第8单元 对数运算与对数函数 B卷能力提升-【金试卷】2026-2027学年高一数学必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第八单元对数运算与对数函数 B卷能力提升 建议用时：120分钟满分：150分 曲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若1ogy=x,则 ( A.y=x°B.y=xa C.y=7xi D.y=2 密 2.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够 长远的角度看，更有前途的生意是 封 A.y=10×1.05 B.y=20+x.5 C.y=30+lg(x-1) D.y=50 线 3.若1g2=a,lg3=b,则log24等于 ( ) A.3a+6 B.4+36 1+a C.3a+b D.a+36 ,1+a 1-a 1-a 内 4.设a=log34,b=log43,c=log3(1og43),则 ( ) A.c<b<a B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b In x 不 1+x,x>0 5.函数f(x)= 的图象大致是 In (-x) ,x0 1-x 故 答 题 6.已知函数f()=lgc二e,则f(x)是 丝 A.非奇非偶函数，且在(0，十∞)上单调递增 亦 B.奇函数，且在R上单调递增 C.非奇非偶函数，且在(0，十∞)上单调递减 D.偶函数，且在R上单调递减 7.已知函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)，记g(x)=f(x)·[f(x) 15.已知定义在R上的函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，且 十f(2)-1],若g(x)在区间 [22上是藏函数，则实数a的取值 y=f(x-1)的图象关于x=1对称，若f(loga)<f(-2),则a 的取值范围是 范围是 16.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)= A.[8,+∞) f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2，则”= 10 C.(0,1)U(1,2) D.[2,+o∞) 8.已知函数f(x)=log2(4十1)十ax是偶函数，函数g(x)=22r+ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 22x十m·2f)的最小值为一3，则实数m的值为 ( ) 程或演算步骤 A.3 B-昌 17.(10分)已知集合A={xlog(ax十1)<1，a>0},B={x2x2 C.-2 D 3x-2<0}. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 (1)求集合A,B; 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 (2)已知p:x∈A,q:x∈B,若p是q的 条件，求实数a 得2分，有选错的得0分 的取值范围. 9.下面给出的四个式子中(a>0,a≠1，x>0,y>0,x>y)错误的是 ( 请在①必要不充分，②充分不必要，③充要这三个条件中选择一 A.logx logay_log (xy)B.logax.logay_log (x+y) 个填在横线上（若多选，按第一个给分），补全第(2)题，并根据所 选条件解答该题. C.log.=log.(x-） D.loga (x-y)= logax logay 10.若4=10g,3-1,2-则下列结论正确的是 ( A.a+b=2 B.a-b<0 c2<a<1 11.已知函数f(x)=log(x2-1),g(x)=x2-2x十a,3x1∈[2，十o∞)， Vx∈[日3有fx,)≤g,.则实数a的可能取值是（） 1 A.2 B.1 c D.3 log:(1一x),-1≤x≤n 12.已知n<m,函数f(x)= 22-l-11-3,n<x≤m 的值域是 [一1,1]，则下列结论正确的是 A.当a=0时n∈（分2习 B当n∈[0,2时，m∈(n,2] C.当neo,号)时，m∈[1,2 D当n=时m∈（日，2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.计算，/og5)2-4og5+4+1og:号 14.函数f(x)=(3m-1)log2x-3m(m∈R)的图象恒过定点A,则 点A的坐标为 ,若点A在函数g（)=1一4-5的图 象上，则g(x)在(0，十∞)上的最小值为 .(本题第一空 2分，第二空3分) 第一部分单元检测卷21 18.(12分)解下列方程： D2gx-lg3)=lg5-2g(x-10): (2)1g x++2logioxx-2; (3)10g-1)(2x2-3x+1)=1. 19.(12分)已知函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)，函数h(x)的图 象与f(x)的图象关于直线y=x对称，且h(1)=2. (1)求实数a的值； (2gx)=(受)·f(信)x∈[28，求g)的最小值，最大 值及对应的x的值 22第一部分单元检测卷 20.(12分)数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则 解决数学问题的素养，对数运算与指数幂运算是两类重要的 运算 (1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发 展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学 们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0,且a≠1， M>0,那么logM"=nlog M(n∈R); (8计纳竖紧8+授尚值： (3)因为21°=1024∈(103,104).所以21°的位数为4（一个自然 数数位的个数，叫作位数).请你运用所学过的对数运算的知识， 判断2022223的位数.（注：lg2022=3.306) 21.(12分)已知函数f(x)=log2x,x∈[2,8]，函数g(x)=(x) 2af(x)+3的最小值为h(a). (1)求h(a); (2)是否存在实数m,n,同时满足以下条件：①m>n>3;②当 h(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m]?若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由. 22.(12分)对于定义在区间[m,n]上的两个函数f(x)和g(x),如 果对任意的x∈[m,],均有|f(x)一g(x)|≤1成立，则称函数 f(x)与g(x)在[m,n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已 知函数fr)=log.（-3a,g(x）=lg.a(a>0,a≠1 (1)若f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上都有意义，求a的取 值范围； (2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a十3]上是否“友好”(2).a=3 F(x)=1g:(3+z）+1oa(}-）-1og:[(号+x(号-)】 1og(日-r), +> 由 解得xE(合号)》 号->0 画鼓F()的定义拔（一号，写）关于原点对称， F(一x)=F(x),∴.F(x)为偶函数. Fx)=1og(日-2)xe(-g号) 令1=号2e(0,时]F0=lbeo号-2 ∴.F(x)的值域为(-∞，-2]. 2.解（1)由1og。-log,六，得1og1-3=logy-30ga, 由1=a,≠1知x=10g1≠0，代入上式得x-3=-是+og… ∴logy=x2-3x+3,即y=a-3x+3(x≠0). (2)令4=2-8x+3=(x-）+红≠0).则y=a0u≠3》. ①若0<a<1,要使y=ar-3x+3在区间(0,2]上有最小值8， 则=(。-）+子在(02]上应有最大值，但其在0,2]上不存在最大值，故不符 合题意. ②若a>1,要使y=a-3x+3在区间(0,2]上有最小值8， 则u=(-）+子在0,2]上应有最小值当x=时m=y=, 由a于=8，得a=16. 综上可知，a=16,x=2 3 B卷能力提升 1.B由1ogx=之，得x=,.(5)7=(x)7,则y=x7.故选B. 2.A由于指数函数的底数大于1时，共增长速度随着时间的推移会越来越快，所以y =10×1.05x是更有前途的生意，故选A. 3.C1og24=1g24-1g(3X2)-3lg2±lg33a+b.故选C. 1g51g2 0 1g10-1g21-a 4.A:b=log43∈(0,1)，∴.c=log3(1og43)<0,又a=log34>1∴.c<b<a,故选A. 5.C当x>0时，-1<0，f(-x)=n=f(x):同理，当x<0时，f(-x)=f(x),所 1十x 以f(x)为偶函数，排除选项B,D.又当x∈(0,1)时，lnx<0,1十x>0,所以f(x)< 0,排除选项A.故选C 6.A要俊品教有意义，需使e>0,即>e2>1,解得>0， 所以函数f(x)的定义域为(0，十∞)，定义域不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇 非偶函数； 因为y=y=一e=一是增西数，所以)是增画就，又y=gx是增 函数，所以函教f()=1g。二在定义城(0，十∞)上单调递增.故选A, .A8)=e.[/)+f2)-1=og·0og+liog,2-1D=0(0 621=00g-ga-1g2lg小.今1=g,当e[22]时e [-g2.lg2,◆M)=g0r-0ga-1g2加.日为g在区闪[合，]小上是 72参考答案 减函数，所以M)在1E[-1g2.lg2]上是减画数，所以lga,1g2≥1g2,解得4≥8， 2 故选A. 8.B由题意得f(-x)=f(x),即log2(4-x+1)-ax=log2(42+1)十ax,所以2ax+ 1og2(4+1)-1og2(4+1)=0,其中1og2(4+1)-log2(4F+1D=1og24:+ 4x+1 +1）…45=1og,（4+1).4=10g,4=2,所以2ax+2x=0,解得a=-1, log2(4+1)·49 4x+1 所以f(x)=10g2(4+1)-,2d)=2g,+1)-=4十1=24+2，故函数g(x) =22x十2-2x十m(2x十2x)的最小值为-3.令2r十2r=t,则t≥2，故h(t)=2十mt 人> 2(≥2)的最小值为-3，等价于 {g2 或 h2)=2m+2=-34(-）=-T-2=-3 解得m=一7.故选B. 9.BCDA选项：由对数的运算性质：当a>0,a≠1，x>0,y>0时，logax+logay log(xy)成立，故A选项正确；B选项：当x=2,y=1时，x>0,y>0,x>y成立，log。 x.logy=0≠1og(x十y)=log3,故B选项错误；C选项：当x=2,y=1时，x>0,y >0,z>y成立，log。-log,2≠log(红-y)=0,故C选项错误D选项：当x=2,y -1时>0>0成主要无者义tD选项雄暖就选， 10.ABC由题意可得a=1og3-1=log影号b=1lo8e号.对于Aa+6=log:多+1og 号=1o8(3×号）=log,4=2所以A正确：对于Ba-6=(1o83-1)-log:8 10g23)=210g3-4<210g24-4=0,所以B正确；对于C.因为，2<号<2，所以1og2 e<10g2,所以合<1号<1，所以号<a<1,所以C正确：对于D.因 2<1og221 为>06>0a+6=2.所以日+合日+8)a+0)=号(2+8+台)≥ (2+2合·号)=2，当且仅当a=6时取等号，而a≠6：所以取不到等号，所以 +名>2，所以D错误.故选ABC a 1.cD1[2,+),9,∈[日]有g,等价于方∈[2，+ ∈[33]时，f)n≤gm当xE[2,+o)时，画数f)=lgx2-1) 单调递增，可得f(x)mim=f(2)=1.g(x)=x2-2x十a的图象开口向上且对称轴为 当x∈「号，3时，g=gqDa1,1≤a-1,解得a≥2，故 12.CD当x>1时，x-1>0,此时y=22-x-1-3=22-x+1-3=23-x-3单调递 减，当-1<x<1时，x-1<0,此时y=22-1x-1-3=22+x-1-3=21+x-3单调 递增，所以y=22-x-1-3在（一1,1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，所以当 x=1时，y=22-x-1-3取得最大值，为22-3=1.作出y=1og5(1一x)与y= 22-x-1一3在[-1，十∞)上的图象如图所示： 43 y=log (1-x) 3 2 ...-y=1 0 4-3-2 4 …y-1 y=22-3 /1og5(1-x),-1≤x≤0 对于A,当n=0时，f(x)= 22-x-1-3,0<x≤m 因为f(x)的值域为[一1,1]， 结合图象知mE[1,2,故A不正确：对于B,当n[0,号）小[-1时，1-x [1-n,2],此时(x)=log号(1-x)∈[-1，log号(1-n)],此时-1≤f(x)≤1og号(1-n) <1,因为f(x)的值域为[-1,1]，则x∈(n,m]时f(x)=1必有解，即22-x-11-3 =1,解得x=1,由因知m∈[1,2]，故B不正确，C正确；对于D,当n=2时， =g:1-)在[-1号]上单调延塔，北时八)的最小维为-1D=吸2=-1 fx)的最大值为/(2）=1og(1-)=1,要使f(x)的值城为[-1,1，由图知 m∈(22故D正确，故选CD, 1 13.-2√0og25)2-41og25+4+1og:号=√0og25-2)7+1og =loge5-2+1og:号-1og,1-2=-2. 14.(2,-1)-1f(x)=(3m-1)1og2x-3m=(31og2x-3)m-log2x,令31og2x-3 =0,解得x=2,代入f(x)的表达式可得(2)=一1，所以函数f(x)的图象恒过定，点 A(2,-1).由点A在函数g(x)=x-4-5的图象上，得a=一4，所以g(x)=x十 T 兰-5≥2-5=-1，当且仅当x=2助，等号成立，故g)在0，十0)上的最小 值为-1. 15.(4)根据题意y=f(x-1)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于y 轴对称，即函数f(x)为偶函数，由f(log号a)<f(-2)得f(log2a)<f(2),又函数 f(x)在区间[0，十∞)上单调递增，所以f(log2a)<f(2)→f(log2a)<f(2)→ loga<2,解得子<a<4. 16.}根据函数f)=logx的图象（如图），得0<m y <1<n,所以0<m2<m<1.结合函数图象，易知当x m2时f(x)在[m2,n]上取得最大值，所以f(m2)= 1logm=2,又0<m<1,所以m=子，再结合f0m） =f),可得n=2,所以m=1 n -4. 17.解(1)log5(a.x+1)<1台0<a.x十1<5且a>0, 解得-<x<4,即A={x-<x<4,a>0, a 2x2-3x-2<0台(x-2)(2x+1)<0, 解得-是<<2，即B={-号<<2. 1一 1 2 (2)选择①，p是g9的必要不充分条件，则B三A,即4≥2 ,且等号不能同时 a a>2 成立，解得0<a<2.即实数a的取值范围是(0.2)， 1 122 速择②，p是g的充分不必要条件，则A=B,即4≤2 ,且等号不能同时成 a a>0 立，解得a>2.即实数a的取值范围是(2，十∞). 1 2 选择③，p是g的充要条件，则A=B,即4=2 ,解得a=2.即实数a的取值 a a>0 范围是{aa=2}. 18,解(1)首先，方程中的x应满足x>10,共灰，原方程可化为1g√号=g /x-10 5,即2-10x-75=0.解得x=15或x=-5(含去)， 经检验，x=15是原方程的解 .x=15. (2)首先，x>0且x≠。其次，原方程可化为1gx十十gx一) 即1g2x+lgx-2=0. 令t=lgx,则t2十t-2=0,解得t=1或t=-2, 即1gx=1或1gx=-2,x=10或x=100 1 经检脸x=10,=0都是原方程的解。 1 .x=10或100 (3)首先，x2一1>0且x2一1≠1，即x>1或x<一1且x≠士√2 由2x2-3x+1>0,得<2或>1 综上，x>1或x<-1且x≠士√2. 其次，原方程可化为x2-1=2x2-3x十1.x2-3.x十2=0，x=1或x=2. 又x>1或x<-1且x≠士2，x=2. 经检验x=2是原方程的解！ ∴.x=2. 19.解(1)方法一因为h(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称，所以h(x) 与f(x)互为反函数，所以h(x)=ax(a>0,且a≠1)，又h(1)=2,所以a=2. 方法二因为h(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称，且h(1)=2,所以 f(2)=loga2=1,所以a=2. (2)g(x)=f(）·f(8）=1og2·log:=(1og2x-1)1og2x-3)=(log2x) -4log2x+3. 令1=lbge[2数e[-1, 则y=t2-4t+3=(t-2)2-1, 当t=2时，g(x)min=一1，此时x=22=4, 当1=-1时，g(x)mx=8,此时x=21=号 2 20.解(1)方法一设x=logM,所以M=a,所以m=(a)”=ar, 所以logM"=n.x=nlog M. 方法二设x=logM,所以7-logM,所以a产=M,所以a=M, 所以x=logM",所以nlog M=l1ogM" 方法三因为alog,M=Mm,alog,M=(aog,M)n=Mm,所以alog M"=alog,M, 所以logM=nlog M. (2)方法一 +9点修器+老)-品（器+）- +217 312 方法二g8(g8+g)=1og3(1og8+1og2716)=10g23(1og23+1og2*)= lg41g91g27 21og3(31og,2+号1og2）=2og3…g1og2=0 17, (3)方法一设10<20222023<10+1，k∈N*,所以k<1g20222023<k+1, 所以k<20231g2022<k+1,所以k<2023×3.306<k+1, 所以6687.038<k<6688.038, 因为k∈N*,所以k=6688,所以20222023的位数为6689. 方法二设20222023=N,所以20231g2022=1gN, 所以2023×3.306=1gN,所以1gV=6688.038, 所以V=10568.038=100.038X106688, 因为1<100.038<10，所以V的位数为6689，即20222023的位数为6689. 21.解(1)因为x∈[2,8]，所以1og2x∈[1,3]. 设1og2x=t,t∈[1,3]，则g(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2 当a<1时，ymin=g(1)=4-2a, 当1≤a≤3时，Ymin=g(a)=3-a2, 当a>3时，ymin=g(3)=12-6a. 14-2a(a<1), 所以h(a)=( 3-a2(1≤a≤3)， 12-6a(a>3). (2)因为m>n>3,h(a)=12一6a在(3，十o∞)上为减函数， 12-6m=n2, 又h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],所以{ 12-6n=m2, 两式相减得6(m一n)=(m一n)(m十n), 所以m十n=6,但这与“m>n>3”矛盾， 故满足条件的实数m,n不存在. 22.解(1)f(x)与g(x)在区间[a十2，a十3]上都有意义， 则必须满足a20,解得a<1,又a≥0且a≠1， 所以a的取值范围为(0,1). (2)假设存在实数a,使得f(x)与g(x)在区间[a十2，a十3]上是“友好”的，则|f(x) -g(x)|=|1ogm(x2-4a.x十3a2)|≤1， 即-1≤1oga(x2-4ax+3a2)≤1， 因为a∈(0,1)，则2a∈(0,2)，a十2>2，所以[a+2,a十3]在x=2a的右侧， 由复合函数的单调性可得y=log。(x2-4ax十3a2)在区间[a+2,a+3]上为减 函数， 从而当x=a+2时，ymax=log.(4-4a),当x=a+3时，ymim=loga(9-6a), 1log.(4-4a)≤1 14-4a≥a 所以log.(9-6a)≥-1，即9a-6a2-1≤0，解得0<4≤9-5 12 0<a1 0<a≤1 所以当0<4≤9二5时，f(r)与g(x)在区间[a十2a十3引上是“友好”的； 12 当9-5<a<1时，fx)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的. 12 第九单元函数应用 A卷基础达标 1.B因为函数f(x)的图象是连续且单调的，f(2)·f(3)=一1<0，所以函数f(x)的 零点所在区间是(2,3).故选B. 2.C二次函数y=x2+2m.x十(m十2)有两个不同的零点，.△=4m2-4(m十2)> 0,解得m<一1或m>2,故选C. 3.cf)=n-是=-1-<0f)=n1-=-<0fe)=ne ee e e =1-8<0fe2)=lh2-名=2->0fe…fe2)<0.根据画教家点存 e 在定理可知，画数f)=1nx一。，的零点所在区间是(e,e2),故选C 4.D”y=(号）广在(-∞，0)上单拥递减y=士在(-0.0)上单润追减fx)- (号）广+1在(-0,0)上单调递减：f(x)=0,<100<x2<0.“f(x1)> f(x0)=0,f(x2)<f(xo)=0.故选D. 5.B因为f(1.3125)<0,f(1.375)>0,且f(x)为连续函数，所以由零点存在定理知 区间(1.3125,1.375)内存在零点，又1.3125-1.375=0.06250.1，所以区间 (1.3125,1.375)中任意一个值都是满足精确度的近似解.结合选项，可知方程x3 x一1=0的一个近似解可以为1.32.故选B. y.=llogaxl 6.A设y1=ax,y2=|logx1,分别作出它们的图象如图 所示.由图可知，两函数有两个交点，故方程a=logx1y=a 有两个根.故选A. 0 7元B由题可知50=20+(10-20)·e12t(e)2=号 →e=(号)产，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20十10-20)·e→e-4y 子两边同时取对数得4·1ne=1n是>1= 12(1n3-21n22≈ () In 3-31n 2 121.1-2×0.7)=3.6.故选B. 1.1-3×0.7 8,D函数fx)的零点即为方程1十1十1=0的解.变形得(x-b)·(x-c) x-ax-bx-c +(x-a)(x-c)十(x-a)(x-b)=0,令g(x)=(x-b)(x-c)十(x-a)(x-c)+(x -a)(x-b),a>b>c,.g(a)=(a-b)(a-c)>0g(b)=(b-a)(b-c)<0,g(c) =(c一a)(c一b)>0.根据零点存在定理得出在(c,b),(b,a)上函数g(x)各有一个零 点，所以c<x1<b<x2<a.故选D. 9.AB由表格函数值在0的左右两侧，最接近的值，即f(2.5)≈一0.084，f(2.5625) ≈0.066可知方程ln.x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内，因此选项A中2.52 符合，选项B中2.56也符合，故选AB. 10.BCD在同一平面直角坐标系中画出y=2r和y=一x的图象（图略），可得a<0, 用同样的方法可得b>0,c=0,所以b>c>a,故选BCD. 1.CD设经过m次过选，这种溶液的条质含量达到市场要求，则品×（号）广”≤ 00即（号）”≤易两边取对数，得lg号≤-lg20,即n(4g2-1lg3)≤-1十 1g2.得产记品274故达BCD 12.ABC令g(x)=f(x)-m=0,则f(x)=m,在同一直角 坐标系中作出y=f(x)与y=m的图象，因为函数g(x)= f(x)一m恰有2个零点，所以只需y=f(x)与y=m有两 个交点. 由图可知，为使y=f(x)与y=m有两个交点，只需m=1 或m0即可，故当m=一1,0,1时，两函数均有两个交 点，即ABC正确；当=2时，两函数有一个交点，不满足 题意，故D错；故选ABC 13.f(x)=x2(答案不唯一)根据f(-2)·f(2)>0可考虑f(x)是偶函数的情况， .想到f(x)=x2,并且该函数在（一2,2）上存在零点，.f(x)的一个解析式为f （x)=x2, 14.(1,2]作出函数f(x)图象，函数g(x)=f(x)一m有两个零点，即方程f(x)一m =0有两个根，即y=m与y=f(x)有两个交点. 由图象得1<m2. (2x十1,0x4」 .(3,36]作出函数f(x)二1+10g2x,x>4的图象8 (如图)，可得f(n)=f(m)=1十2m,1<m≤4，则6 mf(n)=m(1+2m)=2m2+m在m∈(1,4]内单调4 递增，可得mf(n)的取值范围是(3,36]. 16.-1(0,十∞)(1)a=1时，f(x)= 2x-1,x<0 024681012元 x-1|-1,x≥0 当x<0时，2r∈(0,1)，2r-1∈-2 (-1,0)；当x≥0时，x一1≥-1，x-1≥0，|x一1-1≥-1，所以f(x)的最小值 为-1.(2)fx)=x-a-1x>≥0 ∫2x-a,x<0 当x<0时，0<2x<1,-a<2x-a<1-a.令 |x一a一1=0，解得x=a十1或x=a一1.若a0,则2r一a>0,而x=a一1<0， ∫(x)至多有1个零点，不符合题意.若0<a<1,当x<0时，令2-a=0,解得x= log2a∈(-o∞，0)；当x≥0时，x=a-1<0(舍去)，x=a十1∈(1,2)，此时f(x)有2 个零点，符合题意.若a=1,2x一1∈（一1,0），f(0)=0,f(2)=0,此时f(x)有2个 参考答案73