、数形结合判断零点个数等实例，发展数学眼光的抽象能力与几何直观，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

　函数应用 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1.函数零点的概念 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象、方程的根的关系 |微|点|助|解| (1)函数的零点是实数,而不是点.如函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0). (2)并不是所有的函数都有零点,如函数f(x)=,y=x2+1均没有零点. (3)若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. (4)零点的概念沟通了函数与方程,使方程解的问题可以通过研究函数图象性质得以解决.函数零点的个数决定了相应方程实数解的个数. (5)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数解,也是函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.　 3.零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. |微|点|助|解| (1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0; (2)闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件; (3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y=x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上无零点. (　 ) (2)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. (　 ) (3)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)·f(b)<0. (　 ) 答案:(1)×　(2)√　(3)× 2.下列各图象表示的函数中,没有零点的是 (　 ) 解析:选D　结合函数零点的定义可知选项D没有零点. 3.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则 (　 ) A.方程f(x)=0一定有一实数解 B.方程f(x)=0一定无实数解 C.方程f(x)=0一定有两实根 D.方程f(x)=0可能无实数解 解析:选D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管有f(-1)f(3)<0,但方程f(x)=0在(-1,3)内可能无实数解. 4.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为 (　 ) A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2) 解析:选D　由f(-1)=-<0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2). 5.函数f(x)=2 024x-2 025的零点是 (　 ) A. B.2 025 C.-2 025 D. 答案:D 题型(一)　求函数的零点 [例1]　(1)求函数f(x)=-x2-4x-4的零点; (2)求函数f(x)=的零点. 解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2. 所以函数的零点为-2. (2)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3; 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2. 所以函数f(x)=的零点为-3和e2. 　　[变式拓展] 1.将本例(1)的题设改为:若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值. 解:由函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是2和-4,知方程x2+ax+b=0的两个根是2和-4,由根与系数的关系可知解得a=2,b=-8.即a,b的值分别是2和-8. 2.将本例(1)的题设改为:已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点. 解:由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a. 故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,解得x=0或x=-. 所以函数g(x)的零点为0和-. |思|维|建|模|　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点 几何法 与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 　 [针对训练] 1.(多选)方程(x2-4)=0的解可以是 (　 ) A.x=-2 B.x=- C.x= D.x=2 解析:选CD　由题意,得方程(x2-4)=0,则x2-4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=.又由2x-1≥0,解得x≥.所以方程 (x2-4)=0的解为x=2或x=. 题型(二)　函数零点所在区间的判定 [例2]　函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是 (　 ) A.(1,2)　　　　　　　 　　　　 B.(2,3) C.和(3,4) D.(e,+∞) 解析:选B　∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴在(1,2)内f(x)无零点.故排除A.∵f(3)=ln 3->0,∴f(2)f(3)<0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点. [例3]　若x0是方程ex+x=2的解,则x0属于区间 (　 ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析:选C　构造函数f(x)=ex+x-2,由f(0)=-1,f(1)=e-1>0,显然函数f(x)是单调递增函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)内,所以方程ex+x=2的解在区间(0,1)内. [变式拓展] 1.若例2的题设改为:若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1)且k∈Z,则k=　　　　.  解析:令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,由零点存在定理得f(2)f(3)<0,∴零点所在区间为(2,3),∴k=2. 答案:2 2.若例3的题设改为:若函数f(x)=ex+4x+a的零点所在的区间为(0,1),则实数a的取值范围是　　　　.  解析:∵函数f(x)=ex+4x+a为增函数,其零点所在的区间为(0,1).∴解得-e-4<a<-1. 答案:(-e-4,-1) |思|维|建|模|　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 解方程法 当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上 利用零点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 题型(三)　函数零点个数的判断 [例4]　函数f(x)=x2+ln x-2 020的零点个数是 (　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:选C　函数f(x)=x2+ln x-2 020的定义域为(0,+∞),因为函数y=x2,y=ln x-2 020在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=-2 020<0,f(2 020)=1 009×2 020+ln 2 020>0,由零点存在定理得,函数f(x)=x2+ln x-2 020的零点个数是1.故选C. [例5]　函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数是　　　　.  解析:法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图). 由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x+x2-3=0有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点. 法二:由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,所以f(1)f(2)<0.又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是连续的,所以f(x)在(1,2)内必有零点.又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,所以零点只有一个. 答案:1 　 |思|维|建|模| 判断函数零点个数的4种常用方法 (1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数. (3)结合单调性,利用零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. [针对训练] 2.已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是　　　　.  解析:作出g(x)与f(x)的图象,如图,由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,即h(x)有3个零点. 答案:3 [课时检测] 1.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为 (　 ) A.2 B.-2 C.±2 D. 3 解析:选C　因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0.解得b=±2. 2.(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是 (　 ) 解析:选CD　根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标,选项A中与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C、D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点. 3.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是 (　 ) A.(1,+∞) B. C. D. 解析:选B　由f(x)=2x-,得f=-2<0,f(1)=2-1=1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为. 4.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表: x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98 则下列判断正确的是 (　 ) A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点 B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点 C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点 D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点 解析:选ABC　已知f(-1)f(0)<0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间内均有零点,但不能断定有几个零点,故A、B、C正确,D不正确. 5.函数f(x)=2-x+log3|x|的零点的个数是 (　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:选A　由题意可令f(x)=0,将函数化为x-2=log3|x|.画出函数y=x-2和y=log3|x|的图象如图所示,由图象可知,函数图象有三个交点,所以有三个零点. 6.已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上 (　 ) A.至少有一实数根 B.至多有一实数根 C.没有实数根 D.必有唯一的实数根 解析:选D　由题意知函数f(x)为连续函数,∵f(a)·f(b)<0,∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点,故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实数根. 7.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:选A　∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得0<m<1.∴实数m的取值范围是(0,1).故选A. 8.(5分)函数f(x)=的零点是　　　　.  解析:令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,解得x=1.故函数f(x)的零点为1. 答案:1 9.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.  解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2,3, ∴即a=5,b=-6.∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-. 即为函数g(x)的零点. 答案:-,- 10.(5分)若函数y=+m有零点,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:因为函数y=+m有零点,所以方程+m=0有解.即方程=-m有解.因为|x-1|≥0,所以0<≤1.即0<-m≤1,因此-1≤m<0. 答案:[-1,0) 11.(5分)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“<”连接).  解析:画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,观察图象可知, 函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c. 答案:a<b<c 12.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出其零点. (1)f(x)=-x2+2x-1;(2分) (2)f(x)=x4-x2;(2分) (3)f(x)=4x+5;(3分) (4)f(x)=log3(x+1).(3分) 解:(1)令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1. 所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. (2)令f(x)=x2(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1或x=-1. 故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1. (3)令4x+5=0,则4x=-5, 因为4x>0,-5<0,所以方程4x+5=0无实数解. 所以函数f(x)=4x+5不存在零点. (4)令log3(x+1)=0,解得x=0. 所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0. 13.(10分)已知函数f(x)=x2-bx+3. (1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;(4分) (2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.(6分) 解:(1)由f(0)=f(4),得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3.令f(x)=0,即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图. 需要f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4. 故b的取值范围为(4,+∞). 14.(15分)已知奇函数f(x)= (1)求实数m的值;(5分) (2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的根的个数.(10分) 解:(1)因为f(x)=为奇函数, 所以f(-x)+f(x)=0对任意x∈R恒成立. 不妨设x>0,则-x<0, 所以(-x)2+m(-x)-x2+2x=0.解得m=2. (2)由(1)可得,f(x)= 作出f(x)的大致图象,如图所示, 方程f(x)=a(a∈R)的根的个数,即y=f(x)与y=a函数图象的交点个数. 由图可知,当a>1或a<-1时,方程f(x)=a的根的个数为1;当a=±1时,方程f(x)=a的根的个数为2; 当-1<a<1时,方程f(x)=a的根的个数为3. 学科网（北京）股份有限公司 $