培优专题02 相似实际应用与位似（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似实际应用与位似两大模块，通过分题型精准突破，构建从实际场景建模到坐标变换的知识逻辑链，强化数学建模与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相似实际应用|5题型（影子测高、镜面反射等）|实际场景（测高、测距等）的相似三角形建模|相似三角形性质→实际问题转化| |位似图形|4题型（性质计算、坐标等）|位似性质、坐标变换及作图|相似特殊化→坐标系量化表达|

培优专题02 相似实际应用与位似 常考题型·精准突破 考点一 相似测高测距实际应用 题型1 影子测高（高频） 题型2 镜面反射测高 题型3 河宽、池塘测距（高频） 题型4 小孔成像 题型5 视线被建筑物遮挡（难） 考点二 位似图形性质与坐标系位似变换 题型1 位似图形性质计算（求周长、面积、线段长）（高频） 题型2 求位似图形的坐标 题型3 求位似比 题型4 画位似图形（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似测高测距实际应用 ◆题型1影子测高 1．周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（   ） A． B． C． D． 2．周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 3．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点，，在同一直线上），已知小明的身高是，那么楼的高度等于______． 4．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． ◆题型2 镜面反射测高 1．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 2．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于（　　）    A． B． C． D． 3．某同学要测量某烟囱的高度，他将一面镜子放在他与烟囱之间的地面上某一位置，然后站到与镜子、烟囱成一条直线的地方，刚好从镜中看到烟囱的顶部，如果这名同学身高为1.65米，他到镜子的距离是2米，测得镜面到烟囱的距离为20米，烟囱的高度_____ 米. 4．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为__________米． 5．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； ◆题型3 河宽、池塘测距 1．下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 2．嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（   ） A．30米 B．36米 C．40米 D．56米 3．如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上. 若测得BE=10m，EC=5m，CD=8m，则河的宽度AB长为______________m. 4．如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得，，则河的宽度___________． 5．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度． 项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据： 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务． 任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度； （2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可） 任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？ ◆题型4 小孔成像 1．为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A． B． C． D． 2．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法：如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 4．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 5．综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． ◆题型5 视线被建筑物遮挡 1．如图，小明家窗外有一堵围墙．由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处．小明测得窗户距地面的高度，窗高，并测得，则围墙的高度是______m． 2．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 C 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来，已知，汽车从A处至少直行______米才能发现C 处的儿童．（参考数据：， ） 3．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 4．如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．” （1）你认为谁的说法对?并说明理由； （2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度． 5．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 考点二 位似图形性质与坐标系位似变换 ◆题型1 位似图形性质计算（求周长、面积、线段长） 1．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 3．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 4．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． ◆题型2 求位似图形的坐标 1．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． ◆题型3 求位似比 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（   ） A． B．2 C． D．3 2．如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 3．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 4．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则与的相似比为__________． ◆题型4 画位似图形 1．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 3．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 4．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 7．在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 8．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是________． 9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 10．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为_____________________． 11．如图，已知三个顶点的坐标分别是，． (1)画出绕着原点O顺时针旋转后得到的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为． 12．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 13．某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 14．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 15．综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题02相似实际应用与位似 常考题型精准突破 。考点一相似测高测距实际应用。— ◆题型1影子测高 1.C 2.7 3.19.2 4. (1) 如图： 9 M 点O和点Q即为所求： (2)由题意可知：MP=4,PO=6,MN=BP=1.5,AOIl MN II BP, .△MNP∽△AOP,BPOAOAO, MN MP BP PO AO AP'AOAO 又MN=BP, MN BP MP PO A0=A0,则4P40: 4 6 即：AM+4AM+6+4' 解得：AM=8. MN MP AOAP· 1.5_4 A012, 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A0=4.5, 所以路灯A0的高是4.5米 ◆题型2镜面反射测高 1.D 2.B 3.16.5m 4.16.2 5. 【详解】(1)解：，影长EF恰好等于自己的身高DE, ∴.△DEF是等腰直角三角形， .∠DFE=45, :AC∥DF, .∴∠ACB=∠DFE=45° ∴.△ABC是等腰直角三角形， 则AB=BC=11.3m, 故答案为：113： (2)解：如图， 图2（利用镜子） 由反射定律可知，∠DCE=∠ACB 又∠DEC=∠ABC=90°、 :.△DEC∽△ABC AB BC AB 16 六DECE,即1.5=2， 解得AB=12, 答：旗杆高度为12米。 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3河宽、池塘浏距 1.B 2.B 3.16 4.60 5. 【详解】解：(1)，BC⊥AD,DE⊥AD」 ∴.∠ABC=∠ADE=90° 又，∠BAC=∠DAE. .△ABCAADE, AB BC AD DE' 又，BD=l0m,DE=1.8m, AB1.5 4B+101.8' 解得AB=50m, 经检验，AB=50是原方程的解，且符合题意， 故河流的宽度AB为50m: (2)本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）； (3)如图：根据题意可得∠ABD=∠ECD=90,∠ADB=∠EDC, 则△ABD∽△ECD. .AB BD CE CD' ∴要求出AB的长，需要知道BD,CD,CE的长， .需要测量的线段为BD,CD,CE. ◆题型4小孔成像 1.C 2.C 3.24 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 4 5. (1)如图，∠4E0=90°，∠CF0=90°， 、O 12 B D ∴.∠AEO+∠CFO=180°， .ABI CD ∴AOABAODC； (2)CD=10cm: (3)当减小、2增大时，CD的高度变大： (4)10cm≤L≤40cm 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： (1)证明AB‖CD,即可得证： (2)根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可： (3)根据相似三角形的性质，求出此时CD的长，进行判断即可： 3 (4)求出CD=)AB时，L的长，结合(3)中结论，即可得出结论. 2 (2)'AOABAODC,AB=5cm,4=20cm,=40cm. CD-k=40=2 ·.AB120 ∴.CD=2AB=10cm: (3).AOAB∽aODC, CD_2=48=3 AB116 ..CD=3AB=15cm; 15>10. 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当减小、2增大时，CD的高度变大： 4)当CD=3B时， 2 .△OAB∽AODC, LCD_3 六1AB2, ,4+12=100cm 多=0.解1=0 由(3)可知：当减小、2增大时，CD的高度变大， &当CD≥AB时，1≤40， 2 又，烛焰与小孔的距离一般要求不小于10cm, ∴.10cm≤4≤40cm ◆题型5视线被建筑物遮挡 1.4.4 2.6 3.12.6 4. (1)小强的说法对；理由如下： 根据题意画出图形，如图所示， B D F H E DE 1 根据题意，得EH0.6, DE=0.3米， 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EH=0.3×0.6=0.18(米). .GD/FH,FG/DH, ∴.四边形DGFH是平行四边形， .FH=DG=0.2米. AE=4.42米， ∴.AF=AE+EH+FH=4.42+0.18+0.2=4,8(米)， 即要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是4.8米， 小强的说法对： (2)由(1)可知：AF=4.8米. AB 1 4F0.61 .AB=8米 答：树的高度为8米 【点睛】本题考查了太阳光下的平行投影问题，准确理解影长的意义，灵活运用同一时刻，物高与影长成 正比是解题的关键。 5. (1)证明：连接PW,如图1， 在△PON和△NMP中， PO=MN.ON=PM,PN=NP, ∴.aPQN≌aNMP(SSS), .∠QPN=∠MNP ∴.PM∥QN(内错角相等，两直线平行)· M Z77K77777777777777777777777 图1 (2)解：由题意，墙面I⊥地面，AB⊥OD,PO⊥I,DB⊥1， .PQ∥DB,ABICD 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠PQB=∠DBQ=∠OPD=90°， ∴四边形POBD是矩形， ∴.PQ=BD=10 又：∠AOB=∠COD,∠CDO=∠ABO=90°， ..AOAB-AOCD. AB OB CD OD' .AB=57,OB=OD-BD=190. ∴.CD=57 200≥60 190 ∴.CD的长度为60cm 一。考点二位似图形性质与坐标系位似变换。一 ◆题型1位似图形性质计算（求周长、面积、线段长） 1.B 2.A 3.10 4.16 ◆题型2求位似图形的坐标 1.D 2.C 3.（-1,2)或(1，-2) 4.（-2,4) ◆题型3求位似比 1.A 2.2 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.AGEH 2/0.5 4.2:1 ◆题型4画位似图形 1. (1)解：所求图形，如图所示； C B A 1 A, 0 (2)解：所求图形，如图所示 B B A 12A 2 (1)如图，△4BG即为所求 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由图可得，G点坐标为(2,6)， 由位似的性质可得，线段4B上点D(a,b)的对应点D的坐标为(2a,2b). (3)解：△4BG的面积为6x6- 2*4x2 26x4 2x6x2=14 3. 1 【详解】(1)解：由图可得：SAMc= ×3x2=3 (2)解：SMcS449=3:12=1:4, ∴△ABC与△ABC的相似比为：1：2， :点A的坐标为(4，)，点B的坐标为(-1，)，点C的坐标为(0，) ∴点4的坐标为(8,2)或（⑧，-2），点B的坐标为(-2,2)或(2，-2），点C的坐标为(0，-2)或(0,2)， 如图，△4BC为所求 B C 4. (1)如图，△4BC即为所求： 9114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y r 6 - C Γ4 -3 2 B 65421.4.6x 3 (2)解：，△4BG与△ABC的相似比为2：1， ∴△ABC与△4BG的面积比为1：4： (3)解：△48G的面积是4x10-×2x10- 2×4×6=14 ×2×4- 综合攻坚·知能拔高 1.B 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.9 8.8cm 9.20 10.（-6,-4)或(6,4) 11 10/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 C 4 3 B (1) 4-3-2- 10 2 344 5 2 3 4 B C 5 5 3 C B (2) 4-3-2-10 23445 A -4B 12. 【详解】解：如图，依题意知，DE=1.2m,FG=lm,AG=3m, D E G DE AF 画ADAE ABAC得BCAG即BC=G .DE= 3 AF ×1.2m=1.8m, 3-1 -传c-(】 元=0.81m2 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. 【详解】解：设AB=xm,BD=ym, .EF 2m,PF=4m, .PB=PF+FD+BD=4+17.5+y=(21.5+y)m, :EF‖AB, ·.△EFP∽△ABP, EF PF AB PB' 24 x21.5+y CD=2m.DO=3m ..OB=OD+DB=(3+y)m, CD‖AB ∴△CDQ∽△ABQ. CD DO AB BO' 23 x 3+y' 3 4 3+y21.5+y 解得y=52.5(检验成立)， 23 x3+52.5 解得x=37(检验成立). 答：塔的高度AB为37米. 14. 【详解】(1)解：：∠DCE=∠ACB,∠DEC=∠ABC=90°， .△DCE∽AACB DE CE ·ABCB 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.53 AB15 AB=7.5 答：旗杆的高度AB为7.5米. (2)解：~DE,CF,AB均垂直于地面，DH与水平面平行， ·.∠CGD=∠AHD=90°，GF=BH=DE=1.5米. :∠CDG=∠ADH, ∴.△CDGAADH. CG DG ·AHDH CG=CF-GF=4-1.5=2.5(米)，DG=EF=3米，DH=BF+EF=9+3=12(米)， 2.53 AH12' .AH=10 AB=AH+BH=10叶1.5=11.5（米）. 答：旗杆的高度AB为11.5米. 15. 【详解】(1)解：能，理由如下： AB∥EF∥CD, ∴.△DEF∽△DAB,△BEF∽ABCD BF EF 1.62 ·BDCD2.43: DF 1 DB3’ ,△DEF∽△DAB, EF DF 1 AB DB 3' .AB=3EF=4.8m: (2)解：存在，PH+H=5,理由如下： :AB∥GH∥CD, ∴.△GHP∽△ABP,AGHOACD9 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PH GH 1.6 1 OH GH 1.6 1 PBAB4.8-3'OD CD4.83 ÷PH=PB,OH=QD 3 3 .BD=BP+QD-P2=I0m」 :.3PH+30H-(PH+QH)=2PH+2QH=10, .PH+OH=5 14/14 培优专题02 相似实际应用与位似 常考题型·精准突破 考点一 相似测高测距实际应用 题型1 影子测高（高频） 题型2 镜面反射测高 题型3 河宽、池塘测距（高频） 题型4 小孔成像 题型5 视线被建筑物遮挡（难） 考点二 位似图形性质与坐标系位似变换 题型1 位似图形性质计算（求周长、面积、线段长）（高频） 题型2 求位似图形的坐标 题型3 求位似比 题型4 画位似图形（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似测高测距实际应用 ◆题型1影子测高 1．周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键． 设树所在线段为，过点作于点，根据“同一时刻物高与影长成正比例”可得，由此即可求出的长，然后根据即可求出树高． 【详解】解：如图，设树所在线段为，过点作于点， 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， ， ， 故选：． 2．周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点，，在同一直线上），已知小明的身高是，那么楼的高度等于______． 【答案】 【分析】过点作，交于,可得四边形、是矩形，即可证明，从而得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作于，交于 ∴四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴由题意知，， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质掌握． 4．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 【答案】(1) 如图： 点O和点Q即为所求： (2)路灯的高是4.5米 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． ◆题型2 镜面反射测高 1．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 2．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意先证明，得出，即，即可求出的长度．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，由镜面反射可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故选：B． 3．某同学要测量某烟囱的高度，他将一面镜子放在他与烟囱之间的地面上某一位置，然后站到与镜子、烟囱成一条直线的地方，刚好从镜中看到烟囱的顶部，如果这名同学身高为1.65米，他到镜子的距离是2米，测得镜面到烟囱的距离为20米，烟囱的高度_____ 米. 【答案】16.5m 【分析】镜子反射时,入射角等于反射角,以及人与被测量物体都与地面垂直,故可构造相似三角形利用这种方法测量物体的高度是通过判定两个物体与地面以及镜子所构成的两个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例得到比例式,从而解答此类问题例如本题,结合题意画出图形,根据分析结果即可得到△ABE∽△CDE,据此即可得到解答此题的关键: . 【详解】解:根据题意可画出简单示意图,AB⊥BD,CD⊥BD,∠AEB=∠CED, 其中AB=1.65米,BE=2米,DE=20米,CD为烟囱的高. ∵ AB⊥BD， CD⊥BD， ∴ ∠ABE=∠CDE=90°， ∵ ∠AEB=∠CED， ∠ABE=∠CDE=90°. ∴ △ABE∽△CDE (两角对应相等的两个三角形相似) ∴ (相似三角形的三边对应成比例) ∵ ， AB=1.65m BE=2m DE=20m, ∴ CD=16.5m,即烟囱的高度是16.5m. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于得到. 4．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为__________米． 【答案】 【分析】根据镜面反射法测高的原理可知，将米，米，米代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由镜面反射法测高的原理，， ， ，即， 米，米，米， ，解得楼高米， 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射法测高，熟练掌握镜面反射测高的原理，利用相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． 5．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 【答案】(1)11.3 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， 故答案为：11.3； （2）解：如图， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆高度为12米． ◆题型3 河宽、池塘测距 1．下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 设米，证明，进而证明，进而根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 即河的宽度为米． 故选：B． 2．嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（   ） A．30米 B．36米 C．40米 D．56米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线判定相似三角形、利用相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出河的宽度． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得（米）， 故选：B． 3．如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上. 若测得BE=10m，EC=5m，CD=8m，则河的宽度AB长为______________m. 【答案】16 【分析】先证明，然后再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC且∠AEB=∠DEC ∴ ∴ ∴ 故本题答案为：16. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 4．如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得，，则河的宽度___________． 【答案】60 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．证明与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来求河宽即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，即． ∴． 故答案为：60． 5．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度． 项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据： 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务． 任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度； （2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可） 任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？ 【答案】（1）河流的宽度为；（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键： （1）证明，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可； （2）根据题意可知本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识； （3）证明，得到，要求出的长，需要知道的长，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故河流的宽度为； （2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）； （3）如图：根据题意可得， 则， ∴， ∴要求出的长，需要知道的长， ∴需要测量的线段为． ◆题型4 小孔成像 1．为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意易证，然后利用相似三角形的高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知，，到点的距离为，，， ∴， ∴，即， ∴． 2．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法：如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， 根据题意，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 4．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）当减小、增大时，的高度变大； （4） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可； （4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． ◆题型5 视线被建筑物遮挡 1．如图，小明家窗外有一堵围墙．由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处．小明测得窗户距地面的高度，窗高，并测得，则围墙的高度是______m． 【答案】 【分析】首先根据m，可得，然后证明，再证明，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：延长至点C，如图． ， ． ， ． ， ． 设． ， ， ， 即， 解得． 故围墙的高度是． 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出，根据相似三角形的判定方法证明． 2．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 C 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来，已知，汽车从A处至少直行______米才能发现C 处的儿童．（参考数据：， ） 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用、相似三角形的判定和性质等知识点，理解汽车能发现儿童所前行的距离为是解题的关键． 先利用勾股定理求出，证明，再求出；然后在中，利用三角函数的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即，解得：， ∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童． 故答案为6． 3．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 4．如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．” （1）你认为谁的说法对?并说明理由； （2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度． 【答案】（1）小强的说法对；理由如下： 根据题意画出图形，如图所示， 根据题意，得， ∵DE=0．3米， ∴（米）． ∵GD∥FH，FG∥DH， ∴四边形DGFH是平行四边形， ∴米． ∵AE=4．42米， ∴AF=AE+EH+FH=4．42+0．18+0．2=4．8（米）， 即要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是4．8米， ∴小强的说法对； （2）8米． 【分析】（1）画出解题示意图，利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可； （2）利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可； 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知：AF=4．8米． ∵， ∴米． 答：树的高度为8米． 【点睛】本题考查了太阳光下的平行投影问题，准确理解影长的意义，灵活运用同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键． 5．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 考点二 位似图形性质与坐标系位似变换 ◆题型1 位似图形性质计算（求周长、面积、线段长） 1．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 2．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 3．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 4．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ◆题型2 求位似图形的坐标 1．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 2．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 【详解】解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． ◆题型3 求位似比 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 则与的位似比为. 故选：A． 2．如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 4．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则与的相似比为__________． 【答案】/2 【分析】本题主要考查了位似变换、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式并代入数值，进行计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的相似比． 故答案为：． ◆题型4 画位似图形 1．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2)解：所求图形，如图所示． 【分析】（1）先在坐标系中画出，再作出关于轴对称的即可； （2）根据位似三角形的性质，即可得到 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 3．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)14 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； （3）解：的面积是． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 2．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 3．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 4．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 7．在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 【详解】由题意知：， ， 由平行投影知：， ， ， ， 即， 解得：， 则旗杆的长为． 8．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是________． 【答案】/8厘米 【分析】由得到，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 【答案】20 【分析】利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∵中边上的高为米，中边上高为米， ∴， ∴若在光源不动的情况下，小明的手，则手影． 10．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为_____________________． 【答案】或 【分析】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此讨论求解即可． 【详解】解：∵与位似，原点为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为或横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 11．如图，已知三个顶点的坐标分别是，． (1)画出绕着原点O顺时针旋转后得到的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【分析】要想求出地上阴影部分的面积，只需求出底面圆的直径，首先画出该立体图形主视图，不难发现线段即为底面圆的直径，根据题目已知数据可以得到，，．由“”字型相似容易得到，通过相似三角形对应线段成比例可以求出，最后代入圆的面积公式即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，依题意知，，，， 由得，即， 故． 13．某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 14．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 15．综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $