4.2.2 换底公式 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.2.2 换底公式 1．通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算． 2．运用对数运算性质解决有关问题． 对数运算的性质与换底公式的应用． 灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值． 2 有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)．对一般的底数，且和，要计算 ，必须将它转换成常用对数或自然对数． 如何转换呢? 3 用计算器中的常用对数键“LOG”算出的值: 用计算器求的值． 操作步骤： 设， 则5， 等式两边取常用对数： 得，所以． 同理可得．这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出的值． (计算器显示的数位是有限的，所以得到的结果一般是近似值)． 通过操作计算器的过程，你能总结出什么规律？ 总结：一般地，若，，，且，，则， 这个结论称为对数的换底公式．常见的有：或． 注意：(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义； (2) 换底公式用于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明； 常用结论：①(a>0且，b>0且 ②且，，． ③且，b>0 你能用其他方法证明对数的换底公式吗? 证明：令，则，， 计算，故，等式两边同时取对数： ， 所以． 可用代数法进行证明． 计算：（1）；（2）；（3）（0，0，且，）． 解： 根据对数的换底公式，得 （1）； （2）； （3）． 观察题目对数的特点，用换底公式化为同底数对数再计算. 7 计算：（1）；（2）． 解：根据对数的换底公式，得 （1） （2） 不是同底数对数，要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算． 8 (1)已知，，试用，表示． (2)设，求的值． 解：(1)由，得． 又，则． (2)由，得，， 由换底公式得，，则． 9 技巧总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路： ①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键； ②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值． (2)指数式的连等式求值方法： 第一步：可令连等式等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示； 第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数； 第三步：运用对数的运算性质化简求值． 10 计算：（1）；（2）； （3）；（4）． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 11 分别计算下列各式，你能得出什么结论?（1）； （2）；（3）． 解：（1）； （2））； （3） 通过观察得出结论：且，，． 12 设0，0，0且，，利用对数的换底公式证明：（1）;（2）． 设，是正数，且，求的值． 证明：（1）；（2）． 解：因为0，0，，所以 因为，所以， 即，所以，所以． 13 换底公式：一般地，若，，，且，，则． 常用结论： ①(a>0且，b>0且 ②且，，． ③且，b>0 14 教材第104页习题4-2A 组第6-7题． 15 再 见 $$