第4章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系及诱导公式”专题，依据课程标准梳理平方关系、商数关系及诱导公式核心考点，通过考点探究分“知一求二”“弦切互化”“和差积互化”三大角度，对接高考评价体系，分析高频考点权重，归纳多选、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+技巧突破+素养提升”，融入2023全国乙卷、2021新高考Ⅰ卷真题解析，通过“弦切互化法”“和差积转换”培养学生数学思维与运算能力，如典例2将齐次式化为正切函数求解，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托系统框架实现高效复习教学。

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 高三一轮复习讲义　湘教版 第四章　三角函数与解三角形 课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.　2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切). 04 03 教考衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_________________. (2)商数关系：_____________________________.  sin2α＋cos2α＝1 tan α＝ 微提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ+. 2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五、六 角 2kπ+α(k∈Z) －α π+α π－α －α +α 正弦 sin α ________ ________ ________ ________ ________ 余弦 cos α ________ ________ ________ ________ ________ 正切 tan α ________ ________ －tan α － 口诀 奇变偶不变，符号看象限 －sin α －sin α sin α cos α cos α cos α －cos α －cos α sin α －sin α － tan α tan α 微提醒　(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·+α”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·+α”的终边所在的象限. (2)任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算的步骤：任意角的三角函数→[0，2π)内角的三角函数→锐角三角函数. 常用结论 (1)同角三角函数关系式的常见变形 ①sin2α=1－cos2α=(1+cos α)(1－cos α). ②cos2α=1－sin2α=(1+sin α)(1－sin α). ③(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. ④sin α=tan αcos α. (2)诱导公式的常见变形 ①sin=sin α. ②cos=cos α. 自测诊断 1.(多选)下列结论错误的是 A．对任意的角α，β，都有sin2α+cos2β=1 B．若α∈R，则tan α=恒成立 C．sin(π+α)=－sin α成立的条件是α为锐角 D．若cos=，则cos θ=± √ √ √ 2.已知角α是第二象限角，sin α=，则cos α= A．－ B．－ C． D． √ 因为角α是第二象限角，所以cos α<0，又sin2α+cos2α=1，所以cos α= －=－.故选A． 3.已知tan α=3，则=_____.  2 ===2. 4.已知sin α=，则=_______.  ==sin α=. 5.(用结论)已知sin α·cos α=，且<α<，则cos α－sin α=_______.  － 因为<α<，所以sin α>cos α，而(cos α－sin α)2=1－2sin αcos α=1－2×=，所以cos α－sin α=－. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　同角三角函数基本关系式的应用(高考超重点) 多维探究 典例1 角度1　“知一求二”问题 (1)已知sin α=，求cos α，tan α的值； 解：由sin α=>0，可知α为第一或第二象限角. 若α为第一象限角，则cos α===，tan α==； 若α为第二象限角，则cos α=－=－=－， tan α==－. (2)已知tan α=－，求sin α，cos α的值. 解：由tan α=－<0，可知α为第二或第四象限角. 因为tan α=－，所以=－. 又因为sin2α+cos2α=1， 所以 当α为第二象限角时，sin α=，cos α=－； 当α为第四象限角时，sin α=－，cos α=. 典例2 角度2　“弦切互化”问题 (一题多解) (2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=－2，则= A．－ B．－ C． D． √ 法一(弦化切法)：因为tan θ=－2，所以==sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C． 法二(求值代入法)：因为tan θ=－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以= =sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ==.故选C． 法三(正弦化余弦法)：因为tan θ=－2，所以sin θ=－2cos θ.则==sin θ(sin θ+cos θ)== ==.故选C． 角度3　“和(差)积互化”问题 (多选)已知sin α+cos α=，α∈，则下列选项中正确的有 A．sin α－cos α=± B．tan α= C．cos α=－ D．sin αcos α=－ √ √ 典例3 将sin α+cos α=两边同时平方，整理得1+2sin αcos α=，所以sin αcos α=－<0.故D正确；又α∈，sin α>0，cos α<0，所以α∈，所以由故C正确；所以sin α－cos α=，tan α=－，故A，B错误.故选CD． 同角三角函数基本关系的应用技巧 1.正弦、余弦互化：利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦互化. 注意：要求平方根时，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不确定时，要进行分类讨论. 2.弦切互化：利用公式tan α=实现角α的弦切互化，如，asin2α+bsin αcos α+ccos2α(分母构造sin2α+cos2α)等齐次式类型可化为关于tan α的式子. 规律方法 3.和(差)积转换：利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α+cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用. 4.巧用“1”的变形：1=sin2α+cos2α=cos2α(tan2α+1)=sin2α=tan . 规律方法 对点练1.(1)若角α的终边在第三象限，则+= A．3 B．－3 C．1 D．－1 √ 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式= +=+=－1－2=－3.故选B． (2)(2026·四川绵阳模拟)若3sin α－sin β=，α+β=，则sin α=_______. 　 因为α+β=，所以β=－α，所以3sin α－sin β=3sin α－sin=3sin α－cos α=sin(α－φ)=，其中sin φ=，cos φ=.所以α－φ=+2kπ，k∈Z，所以α=+φ+2kπ，k∈Z，所以sin α=sin=cos φ=，k∈Z. (3) (双空题)(2026·河北唐山模拟)已知tan α=cos α，则cos2α+cos4α=_____，=_____.  1　 1　 由同角三角函数的基本关系，知tan α==cos α，所以sin α=cos2α，所以sin2α=cos4α，所以cos2α+cos4α=cos2α+sin2α=1.= =====1. 考点二　诱导公式的应用 自主练透 tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(30°+45°)==2+.故选D． 1.tan 255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ √ 2.化简：=________.  － 原式==－. 3.(2026·江苏南通调研)已知cos=a，则cos+sin=______.  0 因为cos=cos=－cos=－a，sin =sin=cos=a， 所以cos+sin=－a+a=0. 1.诱导公式应用的步骤 第一步，负化正：将负角的三角函数化为正角的三角函数； 第二步，大化小：将大于360°的角的三角函数化为0°~360°角的三角函数； 第三步，小化锐：将大于90°的角的三角函数化为0°~90°角的三角函数； 第四步，锐求值：得到0°~90°角的三角函数后直接求值. 也就是“负化正，大化小，小化到锐角就好了”. 2.常见的互余和互补的角 常见的互余关系有－α与+α，+α与－α，+α与－α等；常见的互补关系有+θ与－θ，+θ与－θ等. 规律方法 对点练2.(1)若f(α)= (1+2sin α≠0)，则f= A．－ B． C．－ D． √ 因为1+2sin α≠0，所以f(α)== = =，又因为sin=sin=sin=，且 cos=cos=，所以f===.故选B． (2) 已知sin=，则cos= A． B． C．－ D．－ √ 因为sin=，所以cos=sin=sin=.故选B． (3)(2026·广西梧川模拟)若f(x)=sin+1，且f(2 026)=2，则f(2 027) =______.  1 因为f＝sin ＋1＝sin (1 013π＋α)＋1＝－sin α＋1＝2，所以sin α＝－1，cos α＝0，所以f＝sin ＋1＝sin (＋1 013π＋α)＋1＝－cos α＋1＝1. 考点三　同角关系与诱导公式的综合应用 师生共研 (1)(2026·江西九江模拟)已知角α为锐角，且2tan－3cos+5=0，tan(π+α)+6sin(π+β)－1=0，则sin α= A． B． C． D． √ 典例4 由已知得消去sin β，得tan α=3，所以sin α=3cos α，代入sin2α+cos2α=1，化简得sin2α=，因为α为锐角，所以sin α=.故选C． (2)已知－π<x<0，sin－cos x=－，则=_______.  － 由已知，得sin x+cos x=，两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=，整理得2sin xcos x=－.因为=1－2sin xcos x=，由－π<x<0知，sin x<0，又2sin xcos x=－<0，所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x=－，所以== = =－. 1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数符号的影响. 规律方法 对点练3. (一题多解)已知θ是第四象限角，且sin=，则tan= _____.  － 法一：因为sin=，所以cos=sin=sin =.因为θ为第四象限角，所以－+2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－+2kπ<θ－<2kπ－，k∈Z，所以sin=－=－，所以tan ==－. 法二：因为θ是第四象限角，且sin=，所以θ+为第一象限角，所以cos=，所以tan=== －=－. 返回 教考衔接　精研教材 返回 真题再现 (2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ=，则sin θ－cos θ=________.  － 因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ==，则cos θ =2sin θ，所以cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sin θ=或sin θ=－(舍去)，所以sin θ－cos θ=sin θ－2sin θ=－sin θ=－. 返回 教材呈现 (湘教版必修一P176T13)已知tan α=－2，计算：(1)；(2). 点评：高考题与教材习题考查角度完全一致，仅仅换了数据而已. 课 时 测 评 返回 1.已知tan α=，则等于 A．－ B． C．2 D．－2 √ 因为tan α=，所以===2.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.化简：sin+cos+tan 1 665°等于 A．－1 B．0 C．1 D．2 √ sin+cos+tan 1 665°=－sin+cos 2 640° +tan 1 665°=sin+cos(360°×7+120°)+tan =+cos+tan=－cos 60°+tan 45°=+1=1.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.若sin－cos=，则sin·cos等于 A． B．－ C． D．－ √ 由sin－cos=，可得－sin α+cos α=，平方可得1－2sin α cos α=，所以sin αcos α=，所以sincos=cos αsin α=.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.(2026·安徽滁州模拟)若sin 12°+cos 12°=a，则cos 66°等于 A．1－a B．a－1 C．1－a2 D．a2－1 √ 由题意知sin 12°+cos 12°=a，两边平方并化简得1+sin 24°=a2，sin 24° =a2－1，所以cos 66°=cos(90°－24°)=sin 24°=a2－1.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是 A．sin(A+B)=sin C B．sin=cos C．tan=－tan C D．cos(A+B)=cos C √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 在△ABC中，有A+B+C=π，则sin(A+B)=sin(π－C)=sin C，故A正确；sin=sin=cos，故B正确；tan(A+B)=tan(π－C)=－tan C ，故C正确；cos(A+B)=cos(π－C)=－cos C，故D错误.故选ABC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)若=1，则角θ的取值范围可能为 A． B． C． D． √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 原式====1，即=1，由给定选项知，角θ的终边不在坐标轴上，则cos θ与sin θ异号，角θ为第二象限角或第四象限角.若角θ为第二象限角，则==1，cos θ+sin θ<0，θ∈；若角θ为第四象限角，则==1，cos θ+sin θ>0，θ∈.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.sin·cos·tan的值是_______.  － 原式=sin·cos·tan=·· =××(－)=－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.若<α<π，且cos α=－，则的值为______.  因为<α<π，且cos α=－，所以sin α==，则======. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(开放题)若实数α，β满足方程组则β的一个值可以是____________________________________.(写出满足条件的一个值即可)  (答案不唯一，满足β=+2kπ，k∈Z即可) 由题意可得9sin2α+9cos2α=(2cos β)2+(2sin β+1)2，即9=4+4sin β+1，所以sin β=1，所以β=+2kπ，k∈Z，可取k=0时，β=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(13分)已知<α<π，tan α－=－. (1)求tan α的值；(6分) 解：令tan α=x，则x－=－， 整理得2x2+3x－2=0， 解得x=或x=－2，即tan α=或tan α=－2， 因为<α<π，所以tan α<0，故tan α=－2. (2)求的值.(7分) 解：原式==tan α+1=－2+1=－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(14分)已知 f(α)=. (1)化简f(α)；(3分) 解：原式==－cos α. (2)求f的值；(4分) 解： f=－cos=－cos=－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)若cos=，α∈，求f(α)的值.(7分) 解：由cos=，可得sin α=－， 因为α∈，所以cos α=－， 所以f(α)=－cos α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(2026·江苏南京模拟)若sin =，且0<x<，则sin = A． B． － C． D． － √ 由0<x<得－<－x<0，则－<－x<，因为sin =，所以cos　==，所以sin =sin =cos=.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.在△ABC中，sin=3sin (π－A)，cos A=－cos(π－B)，则△ABC为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 √ 由sin=3sin (π－A)，可得cos A=3sin A，即tan A=，又0<A<π，所以A=.再由cos A=－cos(π－B)，可得cos A=cos B，所以cos B=，又0<B<π，所以B=，所以C=，所以△ABC为直角三角形.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(新定义)(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ+φ=+2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余.若sin(π+α)=－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有 A．sin β= B．cos= C．tan β= D．tan β= √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若α与β广义互余，则α+β=+2kπ(k∈Z)，即β=+2kπ－α.又由sin=－，可得sin α=.若α与β广义互余，则sin β=sin=cos α=±=±，故A正确；若α与β广义互余，则cos β=cos=sin α=，而由cos=，可得cos β=－，故B错误；由A、B可知sin β=±，cos β=，所以tan β==±，故C正确，D错误.故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15．已知函数f(n)＝2sin＋1，则f(1)+f(2)+f(3)+… +f= A．2 026 B．2 025+ C．2 026+ D．2 026 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由f(n)=2sin+1(n∈N+)得f(n+4)=2sin+1= 2sin+1=f(n)，所以4是f(n)的周期，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 2sin+1+2sin +1+ 2sin+1+2sin+1=4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+… ＋f(2 026)＝4×＋f(1)＋f(2)＝2 026.故选A. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 同角三角函数的基本关系及诱导公式 $