1.1三角形中的线段和角（1）--三角形的边和角 课时作业 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 这份同步练习通过“基础+拓展”分层设计，基础层夯实三角形三边关系的概念理解与基本应用，拓展层提升实际情境转化与逻辑推理能力，形成从单一到综合的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|三角形三边关系判断、第三边取值范围、绝对值化简、整边三角形、新定义“不均衡三角形”|以选择、填空、解答题为主，从直接应用到分类讨论，培养抽象能力与运算能力| |拓展提升|实际情境中的三边关系应用（铅球测量）、线段和比较的逻辑证明|结合生活情境与几何推理，发展推理意识与应用意识|

1.1三角形中的线段和角（1）----三角形的边和角（课时作业） 基础练习 1．（2026•栾城区校级模拟）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（　　） A．B． C．D． 2．（2026春•市北区期末）三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　　） A．36 B．40 C．44 D．50 3．（2026•越秀区校级三模）已知a，b，c是△ABC的三条边，化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|的结果为（　　） A．2a+2b﹣2c B．2b C．2c D．0 4．（2025秋•衡水期末）王老师有两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒正中间剪一刀 B．b小棒正中间剪一刀 C．a小棒任意剪一刀 D．b小棒任意剪一刀 5．（2026•青秀区校级模拟）若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为 　 　 ．（只需写出满足要求的一种情况即可） 6．（2026春•上海校级月考）已知四条线段的长度分别是1cm、2cm、3cm、4cm，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有　 　 个． 7．（2026•邯郸校级二模）已知三角形的三边长分别为3，5和2x﹣1，则整数x的最大值为 　 　 ． 8．（2026春•锦江区校级期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形△ABC三边长为a，b，c且满足a＜b＜c，当c＝9时，这样的整边△ABC有　 　 个；若c＝2n+1（n为正整数）时，这样的整边△ABC有　 　 个（用含n的代数式表示）． 9．（2025秋•上城区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）已知a＝3，b＝5，求c的取值范围； （2）若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过24，求a的取值范围． 10．（2025秋•蒙城县月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 11．（2025秋•石柱县校级月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．∵7﹣5＞5﹣4，∴这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是　 　 （填序号）． ①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为2x+2，16，2x﹣6，求出x的整数值． 拓展提升 12．（2026春•普陀区期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点P，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心O，PO交抵趾板内沿于点M，测量落点P到投掷区圆心点O的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． （1）投掷区所在圆的半径长为　 　 米； （2）如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点N（点N与M不重合），测量铅球落点P到点N的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接ON、NP． ∵ON和OM都是投掷区所在圆的半径， ∴　 　 ． 在△ONP中，∵ON+NP＞　 　 （　 　 ）， ∴ON+NP＞OM+MP． ∴　 　 ， 即这个成绩相较于实际成绩　 　 ．（填“偏小”或“偏大”） 13．（2026春•山亭区月考）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 （1）（基础应用） 如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC　 　 PA+PB．（填“＜”，“＞”，“＝”） （2）（核心方法） 如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC＞PB+PC． （3）（能力提升） 如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC，使B、P、Q、C构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：AB+AC＞BP+PQ+QC． 1.1三角形中的线段和角（1）----三角形的边和角（课时作业） 参考答案与试题解析 1．（2026•栾城区校级模拟）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（　C　） A．B． C． D． 2．（2026春•市北区期末）三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　C　） A．36 B．40 C．44 D．50 3．（2026•越秀区校级三模）已知a，b，c是△ABC的三条边，化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|的结果为（　B　） A．2a+2b﹣2c B．2b C．2c D．0 4．（2025秋•衡水期末）王老师有两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（　B　） A．a小棒正中间剪一刀 B．b小棒正中间剪一刀 C．a小棒任意剪一刀 D．b小棒任意剪一刀 5．（2026•青秀区校级模拟）若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为 　6（答案不唯一）　 ．（只需写出满足要求的一种情况即可） 6．（2026春•上海校级月考）已知四条线段的长度分别是1cm、2cm、3cm、4cm，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有　1　 个． 7．（2026•邯郸校级二模）已知三角形的三边长分别为3，5和2x﹣1，则整数x的最大值为 　4　 ． 解：根据题意得：5﹣3＜2x﹣1＜5+3， 即2＜2x﹣1＜8， 解得：， ∴整数x的最大值为4， 8．（2026春•锦江区校级期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形△ABC三边长为a，b，c且满足a＜b＜c，当c＝9时，这样的整边△ABC有　12　 个；若c＝2n+1（n为正整数）时，这样的整边△ABC有n（n﹣1）　 个（用含n的代数式表示）． 解：我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．整边三角形△ABC三边长为a，b，c且满足a＜b＜c， 当c＝9时，则a＜b＜9， 根据三角形的三边关系可得： ①当a＝1时，代入a+b＞9得b＞8， 又∵b＜9， ∴8＜b＜9， ∴此时b无整数解； ②当a＝2时，代入a+b＞9，即b＞7， ∴7＜b＜9， ∴b＝8， 此时三边为2，8，9，共1种情况； ③当a＝3时，代入a+b＞9，即b＞6， ∴6＜b＜9， ∴b＝7或b＝8， 此时三边为3，7，9或3，8，9，共2种情况； ④当a＝4时，代入a+b＞9，即b＞5， ∴5＜b＜9， ∴b＝6或b＝7或b＝8， 此时三边为：4，6，9或4，7，9或4，8，9，共3种情况； ⑤当a＝5时，代入a+b＞9，即b＞4， ∴4＜b＜9， ∵a＜b＜9，即5＜b＜9， ∴b＝6或b＝7或b＝8， 此时三边为：5，6，9或5，7，9或5，8，9，共3种情况； ⑥当a＝6时，代入a+b＞9，即b＞3， ∴3＜b＜9， ∵a＜b＜9，即6＜b＜9， ∴b＝7或b＝8， 此时三边为6，7，9或6，8，9，共2种情况； ⑦当a＝7时，代入a+b＞9，即b＞2， ∴2＜b＜9， ∵a＜b＜9，即7＜b＜9， ∴b＝8， 此时三边为7，8，9，共1种情况； ⑧当a＝8时，代入a+b＞9，即b＞1， ∴1＜b＜9， ∵a＜b＜9，即8＜b＜9， ∴此时b无整数解； 综上可得当c＝9时，满足条件的整边△ABC的个数为：1+2+3+3+2+1＝12（个）； 若c＝2n+1（n为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边△ABC的个数为：（个）． 故答案为：12，n（n﹣1）． 9．（2025秋•上城区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）已知a＝3，b＝5，求c的取值范围； （2）若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过24，求a的取值范围． 解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴根据三角形的三边关系得，b﹣a＜c＜b+a， 即5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）∵b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过24， ∴a+b+c＝a+2a﹣1+a+5≤24， 整理得，4a≤20， 解得：a≤5， 则b﹣c＝2a﹣1﹣（a+5）＝a﹣6＜0， ∴b＜c， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴根据三角形的三边关系得，c﹣b＜a＜c+b， 即（a+5）﹣（2a﹣1）＜a＜（a+5）+（2a﹣1）， 解得：a＞3且a＞﹣2， 即a＞3， ∵a≤5， ∴3＜a≤5． 10．（2025秋•蒙城县月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 解：（1）依题意有a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b| ＝（a﹣b+c）﹣（﹣c+a+b） ＝a﹣b+c+c﹣a﹣b ＝2c﹣2b； （2）， 由2a﹣b＝0得b＝2a， 代入a+2b＝10得a+2（2a）＝10， 解得：a＝2， ∴b＝2×a＝4， 根据三角形三边关系：|a﹣b|＜c＜a+b， 即|2﹣4|＝2＜c＜2+4＝6， ∴2＜c＜6， ∵c为偶数， ∴c＝4， ∴周长＝a+b+c＝2+4+4＝10． 11．（2025秋•石柱县校级月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．∵7﹣5＞5﹣4，∴这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是　②　 （填序号）． ①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为2x+2，16，2x﹣6，求出x的整数值． 解：（1）根据三角形的三边关系可得， ①∵1+2＝3＜4， ∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”； ②∵18﹣13＝5＞13﹣9， ∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”； ③∵19＝19， ∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”； ④∵9﹣8＝1＜8﹣6， ∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”． 综上所述，小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是②， 故答案为：②． （2）根据三角形的三边关系，分情况可得， ①当最长边长为16，最短边长为2x﹣6时， 16＞2x+2且16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6）， 解得x＜3． 由2x﹣6＞0得x＞3， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当最长边长为2x+2，最短边长为2x﹣6时， 2x+2＞16＞2x﹣6且2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6）， 解得9＜x＜11． ∵x取整数， ∴x＝10． 当x＝10时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； ③当最长边长为2x+2，最短边长为16时， 2x﹣6＞16，且2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16， 解得11＜x＜15． ∵x取整数， ∴x＝12或13或14，且都可以构成三角形． 综上所述，x的整数值为10或12或13或14． 12．（2026春•普陀区期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点P，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心O，PO交抵趾板内沿于点M，测量落点P到投掷区圆心点O的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． （1）投掷区所在圆的半径长为　3.5　 米； （2）如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点N（点N与M不重合），测量铅球落点P到点N的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接ON、NP． ∵ON和OM都是投掷区所在圆的半径， ∴ON＝OM ． 在△ONP中，∵ON+NP＞OP （　三角形两边之和大于第三边　 ）， ∴ON+NP＞OM+MP． ∴NP＞MP ， 即这个成绩相较于实际成绩　偏大　 ．（填“偏小”或“偏大”） 解：（1）根据题意得，OP＝12.7米，PM＝9.2米 ∴OM＝12.7﹣9.2＝3.5（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米， 故答案为：3.5； （2）连接ON、NP． ∵ON和OM都是投掷区所在圆的半径， ∴ON＝OM． 在△ONP中，∵ON+NP＞OP（三角形两边之和大于第三边）， ∴ON+NP＞OM+MP． ∴NP＞MP． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 13．（2026春•山亭区月考）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 （1）（基础应用） 如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC　＞　 PA+PB．（填“＜”，“＞”，“＝”） （2）（核心方法） 如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC＞PB+PC． （3）（能力提升） 如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC，使B、P、Q、C构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：AB+AC＞BP+PQ+QC． （1）解：根据三角形的三边关系得：AC+PC＞AP， ∴AC+PC+PB＞AP+PB， ∴AC+BC＞PA+PB， 故答案为：＞； （2）证明：如图，延长BP交AC于点E， 在△ABE中，AB+AE＞BE，BE＝BP+PE， ∴AB+AE＞BP+PE， 根据三角形的三边关系得，PE+EC＞PC， ∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC， ∴AB+AE+EC＞BP+PC 即AB+AC＞PB+PC； （3）证明：如图，延长PQ交AC于点F，延长QP交AB于点E， 根据三角形的三边关系得，AE+AF＞EP+PQ+QF， EP+EB＞BP， QF+FC＞QC， ∴AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC， ∴AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC， 即AB+AC＞BP+PQ+QC． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $