第二章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版2024九年级上一元二次方程单元卷，通过选择、填空、解答题（12+5+5）覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，以“湘超”联赛、头盔购买等现实情境和“邻根方程”新定义题，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|定义（题1）、根的判别式（题3）、韦达定理（题5）|结合“湘超”联赛情境（题4）考查建模能力| |填空题|5|解方程（题13）、参数关系（题15）|通过方程根求代数式值（题14）强化运算| |解答题|5|多种解法（题18）、几何与方程综合（题20）、实际应用（题21）|“邻根方程”新定义（题22）提升创新思维，头盔购买问题（题21）体现应用意识|

北师大版（2024）九年级上 第二章 一元二次方程 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0 B．5x-2x2+7=0 C．2y2-x-3=0 D．mx2-2x=x2+1 2．一元二次方程x2-2x-1=0的一次项系数是（　　） A．1 B．-2 C．-1 D．2 3．一元二次方程x2+2x-5=0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 4．2025年，湖南省城市足球联赛（简称“湘超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“湘超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了91场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x-1）=91 C． D．x（x+1）=91 5．一元二次方程x2-4x+3=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值是（　　） A．4 B．-4 C．3 D．-3 6．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2-4x-12=0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 7．把一元二次方程x（4x-1）=2x+3化成一般式，则a,b,c的值分别是（　　） A．4，1，3 B．4，-3，-3 C．4，-2，3 D．1，-3，-3 8．下列一元二次方程中，两根之和为3的是（　　） A．x2-5x+3=0 B．x2+3x-1=0 C．x2-3x-5=0 D．x2+3x+1=0 9．小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程ax2+bx+c=0（a≠0）总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（　　） A．若a+c=0，则方程一定有两个实数根 B．若a-c=0，则方程一定有两个实数根 C．若a-b+c=0，则方程一定有两个实数根 D．若a+b+c=0，则方程一定有两个实数根 10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（ac≠0）有一根为x=m,则关于x的一元二次方程cx2-bx+a=0（ac≠0）必有一根为（　　） A．-m B． C．m D． 11．关于x的方程ax2-4|x|+2=0有4个不同的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．1≤a≤2 D．0＜a＜2 12．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c=an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 二．填空题（共5小题） 13．方程-x2+x=0的根是 ______． 14．已知a是方程x2-2x-5=0的一个根，则代数式的值为______． 15．关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0有一个根为x=-1，则实数a,b之间的关系为______． 16．关于x的方程（m-1）x2-4mx+4m+6=0有实数根，则m能取的所有正整数的和为______． 17．对于一元二次方程ax2-bx-c=0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1=-1和x2=2，则2a-c=0； ②若x=c是方程的一个根，则一定有ac-b-1=0成立； ③若a+b-c=0，则它有一个根是x=-1； ④若方程有一个根是x=m（m≠0），则方程cx2+bx-a=0一定有一个实数根． 其中正确是______． 三．解答题（共5小题） 18．（2026春•单元）用适当方法解下列方程： （1）x2+6x-5=0； （2）（x+3）（x-3）=2； （3）（t-）2+4t=0； （4）3x（x-1）=2-2x. 19．已知关于x的一元二次方程x2-4x-m（m+4）=0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 21．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2-5x+6=0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1=0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值． 北师大版（2024）九年级上 第二章 一元二次方程 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、B 3、A 4、A 5、A 6、D 7、B 8、C 9、B 10、D 11、D 12、B  二．填空题（共5小题） 13、x1=0，x2=1； 14、-； 15、a-b=1； 16、6； 17、①③④；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵x2+6x-5=0， ∴x2+6x+9=5+9， ∴（x+3）2=14， ∴x=-3±． （2）∵（x+3）（x-3）=2， ∴x2-9=2， ∴x2=11， ∴x=±． （3）∵（t-）2+4t=0， ∴t2+2t+2=0， ∴（t+）2=0， ∴t1=t2=-． （4）∵3x（x-1）=2-2x, ∴3x（x-1）=-2（x-1）， ∴（x-1）（3x+2）=0， ∴x=1或x=． 19、解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x-m（m+4）=0， ∴Δ=（-4）2-4×1×[-m（m+4）] =4（m2+4m+4） =4（m+2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵方程的一个根是另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为x,则另一个根为3x, ∴根据韦达定理得：x+3x=4， ∴x=1， ∴x•3x=-m（m+4）=3， ∴m=-1或-3． 20、（1）证明：∵Δ=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0， 解得：x1=k,x2=k+1． 当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2， 解得：k=12； 当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52， 解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3． 21、解：（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为（4x+300）个， 由题意得：20（4x+300）+45x=43500， 解得：x=300， ∴4x+300=4×300+300=1500， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为（1500-50y）本， 根据题意得：（20+y）（1500-50y）+45×300×（1+）=9000+43500， 整理得：y2-10y=0， 解得：y1=10，y2=0（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 22、解：（1）x2-5x+6=0， （x-2）（x-3）=0， ∴x1=3，x2=2， ∴x1-x2=3-2=1， ∴方程x2-5x+6=0是“邻根方程”． （2）x2-（m-1）x-m=0， ∴x2-mx+x-m=0， ∴（x-m）（x+1）=0， ∴x=m或x=-1， ∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m-（-1）=1或-1-m=1， ∴m=-1+1或m=-1-1， ∴m=0或-2； （3）ax2+bx+1=0， ∴x=， ∵关于x的方程ax2+bx+1=0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴-=1， ∴b2=a2+4a, ∵t=8a-b2， ∴a2+4a=8a-t. ∴t=4a-a2=-（a-2）2+4， ∵a＞0， ∴当a=2时，t的最大值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $