4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系及诱导公式”核心考点，依据课标要求梳理平方关系、商数关系及诱导公式，结合高考评价体系分析化简、求值、证明等常考题型，明确公式变形应用与数学运算素养的考查权重。 课件亮点在于“知识筛查+真题训练+素养提升”模式，如例1通过联立方程求tanα培养数学思维，例3利用“奇变偶不变”化简三角函数式强化运算能力，助力学生掌握“1的代换”“齐次式转化”等得分技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式 第四章 2027 课标要求 备考指导 本节的重点是同角三角函数的基本关系式及诱导公式的记忆与应用,复习时在理解的基础上熟记公式,注意训练它的直接及变形应用,提升数学运算的素养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 2.三角函数的诱导公式 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 【知识巩固】 × × × × D C D D 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 同角三角函数基本关系式的应用 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 2.利用上述关系,对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,可以知一求二. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 诱导公式的应用 命题角度1 利用诱导公式化简三角函数式 例3　(1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)=　　　　. 1 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度2 利用诱导公式求值 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.利用诱导公式化简三角函数式的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式化大角为小角;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式. 2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 三角恒等式的证明 1.非条件等式的证明 证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明方法有以下几种 (1)由繁到简,当恒等式的一边较繁而另一边较简时,一般以较繁的一边恒等变形到另一边. (2)左右归一,当恒等式的两边都较繁时,可将两边分别化简为同一个式子. (3)作差为零,即比较法的应用,当恒等式的两边都较简时常使用此法. (4)综合证明,利用已知的恒等式或公式,经过推理得到所要证明的等式. 2.条件等式的证明 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前所述,但应注意条件的利用,常用方法有以下三种 (1)直接法:从条件直接推到结论. (2)代入法:将条件代入到结论中,转化为非条件恒等式证明. (3)换元法:通过换元转化为代数恒等式证明. 典例2　已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 证明:由tan2α=2tan2β+1,得tan2α+1=2(tan2β+1), 即cos2β=2cos2α,即1-sin2β=2(1-sin2α), 故sin2β=2sin2α-1. 原式得证. 本 课 结 束 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式)α±,α±π的正弦、余弦、正切). 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:= tan α .  公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 温馨提示诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化.若k是奇数,则正弦、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·+α(k∈Z)”的终边所在的象限. (2)sin α=tan αcos α(α≠+kπ,k∈Z). (3)sin2α=;cos2α=. 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对任意的角α,β,都有sin2α+cos2β=1.(　　) (2)若α∈R,则tan α=恒成立.(　　) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (4)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos θ=.(　　) 2.tan 255°等于(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75° =tan(45°+30°)==2+ 3.已知sin,则cos α等于(　　) A.- B.- C. D. 4.已知cos,且|φ|<,则tan φ等于(　　) A.- B. C.- D. ∵sin=sin=cos α,∴cos α=,故选C. ∵cos,∴sin φ= 又|φ|<,∴cos φ=,∴tan φ= sincos=cos θ(-sin θ)=-sin θcos θ =-=-=- 5.已知x∈,tan x=-,则sin(x+π)等于(　　) A. B.- C.- D. 因为x,tan x=-,所以sin x=- 所以sin(x+π)=-sin x= 6.已知tan θ=-3,则sincos=　　　　　.  例1　已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=. (1)求tan α的值; (2)把用tan α表示出来,并求其值. 解 (1)联立方程组 由①得cos α=-sin α,将其代入②, 整理得25sin2α-5sin α-12=0. ∵α是三角形的内角,tan α=- (2) ∵tan α=-, ∴=- 解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tan α=(α≠kπ+,k∈Z)可以实现角α的弦切互化. 2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sin α+cos α)2-2sin αcos α=tan. 3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子. 对点训练1 (1)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于(　　) A.- B. C.- D. 由sin2α+cos2α=1及sin α=-,可得cos2α=, 因为α是第四象限角,所以cos α=故tan α==- (2)已知tan α=-. ①求的值; ②求sin2α+2sin αcos α的值. 解 ②sin2α+2sin αcos α==- 例2　已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,且θ∈(0,2π). (1)求的值; (2)求m的值; (3)求方程的两根及此时θ的值. 解 (1)由根与系数的关系可知 而=sin θ+cos θ= (2)由①两边平方,得1+2sin θcos θ=,将②代入,得m= (3)当m=时,原方程变为2x2-(1+)x+=0, 解得x1=,x2=,则 ∵θ∈(0,2π),∴θ=或θ= 解题心得1.通过平方,sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之间可建立联系,若令sin α+cos α=t,则sin αcos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号). 对点训练2 (1)已知θ∈,则2cos θ+ =(　　) A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ C.cos θ-sin θ D.3cos θ-sin θ 因为,所以sin θ>cos θ, 所以2cos θ+=2cos θ+ =2cos θ+=2cos θ+|sin θ-cos θ|=2cos θ+sin θ-cos θ=sin θ+cos θ. (2)已知-<α<0,sin α+cos α=,则cos α-sin α的值为(　　) A. B. C. D. (方法一)因为sin α+cos α=, 所以(sin α+cos α)2=,可得2sin αcos α=- 因为(cos α-sin α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1+,-<α<0, 所以sin α<0,cos α>0,所以cos α-sin α= (方法二)联立 由①得,sin α=-cos α, 将其代入②, 整理得25cos2α-5cos α-12=0. 因为-<α<0,所以 于是cos α-sin α= 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°·sin 1 050° =-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°·sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°==1. (2)设f(α)=(1+2sin α≠0),则f=　　　. ∵f(α)= =, ∴f - =π, ∴tan=-tan[π-(+α)]=-tan=- 例4　(1)已知θ是第四象限角,且sin,则tan=　　　. - ∵sin, ∴cos=cos=sin 又θ是第四象限角,∴θ-是第三或第四象限角, ∴sin=-tan=- (2)已知tan,则tan=　　　　　.  3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等. 对点训练3 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则tan2(π-α)=　　　　　.  - 因为方程5x2-7x-6=0的根为x1=2,x2=-, 由题意知sin α=-,故cos α=-,tan α=, 所以原式==-tan2α=- 对点训练4 (1)已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} 当k为偶数时,A==2;当k为奇数时,A==-2. (2)记sin(-80°)=k,那么tan 260°=(　　) A. B.- C. D.- 因为sin(-80°)=-sin 80°=k,所以sin 80°=-k,从而cos 80°= 所以tan 260°=tan(180°+80°)=tan 80°= (3)已知sin,则cos=　　　　　.  - cos=cos=cos=-cos(+α), 而sin=sin=cos(+α)=, 故cos=- 典例1　证明:=-tan α. 证明:原式= = ==-=-tan α. 即=2·, 所以, $