第1章 直角三角形的边角关系（单元自测卷）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 立足直角三角形边角关系单元，融合科技（机器人舞蹈）、生活（台风路径、坝体加固）情境，梯度覆盖基础与创新应用，适配九年级单元复习，培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数定义（第1题）、特殊角计算（第2题）、网格应用（第6题）|基础概念与几何直观结合| |填空题|6/18|解三角形（第12题）、坡度计算（第13题）、菱形性质（第16题）|知识迁移与空间观念| |解答题|8/72|台风路径（20题）、机器人动作测量（21题）、面积公式探究（23题）|情境化（科技热点）、探究性（公式推导）、综合应用（跨知识整合）|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 2.已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 3.比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 4.如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 5.在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 故选：D． 6.如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 7.如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数即可得到上升的高度． 【详解】解：过点P作于点D， 在中，， 根据题意可知，， ． 即木桩上升了． 8.如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 9.某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造直角三角形，运用三角函数计算出单侧挡板打开时的水平投影长度，然后结合轴对称图形的性质可得出两个挡板的总水平投影长度，最后结合的长度范围推导出安装距离的范围． 【详解】解：过点B作于点G，过点D作于点H． 在中，，，根据正弦的定义：． 由于扇形和成轴对称关系，因此同理可得． 两个挡板的总水平投影长度为：． 题目要求，而的长度等于“两个挡板的总水平投影”加上“的长度”． 当时，的最小值为总水平投影：； 当时，的最大值为总水平投影加10：． 因此，安装距离应满足：． 10.如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，在中利用表示出，结合矩形性质及表示出，进而在中表示出，从而得到关于的表达式，最后在中利用勾股定理求出即可求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，, 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，直接代入特殊角的三角函数值，再计算即可 【详解】解：原式 ， 故答案为： 12.如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】求出的正弦值，即可求解度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 13.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【分析】过作交于点，过作交于点，分别进行解直角三角形，求得的长度即可． 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 14.．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 15.已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 【答案】8或24 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图1， ， ， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图2， ， ， ， ， ， 综上，的面积为8或24． 16.如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】过点作,根据正切值可知的长度，进而根据勾股定理可知， 设，可知，进而根据构造方程求解，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作, 在菱形中，， ∴,，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 解得：， 则, ∴． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：． 【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18.（6分）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可； （2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 20.（8分）台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． (1)求台风移动的路径的长度； (2)若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰三角形的判定与性质． （1）过C作于H，根据题意得出，求得，根据等腰三角形的性质得到（千米），根据三角函数的定义得到（千米）； （2）过A作于E，求得，根据直角三角形的性质得到（千米），于是得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 如图，过C作于H， ∴， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， 即台风移动的路径的长度为240千米． （2）这次台风不会影响该城市， 理由：如图，过A作于E， ∴， ∵， ∴（千米）， ∵， ∴这次台风不会影响该城市． 21．（10分）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象    图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 (1)如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； (2)求机器人脖子点到水平面的距离． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，合理添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）易得，进而得到，解，求出的值即可； （2）过点作交的延长线于点，交于点，作交于点，分别解，，，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 在中， ∵cm，， ∴． 答∶机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为； （2）∵， ∴脖子点到水平面的距离为． 如图，过点作交的延长线于点，交于点，作交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵，由(1)知：， ∴． 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵，cm，， ， ∴， ∴． 答∶机器人脖子点到水平面的距离约为． 22．（10分）综合与实践 【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角中（图1），如果，，的对边长分别为，，，那么就可以得到．这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨．某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中，两地间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题拓展】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两地间的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【回顾应用】（2）设计其他方案计算，两地间的距离．要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 23．（12分）【问题提出】 已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中， ， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是_____ 【问题应用】 已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 探究二：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用三角形的面积公式求解即可得； 探究三：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用三角形的面积公式求解即可得； 问题解决：根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的面积归纳即可得； 问题应用：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：探究二：如图2，过点作于点， 在中，，，， ， ∴， ∵，， ∴的面积为． 探究三：如图3，过点作于点， 在中，，，， ， ∴， ∵，， ∴的面积为． 问题解决：由问题探究中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积可知，三角形面积的方法是（是两边的夹角）， 故答案为：（是两边的夹角）． 问题应用：如图4，过点作于点， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形的面积为． 24．（12分）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值． 方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE． 问题解决： （1）图1中tan∠BPD的值为________； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 思维拓展： （3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得BE∥DC，则∠ABE=∠DPB，那么∠BPD就变换到Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案； （2）过点A作AE//CD，连接BE，那么∠BPD就变换到等腰Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案； （3）以BC为边长构造网格，然后把PC平移到AN，则∠CPD 就变换成Rt△ADN 中的∠NAD，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】（1） 由勾股定理可得：， ∵CD//BE， ∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝； （2）过点A作AE//CD，连接BE，由图2可知E点在格点上，且∠AEB＝90°， 由勾股定理可得： ∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝ （3）如图3构造网格，过点A作AN//PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°， 由勾股定理可得： ∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2.已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 3.比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5.在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 6.如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 第6题图 第7题图 7.如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 8.如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 9.某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 10.如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算________． 12.如图，在中，，，，则的度数为______． 第12题图 第13题图 13.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 14.．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 15.已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 16.如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18.（6分）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 19．（8分）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 20.（8分）台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． (1)求台风移动的路径的长度； (2)若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 21．（10分）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象    图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 (1)如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； (2)求机器人脖子点到水平面的距离． 22．（10分）综合与实践 【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角中（图1），如果，，的对边长分别为，，，那么就可以得到．这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨．某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中，两地间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题拓展】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两地间的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【回顾应用】（2）设计其他方案计算，两地间的距离．要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 23．（12分）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中，， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是_____ 【问题应用】已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 24．（12分）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值． 方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE． 问题解决： （1）图1中tan∠BPD的值为________； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 思维拓展： （3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 5 6 10 A D C D D B B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-2 12.60°160度 13.8 14.直角三角形 15.8或24 26 16.5 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 解，-2026+1-2+(》-2n45s0 =1+V2-1-2-2x2 (2分) =1+5-1-2-54分 =-2.(6分) 18.(6分)(1)解：△1BC中，∠B1C=90,AC=12,4B=45 4anB=4C-2=5, AB 43 .∠B=60°：(3分) (2)解：过点A作AE⊥BC于点E,如图所示： 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 则∠AEB=∠AED=90°， .∠BAE=90°-∠B=30°，(4分) B=4V5 ,AB=4B-snB=4N5×sin60°=4W5×5-6 .AD=6N2, .0s∠DAE=4E=6-2 4D6N2=2,5分) .∠DAE=45°， ∠CAD=90°-30°-45°=15°.(6分) 19.(8分)解：如图，过A作AD⊥PO,垂足为D,延长BC交PO于点E. B Ch\A 斜坡 的坡度 P AP i=5:12 AD:DP=5:12 设AD=5k,DP=12k, AP=V（5)}+(12k)}=13k 又AP=26, k=2, .AD=10.(2分) 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得∠BAC=76,BC⊥AC,AC∥PQ tan76°=BC-BC AC5*4,解得BC20:(3分) :AD⊥PQBC⊥AC ∴.∠ADE=∠ACE=90 AC∥PQ 9 ∴.∠ACE+∠CED=180 又：∠ACE=90°， ∴.∠CED=90° ∴四边形ADEC为矩形， AD=CE=10,(5分) .BE=BC+CE=20+10=30.(7分) B PO 30.0m 建筑物顶部到的距离为.(8分) 20.(8分)(1)解：根据题意得∠CAB=45°-15°=30°，∠CBA=75°-45°=30°， 如图，过C作CH⊥AB于H, 北 156 45 北 .∠CAB=∠CBA=30°， .AC=BC,(2分) 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AH=BH-)AB=1205(千米)， BC=、 BH 1203 c0s30° V3 =240 (千米)， 2 即台风移动的路径BC的长度为240千米.(4分) (2)这次台风不会影响该城市，(5分) 理由：如图，过A作AE⊥BD于E, 北 15° 459 北 B ∠AEB=90° ,∠ABE=30°. :4E=4B=-1205=20784(千米)，(6分) .207.84>200. .这次台风不会影响该城市.(8分) 2L.(10分)(1)解：由题意得：FK⊥CL,FK∥BC,则∠CFK=∠BCF=70, 在Rt△CFK中， “CF=gm,os∠CfK=K=Ks034. CF 8 FK≈8×0.34≈2.7(cm) 答：机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离FK约为2.7Cm.(4分) (2):AD⊥BC,BCI,CL⊥J,FK⊥CL ∴脖子点A到水平面的距离为AD+CK+KL,BC∥FK∥J 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点H作MN⊥W交W的延长线于点N,交FK于点M,作HO⊥CL交CL于点O, D E G HO I JNL 一水平面 .BC∥FK∥U, .MN⊥FK, 四边形MNLK为矩形， .KL=MN=MH+NH」 .∠CFH=145°，由(1)知：∠CFK=70°， ∴.∠MFH=75°」 在Rt△CFK中，：Cr=8m,sim∠CFK-CC094 CF 8 .CK≈8x0.94=7.52(cm),(6分) 在Rt△MFH中，“FH=5m,sin∠MFH=Mm-sO.97, -FH-5 .MH≈5×0.97=4.85(cm). 在Rt△HUN中，.∠HJN=45°，HW=3cm, sin∠N=NI-H_V反 HJ 3 2, WH=323 2×1.41≈2.12(cm) 221 CK+KL=CK+MN=CK+MH+NH=7.52+4.85+2.12=14.49cm),(8分) ∴.AD+CK+KL=10+14.49≈24.5(cm) 答：机器人脖子点A到水平面的距离约为24.5cm.(10分) 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分)解：(1)：∠A≈44°，∠B≈50°， ∠C=180°-∠A-∠B≈180°-4°-50°=86°，(1分) BC AB 由题意得， sinA sinC' 又：BC=350m, :AB=BCsin C BCsin86°350x0.998=503m3分 sinA sin44° 0.695 答：A,B两岛间的距离为503m,(4分) (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）· 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C,使得△ABC是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数： 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am,AC=bm.(5分) A B C 计算过程： 过点A作AD⊥BC,则∠ADC=∠ADB=90°， B AC,cosC=CD :在RACD中，sinC= AC, .AD=bsinC(m)CD=bcosC(m) BD=BC-CD=(a-bcosC)(m),8) ,在RtAACD中，AD+BD2=AB2, 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..4B=/(bsinC)+(a-bcosC)'(m) 答：A,B两岛间的距离为(bsinC)+(a-bcosC)m.(10分) 23.(12分)解：探究二：如图2，过点A作AH⊥CB于点H, H 图2 在RtAHC中，∠AHC=90°，AC=b,∠C=a(0<a<90) ..sina= AHAH AC b ∴.AH=bsina, .BC=a,AH⊥CB, ∴△ABC的面积为 BCAH=absina.（3分) 探究三：如图3，过点A作AH⊥CB于点H, A B 图3 在RtAHC中，∠AHC=90°，AC=b,∠C=a(0°<a<90) sina=AHAH AC b .'AH =bsina, .BC=a,AH⊥CB, A1BC的面积为BCAH=absina.6分 2 问题解决：由问题探究中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积可知，三角形面积的方法是 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 s=absinC(∠C是a,b两边的夹角）， 1 故答案为：S=2 absinC(∠C是a,b两边的夹角)·(8分) 2 问题应用：如图4，过点A作AH⊥CB于点H, D 图4 在Rt△AHB中，∠AHB=90°，AB=b,∠B=a(0°<a<90) sina=H、4H ABb,(10分) .'AH =bsina, .BC=a, .平行四边形ABCD的面积为BC·AH=absin&.(12分) 24.(12分)()由勾股定理可得：AE=V2+2=22,BE=P+P=5 .CD//BE, AE2√2 =2 .tn∠BPD=tm1∠ABE=BE√2；(3分) (2)过点A作AEIICD,连接BE,由图2可知E点在格点上，且∠AEB=90°， 由勾股定理可得：E=P+2=V5,AB=VP+3=0, AE_5_5×10_52_V2 ∴.cos∠BPD=Cs∠BAE=ABV1010×V10102(7分) 图2 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3构造网格，过点A作ANIIPC,连接DN,由图可知N点在格点上，且∠AND=90°， DN=V1+32=V10,AD=V22+42=2√5， 由勾股定理可得： 9分) N C D 图3 DW_10_10x5_522 .∴si∠CPD=si1∠AD=AD2√525×√5102’(12分) 9/9 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2.已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 3.比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5.在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 6.如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 7.如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 8.如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 9.某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 10.如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算________． 12.如图，在中，，，，则的度数为______． 13. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 14.．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 15.已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 16.如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18.（6分）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 19．（8分）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 20.（8分）台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． (1)求台风移动的路径的长度； (2)若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 21．（10分）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象    图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 (1)如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； (2)求机器人脖子点到水平面的距离． 22．（10分）综合与实践 【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角中（图1），如果，，的对边长分别为，，，那么就可以得到．这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨．某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中，两地间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题拓展】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两地间的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【回顾应用】（2）设计其他方案计算，两地间的距离．要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 23．（12分）【问题提出】 已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中， ， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是_____ 【问题应用】 已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 24．（12分）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值． 方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE． 问题解决： （1）图1中tan∠BPD的值为________； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 思维拓展： （3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $