第1章 图形的相似全章高频重点题型突破（7大高频+10大重难题型，专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“图形的相似”全章知识为核心，通过基础高频、核心重难、综合攻坚三级梯度设计，系统覆盖比例性质、相似判定与性质、位似等知识点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|8类基础题型|聚焦比例性质、相似判定（AA/SAS/SSS）等核心概念|从比例线段到相似判定，构建概念-判定的基础逻辑| |核心提升|10类综合题型|包含黄金分割、动点问题、跨学科应用等|从性质应用到实际情境，形成判定-性质-应用的拓展链条| |综合攻坚|多题型综合题|融合计算、证明、探究，覆盖中考高频考法|通过综合题实现知识整合，培养问题解决能力|

第1章 图形的相似全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例的性质 题型2 比例线段 题型3 成比例线段 题型4 平行相似的判定与性质 题型5 利用角角判定三角形相似 题型6 利用SAS判定相似 题型7 利用SSS判定三角形相似 题型8 图形位似的性质应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 黄金分割 题型2 平行线分线段成比例定理的应用 题型3 相似多边形的性质与判定 题型4 利用相似三角形的性质求解 题型5 相似三角形的性质与判定的综合 题型6 利用相似三角形的性质测高 题型7 跨学科背景下的相似三角形性质与判定应用 题型8 相似三角形到其它应用问题 题型9 动点背景下相似三角形性质与判定应用 题型10 位似图形的作图与求解 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 比例的性质 1．若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则__________． 3．若，则________． 4．已知，满足，求、、的值． ◆题型2 比例线段 5．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 6．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 7．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． ◆题型3 成比例线段 8．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 9．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 10．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 11．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． ◆题型4 平行相似的判定与性质 12．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． ◆题型5 利用角角判定三角形相似 15．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 16．已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 17．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． ◆题型6 利用SAS判定相似 18．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 19．已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 20．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． ◆题型7 利用SSS判定三角形相似 21．若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 22．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 23．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 24．如图所示，在四边形中，，．求证：平分． ◆题型8 图形位似的性质应用 25．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 27．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 ◆题型1 黄金分割 29．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 30．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 31．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． ◆题型2 平行线分线段成比例定理的应用 32．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 33．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 34．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． ◆题型3 相似多边形的性质与判定 35．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 36．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 37．如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 38．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 39．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 40．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． ◆题型4 利用相似三角形的性质求解 41．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 42．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 43．如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 44．若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． ◆题型5 相似三角形的性质与判定的综合 45．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 46．如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 47．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． ◆题型6 利用相似三角形的性质测高 48．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 49．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 50．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 51．在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． ◆题型7 跨学科背景下的相似三角形性质与判定应用 52．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 53．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 54．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． ◆题型8 相似三角形到其它应用问题 55．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 56．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 57．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． ◆题型9 动点背景下相似三角形性质与判定应用 58．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 59．如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； (2)当为何值时，为以为腰的等腰三角形； (3)连接，，若，直接写出的值． 60．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A坐标为，顶点C坐标为，直线交于点D，点P从O点出发，沿射线方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接、，设运动时间为t秒．    (1)点D的坐标为 ； (2)当时，求直线的表达式； (3)在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． ◆题型10 位似图形的作图与求解 61．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 62．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 63．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 64．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 65．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 66．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 67．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 68．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 69．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 70．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 71．如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 72．现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 73．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 74．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 75．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形，则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 76．已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 77．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 78．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 79．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 80．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 81．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 82．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 83．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖（），则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式_____； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式____． 现象2：__________． 用数学知识解释：在两个杯子中，一杯盛有克糖水，含糖克；另一杯盛有克糖水，含糖克．将两杯糖水混合后，浓度可以表示为，因为糖水甜度不变，可以用等比定理来解释“若，则成立”． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式； (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容； (4)任务4：请运用现象1中的结论②证明：若，且a，b，c都为正数，则． 84．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 85．如图，中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒． (1) ， ； (2)当是等腰三角形时，求的长度； (3)设点关于直线的对称点为． ①当点在的内部时，求的取值范围． ②作射线，当射线平分的面积时，直接写出的值． 86．综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 图形的相似全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例的性质 题型2 比例线段 题型3 成比例线段 题型4 平行相似的判定与性质 题型5 利用角角判定三角形相似 题型6 利用SAS判定相似 题型7 利用SSS判定三角形相似 题型8 图形位似的性质应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 黄金分割 题型2 平行线分线段成比例定理的应用 题型3 相似多边形的性质与判定 题型4 利用相似三角形的性质求解 题型5 相似三角形的性质与判定的综合 题型6 利用相似三角形的性质测高 题型7 跨学科背景下的相似三角形性质与判定应用 题型8 相似三角形到其它应用问题 题型9 动点背景下相似三角形性质与判定应用 题型10 位似图形的作图与求解 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 比例的性质 1．若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 2．已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 3．若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 4．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． ◆题型2 比例线段 5．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 6．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 7．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 【答案】4 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， ∴上海与杭州的图上距离约为； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． ◆题型3 成比例线段 8．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 9．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 10．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 11．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． ◆题型4 平行相似的判定与性质 12．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故，， 故， 即， ∴． 故选：A． 13．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型5 利用角角判定三角形相似 15．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，不能判定，故②不符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：C． 16．已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 17．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． ◆题型6 利用SAS判定相似 18．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 19．已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：图中，∵， ， ∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上可知两对三角形都相似． 20．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ◆题型7 利用SSS判定三角形相似 21．若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 22．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 23．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】 相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 24．如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 ◆题型8 图形位似的性质应用 25．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 26．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 27．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 28．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． ◆题型1 黄金分割 29．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 30．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． ◆题型2 平行线分线段成比例定理的应用 32．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 33．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 34．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． ◆题型3 相似多边形的性质与判定 35．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 36．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 37．如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质得到，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 则， ∵矩形和矩形相似， ∴，即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ∴原来的矩形的宽与长的比值为． 38．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 39．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 40．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． ◆题型4 利用相似三角形的性质求解 41．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 42．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 43．如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 44．若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． ◆题型5 相似三角形的性质与判定的综合 45．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 46．如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 【答案】 【分析】设与交于M，设，则，根据矩形性质以及旋转性质证明，利用相似比可表示出，则，得到，于是利用得到，解出a的值，利用勾股定理求出的长，从而求出最后结果． 【详解】解：设与交于M，如图， 设，则， 四边形为矩形， ，，， ， 将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 在中，， 矩形的周长． 47．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． ◆题型6 利用相似三角形的性质测高 48．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 49．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 50．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 51．在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． ◆题型7 跨学科背景下的相似三角形性质与判定应用 52．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 53．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 54．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 ◆题型8 相似三角形到其它应用问题 55．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 56．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 57．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; ◆题型9 动点背景下相似三角形性质与判定应用 58．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 59．如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； (2)当为何值时，为以为腰的等腰三角形； (3)连接，，若，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，分、两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解； （2）根据是以为腰的等腰三角形分，两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）如图：过P作于点M，交于点N，则，可证，根据相似三角形的性质可得，，再根据得出，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 与相似，且， 当时，， ， ， 当时，， ， ； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； （2）①当时如图1，过点P作于E， ， ， ∴= 解得：． ②当时，如图2，过Q作于G， ， ， ，解得： 综上所述：当或时，是等腰三角形； （3）过点P作于点M，，交于点N，如图3所示： ， ． ， ， ，， ，， ， ， ， ，    ， ． 60．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A坐标为，顶点C坐标为，直线交于点D，点P从O点出发，沿射线方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接、，设运动时间为t秒．    (1)点D的坐标为 ； (2)当时，求直线的表达式； (3)在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据矩形的性质以及A坐标为，把代入，得，即可作答； （2）连接，易证，得，，设，根据勾股定理列出方程可求得，设直线的表达式，结合C坐标为，即可作答； （3）分类讨论：①如图，当轴，根据与相似，则，解得，或，解得；②如图，当，因为与相似，则有，解得，或，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A坐标为， ∴把代入，得 ∴点D的坐标为； （2）解：连接    ∵点D的坐标为 ∴ ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ 则 即 ∴， ∵直线交于点D， ∴设 则， ∴ 解得 ∴ 设直线的表达式 ∵C坐标为， ∴， 解得 ∴ ∴直线的表达式；    （3）解：存在，理由如下： ①如图，当轴，连接，    ∵ ∴， ∵点D的坐标为 ∴ 则 ∵点P从O点出发，沿射线方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，设运动时间为t秒 ∴ 得， ∵轴 ∴， ∴ ∴ ∵与相似 ∴， 即 解得； 或 即 解得； ②如图，当    ∵ ∴， ∵点D的坐标为 ∴ 则 ∵点P从O点出发，沿射线方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，设运动时间为t秒 则在中，， 得， 则在中， 得， ∴ ∵与相似 ∴， 即 解得； 或 即 解得； 综上所述：t的值为4或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数的解析式以及矩形的性质，具有一定的难度，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ◆题型10 位似图形的作图与求解 61．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 62．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求，点、、的坐标分别为：、、； (2) 位似中心的位置如图所示，点的坐标为； (3) 如图所示，即为所求， (4) 【分析】本题考查了图形的旋转，利用位似变换作图，位似的性质，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质分别确定点、、，然后顺次连接即可； （2）连接并延长与、的延长线相交，交点即为位似中心； （3）延长到，使，延长到，使，连接即可； （4）根据位似比结合位似的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：与的位似比为； 的内部一点的坐标为在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 63．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， ，， (2) 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键． （1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】（1） 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是， 的周长为， 故答案为：． 64．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 65．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 66．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 67．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 68．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 69．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 70．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【分析】作于K，先证是的中位线，得，，再证是等腰直角三角形，求出后，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于K， ∵，即， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴K为中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 71．如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 72．现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 73．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 74．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 75．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形，则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 【答案】 【分析】由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论． 【详解】解：如图2： 正八边形， ，，， 四边形是矩形， ， 内部阴影是正八边形， ， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ， 阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形与阴影部分的面积比为． 76．已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 【答案】 或/或 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积. 【详解】解：， ，，， ， 当时， 两边同时除以得：， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点， 当时， 可得：， 解得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时， 可得：， ∴， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点 当时，解得， 可得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 77．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 78．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 79．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 80．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 81．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 82．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【答案】(1)假，假，真 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依据相似四边形“角分别相等、边成比例”的定义，结合菱形、长方形、正方形的内角与边长比例特性直接判断真假； （2）通过连接对角线构造相似三角形，先证推导出角相等和边的比例关系，再证，最后得四边形对应角分别相等、对应边成比例，即可证明； （3）先由相似四边形得对应边成比例，设公共比值为，推出，再由，得到​，​，两式相除消去和，推出即，可得，解得，故． 【详解】（1）解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； （2）证明：如图1中，连接， ∵，且， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，，， ， ∴四边形与四边形相似； （3）证明：∵四边形与四边形相似， ∴​， 设这个公共比值为，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴​，​， ∴，即， ∴即， ∴， ∵，， ∴两边同除以得，， ∴， ∴． 83．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖（），则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式_____； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式____． 现象2：__________． 用数学知识解释：在两个杯子中，一杯盛有克糖水，含糖克；另一杯盛有克糖水，含糖克．将两杯糖水混合后，浓度可以表示为，因为糖水甜度不变，可以用等比定理来解释“若，则成立”． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式； (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容； (4)任务4：请运用现象1中的结论②证明：若，且a，b，c都为正数，则． 【答案】(1)①；②； (2)证明：， ，则， ，即 ； (3)现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变； (4)证明：∵a，b，c都为正数， ∴， 由现象1中的结论②，假设原来的糖水总质量是克，其中含有1克糖，加入克糖， 同②可得不等式①， 同理可得②， ③， 则①＋②＋③得 因为， 所以， 即． 【分析】（1）根据糖水变淡，得到浓度变小，糖水变甜，浓度变大，解答即可； （2）利用作差法证明即可； （3）根据混合前后甜度相等，说明三种糖水的甜度相同，解答即可； （4）假设原来的糖水总质量是克，其中含有1克糖，加入克糖，同②可得不等式①，同理可得②，③，求和后解答即可． 【详解】（1）解：原来糖水的浓度为． ①加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式； ②加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式． （2）略 （3）解：根据混合前后甜度不变，可知现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变； （4）略 84．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 85．如图，中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒． (1) ， ； (2)当是等腰三角形时，求的长度； (3)设点关于直线的对称点为． ①当点在的内部时，求的取值范围． ②作射线，当射线平分的面积时，直接写出的值． 【答案】(1)5， (2)或或 (3)①；②或 【分析】（1）根据勾股定理和三角形中位线定理求得结果； （2）分为点在上时，此时，作于，，进一步得出结果；点在上，即，进一步得出结果； （3）①先求出临界情形：当点在上时，此时平分时，可推出，从而得出；当点上时，此时平分时，点在上，作于，则，可证得，进而得出，求得，进一步得出结果； ②可推出在射线上，分为两种情况：当在线段上时，此时平分，由①可知结果；当在的延长线上时，作于，根据，从而，可推出，从而，设，，则，由得，，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：， ， 点、分别为边、的中点， ， 故答案为：5，； （2）如图1，当时，作于， ， ， 四边形是矩形， ， 如图2，当时， 或（图中， 综上所述：或或； （3）①如图3， 当平分时，点在上， 是的中位线， ， ， ， ， ， 此时的， 如图4， 当平分时，点在上， 作于，则， ，， ， ， ， ， ， 此时的， ； ②如图5， 平分的面积，在射线上， 当在线段上时，平分， 由上知：， ， 如图6，当在的延长线上时，作于， 由上知： ， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， 设，，则， 由得， ， ， ，， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论． 86．综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【答案】(1) (2)解：，证明如下， 由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）先根据中位线性质得到对应边比例、与的相似比，再结合是中点得到长度，用平行线等分线段定理计算比值； （2）旋转后，先求出与的比值，证明和相似，即可得到与的数量关系； （3）先根据过点得到，用勾股定理求出的长度，再利用（2）得到的与的数量关系计算； （4）根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，，根据N到的距离，可知当时，面积最大，此时，分两种情况根据旋转的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为，，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由图1可得，，的中点为，， ∴，， ∴， ∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，， ∴， 解得； （4）解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∵分别取，的中点D，E， ∴，，，， ∵分别取，的中点M，N， ∴，， ∵N到的距离， ∴当时，面积最大， 此时． 如图，当N在上方时， 由旋转的性质可知， ∴即点E在线段上， 此时； 如图，当N在下方时， 同理可知即点D在线段上， 此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $