第四章 第22讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式（课件PPT）-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数的基本关系与诱导公式”专题，依据课程标准要求，梳理平方关系、商数关系及诱导公式等核心考点，通过近五年高考真题分析明确“知一求二”“弦切互化”等高频题型占比，构建完整知识体系与答题思路。 课件亮点在于“真题溯源+多维探究+规律建模”，如以2023全国乙卷“知一求二”题为例，用“方程思想”和“弦切互化法”培养数学思维，归纳“和差积互化”技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可通过分层测评精准指导，提升复习效率。

第22讲　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 高三总复习 数学(人教B版) 第四章　三角函数 课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切). 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 微提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：________________. (2)商数关系：______________________________. sin2α＋cos2α＝1 ＝tan α 2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 α+2kπ(k∈Z) sin α cos α tan α 奇变偶不变，符号看象限 二 -α _______ _______ _______ 三 π-α _______ _______ -tan α 四 π+α _______ _______ _______ 五 -α _______ _______   六 +α _______ _______   七 π+α _______ _______   八 π-α _______ _______   －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α －tan α －cos α －cos α sin α －sin α 微提醒　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α”的终边所在的象限. 常用结论 1.同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α). (2)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α). (3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (4)sin α＝tan αcos α. 2.诱导公式的常见变形 (1)sin＝sin α. (2)cos＝cos α. 1.(多选)下列结论错误的是 A.对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1 B.若α∈R，则tan α＝恒成立 C.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角 D.若cos＝，则cos θ＝± √ √ √ 自测诊断 因为角α是第二象限角，所以cos α<0，又sin2α+cos2α=1，所以cos α= -=-.故选A. √ 2.(链接人教B必修三P23例1)已知角α是第二象限角，sin α=，则cos α= A.- B.- C. D. 2 3.(链接人教B必修三P26练习BT2)已知tan α=3，则=　　.  (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=，2sin θcos θ=-<0，因为θ∈(0，π)，所以θ∈ ，π ，sin θ>cos θ，(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=，所以sin θ-cos θ=. 4.(链接人教B必修三P36练习BT1)已知sin θ+cos θ=-，θ∈(0，π)，则 sin θ-cos θ=　　　　.  返回 考点探究　能力提升 返回 考点一　同角三角函数的基本关系 多维探究 因为5cos 2α＋cos α＋3＝0，所以10cos2α＋cos α－2＝0.由α∈(0，)，所以cos α＝，则sin α＝＝＝，所以tan α＝＝.故选D. 角度1　“知一求二”问题 (1)已知α∈(0，)，且5cos 2α＋cos α＋3＝0，则tan α＝ A. B. C. D. 典例1 √ 因为θ∈，则sin θ＞0，cos θ＞0.又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，所以cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝_______. － 溯源 (人教A必修一P185T12)已知tan α＝，π＜α＜π，求cos α－sin α的值. 透视 高考题与教材习题考查角度完全一致，仅仅是换了数据而已 预测 若α∈，tan α＝－ ，则sin α－2cos α＝______. 解析：因为α∈，则sin α＞0，cos α＜0.又因为tan α＝＝－，则cos α＝－2sin α，所以cos2α＋sin2α＝4sin2α＋sin2α＝5sin2α＝1，解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，所以sin α－2cos α＝sin α＋4sin α＝5sin α＝. 溯源教材9 角度2　“弦切互化”问题 (一题多解)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝ A.－ B.－ C. D. 典例2 法一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C. √ 法二(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C. 法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C. 角度3　“和(差)积互化”问题 (1)(多选)已知sin α＋cos α＝，α∈，则下列选项中正确的有 A.sin α－cos α＝± B.tan α＝ C.cos α＝－ D.sin αcos α＝－ 将sin α＋cos α＝两边同时平方，整理得1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－＜0.故D正确；又α∈，sin α＞0，则cos α＜0，所以α∈(，π)，所以由故C正确；所以sin α－cos α＝，tan α＝－，故A，B错误.故选CD. 典例3 √ √ (2)函数f(x)＝(1＋2sin x)(1－2cos x)的最小值为_____. 由题意可知，f(x)＝(1＋2sin x)·(1－2cos x)＝1＋2(sin x－cos x)－4sin xcos x.令sin x－cos x＝t，即t＝sin(x－)，所以－≤t≤.由(sin x－ cos x)2＝t2，得2sin x·cos x＝1－t2，所以函数化为y＝2(t＋)2－，所以当t＝－时，ymin＝f(x)min＝－. － 同角三角函数基本关系的应用技巧 1.正弦、余弦互化：利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化. 注意：要求平方根时，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不确定时，要进行分类讨论. 2.弦切互化：利用公式tan α＝实现角α的弦切互化，如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α(分母构造sin2α＋cos2α)等齐次式类型可化为关于tan α的式子. 规律方法 3.和(差)积转换：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用. 4.巧用“1”的变形：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α(1＋)＝tan . 规律方法 因为tan α＝－，所以＝－，所以cos α＝－sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝.又α是第四象限角，所以sin α＝－.故选D. 对点练1.已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为tan α＝，所以sin 2α＋cos2α＝＝＝＝.故选C. 对点练2.已知tan α＝，则sin 2α＋cos2α的值为 A. B.1 C. D.2 √ 由题意可得tan θ＝，故＝＝－.故选B. 已知2tan θ－1＝0，则＝ A. B.－ C. D.－ √ 教师备选 因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.因为＜α＜，所以cos α＜sin α，即cos α－ sin α＜0，所以cos α－sin α＝－.故选D. 对点练3.已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为 A. B.± C.－ D.－ √ 考点二　诱导公式 师生共研 原式＝tan(5×360°＋225°)cos(－3×360°－60°)－sin(4×360°＋120°)cos(－3×360°＋30°)tan(2×360°＋60°)＝tan 225°cos(－60°)－sin 120°cos 30°tan 60°＝1× － ××＝. 典例4 (1)求值：tan 2 025°·cos(－1 140°)－sin 1 560°·cos(－1 050°)·tan 780°＝_______. 　 由题意知cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin［＋(－θ)］＝cos＝a，所以cos＋sin＝0. (2)已知cos＝a(｜a｜≤1)，则cos＋sin＝____. 0 1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.常见的互余和互补的角 应用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等. 注意：运用诱导公式计算含有2π的整数倍的三角函数式时，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 规律方法 对点练4.化简的结果是 A.－1 B.1 C.tan α D.－tan α 由诱导公式得，原式＝＝＝tan α.故选C. √ 因为sin(α＋)＝，所以cos(－α)＝sin［－(－α)］＝sin(α＋)＝.故选B. 对点练5.已知sin(α＋)＝，则cos(－α)＝ A. B. C.－ D.－ √ sin(＋θ)＝sin［(＋θ)－］＝－sin［－(＋θ)］＝－cos(＋θ)＝.故选B. 教师备选 已知cos(＋θ)＝－，则sin(＋θ)＝(　　) A. B. C.－ D.－ √ 考点三　同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 师生共研 典例5 已知f(α)＝. (1)化简f(α)； 解：由题意得f(α)＝ ＝ cos α. (2)若f＝，求cos2＋cos的值. 解：由f＝，得cos＝， 所以cos2＝cos2＝sin2(－α)＝1－cos2＝1－＝， cos＝cos＝－cos＝－， 所以cos2＋cos＝－ ＝. 1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数符号的影响. 规律方法 对点练6.已知f(α)＝. (1)化简f(α)； 解：由题意得f(α)＝ ＝ tan α. (2)若f(α)＝2，求sin2α－3sin αcos α的值； 解：由(1)得tan α＝2， 所以sin2α－3sin αcos α＝＝＝＝－. (3)若f(α＋)＝3，求sin(α－)的值. 解：由f＝3，得tan＝3， 所以sin＝3cos， 即sin［＋］＝3cos［＋］， 即cos＝－3sin. 因为sin2＋cos2＝1， 所以sin＝±. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.cos(－)＝ A.－ B.－ C. D. cos(－)＝cos＝cos(6π＋)＝cos＝.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.设sin 25°＝a，则sin 65°cos 115°tan 205°＝(　　) A. B.－ C.－a2 D.a2 因为sin 65°＝cos 25°，cos 115°＝cos(90°＋25°)＝－sin 25°， tan 205°＝tan(180°＋25°)＝tan 25°＝，所以sin 65°cos 115° tan 205°＝－sin225°＝－a2.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.(2025·山东烟台一模)已知tan α＝－2，则＝(　　) A.－ B. C.－2 D.2 ＝＝＝＝－2.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.若sin ＝，且0＜x＜，则sin(＋x)＝ A. B.－ C. D.－ 由0＜x＜得－＜－x＜0，则－＜－x＜.因为sin ＝，所以cos＝＝，所以sin ＝sin［－］＝cos＝.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.已知x∈(－，0)，sin4x＋cos4x＝，则sin x－cos x＝ A. B.－ C. D.－ 因为sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x＝，所以sin2xcos2x＝.又x∈(－，0)，所以sin x＜0，cos x＞0，即sin xcos x＝ －，sin x－cos x＝－ ＝－＝－＝－.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 025)＝3，则f(2 026)＝ A.3 B.4 C.5 D.6 由f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，得f(2 025)＝asin(2 025π＋α)＋bcos(2 025π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝3，即asin α＋bcos β＝1，则f(2 026)＝asin(2 026π＋α)＋bcos(2 026π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝1＋4＝5.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)若＝1，则角θ的取值范围可能为 A. B. C. D. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 原式＝＝＝＝1，即＝1.由给定选项知，角θ的终边不在坐标轴上，则cos θ与sin θ异号，角θ为第二象限角或第四象限角.若角θ为第二象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ＜0，θ∈；若角θ为第四象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ＞0，θ∈.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)已知＝3，－＜α＜，则 A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝ D.＝ √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确；因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0.由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)已知tan α＝cos α，则cos2α＋cos4α＝_____，－＝___. 1 1 解析：因为tan α＝＝cos α，故sin α＝cos2α，所以sin2α＝cos4α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.所以－＝＝＝＝＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.(开放题)若实数α，β满足方程组则β的一个值可以 是__________________________________________.(写出满足条件的一个 值即可) (答案不唯一，满足β＝＋2kπ，k∈Z即可) 由题意可得9sin2α＋9cos2α＝(2cos β)2＋(2sin β＋1)2，即9＝4＋4sin β＋1，所以sin β＝1，所以β＝＋2kπ，k∈Z，可取k＝0，β＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.(2025·山东日照一模)已知α是第一象限角，且sin α＋cos α＝3cos αtan α，则sin的值为 A.－ B.－ C. D. 因为sin α＋cos α＝3cos αtan α，所以sin α＋cos α＝3sin α，所以cos α＝ 2sin α，左右两侧平方得cos2α＝4sin2α＝4，所以5cos2α＝4.又因为α是第一象限角，所以cos α＝，则sin(α＋)＝cos α＝.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是 A.当t＝时，sin θcos θ的值为 B.当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－ C.函数f(θ)的值域为(－1，] D.函数f(θ)的值域为(－1，1] √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，当t＝时，sin θ＋cos θ＝，两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－＜0，故A错误；对于B，由选项A的解答知θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－，可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确；对于C、D，因为sin θ＋cos θ ＝t，t∈(－1，]，两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2，可得sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ＝t－＝1－(t－1)2，因为t∈(－1，]，所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1，1]，故C错误，D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.已知角α为锐角，且2tan－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝______. 由已知得消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝.因为α为锐角，所以sin α＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(多题同解)(1)(一题多解)已知2sin α＋cos α＝，则tan α＝____. 法一(解方程法)：因为cos α＝－2sin α且sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(－2sin α)2＝1，整理得5sin2α－4sin α＋4＝0，所以(sin α－2)2＝0，所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝2. 法二：(弦切互化法)：因为2sin α＋cos α＝，所以(2sin α＋cos α)2＝5，所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5，所以sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，所以tan2α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2. 法三(逆向探讨法)：令tan α＝＝t(t≠1)，则sin α＝tcos α，代入2sin α＋cos α＝，得sin α＝，cos α＝，所以()2＋()2＝1，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝__________. 显然cos α≠0，所以＝＝，整理得9tan2α＋ 30tan α－11＝0，解得tan α＝或tan α＝－. 或－ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余.若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有 A.sin β＝ B.cos＝ C.tan β＝ D.tan β＝ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α.又由sin＝－，可得sin α＝.若α与β广义互余，则sin β＝sin(＋2kπ－α)＝cos α＝±＝±，故A正确；若α与β广义互余，则cos β＝cos(＋2kπ－α)＝sin α＝，而由cos＝，可得cos β＝－，故B错误；由A、B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.已知tan α，是关于x的方程x2＋kx＋k2－8＝0的两个实根，且3π＜α＜π， 则cos α＋sin α＝________. 因为tan α，是关于x的方程x2＋kx＋k2－8＝0的两个实根，所以tan α·＝k2－8＝1，tan α＋＝－k.又3π＜α＜π，所以tan α＞0，故－k＞0，所以k＝－3，tan2α－3tan α＋1＝0，所以tan2α＋1＝3tan α，所以＝＝1＋＝1＋＝.因为3π＜α＜π，所以cos α＜0，sin α＜0，故cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－. － 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 同角三角函数的基本关系与诱导公式 $