4.2 对数的运算-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦对数的运算这一核心知识点，系统梳理对数的运算性质（积、商、幂的对数转化）、换底公式及推论，构建从性质理解到公式应用再到实际问题解决的学习支架。 采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”强调运算性质使用条件（如对数有意义）培养严谨数学思维，“思维建模”总结化简求值技巧提升逻辑推理能力，结合火箭速度计算等实际问题体现数学语言表达现实世界的应用意识。课中助力教师分层教学，课后通过基础训练与题型练习帮助学生查漏补缺。

§2　对数的运算 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] 　　　　　　　　　　　　[课时目标] 1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1.对数的运算性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则对数运算具有如下运算性质: (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)loga=logbM-logaN; (3)logaMb=blogaM. 恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0). |微|点|助|解| 1.对数的运算性质 (1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”. (2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. (3)注意性质的使用条件:每一个对数都要有意义. log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,log10(-10)2=2log10(-10)是不成立的. 2.对数运算中的常用结论 已知a>0,且a≠1. (1)loga=logaM-1=-logaM(M>0); (2)loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N+,p,n>1); (3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N+,N1,N2,…,Nk均大于0). 2.对数换底公式 logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1). 3.推论 (1)logab·logba=1(a>0,b>0,c>0,且a≠1,b>0,且b≠1). (2)logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1). |微|点|助|解| (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)运用换底公式可以改变对数式的底数,把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明. (3)实际应用换底公式时,底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数. 基础落实训练 1.计算log84+log82等于 (　 ) A.log86 B.8 C.6 D.1 解析:选D　log84+log82=log88=1. 2.计算log92×log43= (　 ) A.4 B.2 C. D. 解析:选D　log92×log43=×=×=. 3.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　 ) A.a-b2 B.a-2b C. D. 解析:选B　∵lg 3=a,lg 7=b,∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43=　　　　.  解析:log43===. 答案: 题型(一)　对数运算性质的应用 [例1]　求下列各式的值. (1);(2)(lg 5)2+lg 2×lg 50; (3). 解:(1)原式= ==. (2)原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1) =(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2 =lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (3)原式= = == ==-1. |思|维|建|模| 对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是: ①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式; ②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). (2)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简. (3)当真数是形如“±”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. [针对训练] 1.计算: (1)2(lg )2+lg ×lg 5+; (2)log535+2lo-log5-log514. 解:(1)原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1. (2)原式=log5+2lo=log553-1 =3-1=2. 题型(二)　对数换底公式的应用 [例2]　已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 解:因为2b=3,所以b=log23,即log32=. 所以log1456=== ==. [变式拓展] 1.本例条件不变,试用a,b表示log2898. 解:log2898=====. 2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢? 解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37, 所以log1456===. |思|维|建|模| 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 　　[针对训练] 2.求值: (1)log23×log35×log516; (2)(log32+log92)(log43+log83). 解:(1)原式=×× ===4. (2)原式= = =×=. 题型(三)　对数运算的实际应用 [例3]　在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s). 解:因为v=ln=2 000ln,所以v=2 000ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s. |思|维|建|模|　解决对数应用题的一般步骤 　　[针对训练] 3.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　 ) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析:选D　由题意,得=2.1,=3.15.若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=. [课时检测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.计算lg 2-lg-eln 2等于 (　 ) A.-1 B. C.3 D.-5 解析:选A　原式=lg-2=-1. 2.化简log832的值为 (　 ) A. B.2 C.4 D. 解析:选D　log832===. 3.已知10x=3,10y=5,则用x,y表示lg为 (　 ) A. B. C.2x+y-1 D.2x-y+1 解析:选C　因为10x=3⇔x=lg 3,10y=5⇔y=lg 5,所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1. 4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) (　 ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析:选D　由已知得,lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093. 5.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为 (　 ) A.1 B.4 C.1或4 D.或4 解析:选B　由对数的运算性质可得,lg(x-2y)2=lg(xy),所以(x-2y)2=xy.即x2-5xy+4y2=0,所以(x-y)(x-4y)=0.所以=1或=4.又x-2y>0,x>0,y>0,所以>2.所以=4. 6.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为 (　 ) x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 解析:选A　ln=ln(31.9×1.312) =[ln(31.9)+ln(1.312)]=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334. 7.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 (　 ) A.+=1 B.+=lg 20 C.+=2 D.+= 解析:选AB　由已知,得a=log210,b=log510,+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确. 8.(5分)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于　　　　.  解析:∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100. 答案:100 9.(5分)已知log37=a,log74=b,用a,b表示log427为　　　　.  解析:由log37=a,log74=b,可得ab=log37×log74=log34=2log32.则log427====. 答案: 10.(5分)(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  解析:根据题意有-=-,即3loga2-=-.设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,解得t=(舍负),所以loga2=,所以=2,解得a=64. 答案:64 11.(5分)十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN,现在已知a=log48,b=log24,则4a=　　　　,a+b=　　　　.(用最简结果作答)  解析:已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=. 答案:8　 12.(10分)计算下列各式的值: (1)log3+lg 25+lg 4+;(5分) (2)2log32-log3+log38-.(5分) 解:(1)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 13.(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(已知lg 2≈0.301 0). 解:设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原先容器中的空气体积为a,则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001,两边取常用对数,得n·lg 0.4<lg 0.001,∴n>=≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%. 14.(10分)设xa=yb=zc,且+=,求证:z=xy. 证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为+=,所以+=,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy. 15.(10分)已知集合A={log52,log425,2},集合B=.记集合A中最小元素为a,集合B中最大元素为b. (1)求A∩B及a,b的值;(3分) (2)证明:函数f(x)=x+在[2,+∞)上单调递增;并用上述结论比较a+b与的大小.(7分) 解:(1)因为log425=log25,所以A={log52,log25,2},B={log25,-2},即A∩B={log25}.因为log52<log525=2=log24<log25,所以a=log52,b=log25. (2)证明:设x1,x2为[2,+∞)上任意两个实数,且2≤x1<x2,则x1-x2<0,x1x2>1, f(x1)-f(x2)=-=x1-x2+-=(x1-x2)×<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上单调递增. 所以f(x)>f(2)=. 所以log52+log25=+log25=f(log25)>. 学科网（北京）股份有限公司 $