1.1 三角形中的线段和角 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

**基本信息** 以“知识梳理-典型例题-分层作业”为路径，通过A、B、C组三级分层设计，实现从单一知识点到综合应用的巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|三角形概念、三边关系、内角和等单一知识点|选择填空为主，直接应用概念（如三边关系判断、内角计算）| |B组|重要线段性质、等腰三角形分类、角平分线模型等综合应用|解答题为主，需步骤推理（如中线与面积计算、角平分线夹角）| |C组|周长奇偶性分析、高与角平分线夹角证明等拓展探究|探究题为主，需模型构建与逻辑论证（如飞镖形模型证明）|

第1章 三角形 1.1 三角形中的线段和角 · 课时作业 苏科版八年级上册 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理 知识点1 三角形的概念与分类 1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 2．表示：如图1，三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 图1 三角形的基本要素 ● 顶点：点A、点B、点C； ● 边：AB、BC、CA。习惯上，∠A、∠B、∠C 的对边分别用 a、b、c 表示，即 BC=a，CA=b，AB=c； ● 内角：∠A、∠B、∠C，简称三角形的角。 3．分类： ● 按角分：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）； ● 按边分：不等边三角形；等腰三角形（两边相等，其中三边都相等的叫等边三角形）。 易错提醒：①“三条线段”必须首尾顺次相接，且三个点不在同一直线上；②等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点2 三角形的三边关系 1．基本性质：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 即在△ABC中：a+b>c，b+c>a，c+a>b；且 |a-b|<c。 2．判断三条线段能否组成三角形的简便方法：只需检验“较短的两条线段之和是否大于最长的线段”，若大于则能组成，否则不能。 3．已知两边求第三边范围：若两边长为 m、n（m>n），则第三边 x 满足 m-n < x < m+n。 方法点拨：涉及等腰三角形“已知两边求周长”的问题，必须先分类讨论哪条边作腰、哪条边作底，再用三边关系检验每种情况是否成立，成立的才能计算周长。 知识点3 三角形中的三条重要线段 1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 如图2，AD⊥BC 于点D，则 AD 是△ABC 中 BC 边上的高。 图2 锐角三角形的高（在内部） 图3 钝角三角形的高（可在外部） ● 锐角三角形的三条高都在三角形内部； ● 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边； ● 钝角三角形有两条高在三角形的外部（如图3，需把BC延长后作垂线）。 2．三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 如图4，D 是 BC 的中点，即 BD=DC，则 AD 是△ABC 的中线。 图4 三角形的中线 图5 三角形的角平分线 ● 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心； ● 中线把三角形分成面积相等的两个三角形，即 S△ABD=S△ACD=S△ABC。 3．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。 如图5，AD 平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=∠BAC，则 AD 是△ABC 的角平分线。 辨析：三角形的高、中线、角平分线都是线段，都有三条；而“角的平分线”是一条射线，“垂线”是一条直线，不要混淆。 知识点4 三角形的内角和 1．三角形三个内角的和等于180°：∠A+∠B+∠C=180°。 2．推论：直角三角形的两个锐角互余。 3．常用变形：已知三角形三个内角的度数之比，可设每份为 x°，用方程求解；三个内角中至少有两个锐角。 知识点5 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图6，延长BC到点D，则∠1（即∠ACD）是△ABC 的一个外角。 图6 三角形的外角 2．性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即∠1=∠A+∠B。 3．性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，即∠1>∠A，∠1>∠B。 4．三角形的外角和：三角形每个顶点处各取一个外角，它们的和等于360°。 常用模型：①“飞镖形”：如图10，∠BDC=∠A+∠B+∠C；②“角平分线模型”：若BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，则∠BPC=90°+∠A；③“高与角平分线夹角模型”：若AD是高、AE是角平分线（∠C>∠B），则∠DAE=(∠C-∠B)。 二、典型例题精讲 【例1】（三边关系的判断） 下列各组长度的三条线段，能组成三角形的是哪些？请说明理由。 (1) 3 cm，4 cm，8 cm； (2) 5 cm，5 cm，10 cm； (3) 6 cm，8 cm，13 cm； (4) 2 cm，2 cm，3 cm。 【分析】只需比较“较短两边之和”与“最长边”的大小。 【解】(1) 因为 3+4=7<8，所以不能组成三角形； (2) 因为 5+5=10，不大于10，所以不能组成三角形； (3) 因为 6+8=14>13，所以能组成三角形； (4) 因为 2+2=4>3，所以能组成三角形。 【点评】判断时不必把三组“两边之和”都算一遍，只验证最短两边之和即可。 【例2】（等腰三角形的分类讨论） 已知等腰三角形的一边长为3 cm，另一边长为7 cm，求这个三角形的周长。 【解】分两种情况讨论： ① 若腰长为3 cm，底边为7 cm，则 3+3=6<7，不能组成三角形，此情况舍去； ② 若腰长为7 cm，底边为3 cm，则 7+3=10>7，能组成三角形， 此时周长为 7+7+3=17（cm）。 所以这个三角形的周长是17 cm。 【点评】分类讨论后必须用三边关系“验根”，这是本类题最容易失分的地方。 【例3】（高与角平分线的夹角） 如图7，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，AD⊥BC 于点D，AE 平分∠BAC 交 BC 于点E。求∠DAE 的度数。 图7 【解】在△ABC中，由内角和定理得 ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°。 因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠BAC=35°。 因为 AD⊥BC，所以∠ADB=90°， 在△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°。 所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-35°=15°。 【拓展】一般地，当∠C>∠B 时，∠DAE=(∠C-∠B)。本题验证：×(70°-40°)=15°。 【例4】（中线与面积） 如图8，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，连接 BE、CE。若 S△ABC=12 cm2，求 S△BEC 的值。 图8 【解】因为 AD 是△ABC 的中线，所以 S△ABD=S△ACD=S△ABC=×12=6（cm2）。 因为 E 是 AD 的中点，所以 ED=AD。 在△BED 与△BAD 中，它们同以点B为顶点，底边 ED 与 AD 在同一条直线上，高相同， 所以 S△BED=S△ABD=3（cm2）；同理 S△CED=S△ACD=3（cm2）。 所以 S△BEC=S△BED+S△CED=3+3=6（cm2）。 【点评】“等底同高（或同底等高）面积相等”是处理三角形面积问题的核心工具。 【例5】（外角性质的应用） 如图6，∠1 是△ABC 的一个外角，若∠A=65°，∠B=45°，求∠1 和∠ACB 的度数。 【解】由三角形外角的性质得 ∠1=∠A+∠B=65°+45°=110°。 因为∠1 与∠ACB 互为邻补角，所以 ∠ACB=180°-∠1=180°-110°=70°。 【例6】（“飞镖形”模型） 如图10，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C。 图10 “飞镖形” 【证明】连接 AD 并延长至点F。 在△ABD 中，∠BDF 是它的一个外角，所以∠BDF=∠B+∠BAD； 在△ACD 中，∠CDF 是它的一个外角，所以∠CDF=∠C+∠CAD。 两式相加，得 ∠BDF+∠CDF=∠B+∠C+(∠BAD+∠CAD)， 即 ∠BDC=∠A+∠B+∠C。 【例7】（两内角平分线的夹角） 如图9，在△ABC中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB。若∠A=70°，求∠BOC 的度数。 图9 【解】在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°。 因为 BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，所以 ∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°。 在△BOC 中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°。 【拓展】一般地有 ∠BOC=90°+∠A。 三、课时作业 A组 基础巩固 （一）选择题（每小题3分，共24分） 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，4，5 D．4，4，9 2．已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边长可能是（ ） A．4 B．5 C．9 D．14 3．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的角平分线是一条射线 B．三角形的高一定在三角形的内部 C．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 D．直角三角形只有一条高 4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．如图11，点D、E都在边BC上，则图中三角形的个数是（ ） 图11 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图6，若∠1=120°，∠A=70°，则∠B 的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° （二）填空题（每小题3分，共24分） 9．已知三角形的两边长分别为5和8，则第三边长 x 的取值范围是________。 10．等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是________。 11．在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠B=________。 12．若三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则其中最大的内角等于________。 13．如图4，AD 是△ABC 的中线，若 BC=10 cm，则 BD=________cm。 14．在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C 的一个外角等于________。 15．一个三角形的三个外角中（每个顶点处各取一个），钝角最少有________个。 16．若三角形的一个外角等于与它相邻的内角的3倍，则这个外角的度数是________。 B组 能力提升 17．（8分）已知三角形的三边长分别为3、x、8，且 x 为整数。 (1) 求 x 的所有可能取值； (2) 若这个三角形是等腰三角形，求它的周长。 18．（8分）如图7，在△ABC中，∠B=36°，∠C=76°，AD⊥BC 于点D，AE 平分∠BAC 交 BC 于点E。求∠DAE 的度数。 19．（8分）如图8，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点。若 S△ABC=24 cm2， (1) 求 S△ABE 的值； (2) 求 S△BEC 的值。 20．（10分）如图9，在△ABC中，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB。 (1) 若∠A=80°，求∠BOC 的度数； (2) 若∠BOC=120°，求∠A 的度数； (3) 探究∠BOC 与∠A 之间的数量关系，并说明理由。 21．（8分）在△ABC中，∠A=∠B+∠C，且∠B-∠C=20°，求△ABC 三个内角的度数，并判断它的形状。 C组 拓展探究 22．（10分）已知△ABC 的三边长 a、b、c 都是整数，且 a=5，b=7，△ABC 的周长为偶数，求 c 的所有可能值。 23．（10分）如图7，在△ABC中，AD 是 BC 边上的高，AE 平分∠BAC，且∠C>∠B。 求证：∠DAE=(∠C-∠B)。 四、参考答案与解析 A组 选择题 1．C 【解析】A中 1+2=3，不大于3；B中 2+3=5<6；D中 4+4=8<9，均不能组成三角形。C中 3+4=7>5，能组成三角形。故选C。 2．C 【解析】设第三边长为 x，由三边关系得 9-4<x<9+4，即 5<x<13。四个选项中只有9满足。故选C。 3．C 【解析】A错，三角形的角平分线是线段；B错，钝角三角形有两条高在外部；D错，任何三角形都有三条高，直角三角形的三条高中有两条是直角边；C正确，中线所分成的两个三角形等底同高，面积相等。故选C。 4．A 【解析】设三个内角分别为 2x°、3x°、4x°，则 2x+3x+4x=180，解得 x=20。 三个内角依次为40°、60°、80°，都是锐角，所以△ABC是锐角三角形。故选A。 5．C 【解析】外角与相邻的内角互补，两者的和为180°。若外角小于相邻内角，则相邻内角大于90°，即三角形有一个钝角。故选C。 6．C 【解析】以A为公共顶点，另两个顶点取在直线BC上的线段的两个端点。BC上共有B、D、E、C四点，可作出的线段为 BD、DE、EC、BE、DC、BC 共6条，故三角形共6个：△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC、△ABC。故选C。 7．C 【解析】若锐角个数少于2，则至少有两个角不小于90°，此时两角之和已不小于180°，与内角和为180°矛盾。故锐角最少有2个，选C。 8．B 【解析】由外角性质得 ∠1=∠A+∠B，所以 ∠B=∠1-∠A=120°-70°=50°。故选B。 A组 填空题 9．3<x<13 【解析】8-5<x<8+5，即 3<x<13。 10．22 【解析】① 腰长4，底边9：4+4=8<9，不能构成三角形，舍去； ② 腰长9，底边4：9+4=13>9，可以构成三角形，周长为 9+9+4=22。 11．30° 【解析】∠C=90°，则∠A+∠B=90°。又∠A=2∠B，故 3∠B=90°，∠B=30°。 12．90° 【解析】设三个内角为 x°、2x°、3x°，则 x+2x+3x=180，x=30，最大内角为 3×30°=90°。 13．5 【解析】AD是中线，D为BC的中点，所以 BD=BC=×10=5（cm）。 14．110° 【解析】∠C=180°-50°-60°=70°，∠C 的外角=180°-70°=110°（也可由外角性质直接得 50°+60°=110°）。 15．2 【解析】三角形中至少有两个锐角，与锐角相邻的外角必为钝角，故钝角外角至少有2个。 16．135° 【解析】设相邻的内角为 x°，则外角为 3x°。由邻补角关系得 x+3x=180，解得 x=45，外角为 3×45°=135°。 B组 解答题 17． 解：(1) 由三边关系得 8-3<x<8+3，即 5<x<11。 因为 x 为整数，所以 x=6，7，8，9，10。 (2) 若三角形为等腰三角形，则 x 应与3或8相等。 因为 x=3 不在 5<x<11 内（且 3+3=6<8，不能构成三角形），所以只能 x=8。 此时三边为3、8、8，周长为 3+8+8=19。 18． 解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-76°=68°。 因为 AE 平分∠BAC，所以 ∠BAE=∠BAC=×68°=34°。 因为 AD⊥BC，所以 ∠ADB=90°，在△ABD 中 ∠BAD=90°-∠B=90°-36°=54°。 所以 ∠DAE=∠BAD-∠BAE=54°-34°=20°。 19． 解：(1) 因为 AD 是△ABC 的中线，所以 S△ABD=S△ABC=×24=12（cm2）。 因为 E 是 AD 的中点，所以 AE=AD。 △ABE 与△ABD 分别以 AE、AD 为底，且从点B向直线 AD 所作的高相同， 所以 S△ABE=S△ABD=×12=6（cm2）。 (2) 同理 S△BED=S△ABD=6（cm2），S△CED=S△ACD=×12=6（cm2）。 所以 S△BEC=S△BED+S△CED=6+6=12（cm2）。 【小结】三角形的中线把它分成面积相等的两部分，因此 S△BEC=S△ABC。 20． 解：(1) ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°。 因为 BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， 所以 ∠OBC+∠OCB=×100°=50°， 所以 ∠BOC=180°-50°=130°。 (2) 在△BOC 中，∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-120°=60°， 所以 ∠ABC+∠ACB=2×60°=120°， 所以 ∠A=180°-120°=60°。 (3) 数量关系为 ∠BOC=90°+∠A。 理由：∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A， 所以 ∠BOC=180°-(90°-∠A)=90°+∠A。 21． 解：因为 ∠A+∠B+∠C=180°，且 ∠A=∠B+∠C， 所以 ∠A+∠A=180°，即 2∠A=180°，∠A=90°。 于是 ∠B+∠C=90°。又 ∠B-∠C=20°， 两式相加得 2∠B=110°，∠B=55°； 从而 ∠C=90°-55°=35°。 所以三个内角分别为 ∠A=90°，∠B=55°，∠C=35°，△ABC 是直角三角形。 C组 拓展探究 22． 解：由三边关系得 7-5<c<7+5，即 2<c<12。 周长为 5+7+c=12+c。因为12是偶数，要使周长为偶数，c 必须为偶数。 在 2<c<12 内的偶数有 4、6、8、10。 所以 c 的所有可能值为 4、6、8、10。 23． 证明：因为 AD⊥BC，所以 ∠ADB=90°， 在△ABD 中，∠BAD=90°-∠B。 因为 AE 平分∠BAC，所以 ∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C。 因为 ∠C>∠B，点E 在点D 与点B 之间，所以 ∠DAE=∠BAD-∠BAE =(90°-∠B)-(90°-∠B-∠C) =∠C-∠B =(∠C-∠B)。 所以 ∠DAE=(∠C-∠B)。 本题结论是常用二级模型：三角形同一顶点处“高与角平分线的夹角”等于另两个内角之差的一半。记住它可以大大提高解题速度，但在解答题中仍应写出推导过程。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $