专题02 解直角三角形的常用模型（100题）（举一反三专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“模型建构”为主线，通过背对背、拥抱、母子三大模型系统梳理解直角三角形的构造方法，突出公共边等量关系的核心应用，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |背对背型|40题（含中考真题）|三角形内作高构造双直角三角形，公共边为解题关键|从基本图形到图形演变，结合网格、折叠等情境，强化转化思想| |拥抱型|20题（含实际应用）|解双直角三角形，利用公共边建立方程|聚焦坡度、仰俯角等实际问题，体现应用意识| |母子型|40题（含综合探究）|三角形外作高构造关联直角三角形|通过测高、测距等典例，构建“模型-变式-应用”的逻辑链条|

专题02 解直角三角形的常用模型（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 模型一：背对背型（在三角形内部作高） 模型分析 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，CD为公共边， 图形演变 【题型1 背对背型】 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 3．如图，在中，，平分交于点E，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D． 4．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 5．（专题16四川中考选择题压轴专题（决胜2020年中考压轴题全揭秘精品）四川专用）在△ABC中，AB＝2，cosB，sinC，则△ABC的面积是（　　） A．3 B． C． D．2 6．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A．200米 B．200米 C．220米 D．100米 7．在某次海上搜救工作中，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是(        ) A．5km B．10km C．10km D．20km 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为___________． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    10．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 11．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为________． 12．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分_______________．    13．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 14．如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为________．    15．图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，已知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米.档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为______分米． 16．如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE，    AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积 等于___（结果保留根号）． 17．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____． 18．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 19．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是________．（，，结果精确到0.1米）． 20．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，） 21．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表． 名称 红外线体温检测仪 安装示意图 技术参数 探测最大角：∠OBC=73.14° 探测最小角：∠OAC=30.97° 安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上 根据以上内容，解决问题： 学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC． （结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600） 22．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）    23．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________． 24．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（    ） A． B． C． D． 25．问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，． 求证：． 问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值． 26．如图，小军想测量他所在的位置到池塘中心的亭子的距离，首先，他走到池塘的一侧，找到位置使，此时恰好也为，然后走到池塘的另一侧，找到位置使，且位置与亭子在同一直线上，小军测得求位置到亭子的距离．(参考数据：，，) 27．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）． 28．（2026·贵州六盘水·二模）赤道式日晷（guǐ）是中国古代经典的天文计时仪器．如图1是某景区日晷实物图．数学兴趣小组想要了解日晷的晷针长度和晷针针尖到地面的铅直高度，他们将日晷实物图抽象成如图2所示的几何图形，并进行了如下的实地测量： 【测量数据】 如图2，点，，，在同一平面内，测得晷针与水平线的夹角，，． 【问题解决】 根据以上测量的数据，解答下列问题： (1)求晷针的长度． (2)求晷针的针尖到地面的铅直高度． （结果精确到，参考数据：，，） 29．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中， ，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： (1)材料中问题1的“▲”处应填写____________． (2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． (3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 30．（25-26九年级上·全国·阶段检测）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 31．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 32．如图，在中，． (1)求的长； (2)延长至，使，连接，直接写出的值． 33．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 34．为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）    35．如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动． (1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG； (2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________； (3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________． 36．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 37．下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． (1)作图探讨：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 　 　，小军得出的依据是 　 　；（填序号） ① ② ③ ④ (2)测量发现：如图3，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接．请你完成证明过程． (3)迁移应用：如图4，已知，，点在上，，，若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 38．如图在南北方向的海岸线上，有两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知相距海里，船在船的北偏东方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东方向上． （1）求的长； （2）已知距离观测点处100海里范围内有暗礁，若巡逻船沿直线去营救船．在去营救的途中有无触礁的危险? 39．如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接． (1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________； (2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论； (3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度． 40．如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱的高为米,灯柱与灯杆的夹角为,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域的长为米,从两处测得路灯的仰角分别为和,且,求灯杆的长度. 模型二：拥抱型 模型分析 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关健 基本图形 等量关系 在和中， 图形演变 【题型2 拥抱型】 41．如图，斜坡长130米，坡度，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． (1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） (2)斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在D点测得广告顶部M的仰角为，他沿坡面走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告的长度．（参考数据：，，，，） 42．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 43．（2026·广西南宁·一模）如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（    ） A． B． C． D． 44．（2026·四川绵阳·二模）如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2是飞檐翘角截面示意图，这部分由直线，弧构成，与相切，某一光线与相切于点，延长到点，点在同一水平线上，于于．已知，则弧的长度为___________米．（结果保留，参考数据：） 45．如图，斜坡长米，其坡度，，斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在斜坡的中点测得广告顶部点的仰角为，他沿坡面走到坡脚上，然后向大楼方向继续沿直线行走米来到处，在处测得广告底部点的仰角为，此时小明距大楼底端处米．已知、、、、、在同一平面内，、、、在同一条直线上，则广告的高度是（   ）（精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 46．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，矩形台球桌，其中A、B、C、D处有球洞，已知，球从E点出发，与夹角为α，经过三次反弹后回到E点，则关于的说法下列正确的是（　　） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 48．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板，，托板固定在支撑板顶端点处，可绕点旋转，支撑板可绕点转动．支撑板长，若，点到底座的距离是_____． 49．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 50．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，是高为60米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________． 51．（2026·江苏南京·三模）如图，在两面竖直的墙之间有一个底端在处的梯子，当它靠在左侧墙上时，梯子的顶端在处；当它靠在右侧墙上时，梯子的顶端在处．已知，两面墙之间的距离为．求梯子的长度（用含的式子表示）． 52．（2026·山东东营·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 53．（2026·安徽马鞍山·三模）一辆高空作业的工作示意图如图所示，支撑板距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，， (1)求主臂拐点B到的距离； (2)求吊篮的边沿点C到地面的距离（两小题结果均精确到）． （参考数据：，，） 54．（2026·河南开封·模拟预测）大玉米楼位于郑州市郑东新区如意湖畔千玺广场，是河南省最高城市观景层．建筑以嵩岳寺塔为设计原型，圆柱形塔身夜间呈现金色玉米造型，成为郑州现代城市景观的代表性地标，是中原第一高楼．某综合实践小组欲测量大玉米楼的高度，他们提出了用物理课上学过的《光的反射定律》来解决该问题． 步骤：如图，成员在地面上的点O处放置了一块平面镜，向后移动到点D处，恰好通过镜子反射看到大玉米楼的顶端A，眼睛到地面的距离，测得为，成员距大玉米楼的距离．（点A，B，C，D在同一平面内，，均与地面垂直） (1)的度数为_____________． (2)求大玉米楼的高度．（结果精确到．参考数据：） 55．（2026·广东惠州·三模）项目式学习 【项目主题】为班级图书角设计创意书架． 【项目背景】在世界读书日来临之际，“综合与实践”小组的同学为班级图书角设计创意书架，开展图书共享活动． 【实践工具】美工纸、卷尺、木工板、铅笔、乳胶、螺钉等． 【设计说明】如图1，整个书架由两部分组成，下面是底柜（由矩形和三角形储物柜组成），上面是四个形状大小相等的矩形书橱，用来摆放班级共享图书． 【解决问题】 (1)抽象出该书架部分截面示意图如图2所示，其中，， ，，．矩形底座的边，求书架的高度（点到的距离）．（参考数据：，，） (2)已知张木工板正好可以加工个底柜或个矩形书橱，个底柜和个矩形书橱刚好组合成个书架．现有张木工板，则用多少张木工板加工底柜，多少张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架？ 56．（2026·陕西西安·模拟预测）为深化大气污染防治，国家于2026年2月13日发布了《环境空气质量标准》，该文件收严了大气污染物的限值．小明和小西通过研读该文件认识了家附近的一个建筑——雾霾塔，他们想测量雾霾塔的高度，测量示意图如图所示，由于雾霾塔被围墙包围，于是他们在一个坡角为的坡面上点D处安装测角仪，测得雾霾塔顶端A的仰角为，又测得坡底E与D之间的距离为．已知测角仪 ，点E与雾霾塔底B的距离为 ，与均与水平地面垂直，点B，E均在上，点E，D，F共线，求雾霾塔的高．（参考数据：，，） 57．（2026·湖南邵阳·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产，某“高桩醒狮”表演中，三根梅花桩，，垂直于水平地面，点M，P，N在同一水平地面上，表演者从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C．已知，，，．（参考数据：，，） (1)求点A与点C之间的竖直高度差； (2)若表演者从A直接跳跃到C完成“采青”动作，求跳跃路径的长度． 58．（2026·河南三门峡·一模）无人售货超市吸引了很多夜班族的光临．如图，小军在一家无人售货超市购物时站在点E处，此时距离小军最近的扫描支付摄像头在小军前方仰角的D处，这台摄像头处有其他顾客正在使用，小军打算去后方仰角的A处使用另外一个扫描支付摄像头．已知小军身高，摄像头D距离地面，两台摄像头的水平距离，求摄像头A距离地面的高度．(结果保留一位小数．参考数据：，，，) 59．（2026·天津滨海新区·三模）如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点处时，无人机测得操控者所在位置点的俯角为，测得某建筑物的顶端的俯角为，操控者在点处测得建筑物的顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面，无人机距地面的高度是． (1)求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） (2)求建筑物的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 60．（2026·甘肃武威·三模）数学课外实践测量河对岸风力发电机塔杆高度．在斜坡坡底处测得塔杆顶端仰角为，斜坡上点处测得顶端仰角为 ，斜坡坡度，点、、、、共面，、、共水平线， ．求塔杆高度（结果精确到1m，参考数据： ）． 模型三：母子型（在三角形外部作高） 模型分析 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，BC为公共边， 图形演变1 图形演变2 【题型3 母子型】 61．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（    ） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 62．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为，乙在山下测得C，D之间的距离为米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）    63．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 64．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 65．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 66．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长． 67．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 68．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8 69．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为_______．（精确到；参考数据：） 70．（25.3解直角三角形-2020-2021学年九年级数学上册《课时同步练》（沪教版））如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号） 71．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．    72．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 73．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，）    74．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 75．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 76．如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，=1.414，=1.732） 77．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 78．山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表． 课题 测量毛主席塑像的高度 组长：XXX  组员：XXX，XXX，XXX 测倾器，皮尺等 成员 测量工具 测量示意图    说明：线段的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，为测点，线段，表示测倾器（点在上），点，，，，都在同一竖直平面内，且，；、表示两次测量的仰角，点，在上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 测倾器的高 测倾器的高 任务： （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：，，，，， ） （2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器测出仰角，再测出的长来计算塑像高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 79．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              80．某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，） 81．（2026·河北保定·模拟预测）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） (1)求平台的高度； (2)求信号塔的高度.（结果精确到1米，参考数据：） 82．（2026·河南平顶山·三模）中国文字博物馆位于河南省安阳市，是我国首座以文字为主题的国家级博物馆，馆前字坊造型取自甲骨文中的“字”之形.小聪和小颖利用所学知识测量中国文字博物馆馆前字坊的高度（大门底部不可达），如图，小聪先站在点处，用测角仪测得从眼睛处看字坊顶端的仰角为；然后小颖在小聪与大门之间的线段上放一平面镜（平面镜大小厚度不计），经过不断调整，当平面镜放在处时，小聪刚好在镜子中看到字坊顶端的像，这时测得，已知，，，求馆前字坊的高度.（结果精确到） 83．（2026·天津·二模）综合与实践活动中，某数学学习小组要测量某信号发射塔顶端到地面的高度，如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端的仰角分别为和，矩形建筑物的宽度，高度，计算该信号发射塔的顶端到地面的高度（结果保留整数）． （参考数据：，） 84．（2026·湖南长沙·二模）年长沙国际工程机械展览会上，一台国产新型高空作业平台正在进行安全测试．工作人员在地面处观测平台顶端的仰角为，沿直线向平台方向行进至处，测得顶端B的仰角为．若点，，在同一水平线上，求该平台的高度．（结果保留根号） 85．（2026·新疆昌吉·模拟预测）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量公园内一棵垂直于地面的古树高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 ．站在与上坡顶部同一水平面的处，人的身高忽略不计，视线恰能看到树顶部处； ．测量，两点间的距离； ．用测角仪测得从处看树顶部处的仰角； ．向前进至点处时，此时用测角仪测得从处看树顶部处的仰角；用测角仪测得从处看树底部处的俯角（此时、、三点在同一直线上）． 实验图示    测量数据 ． 2． 3． 4． 备注 ．图上所有点均在同一平面内； 2．与地面垂直，与地面平行． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算古树的高度的值． 86．（2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，． (1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度． (2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）． （参考值：，，） 87．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C的仰角，测得在D点的仰角，求银幕的高度．（参考数据：，，，，，） 88．（2026·江西赣州·模拟预测）如图1，小明走在人行桥上，发现桥头两端A，B与隔山相望的某标志性建筑物刚好在同一直线上，其示意图如图2所示．经测量，人行桥米，分别从A，B两处（这两处观测点在同一水平面上）测得该建筑物顶端的仰角为和．（参考数据：，） (1)求桥头与建筑物之间的水平距离； (2)若测量点A，B两处的海拔高度均为132米，该建筑物地面点的海拔高度为128米，求该建筑物的高度． 89．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）某旗杆位于八级台阶的平台上（每个台阶的高度为）．甲、乙两个数学兴趣小组分别对旗杆的高度进行了探究； 甲：如图1，测得每个台阶的宽度为，最上面台阶宽度为．在点D处测得，点D到台阶最低点M的距离为． 乙：如图2，旗杆上的绳子长，将绳子拉直后测出绳子的末端P到台阶最低点M的距离为．将绳子加长后再拉直，绳子末端位于地面点Q处，测得．Q，P，M，C在同一条直线上． (1)根据甲组的测量数据，的长为________m； (2)根据乙组的测量数据，求旗杆的高度． 90．（2026·陕西榆林·三模）洛川会议纪念馆曾被命名为“全国优秀爱国主义教育示范基地”．某校组织学生在该纪念馆进行红色研学期间，薇薇同学测量了纪念馆门楼（如图1）顶部到门洞顶部的竖直高度，如图2，她将测角仪（大小不计）放置在地面上的点处，测得门楼顶部的仰角，调整测角仪的高度至点处时，测得门洞顶部的仰角，米，米，已知，，A、C、B三点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你计算纪念馆门楼顶部到门洞顶部的竖直高度．【参考数据：，，】 91．（2026·重庆武隆·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 92．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 93．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ）． A． B． C． D． 94．（2026·江苏南通·三模）在综合实践活动中，某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量旗杆的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为； 【步骤二】测得斜坡的坡度，米； 【步骤三】在看台顶部处测得旗杆顶端的仰角为；（其中点，，，在同一条水平直线上） 解决问题 旗杆的高约为________米． （参考数据：，，） 95．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是一座底端点不可到达的建筑物，为建筑物的最高点．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在点处用测角仪测得建筑物顶端点处的仰角，再向前走到达点处，又测得建筑物顶端点处的仰角，测角仪的高．已知，，，，三点在同一水平线上．建筑物的高度为_____． 96．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 97．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 98．如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 99．（2026·重庆·二模）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）； (2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 100．（2026·内蒙古通辽·三模）如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的常用模型（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 模型一：背对背型（在三角形内部作高） 模型分析 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，CD为公共边， 图形演变 【题型1 背对背型】 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 3．如图，在中，，平分交于点E，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，作于D，作于F，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在中表示出，进而根据列出方程求得x，进而求得结果． 【详解】解：如图， 作于D，作于F， 在中， ， 在中，， ， ∴， 在中，设， 在中，， ， 由得，， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 5．（专题16四川中考选择题压轴专题（决胜2020年中考压轴题全揭秘精品）四川专用）在△ABC中，AB＝2，cosB，sinC，则△ABC的面积是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABH中，∵cosB， ∴∠B＝45°， ∵AB＝2， ∴AH＝BH， 在Rt△ACH中，∵sinC， ∴AC， ∴CH， ∴BC＝BH+CH， ∴S△ABC•BC•AH， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 6．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A．200米 B．200米 C．220米 D．100米 【答案】D 【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长． 【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°， ∴BD＝CD＝100米， ∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°， ∴AC＝2×100＝200米， ∴AD＝＝100米， ∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米， 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 7．在某次海上搜救工作中，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是(        ) A．5km B．10km C．10km D．20km 【答案】B 【分析】首先根据等角对等边证明△ABC是等腰三角形，作AD⊥BC于点D，则BC＝2BD，在直角△ABD中利用三角函数求的BD，则BC即可求得． 【详解】 ∵△ABC中，∠ABC＝90°－60°＝30°，∠CAB＝30°＋90°＝120°， ∴∠C＝30°， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC＝10km． 作AD⊥BC于点D，则BC＝2BD． 在直角△ABD中，（km）． 则（km）． 故选B． 【点睛】本题考查了方向角以及等腰三角形的判定和三角函数，解题关键是正确理解方向角的定义，证明△ABC是等腰三角形． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 10．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又 ， ， 故答案为：． 11．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分_______________．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 【详解】解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 13．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 【答案】 【分析】过点作于，根据勾股定理求得的长，继而求得，设，则，则，根据，解得，在中，，根据即可求解． 【详解】过点作于，如图， ∠BFE＝30°， ， ∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键． 14．如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为________．    【答案】 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由题意易得∠DBC=45°，∠ACB=∠DEB，则有，然后根据三角函数及线段的和差可求解． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：    ∵，和的平分线相交于点， ∴∠DBC=45°，∠DCB=∠ACD， ∴△DFB是等腰直角三角形，即DF=BF， ∵DE∥AC， ∴∠ACB=∠DEB，∠ACD=∠CDE， ∴∠CDE=∠DCE， ∴DE=EC， ∵AB=3，AC=5， ∴BC=4，， 设DF=BF=3x，则有：EF=4x，DE=EC=5x， ∴，解得， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 15．图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，已知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米.档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为______分米． 【答案】2 【分析】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M，根据等腰三角形的性质得到NC的长，故得到cos∠ABN的值，根据题意知GO∥BC，DO∥AB，可得到cos∠DOH=cos∠ABN，根据即可得到OH的长，又，可得∠D’OM=∠OAG，再求出cos∠OAG=即可求出OM，故可得到EF的长． 【详解】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M， ∵，， ∴BN=CN=6，AN= ∴cos∠ABN=, 根据题意得GO∥BC，DO∥AB， ∴∠DOH=∠APG=∠ABG ∴cos∠DOH=cos∠ABN ∴cos∠DOH== ∴OH=6， 由， ∴∠AOG+∠D’OM=90°,又∠AOG+∠OAG =90° ∴∠D’OM=∠OAG， ∵cos∠OAG== ∴cos∠D’OM == ∴OM=8 ∴HM=2, 则EF=2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解． 16．如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE，    AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积 等于___（结果保留根号）． 【答案】3- 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FH⊥AE，过C作CM⊥AB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积. 【详解】解：作CM⊥AB于M， ∵等边△ABC的面积是4， ∴设BM=x，∴tan∠BCM=， ∴BM=CM， ∴×CM×AB=×2×CM2=4， ∴CM=2，BM=2， ∴AB=4，AD=AB=2， 在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，    则∠AFH=45°，∠EFH=30°， ∴AH=HF， 设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x． 又∵AH+EH=AE=AD=2， ∴x+x=2， 解得x=3-． ∴S△AEF=×2×（3-）=3-． 故答案为3- 17．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____． 【答案】12-12 【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示． ∵AB=12，DC=7， ∴BF=5． 又∵cos∠ABC=， ∴BC=13，CF==12． ∵AD=CF=12，AB=12， ∴BD==12． ∵△ABE沿BE翻折得到△PBE， ∴BP=BA=12， ∴PD=BD﹣BP=12﹣12． 故答案为12﹣12． 【点睛】本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AD、BD的长度是解题的关键． 18．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案． 【详解】解： 设， 在中，，      在中，，   ， 解得，．            答：宝塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 19．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是________．（，，结果精确到0.1米）． 【答案】6.8米 【分析】利用题目中的仰俯角将其转化为题目直角三角形的内角，分别在Rt△ACE中和Rt△BCE中求得AC和BE的长，两者相加即为雕塑的高． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于E． ∵∠FDA=60°，∠ACE=30° ∴∠ADC=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°， ∴∠CAD=180°-30°-60°=90°， ∵CD=10， ∴AC=CD=5． 在Rt△ACE中， ∵∠AEC=90°，∠ACE=30°， ∴AE=AC=， ∵cos∠ACE=， ∴CE=AC•cos∠ACE=5×cos30°=， 在Rt△BCE中， ∵∠BCE=45°， ∴∠CBE=90°-∠BCE=45°， ∴∠BCE=∠CBE， ∴BE=CE=， ∴AB=AE+BE=（+）≈6.8（米）． 所以，雕塑AB的高度约为6.8米， 故答案为6.8米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答问题． 20．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，） 【答案】不会 【分析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断． 【详解】解：如图，过点P作于D． 由题意得． ∴在Rt△PMD中，，即 在Rt△PND中，，即 ∵， 即， ∴． 答：这条公路不会穿越这个住宅小区． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表． 名称 红外线体温检测仪 安装示意图 技术参数 探测最大角：∠OBC=73.14° 探测最小角：∠OAC=30.97° 安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上 根据以上内容，解决问题： 学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC． （结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600） 【答案】该设备的安装高度OC约为2.9m． 【分析】根据题意可得OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可． 【详解】根据题意可知： OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m， ∴AC=AB+BC=4+BC， ∴在Rt△OBC中，BC=， 在Rt△OAC中，OC=AC•tan∠OAC≈(4+BC)×0.6， ∴OC=0.6(4+)， 解得OC≈2.9（m）． 答：该设备的安装高度OC约为2.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC的方程是解题的关键． 22．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）    【答案】这棵大树AB原来的高度约是9.2米． 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论． 【详解】过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°． ∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，AD=5， ∴cos37°＝＝≈0.8， ∴DE≈4， ∵sin37°＝＝≈0.6， ∴AE≈3， 在Rt△AEC中， ∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°， ∴CE＝AE·tan∠CAE=AE＝， ∴AC＝2CE＝2， ∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．    答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 23．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________． 【答案】 【分析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案． 【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD， ∵，且，而，∴m， 又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m， 且，坝底， 故答案为：49m． 【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边∶斜边，掌握定义就不会算错． 24．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=2． 【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D． 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2， ∴AD=OA=1． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴BD=AD=1， ∴AB=AD=． 即该船航行的距离（即AB的长）为km． 故选：C． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25．问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，． 求证：． 问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值． 【答案】 问题1：证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． 问题2： 【分析】问题1：先根据AAS证明，可得，，由此即可证得结论； 问题2：分别过点、作的垂线，垂足为、，由（1）可知，利用45°的三角函数值可得，，由此即可计算得到答案． 【详解】问题1：略 问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、． 由（1）可知， 在和中，， ∴，， ，． ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 26．如图，小军想测量他所在的位置到池塘中心的亭子的距离，首先，他走到池塘的一侧，找到位置使，此时恰好也为，然后走到池塘的另一侧，找到位置使，且位置与亭子在同一直线上，小军测得求位置到亭子的距离．(参考数据：，，) 【答案】位置到亭子的距离约为 【分析】先根据题目意思证明，再把的值计算出来，根据题中所给的三角函数值即可得到答案； 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知， ， ， ， ， 根据勾股定理得， ， 在中， 故，位置到亭子的距离约为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形、勾股定理以及三角函数，掌握知识点、灵活运用所学知识是解题的关键． 27．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）． 【答案】100米. 【详解】【分析】如图，作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得. 【详解】如图，过P点作PC⊥AB于C， 由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°， 在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC=PC， 在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴BC=PC， ∵AB=AC+BC=PC+PC=10×40=400， ∴PC=100， 答：建筑物P到赛道AB的距离为100米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键. 28．（2026·贵州六盘水·二模）赤道式日晷（guǐ）是中国古代经典的天文计时仪器．如图1是某景区日晷实物图．数学兴趣小组想要了解日晷的晷针长度和晷针针尖到地面的铅直高度，他们将日晷实物图抽象成如图2所示的几何图形，并进行了如下的实地测量： 【测量数据】 如图2，点，，，在同一平面内，测得晷针与水平线的夹角，，． 【问题解决】 根据以上测量的数据，解答下列问题： (1)求晷针的长度． (2)求晷针的针尖到地面的铅直高度． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，利用余弦函数求解； （2）得出，利用正弦函数求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴ 29．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中， ，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： (1)材料中问题1的“▲”处应填写____________． (2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． (3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 【答案】(1)②④； (2) 证明：延长至点，使得，连接． ∵四边形是邻对等四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． (3) 【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义； （2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明； （3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度． 【详解】（1）解：根据邻对等四边形的定义， ①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； ③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； 故答案为：②④． （2）略 （3）解：∵四边形是邻对等四边形， ∴由（2）的结论可知，且． ， ． 在中，， ． 过点作于点， 在中，，， ． 在中，，，， ． 30．（25-26九年级上·全国·阶段检测）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 31．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1) 证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 32．如图，在中，． (1)求的长； (2)延长至，使，连接，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理． （1）过A点作于D点，先根据求出的长，进而可知的长，再根据可求出的长，由此可得的长； （2）作于F点，先根据勾股定理求出的长，再根据求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的值． 熟练掌握三角函数的定义及用面积法求三角形的高是解题的关键． 【详解】（1）解：过A点作于D点， 则， ， ， ． ， ， ． （2）解：作于F点， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 33．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 34．为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）    【答案】米 【分析】过点作于点，根据，及即可判断四边形是平行四边形，进一步四边形是矩形，即可得到，，通过设，在中根据三角函数即可得到，进一步得到，在中根据三角函数即可得到，再根据，建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在，， ∴， ∴， 在，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴扶梯的高约为米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键添加适当的辅助线，构造直角三角形． 35．如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动． (1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG； (2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________； (3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N，利用AAS证明DEM≌DFN，可得DM=DN，即可得到结论； （2）当AE=0时，由ACD是等腰直角三角形，得AC=CD=6；从而可得CD的长度，当AE=3时，作EH⊥CD于点H，解ECD即可得到CD的长度； （3）由（1）知，CD平分∠ACG，从而可确定点D在射线CD上运动，通过起点和终点可以分析出点D是往返型运动，再确定在运动过程中CD的最大值和最小值即可求解． 【详解】（1）证明：过D点作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N， ∴∠DME＝∠DNF=90°， ∵∠ACG=90°， ∴∠MDN=90°， ∵DEF是等腰直角三角形 ∴∠EDF=90°，DE=DF， ∴∠EDM+∠MDF=∠MDF+∠FDN=90°， ∴∠EDM=∠FDN， ∴DEM≌DFN （AAS）． ∴ ∴点D在∠ACG的角平分线上． ∴CD是∠ACG的角平分线． （2）当AE=0时， ∵AC=6，ACD是等腰直角三角形， ∴AC=CD=6， ∴CD=． 当AE=3时，作EH⊥CD交CD于点H， CE=6-3=3， ∵∠ACD=45°， ∴EH=CH=CE=, 在EDF中，FE=6 ∴DE=FE=， 在EDH中，EH=， DE =， ∴DH= ==， ∴CD=CH+DH=+=． 故答案为：， （3）由（1）知，点D在∠ACG的平分线上运动，当点E从点A滑动到点C时，线段CD的长度先变长再变短． 当点E与点A重合时，CD最短=， 当DE⊥AC时，CD最长=6， 故点D的运动路径=）=． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，能够熟练全等三角形的判定和性质，以及分析动点的运动轨迹是解决本题的关键． 36．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 【答案】隧道EF的长度米． 【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解． 【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示： 由题意得：， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴AG=EG=DG， 设AG=EG=DG=x， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：隧道EF的长度米． 【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 37．下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． (1)作图探讨：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 　 　，小军得出的依据是 　 　；（填序号） ① ② ③ ④ (2)测量发现：如图3，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接．请你完成证明过程． (3)迁移应用：如图4，已知，，点在上，，，若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 【答案】(1)①；③ (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得出结论； （2）由条件，，，可知，又，得到，，所以，在中，，可得，从而得证； （3）过点作交于点，连接，过点作交于点，由（1）（2）可知，且；根据，，有，由等腰三角形的三线合一的性质可知，结合，可得，根据，由得到，所以，然后在和中继续利用锐角三角函数求出和的长，最后利用即得解． 【详解】（1）解：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE， ∴， 又∵， 在和中 ， ∴（） 如图2，分别过，作，的垂线， ∴，， 即，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中 ， ∴（） 故选：①；③ （2）证明：∵，，， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作交于点，连接，过点作交于点， 又∵，， ∴，，都是， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又由（1）（2）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形等知识以及知识迁移应用的能力．通过作适当的辅助线从而达到能够应用前面两问的结论和全等三角形的性质的应用是解答本题的关键． 38．如图在南北方向的海岸线上，有两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知相距海里，船在船的北偏东方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东方向上． （1）求的长； （2）已知距离观测点处100海里范围内有暗礁，若巡逻船沿直线去营救船．在去营救的途中有无触礁的危险? 【答案】（1）200海里；（2）无危险，理由见解析 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，根据正切的概念求出CE，根据题意列方程，解方程即可； （2）作DF⊥AC于F，设AF＝y，用y表示出DF，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）作CE⊥AB于E， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AE×tan∠EAC＝x， 在Rt△BEC中，∠EBC＝45°， ∴BE＝EC＝x， 则x＋x＝， 解得，x＝100， ∵∠ACE＝30°， ∴AC＝2x＝200， 答：A与C之间的距离为200海里； （2）作DF⊥AC于F， 设AF＝y，则DF＝y， ∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°， ∴∠DCA＝45°， ∴CF＝DF＝y， 则y＋y＝200， 解得，y＝100（−1）， ∴DF＝×100（−1）=100（3−）， ∵100（3−）＞100， ∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 39．如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接． (1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________； (2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论； (3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据旋转全等模型可证，（SAS），结合已知平行四边形性质可证：，，根据，可得是等边三角形即可解题； （2）同理第一问，根据，可得是等腰直角三角形即可解题； （3）根据第一问可证：，当、、三点共线时，当、、三点共线时，、、三点共线，继而解三角形，求出BD长，由相似三角形性质求出EF，由分两种情况，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：如图2，连接EC， ∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∵四边形BDFC是平行四边形， ∴BC∥DF，BD=CF ∴ ，， ∴， 又∵， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴EF=CF； （2）解：同理（1）可得：，， 当时，， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：分两种情况进行讨论： 如图3-1：AF=AE+EF， 同理1可得：，， 又∵，，． ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， 由（1）得：（SAS）， ∴， ∴ ∴当、、三点共线时，， ∴当、、三点共线时，、、三点共线， 如图4-1，过A点作AH⊥DE， ∵AD=AE， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 如图4-2，AF=EF-AE， 同理可得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述：AF长为或． 【点睛】本题属于几何压轴题，综合性比较强，体会其中蕴含的从特殊到一般的思想是解题的关键．解题关键是关键旋转全等模型证明是等腰三角形，，从而可得，再结合解三角形求线段长． 40．如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱的高为米,灯柱与灯杆的夹角为,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域的长为米,从两处测得路灯的仰角分别为和,且,求灯杆的长度. 【答案】灯杆的长度为米 【分析】过点A作AF⊥CE,交CE于点F,过点B作BG⊥AF,交AF于点G,则FG=BC=10设AF=x知EF=AF=x、，由DE=13求得，据此知AG=AF-GF=1,再求得∠ABG=∠ABC-∠CBG=30°，可得AB=2AG=2. 【详解】解:过点作,交于点，过点作,交于点,则. 由题意得. 设 在中， 解得 答:灯杆的长度为米. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，直角三角形中边角关系，解决本题的关键是根据题意通过做辅助线构造直角三角形. 模型二：拥抱型 模型分析 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关健 基本图形 等量关系 在和中， 图形演变 【题型2 拥抱型】 41．如图，斜坡长130米，坡度，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． (1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） (2)斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在D点测得广告顶部M的仰角为，他沿坡面走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告的长度．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)米 (2)35米 【分析】（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）延长交于点H，解直角三角形，解直角三角形，求得，，根据计算解答即可． 本题考查了解直角三角形，熟练运用坡比，特殊角的函数值，锐角三角函数是解题的关键，构造高这条辅助线也是解题的一个关键. 【详解】（1）解：延长交于点F， ∵斜坡长130米，坡度，， ∴， 设， 则， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故米． 答：平台的长米． （2）解：延长交于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：广告高约为35米． 42．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 43．（2026·广西南宁·一模）如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解求得，解，即可求得． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴ ， 则扶梯的高度为 ． 44．（2026·四川绵阳·二模）如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2是飞檐翘角截面示意图，这部分由直线，弧构成，与相切，某一光线与相切于点，延长到点，点在同一水平线上，于于．已知，则弧的长度为___________米．（结果保留，参考数据：） 【答案】 【分析】记圆心为点，连接，过点作于点，则，，根据圆的切线的性质得到，再证明四边形是矩形，则，解，求出，则，再由勾股定理求解，再求解半径，最后由弧长公式求解即可． 【详解】记圆心为点，连接，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵与相切，某一光线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴弧的长度为：． 45．如图，斜坡长米，其坡度，，斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在斜坡的中点测得广告顶部点的仰角为，他沿坡面走到坡脚上，然后向大楼方向继续沿直线行走米来到处，在处测得广告底部点的仰角为，此时小明距大楼底端处米．已知、、、、、在同一平面内，、、、在同一条直线上，则广告的高度是（   ）（精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由坡度和勾股定理求出斜坡的垂直、水平高度，再作辅助线构造矩形，利用中点性质得到观测点的水平、垂直距离，最后通过两个仰角的正切值分别求出广告顶部和底部距地面的高度，作差得到广告高度． 【详解】解： 长米，坡度， ， 设，， ，解得， 米，米， 米，米， （米）， 如图，过点作，交于点，交于点， ， 四边形为矩形， 米，， 为中点，， ∴， ∴， 米，米， （米）， ，，， ，解得米， （米）， ，，， ，解得米， （米）． 46．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，矩形台球桌，其中A、B、C、D处有球洞，已知，球从E点出发，与夹角为α，经过三次反弹后回到E点，则关于的说法下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．根据球的运动轨迹易证四边形是平行四边形，，，推出，由，再根据正切的定义即可得到的值． 【详解】解：如图， 设G、H分别是球反弹到边上的位置，连接， ∵， ∵球从E点出发，与夹角为，经过三次反弹后回到E点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得； ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴在中，． 故选：C． 47．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 【答案】/ 【分析】过B作，垂足为F，则四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出的长，然后根据即可求出广告牌的高度． 【详解】解：过B作，垂足为F，则四边形为矩形，， ∵山坡的坡度， 设米，则（米）， 在中， ∴， ∴， ∴米，米， ∴（米）． ∵， ∴米． ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴广告牌的高度是米． 48．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板，，托板固定在支撑板顶端点处，可绕点旋转，支撑板可绕点转动．支撑板长，若，点到底座的距离是_____． 【答案】 【分析】先过点作，过点作的延长线于点，结合，，，，得，，，然后由，，代入数值进行计算得，，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作的延长线于点，如图所示： ， ， 则点到底座的距离的长度， ，， ，， ，， ， ∵， 则， ， ， ∵， ， ， 则． 【点睛】本题是解直角三角形在实际支架问题中的典型应用，核心是作垂直辅助线，将点到的距离转化为线段，通过角度推导并结合余弦函数计算与后相加，体现了“化斜为直”的几何转化思想，是实际问题抽象为直角三角形计算的经典范例． 49．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 【答案】48米/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的相关定义和运算是解题关键．作于，过点作于点，根据题意可得，然后利用勾股定理求出米，得出米，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得米，进一步可得米，米，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：作于，过点作于点，如图所示： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴米， ∴在矩形中，米，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得：， 答：大树的高度约为48米． 故答案为：48． 50．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，是高为60米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 延长，过点作，垂足为点，作交于点，过点作，由坡面的坡度得到，，设，所以，，在中，由解得的值，从而求出的长． 【详解】解：如图，延长，过点作，垂足为点，作交于点，过点作， 坡面的坡度为， ， ，． 设， 由题意得，， ， ， ， 在中， ， ，解得， ，， 在中， ， ． 故答案为． 51．（2026·江苏南京·三模）如图，在两面竖直的墙之间有一个底端在处的梯子，当它靠在左侧墙上时，梯子的顶端在处；当它靠在右侧墙上时，梯子的顶端在处．已知，两面墙之间的距离为．求梯子的长度（用含的式子表示）． 【答案】梯子的长度为 【分析】设梯子的长度为，则，然后根据三角函数可得，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设梯子的长度为，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， ． 答：梯子的长度为． 52．（2026·山东东营·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】（1）直接解直角三角形，求出的长即可； （2）过B作，，解直角三角形求出的长，再根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】（1）解：∵仰角为，， （m）． 答：综合楼的高度为． （2）解：如图，过B作，，则四边形为矩形， 的坡角为，， （m）， （m）， B处测得宣传牌顶部C的仰角为， （m）， （m）． 答：宣传牌的高度为． 53．（2026·安徽马鞍山·三模）一辆高空作业的工作示意图如图所示，支撑板距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，， (1)求主臂拐点B到的距离； (2)求吊篮的边沿点C到地面的距离（两小题结果均精确到）． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作于点D，在中，利用锐角三角函数解答即可； （2）延长交于点G，过点C作，交于点H，则，先求出，在中，利用锐角三角函数，求出的长，即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点D， 在中，，， ∴， 即主臂拐点B到的距离为； （2）解：如图，延长交于点G，过点C作，交于点H，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 即吊篮的边沿点C到地面的距离为． 54．（2026·河南开封·模拟预测）大玉米楼位于郑州市郑东新区如意湖畔千玺广场，是河南省最高城市观景层．建筑以嵩岳寺塔为设计原型，圆柱形塔身夜间呈现金色玉米造型，成为郑州现代城市景观的代表性地标，是中原第一高楼．某综合实践小组欲测量大玉米楼的高度，他们提出了用物理课上学过的《光的反射定律》来解决该问题． 步骤：如图，成员在地面上的点O处放置了一块平面镜，向后移动到点D处，恰好通过镜子反射看到大玉米楼的顶端A，眼睛到地面的距离，测得为，成员距大玉米楼的距离．（点A，B，C，D在同一平面内，，均与地面垂直） (1)的度数为_____________． (2)求大玉米楼的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2)大玉米楼的高度约为 【分析】（1）根据光的反射定律即可解答； （2）解求得的长，即可求得的值，解即可求得． 【详解】（1）解：根据光的反射定理可得； （2）解：在中，， ， ， ， 由题意得：， 在中，． 答：大玉米楼的高度约为． 55．（2026·广东惠州·三模）项目式学习 【项目主题】为班级图书角设计创意书架． 【项目背景】在世界读书日来临之际，“综合与实践”小组的同学为班级图书角设计创意书架，开展图书共享活动． 【实践工具】美工纸、卷尺、木工板、铅笔、乳胶、螺钉等． 【设计说明】如图1，整个书架由两部分组成，下面是底柜（由矩形和三角形储物柜组成），上面是四个形状大小相等的矩形书橱，用来摆放班级共享图书． 【解决问题】 (1)抽象出该书架部分截面示意图如图2所示，其中，， ，，．矩形底座的边，求书架的高度（点到的距离）．（参考数据：，，） (2)已知张木工板正好可以加工个底柜或个矩形书橱，个底柜和个矩形书橱刚好组合成个书架．现有张木工板，则用多少张木工板加工底柜，多少张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架？ 【答案】(1)书架的高度约为 (2)用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架． 【分析】（1）如图，过作于，过作于，交于，分别求解，，过作于，过作交的延长线于，分别求解，，再进一步求解即可． （2）设用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架，可得，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，交于， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 过作于，过作交的延长线于， ∴，， ∴，，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴书架的高度约为． （2）解：设用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架， ∴， 解得：， ∴， ∴用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架． 56．（2026·陕西西安·模拟预测）为深化大气污染防治，国家于2026年2月13日发布了《环境空气质量标准》，该文件收严了大气污染物的限值．小明和小西通过研读该文件认识了家附近的一个建筑——雾霾塔，他们想测量雾霾塔的高度，测量示意图如图所示，由于雾霾塔被围墙包围，于是他们在一个坡角为的坡面上点D处安装测角仪，测得雾霾塔顶端A的仰角为，又测得坡底E与D之间的距离为．已知测角仪 ，点E与雾霾塔底B的距离为 ，与均与水平地面垂直，点B，E均在上，点E，D，F共线，求雾霾塔的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，延长交于点，构造出两个直角三角形和矩形，根据矩形的性质转化线段进而得，，然后分别在和中利用三角函数的定义求出、和的长，最后进行计算可得的值． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 由题意得四边形为矩形，， ∴ ，， 在中 ， ∵ ∴， ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， 在中， ∵， ∴ ， ∴ ， 答：雾霾塔的高约为． 57．（2026·湖南邵阳·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产，某“高桩醒狮”表演中，三根梅花桩，，垂直于水平地面，点M，P，N在同一水平地面上，表演者从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C．已知，，，．（参考数据：，，） (1)求点A与点C之间的竖直高度差； (2)若表演者从A直接跳跃到C完成“采青”动作，求跳跃路径的长度． 【答案】(1)1.2m (2)2m 【分析】（1）过点B作于点E，作于点F，过点A作于点D，连接AC，由题意可得四边形，，均为矩形，根据题意分别求出将转化为即可； （2）在中求出，再由勾股定理求即可． 【详解】（1）如图，过点B作于点E， 作于点F，过点A作于点D，连接， 由题意，，，， ∴四边形，，均为矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 答：点A与点C之间的竖直高度差约为1.2m． （2）解：在中，， 由（1）知，由勾股定理得． 答：跳跃路径的长约为． 58．（2026·河南三门峡·一模）无人售货超市吸引了很多夜班族的光临．如图，小军在一家无人售货超市购物时站在点E处，此时距离小军最近的扫描支付摄像头在小军前方仰角的D处，这台摄像头处有其他顾客正在使用，小军打算去后方仰角的A处使用另外一个扫描支付摄像头．已知小军身高，摄像头D距离地面，两台摄像头的水平距离，求摄像头A距离地面的高度．(结果保留一位小数．参考数据：，，，) 【答案】摄像头A距离地面的高度为 【分析】由题意易得，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：摄像头A距离地面的高度为． 59．（2026·天津滨海新区·三模）如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点处时，无人机测得操控者所在位置点的俯角为，测得某建筑物的顶端的俯角为，操控者在点处测得建筑物的顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面，无人机距地面的高度是． (1)求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） (2)求建筑物的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】(1)20米 (2)25米 【分析】（1）根据，求解即可． （2）过点D作于点F，根据题意，得，设，，，根据正切函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ，高度是，， ， 答：操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长约为20米． （2）解：过点D作于点F，根据题意，得， ， ， 设， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， 解得， 答：建筑物的高度约为25米． 60．（2026·甘肃武威·三模）数学课外实践测量河对岸风力发电机塔杆高度．在斜坡坡底处测得塔杆顶端仰角为，斜坡上点处测得顶端仰角为 ，斜坡坡度，点、、、、共面，、、共水平线， ．求塔杆高度（结果精确到1m，参考数据： ）． 【答案】约 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解仰角，坡度，并恰当构建直角三角形是解题的关键． 作于点，解、和即可求解． 【详解】解：作于点，如图所示， 在中，斜坡坡度，即， 设，则， ∵，即，解得：， ∴ ，． 在中，， ∴， 易得，四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 模型三：母子型（在三角形外部作高） 模型分析 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，BC为公共边， 图形演变1 图形演变2 【题型3 母子型】 61．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（    ） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 【答案】B 【分析】根据方向角得出，则，根据，得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ∵ ∴， ∴米， 在中，米， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形外角的性质，方位角的计算，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 62．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为，乙在山下测得C，D之间的距离为米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）    【答案】 【分析】由题得，由即可求解； 【详解】解：∵甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查锐角三角形函数综合应用，掌握相关知识并灵活应用是解体的关键． 63．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米 【分析】解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：由题意知，米，米，设米，在中， 米，， 米， 米， 在中， ， ， 即， 解得米， 米， 故魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 64．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 【答案】中原福塔CD的总高度约为389m． 【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解． 【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m， 在Rt△ACB中，∠ABC=45°， ∴BC=AC=x， ∴CE=x+20， 在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°， 即≈1.346， 解得：x≈269.0， ∴CD=x+120=389.0≈389米， 答：中原福塔CD的总高度约为389m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． 65．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析． 【分析】先根据等腰三角形的判定可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， 即塔的高度DE为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 66．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长． 【答案】15﹣5 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案． 【详解】解： 过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴∠BCM＝∠ABC＝30°． ∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5， CM＝BC•cos30°＝10×＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD的长． 67．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度． 【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠EDF=, ∴, 由题可知，△DCE为直角三角形， 在Rt△DEC中， 即： , ∴, 故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 68．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8 【答案】B 【分析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可． 【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J． 由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形， ∴BT=EF=1.4米，JT=DH， 在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=， ∴DH=1（米），CH=2.4（米）， ∵∠ACT=45°，∠T=90°， ∴AT=TC， 设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米， 在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75， ∴=0.75， 解得x=2， ∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米）， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型． 69．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为_______．（精确到；参考数据：） 【答案】35 【分析】分别在与中，运用正切函数解题，分别计算DC，BC的长，再求二者的差即可解题． 【详解】根据题意，在中，， 即 在中，， 即 即 故答案为：35 【点睛】本题考查解直角三角形，其中涉及锐角三角函数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 70．（25.3解直角三角形-2020-2021学年九年级数学上册《课时同步练》（沪教版））如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号） 【答案】（+1）m 【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠β=45°，∠ADC=90°， ∴AD=DC， 设AD=DC=xm， 则tan30°=， 解得：x=100（+1）， 答：河的宽度为100（+1）m． 故答案是：100（+1）m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的三角函数值，正确得出AD=CD是解题关键． 71．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．    【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D，    根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°， ∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=4km， 在Rt△CBD中， ∴CD=BC•sin60°() ∴船C到海岸线的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 72．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 【答案】88米 【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长． 【详解】解：， ，， 在Rt△APQ中，， ， （米）， 在Rt△BPQ，， （米）， （米）， 答：这条河的宽度约为88米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ． 73．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，）    【答案】有危险；渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域． 【分析】过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，分别在和中利用三角函数用PC表示BC和AC的长度，得到，求解PC的长度，与比较即可得出结论． 【详解】解：如图，过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，    根据题意可得，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∵， ∴如果渔船不改变航向有触礁的危险， ∵， ∴若改变航向，刚好到暗礁区域边界时的， 此时， 即如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 74．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米； (2)广告牌的高度为米． 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 75．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 【答案】64m 【分析】利用直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°， 设DE＝xm，则DC＝（x+54）m， 在Rt△DCB中， ∵tan∠DBC＝，即＝， ∴BC＝， 在Rt△ECA中， ∵tanA＝， ∴AC＝≈＝90（m）， 由题意得，90﹣（x+54）＝22， 解得，x≈64， 答：塑像DE的高度约为64m． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 76．如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，=1.414，=1.732） 【答案】MN2.9米 【分析】通过两次解直角三角形计算出AN和AM，再根据AM-AN即可求出MN的长 【详解】解：∵汽车由东西行驶到C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°， ∴∠MCA=30°， ∵前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°， ∴BC=8m，∠ ∵前进4米后到达景区指示牌底部A处， ∴AB=AN=4m ∴AC=AB+BC=4+8=12m ∵∠ACM=30° ∴ ∴ ∵=1.732 ∴（米） 答：指示牌的高MN长约为2.9米． 【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 77．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 【答案】小山的高度为米 【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高． 【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米， 在中，， 则米，米， 在中，， 解得． 答：小山的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键． 78．山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表． 课题 测量毛主席塑像的高度 组长：XXX  组员：XXX，XXX，XXX 测倾器，皮尺等 成员 测量工具 测量示意图    说明：线段的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，为测点，线段，表示测倾器（点在上），点，，，，都在同一竖直平面内，且，；、表示两次测量的仰角，点，在上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 测倾器的高 测倾器的高 任务： （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：，，，，， ） （2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器测出仰角，再测出的长来计算塑像高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【答案】（1）毛主席塑像的高度为；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出． 【分析】（1）根据题意ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，可推得四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，其中BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG和ADF分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG的长度，则AB的长度可求； （2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC． 【详解】解：（1）由题意，得ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，    ∴， ∴四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形， ∴BG=CE=1.70m，，EG=DF， 在AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°， 且，即， 在ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°， ，即， ∴，即， 解得：AG=10.56m， ∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m， 答：毛主席塑像的高度为12.26米． （2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，解题的关键是找出两个直角三角形，并运用正切函数写出对应边的比例式子． 79．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值． 【详解】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． 80．某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】假山的高度DE约为70米． 【分析】过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可． 【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上， 设DE的长为x米， 在Rt△BCE中，∠CBE＝45°， ∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米， 在Rt△ADE中，∠A＝35°， AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x， tanA＝， ∴tan35°＝≈， 解得：x≈70， 答：假山的高度DE约为70米． 【点睛】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答． 81．（2026·河北保定·模拟预测）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） (1)求平台的高度； (2)求信号塔的高度.（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，根据坡度的概念得到，再根据勾股定理求出； （2）延长交于，设，根据正切的定义用表示出，根据题意列式即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵斜坡的坡度为， ∴． ∴． 在中，，即． 解得（负值已舍去）， 故平台的高度为． （2）解：如图，延长交于，则，四边形为矩形， ∴，， 设，则． 在中，， ∴， 在中，，则， 由（1）可知，， ∴，解得 ， 故信号塔的高度约为． 82．（2026·河南平顶山·三模）中国文字博物馆位于河南省安阳市，是我国首座以文字为主题的国家级博物馆，馆前字坊造型取自甲骨文中的“字”之形.小聪和小颖利用所学知识测量中国文字博物馆馆前字坊的高度（大门底部不可达），如图，小聪先站在点处，用测角仪测得从眼睛处看字坊顶端的仰角为；然后小颖在小聪与大门之间的线段上放一平面镜（平面镜大小厚度不计），经过不断调整，当平面镜放在处时，小聪刚好在镜子中看到字坊顶端的像，这时测得，已知，，，求馆前字坊的高度.（结果精确到） 【答案】 【分析】过点作于点，则四边形为矩形，设，在Rt中，解直角三角形得，再证，然后利用相似的性质解出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， 设，则， 在Rt中，， ∴， 由题知， ∴， 即， 解得， 答：馆前字坊的高度约为． 83．（2026·天津·二模）综合与实践活动中，某数学学习小组要测量某信号发射塔顶端到地面的高度，如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端的仰角分别为和，矩形建筑物的宽度，高度，计算该信号发射塔的顶端到地面的高度（结果保留整数）． （参考数据：，） 【答案】150米 【分析】延长交于点G，如图，设，则，分别用含x的式子结合三角函数表示出，再利用构建方程求解即可． 【详解】解：延长交于点G，如图，则四边形、是矩形， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在直角三角形中，∵， ∴， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 答：该信号发射塔的顶端到地面的高度是150米． 84．（2026·湖南长沙·二模）年长沙国际工程机械展览会上，一台国产新型高空作业平台正在进行安全测试．工作人员在地面处观测平台顶端的仰角为，沿直线向平台方向行进至处，测得顶端B的仰角为．若点，，在同一水平线上，求该平台的高度．（结果保留根号） 【答案】该平台的高度为． 【分析】设该平台的高度为，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据，求出，即可． 【详解】解：设该平台的高度为， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴． 答：该平台的高度为． 85．（2026·新疆昌吉·模拟预测）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量公园内一棵垂直于地面的古树高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 ．站在与上坡顶部同一水平面的处，人的身高忽略不计，视线恰能看到树顶部处； ．测量，两点间的距离； ．用测角仪测得从处看树顶部处的仰角； ．向前进至点处时，此时用测角仪测得从处看树顶部处的仰角；用测角仪测得从处看树底部处的俯角（此时、、三点在同一直线上）． 实验图示    测量数据 ． 2． 3． 4． 备注 ．图上所有点均在同一平面内； 2．与地面垂直，与地面平行． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算古树的高度的值． 【答案】古树的高度约为 【分析】由已知条件得米，再利用锐角三角函数的定义即可求出的长，进而可求出的长，然后根据即可得解． 【详解】解：由题意可知，于，共线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴古树的高度约为． 86．（2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，． (1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度． (2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）． （参考值：，，） 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据三角函数求出的值，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可； （2）过点A作于点M，根据三角函数求出 ， ，进而求出 ，即可求出桌面的倾斜度． 【详解】（1）解：由题意可知：在中，， ． ， ， ， ； （2）解：过点A作于点M． 在中，，， ， ， ， ． 87．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C的仰角，测得在D点的仰角，求银幕的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长，交于、，在中，可得：，在中，可得，从而可得，再利用，列方程解方程可得答案． 【详解】解：延长，交于、， 由题意知， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：银幕的高度为． 88．（2026·江西赣州·模拟预测）如图1，小明走在人行桥上，发现桥头两端A，B与隔山相望的某标志性建筑物刚好在同一直线上，其示意图如图2所示．经测量，人行桥米，分别从A，B两处（这两处观测点在同一水平面上）测得该建筑物顶端的仰角为和．（参考数据：，） (1)求桥头与建筑物之间的水平距离； (2)若测量点A，B两处的海拔高度均为132米，该建筑物地面点的海拔高度为128米，求该建筑物的高度． 【答案】(1)380米 (2)99米 【分析】（1）设为米，在中，求得，在中，利用正切函数列式计算即可求解； （2）求得，结合图形计算即可求解． 【详解】（1）解：设为米， ，，， 在中，． ． ，， 在中，． 解得，． 桥头与建筑物之间的水平距离是380米； （2）解：由（1）可知， 测量点，处的海拔高度为132米，地面点的海拔高度为128米， ． ． 该建筑物的高度是99米． 89．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）某旗杆位于八级台阶的平台上（每个台阶的高度为）．甲、乙两个数学兴趣小组分别对旗杆的高度进行了探究； 甲：如图1，测得每个台阶的宽度为，最上面台阶宽度为．在点D处测得，点D到台阶最低点M的距离为． 乙：如图2，旗杆上的绳子长，将绳子拉直后测出绳子的末端P到台阶最低点M的距离为．将绳子加长后再拉直，绳子末端位于地面点Q处，测得．Q，P，M，C在同一条直线上． (1)根据甲组的测量数据，的长为________m； (2)根据乙组的测量数据，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据台阶的宽度求出线段的长度，从而求出的长度，利用等腰直角三角形的性质求出答案； （2）在不同的直角三角形中利用勾股定理求的长，利用等量代换求解． 【详解】（1）解：设的中点为， ∵， ∴， ∵每个台阶的高度为，宽度为，共八级台阶， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：设， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，由勾股定理求得， 由（1）可知, 旗杆的高度为． 90．（2026·陕西榆林·三模）洛川会议纪念馆曾被命名为“全国优秀爱国主义教育示范基地”．某校组织学生在该纪念馆进行红色研学期间，薇薇同学测量了纪念馆门楼（如图1）顶部到门洞顶部的竖直高度，如图2，她将测角仪（大小不计）放置在地面上的点处，测得门楼顶部的仰角，调整测角仪的高度至点处时，测得门洞顶部的仰角，米，米，已知，，A、C、B三点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你计算纪念馆门楼顶部到门洞顶部的竖直高度．【参考数据：，，】 【答案】米 【分析】如图所示，延长交于点G，结合题意得到四边形是矩形，在中，根据解直角三角形的计算得到米，则米，根据题意得到是等腰直角三角形，则米，由即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵，，且， ∴，则四边形是矩形， ∴，米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴米， ∴米． 91．（2026·重庆武隆·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据等角对等边可知，根据可得，根据，可证，根据相似三角形的对应边比例可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 92．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过B作于点N，因为，均垂直，所以四边形是矩形，可得．在中，因为已知，结合米，利用勾股定理求出的长度．在中，因为仰角为，，利用角的正切值求出的长度．因为，代入对应长度即可得到的表达式． 【详解】 解：∵， ∴A处俯角等于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过作于， 则四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． ∴米． 93．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坡度的定义，等腰直角三角形中的边长关系，矩形的判定和性质．熟悉坡度的定义：坡度垂直高度／水平宽度，是解题的关键． 过点作交于点，过点作交于点，通过证明四边形和四边形是矩形，得到，，根据坡度的定义和等腰直角三角形的性质得到和的长度，继而得到． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵迎水坡面的原坡度，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 94．（2026·江苏南通·三模）在综合实践活动中，某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量旗杆的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为； 【步骤二】测得斜坡的坡度，米； 【步骤三】在看台顶部处测得旗杆顶端的仰角为；（其中点，，，在同一条水平直线上） 解决问题 旗杆的高约为________米． （参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，由矩形的判定与性质得到，然后由坡度，在中，设，由勾股定理列方程求解得到，再由等腰直角三角形性质，设，进而表示出，最后由正切函数定义列式计算即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是矩形， 则， 斜坡的坡度，， 在中，设，则由勾股定理可得， ，解得或（负值，舍去）， 即， 在中，，则， ， 设， ， ，， 在中，，则， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 旗杆的高约为米． 95．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是一座底端点不可到达的建筑物，为建筑物的最高点．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在点处用测角仪测得建筑物顶端点处的仰角，再向前走到达点处，又测得建筑物顶端点处的仰角，测角仪的高．已知，，，，三点在同一水平线上．建筑物的高度为_____． 【答案】19 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 根据题意可得，，，设，在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，求出，最后根据线段的和差关系求即可． 【详解】解：根据题意，易得， ，． 设， 在中， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， 解得， ． ， ． 故答案为：． 96．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 97．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1)处的竖直高度为5米； (2)基站塔的高为19.25米． 【分析】（1）过点作，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）延长交于点，过点作，设米，则（米），（米）．在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵斜坡的坡度为， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 米， 即处的竖直高度为5米； （2）解：延长交于点，过点作， 则四边形是矩形， 米，米， 由题意可得：， 设米，则（米），（米）， ∴在中，， 即， 解得：， 经检验：符合题意，即米， 米， 又∵斜坡的坡度为， ，即， 解得：米， 米， 答：基站塔的高为19.25米． 98．如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】过点作，，垂足分别为、，在中，先求出、，再在中用含的代数式表示出线段的长，最后根据等腰直角三角形的性质得关于的方程，求解方程得结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为、． 由题意知，， ∴， 四边形是矩形， ，，． 在中，，， （米）， （米）． 在中，，， ． ． 在中， ． ，， ， （米）． 答：匾额悬挂的高度的长约是米． 99．（2026·重庆·二模）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）； (2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 【答案】(1)海里 (2)甲与的距离约为海里 【分析】（1）过作交于点，则四边形是矩形，得出，根据在北偏东方向，得出，在中，解直角三角形求出海里，则海里，在中，求出，过作于，在中，解直角三角形求出海里，在中，解直角三角形求出海里， （2）设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里，根据甲乙速度相等，得出乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为，，当海里时，过作，交的延长线于，则，在中： 解直角三角形求出，则，由勾股定理列方程求出，再结合题意即可解答； 【详解】（1）解：由题意可知：海里， 过作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵在北偏东方向， ∴， 在中，海里， ∴海里， 在中，，， ∴， 过作于， 在中，海里， 在中，， ∴海里， 即与之间的距离为海里； （2）解：设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里， ∵甲乙速度相等， ∴乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为， ∴乙与的距离， 由方向可知：在的南偏西，在的南偏东， ∴， 当海里时， 过作，交的延长线于，则， 在中： ， ∴， 由勾股定理，即， 展开整理得：， 解得：， 出发时甲乙距离为，随着行走距离增大，距离先减小后增大，首次相距海里对应较小的根：， 即此时甲与的距离约为海里． 100．（2026·内蒙古通辽·三模）如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 【答案】(1)试管口比试管底部低的竖直高度为 (2)台面上到的水平距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）延长交于点，根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：延长交于点，如图1， 由题意可知，，， ； （2）由题意知， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ． 又， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $