专题03一元二次方程的实际应用（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题03 一元二次方程的实际应用 常考题型·精准突破 题型1 传播、握手、循环赛问题 题型2 增长率问题 题型3 图形问题 题型4 数字问题 题型5 营销问题 题型6 动点问题 题型7 行程问题 题型8 其它问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 传播、握手、循环赛问题 1．流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南常德·期末）2025年，湖南省城市足球联赛（简称“湘超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“湘超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了91场对决．若设参加该联赛的球队共有支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元二次方程解决单循环赛制的实际问题，核心是掌握单循环赛制中比赛总场数的计算逻辑，避免重复统计场次． 【详解】解：∵设参加联赛的球队共有支 ∴每支球队需与其余支球队各赛一场 又∵单循环赛制中，两队之间仅对决一场，上述计算存在重复计数 ∴实际总比赛场数为 ∵已知常规赛共进行91场对决 ∴可列方程 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2450张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．每个学生需要给其他名学生各赠送一张贺卡，因此总贺卡数为x名学生每人赠送张，即．根据总贺卡数2450张，直接列出方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 根据题意，得． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 根据题意，主干、支干和小分支的总数构成一元二次方程，求解后取正值． 【详解】由题意，主干有1个，支干有个，小分支有个，故总数为． 整理得． 因式分解得， 解得（舍去）或． 故答案为：5． ◆题型2 增长率问题 5．为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第一季度包含1、2、3三个月，需分别表示出每月产量，再根据第一季度总产量列方程． 【详解】解：∵一月份生产零件万个，平均每月增长率为， ∴二月份生产零件数量为 万个， ∴三月份生产零件数量为 万个， ∵第一季度共生产零件万个，第一季度总产量为三个月产量的和， ∴可列方程． 6．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 【答案】 【详解】解：已知3月份盈利元，每月盈利的平均增长率为，则4月份盈利为，5月份盈利为，由题意可得 ． 7．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； (2)不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 8．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）“电商”改变了传统的购物模式，直播带货成了当下最火爆的销售手段．电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件，若两次降价率相同． (1)求A商品每次降价的百分率； (2)该网红店A商品的进价为150元/件，两次降价共出售1000件A商品，若该店预计两次降价销售的总利润不低于17400元．请问第一次降价后至少要销售A商品多少件? 【答案】(1)该种商品每次降价的百分率为 (2)为使两次降价销售的总利润不少于17400元．第一次降价后至少要售出商品300件 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程或不等式求解． （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件”建立方程求解； （2）设第一次降价后售出商品件，则第二次降价后售出商品件，表示出第一次降价后的单件利润为：（元/件），第二次降价后的单件利润为：（元/件），再由“总利润不低于17400元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，或（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为． （2）解：设第一次降价后售出商品件，则第二次降价后售出商品件， 第一次降价后的单件利润为：（元/件） 第二次降价后的单件利润为：（元/件）． 依题意得：， 解得：． 答：为使两次降价销售的总利润不少于17400元，第一次降价后至少要售出商品300件． ◆题型3 图形问题 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽． 根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是，宽为，然后根据长方形的面积长宽，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得， 解得：（舍去） 答：过道的宽应该设计米． 11．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， (1)设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 (2)求的长是多少？ 【答案】(1)， (2)的长是米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，； （2）根据“劳动基地的总面积（不包含水池）为”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵劳动基地的总面积（不包含水池）为， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴； ∴； ∴的长是米． 12．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设这个增长率为，由题意得到，利用直接开平方法求解即可得到答案； （2）设矩形空地的宽为米，则的长为米，从而得到方程，利用因式分解法求解，再根据取值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 则由题意得， 解得（负值不合题意，舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设矩形空地的宽为米，则的长为米， 则由题意得矩形面积为， 即， 整理得， ， 解得，， 米， ，则， 取，则米， 答：矩形空地的宽为米． ◆题型4 数字问题 13．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 15．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则________； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则____； （3）若数列是“梦数列”，则____________． 【答案】 2 1或 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是明确“梦数列”的含义. （1）根据“梦数列”的定义进行求解即可； （2）根据“梦数列”的定义可得到， 结合条件则有，从而可求解； （3）结合“梦数列”的定义进行求解即可. 【详解】（1） 由题意得： ， 故答案为： ； （2）∵数列是“梦数列”， ∴， ∵不论取何值， 数列都是“梦数列”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）∵数列是“梦数列”， ∴， ， 则有， ∴， 解得： 或. 故答案为： 或. 16．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】根据日历上数字的特点，用含中间数的代数式表示出最小的数a和最大的数i，根据最大的数与最小的数乘积是297列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1， 则，，，， ∵最大的数与最小的数乘积是297， ∴， 解得，取正数，． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是用含中间数的代数式表示出a和i． ◆题型5 营销问题 17．为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【答案】(1)黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元 (2)2或7 【分析】（1）根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可； （2）根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得 解得． 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元； （2）解：由题意，得 ， 解得，． 当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意． 答：a的值为2或7． 18．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）阅读材料： 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率； (2)该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 【答案】(1)一档至三档转速的平均增长率为 (2)要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元 【分析】（1）根据“一档转速×(1+增长率)² =三档转速”列一元二次方程，舍去负根，得到平均增长率； （2）根据“每件利润×销量=总利润”列一元二次方程，得到两个解，根据“尽快清理库存”的要求选择销量更高的方案． 【详解】（1）解：设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得方程： ，解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为． （2）解：设应降价元，根据题意得方程：， 方程整理得：，解得：，， 当时，销量为（台）， 当时，销量为（台）， 为了尽快清理库存，则应选择销售量高的方案，故应降价元． 答：要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元． 19．（2025·湖南衡阳·一模）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)230 (2)当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． (3)不能， 理由如下： 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得， 整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，根据题意知单价增加5元，则销量减少50件可得结果； （2）设销售单价为x元，则每件的销售利润为（x-30）元，每天可销售件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据题意设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到3700元． 【详解】（1）解：（件）． 故答案为：230． （2）解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，    整理，得， 解得（不合题意，舍去），．    答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）略 20．（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到1300元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1)； (2)销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次函数、一元二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1300元，列出方程，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元销售， ∴， ∴每天的销售利润为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； （3）解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 则， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到1300元． ◆题型6 动点问题 21．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 22．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 【答案】(1)3秒钟 (2)2秒钟或4秒钟 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确表示出线段和的长是解题的关键． （1）设时间为t秒，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：设时间为t秒，则 ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：经过3秒钟，． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过2秒钟或4秒钟，的面积等于． 23．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能，秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 【详解】（1）解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； （2）解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 24．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． ◆题型7 行程问题 25．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 26．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 27．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 28．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． ◆题型8 其它问题 29．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可． 【详解】解：设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金， 根据题意得：， 解得：或（舍去，不符合实际）， “衰分比”是， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究： 若某人共画了171条直线，则该平面上共有___________个点． 【答案】19 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用：根据前几个图形中点与直线的个数关系可得规律，n个点有条直线，再结合某人共画了171条直线，列出关于n的方程求解即可． 【详解】解：2个点有1条直线， 3个点有条直线， 4个点有条直线， 5个点有条直线， ……， 以此类推可知，n个点有条直线， ∴当直线的条数是时，则，即， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地. (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从地到达地后，小明跑步继续前进到地整个过程不休息，据了解，在整个运动过程中，小明跑步的前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个过程中，小明共消耗卡路里热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小明跑步速度是，小红跑步速度是 (2)小明从地到地锻炼共用分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用； （1）设小红跑步速度是，则小明跑步速度是，利用时间路程速度，结合小明比小红早分钟到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出小红跑步的速度，再将其代入中，即可求出小明跑步的速度； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗卡路里的热量”，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小红跑步速度是，则小明跑步速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：小明跑步速度是，小红跑步速度是； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟， 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，． 答：小明从地到地锻炼共用分钟． 32．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植株（），单位面积试验田单株的平均产量为粒，求关于的函数关系式． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 【答案】(1) (2)单位面积大豆应种植60株 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （1）设单株的平均产量为，由表格可知随的增大而减小，且每增加10，减小5，因此是的一次函数．设与的关系式为，在表格中取两组值代入，求出的值，即可得到单位面积试验田单株的平均产量； （2）根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程求出的值，再根据题意选取合适的值即可． 【详解】（1）解：设单株的平均产量为， 由表格可知随的增大而减小，且每增加10，减小5，因此是的一次函数． 设与的关系式为， 将代入得：， ∴， ∴与的关系式为：； （2）根据题意可列方程：． 整理得， ∴． ∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去， ∴． 答：单位面积大豆应种植60株． 综合攻坚·知能拔高 33．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 34．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 35．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 36．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 37．（25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 38．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当t =_______时，四边形ABQP是矩形； (2)当t =_______时，四边形AQCP是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由 【答案】(1)3 (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题． （1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【详解】（1）解：如图， 过点作于点，    由矩形可知， ，， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，由运动可知， ， 则， 当， 四边形是矩形，得到， ， 解得， 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴当四边形是菱形， ， ， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，， 即方程有解， 方程整理得 ， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 39．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)经过4s或6s，的面积为24cm2 (2)不会，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设运动时间为t秒，则，，，根据题意得，解方程即可； （2）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得或， ∵当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止， ∴，即， ∴经过4s或6s，的面积为24cm2． （2）解：不会，理由如下： ， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 40．【问题情境】任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ (1)【独立思考】当矩形A的相邻两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的（请补全小亮同学的研究过程）： 设矩形B的相邻两边长分别是x和y． 由题意可得方程组 消去y，得． ， ______，______， 存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半； (2)【拓展探究】 ①如果矩形A的相邻两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B； ②如果矩形A的相邻两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． 【答案】（1）    2 2）①不存在满足要求的矩形B ②当m，n满足时，矩形B存在．理由如下： 设所求矩形的相邻两边长分别是p和q． 由题意，得 消去q，得， ． 故当m，n满足时，矩形B存在． 【分析】（1）利用公式法求出方程的解即可； （2）①仿照小亮的方法列出方程组，求出解判断即可；②仿照小亮的方法列出方程组，消去得到关于的一元二次方程，令根的判别式大于等于确定出与满足的关系式即可． 【详解】（1）解：    2 提示． ， ∴， ，． （2）解：①设矩形B的相邻两边长分别是a和b． 由题意，得 消去b，得． ， 此方程无解， 不存在满足要求的矩形B． ②略 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次方程的解法，弄清题意是解本题的关键． 41．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 42．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 43．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 44．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)200，2000 (2)该玩偶的售价为44元 (3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【详解】（1）解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． （2）解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． （3）解：略． 45．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 46． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 【答案】(1)， (2)至少需要米，米的安全距离足够 (3)车速不超过时，可避免事故；安全驾驶建议：在高速公路行驶时，若前方有故障或警示标志，应提前减速，车速不超过，并与前车保持足够安全距离，避免急刹追尾 【分析】（1）由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系，利用待定系数法求解即可；再根据停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系求解即可； （2）将代入即可求得至少需与故障车辆保持的距离；再与150米比较即可判断安全距离是否足够； （3）令，则，即可求得不得超过的速度；再根据安全需要提建议即可． 【详解】（1）解∶由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系． 设，将代入得∶，解得， ∴反应距离与行驶速度的函数关系式为， ∵停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系为：， ∴停车距离与行驶速度的函数关系式． （2）解：当时， ； 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条，警告标志应设置在故障车来车方向150米以外． ∵1， ∴150米的安全距离足够． 答：至少需与故障车辆保持110.4米的距离才能安全停车；150米的安全距离足够． （3）解：根据题意，令，得∶ ， 整理得∶ ，解得：或(不合题意，舍去)． 所以车速不超过． 建议：在高速公路上行驶时，应时刻关注前方路况保持安全车距，遇有警告标志应提前减速，确保行车安全． 47．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）首先确定点，坐标，设，则，利用面积公式解得的值，即可确定点坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式； （2）①根据题意，可知，由轴可知，然后由求解即可；②首先确定，结合轴可得，将其代入直线并求解，可得点坐标，进一步可得，结合计算的值，即可获得答案； （3）①设，设直线的表达式为，将点，代入并计算，即可确定直线的表达式，进一步确定点坐标，结合求得的值，即可获得答案；②结合①确定直线的表达式，设，，设该平行四边形的对角线交点为，然后分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、以为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， 设，则， ∵面积为7， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E的横坐标为t，且点E在线段上， ∴， ∵轴， ∴， 由（1）可知直线的解析式为， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵轴，， ∴， 将其代入直线，可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； （3）解：①设，设直线的表达式为， 将点，点代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； ②由①可知，直线的表达式为， 设，， 设该平行四边形的对角线交点为， 分情况讨论： 情况1，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∵，， ∴，解得， ∴； 情况2，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴； 情况3，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或． 48．（25-26七年级下·陕西西安·期末）探究下列问题： (1)如图①，点为线段、的中点，连接，，则与的关系为； (2)如图②，，，于E，于D，若，，求的值； (3)某工业园区规划地块如图③所示，地块拐角B为直角顶点，纵向主干道、横向主干道互相垂直，即，米．是园区内部连通两个大门的人行主通道，点D落在通道上．计划将和区域作为园区的配套景观用地．其中，是以为斜边的等腰直角三角形，F为路段CD的中点，现测得米．求：景观用地和的总面积． 【答案】(1)平行且相等 (2) (3)平方米或平方米． 【分析】（1）证明，即可得出，，从而得出， （2）通过证明得出，结合三角形面积求出，再利用勾股定理在中求出即可解决问题； （3）过点作，先证明，设，进而可得，，再在中，求出的长，即可求出面积． 【详解】（1）解：∵点为线段、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：与的关系为平行且相等． （2）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中，， ∴． （3）过点作， ∵，米． ∴米，， ∴， ∴， 设，则， ∵F为路段的中点， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴景观用地和的总面积 ∵在中，米，， ∴，即， 解得：（米）或（米） 当米时，景观用地和的总面积（平方米） 当米时，景观用地和的总面积（平方米） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的实际应用 常考题型·精准突破 题型1 传播、握手、循环赛问题 题型2 增长率问题 题型3 图形问题 题型4 数字问题 题型5 营销问题 题型6 动点问题 题型7 行程问题 题型8 其它问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 传播、握手、循环赛问题 1．流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 2．（25-26九年级上·湖南常德·期末）2025年，湖南省城市足球联赛（简称“湘超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“湘超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了91场对决．若设参加该联赛的球队共有支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2450张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． ◆题型2 增长率问题 5．为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 7．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 8．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）“电商”改变了传统的购物模式，直播带货成了当下最火爆的销售手段．电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件，若两次降价率相同． (1)求A商品每次降价的百分率； (2)该网红店A商品的进价为150元/件，两次降价共出售1000件A商品，若该店预计两次降价销售的总利润不低于17400元．请问第一次降价后至少要销售A商品多少件? ◆题型3 图形问题 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____． 10．（25-26九年级上·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 11．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， (1)设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 (2)求的长是多少？ 12．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． ◆题型4 数字问题 13．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．1 B． C． D．1或 15．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则________； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则____； （3）若数列是“梦数列”，则____________． 16．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 ◆题型5 营销问题 17．为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 18．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）阅读材料： 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率； (2)该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 19．（2025·湖南衡阳·一模）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 20．（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到1300元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． ◆题型6 动点问题 21．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 22．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 23．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 24．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． ◆题型7 行程问题 25．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 26．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 27．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 28．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． ◆题型8 其它问题 29．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是______． 30．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究： 若某人共画了171条直线，则该平面上共有___________个点． 31．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地. (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从地到达地后，小明跑步继续前进到地整个过程不休息，据了解，在整个运动过程中，小明跑步的前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个过程中，小明共消耗卡路里热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 32．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植株（），单位面积试验田单株的平均产量为粒，求关于的函数关系式． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 常考题型·精准突破 33．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 34．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 35．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 36．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 37．（25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 38．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当t =_______时，四边形ABQP是矩形； (2)当t =_______时，四边形AQCP是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由 39．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 40．【问题情境】任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ (1)【独立思考】当矩形A的相邻两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的（请补全小亮同学的研究过程）： 设矩形B的相邻两边长分别是x和y． 由题意可得方程组 消去y，得． ， ______，______， 存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半； (2)【拓展探究】 ①如果矩形A的相邻两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B； ②如果矩形A的相邻两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． 41．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 42．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 43．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 44．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 45．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 46． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 47．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（25-26七年级下·陕西西安·期末）探究下列问题： (1)如图①，点为线段、的中点，连接，，则与的关系为； (2)如图②，，，于E，于D，若，，求的值； (3)某工业园区规划地块如图③所示，地块拐角B为直角顶点，纵向主干道、横向主干道互相垂直，即，米．是园区内部连通两个大门的人行主通道，点D落在通道上．计划将和区域作为园区的配套景观用地．其中，是以为斜边的等腰直角三角形，F为路段CD的中点，现测得米．求：景观用地和的总面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $