1.1.2 集合的基本关系-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集（定义、性质、记法）、真子集（定义、性质、记法）、集合相等的概念，以及有限集子集个数的结论，构建从概念理解到应用计算的递进学习支架。 该资料采用“逐点清”分层设计，通过“微点助解”辨析子集与元素关系等易混点培养抽象能力，“微点练明”结合高考真题（如2023新课标Ⅱ卷题目）训练推理意识，符号与Venn图结合强化符号意识。课中助力教师逐点突破，课后通过课时检测帮助学生巩固，有效查漏补缺。

1.2　集合的基本关系 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义,能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念. 2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法. 3.会判断集合间的关系,并能用符号和Venn图表示.注意空集在解题中的影响. 逐点清(一)　子　集 [多维理解] 　　子集的概念与性质 定义 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. (2)空集是任何集合的子集,即∅⊆A |微|点|助|解| (1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B. (2)A⊆B的理解:不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B. (3)特殊情形:如果集合A中存在着不是集合B中的元素,那么集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A. (4)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如若A⊆B,则要考虑A=∅和A≠∅两种可能. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a∈A,则{a}⊆A. (　 ) (2)如果集合B⊆A,那么若元素a不属于A,则必不属于B. (　 ) 答案:(1)√　(2)√ 2.已知集合M={x|y2=2x}和集合P={(x,y)|y2=2x},则两个集合间的关系是 (　 ) A.M⊆P B.P⊆M C.M=P D.M,P互不包含 解析:选D　由于集合M为数集,集合P为点集,因此M与P互不包含. 3.若集合A={1,2},A⊆B,则集合B可以是 (　 ) A.{1}　　　　B.{2}　　　　C.{0,1,2}　　　　D.∅ 答案:C 4.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　 ) A.2　　　　B.1　　　　C.　　　　D.-1 解析:选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. 5.用适当的符号(⊆,⊇,∈,∉)填空: (1)(1,3)　　　　{(x,y)|y=2x+1};  (2)2　　　　{m|m=2(n-1),n∈Z};  (3)N+　　　　N; (4)R　　　　Q. 解析:(1)当x=1时,y=2×1+1=3,故(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}.(2)当n=2∈Z时,m=2×(2-1)=2,故2∈{m|m=2(n-1),n∈Z}.(3)因为N*为正整数集,N为自然数集,所以N*⊆N.(4)因为R为实数集,Q为有理数集,所以R⊇Q. 答案:(1)∈　(2)∈　(3)⊆　(4)⊇ 6.集合A={x|1<x<6},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围为　　　　.  解析:∵A={x|1<x<6},B={x|x<a},由A⊆B,结合数轴可知a≥6. 答案:{a|a≥6} 逐点清(二)　集合相等与真子集 [多维理解] 1.集合相等 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B. 即对于两个集合A与B,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 2.真子集 定义 对于两个集合A与B,如果A⊆B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 图示 性质 (1)AB且BC,则AC; (2)A⊆B且A≠B,则AB |微|点|助|解| 　　理解真子集的概念时,需明确:AB,首先要满足A⊆B,只要满足至少有一个元素x∈B且x∉A.如集合A={1,2},B={1,2,3,4},则A⊆B,且集合B中有两个元素不属于集合A,即3∉A,4∉A,满足至少有一个元素不属于集合A,故AB. [微点练明] 1.已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是 (　 ) A.M=N B.NM C.MN D.N⊆M 解析:选C　解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2},因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N,所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M,所以MN. 2.已知集合A={a1,a2,a3}所有的非空真子集的元素之和等于12,则a1+a2+a3= (　 ) A.4　　　　B.12　　　　C.6　　　　D.3 解析:选A　因为集合A的所有非空真子集为{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},所以3(a1+a2+a3)=12,即a1+a2+a3=4. 3.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y=　　　　.  解析:由集合元素的互异性可知x2≠0,则x≠0,因为A=B,所以解得 因此2x+y=2. 答案:2 4.若集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有　　　　个.  解析:若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{2,3};若A中含有两个奇数,则A={1,3}. 答案:5 逐点清(三)　确定子集(真子集)的个数 　　若集合A是集合B的子集,即A⊆B,则 (1)A=∅;(2)AB;(3)A=B. 有限集合的子集个数的结论: ①n个元素的集合有2n个子集; ②n个元素的集合有(2n-1)个真子集; ③n个元素的集合有(2n-1)个非空子集; ④n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. [典例]　(1)已知a为给定的实数,那么,集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 (2)满足{a}⊆M{a,b,c,d}的集合M共有 (　 ) A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 解析:(1)由方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,知方程有两个不相等的实数根,则M有2个元素,得集合M有22=4个子集. (2)集合M中必含元素a,且为{a,b,c,d}的真子集,可按元素个数分类依次写出集合M为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个.故选B. 答案:(1)C　(2)B 　　|思|维|建|模| (1)当集合中元素很少时,我们可以写出它的全部子集,从而得到子集和真子集的个数.写子集时不要忘记空集及集合本身. (2)当集合中元素很多时,可以利用公式求解,注意真子集与子集公式的不同. 　　[针对训练] 1.已知集合A,B,C,其中A有10个元素,C有15个元素,则满足ABC的集合B的个数为 (　 ) A.32 B.31 C.30 D.5 解析:选C　由题意,知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数,有25-2=30个,所以集合B的个数为30. 2.设集合A=,则集合A的子集个数为　　　　. 解析:因为A=,所以2+x=1或2+x=2或2+x=3或2+x=6,解得x=-1或x=0或x=1或x=4,即A={-1,0,1,4},集合A中含有4个元素,故其子集有24=16个. 答案:16 [课时检测] 1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 (　 ) A.-3∈A B.3∉B C.B⊆A D.A⊆B 解析:选C　集合A={y|y≥-1},B={x|x≥2},所以B⊆A. 2.集合M={x∈N|-2<x≤3}的真子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选C　集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15. 3.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为 (　 ) A.AB B.BA C.A=B D.A⊆B 解析:选B　∵B=={(x,y)|y=x,x≠0},∴BA. 4.(多选)下列关系正确的是 (　 ) A.0∈∅ B.∅∈{∅} C.∅⊆{∅} D.∅⊆{0} 解析:选BCD　空集中没有元素,故A错误;{∅}中只有一个元素∅,故B正确;空集是任意集合的子集,故C、D正确. 5.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　因为B⊆A,所以x2∈A.又x2≠1,所以x2=3或x2=x,所以x=±或x=0.故选C. 6.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 (　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.AB D.BA 解析:选D　集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,能被6整除的数一定能被3整除,所以BA. 7.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=　 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,故m=2. 8.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠∅,B⊆A,则a等于 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析:选D　当B={-1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1,即a=-1;当B={1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根1,即a=1;当B={-1,1}时,不成立.故a=±1. 9.已知非空集合M满足对任意x∈M,总有x2∉M,且∉M.若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的个数是 (　 ) A.11 B.12 C.15 D.16 解析:选A　当M中有元素0时,02=0∈M,=0∈M.当M中有元素1时,12=1∈M,=1∈M,所以0∉M, 1∉M,所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且去掉元素2,4同时出现的集合,故满足题意的集合M有{2},{3},{4},{5},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,5},{3,4,5}共11个. 10.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.集合{a,b}的真子集是{a},{b} B.{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2 D.∅∈{x|x2+1=0,x∈R} 解析:选BC　对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b},∅,故A不正确; 对于B,因为菱形一定是平行四边形,所以{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形},故B正确;对于C,由A=B及集合元素的互异性得a=-1,b=1,故a-b=-2,故C正确.对于D,因为x是实数,所以x2+1=0无解, 所以{x|x2+1=0,x∈R}=∅,故D不正确. 11.(5分)设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为　　　　.  解析:∵xy>0,∴x,y同号.又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P. 答案:M=P 12.(5分)若A={1,2},B={x|x⊆A},则B=　　　　.  解析:因为A={1,2},B={x|x⊆A},所以集合B中的元素是集合A的子集:∅,{1},{2},{1,2},则集合B={∅,{1},{2},{1,2}}. 答案:{∅,{1},{2},{1,2}} 13.(5分)设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义:m=n=若A⊆B,则对任意x∈R,m(1-n)=　　　　.  解析:∵A⊆B,∴当x∉A时,m=0,m(1-n)=0;当x∈A时,必有x∈B,∴m=n=1,m(1-n)=0.综上,m(1-n)=0. 答案:0 14.(5分)若集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4},则集合M=　　　　.(写出一个集合M即可)  解析:因为集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}, 所以M={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}. 答案:{1,2}(答案不唯一) 15.(10分)已知集合A={1,2,3}. (1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M;(3分) (2)若B={x|ax-3=0},且B⊆A,求实数a的取值集合.(7分) 解:(1)∵M⊆A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. (2)当a=0时,B=∅,满足B⊆A; 当a≠0时,B=; 若B⊆A,则=1或=2或=3, 解得a=3或a=或a=1. 综上所述,实数a的取值集合为. 16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围. 解:①当A无真子集时,即A=∅时, 则方程ax2+2x+1=0无实根, 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况: 当a=0时,方程化为2x+1=0, 解得x=-,符合题意; 当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意. 综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 学科网（北京）股份有限公司 $