1.1 认识三角形 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级 上册

**基本信息** 初中数学三角形新授课同步练，分层设计清晰，从基础巩固到拓展探究，覆盖全知识点，通过典例引领和梯度练习，培养数学推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|三角形概念、分类、三边关系、内角和等基础知识点|选择填空结合基础解答，巩固概念理解与基本运算，如三边关系判断、角度计算| |B组能力提升|内角和与外角性质综合、中线面积关系、等腰三角形分类讨论|综合解答题，培养推理能力与方法迁移，如已知两边求第三边范围、中线分面积问题| |C组拓展探究|角平分线规律探究、周长最值问题、三角形稳定性应用|探究题与开放题，发展创新意识与模型观念，如推导∠BOC与∠A关系、铁丝围三角形方案设计|

浙教版数学八年级上册 第1章 1.1 认识三角形 课时作业 第1章 三角形 1.1 认识三角形 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、内角，会用符号表示三角形；2. 会按角、按边给三角形分类；掌握三角形三边之间的关系并会判断三条线段能否组成三角形；3. 掌握三角形内角和定理及外角的性质，会进行简单的角度计算；4. 理解三角形的角平分线、中线、高线的概念，会画出这三种线段。 一、知识梳理 知识点 1 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 图 1-1 三角形的顶点、边和内角 如图，这个三角形记作"△ABC"，读作"三角形 ABC"。其中： 　　点 A、B、C 叫做三角形的顶点； 　　线段 AB、BC、AC 叫做三角形的边； 　　∠A、∠B、∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角。 习惯上，△ABC 中 ∠A、∠B、∠C 所对的边分别用 a、b、c 表示，即 a = BC，b = AC，c = AB。 易错提醒 ① 三条线段必须"不在同一条直线上"，否则不能围成三角形；② 必须"首尾顺次相接"，不能有缺口，也不能交叉；③ 书写时"△"不能漏掉，如"△ABC"不能写成"ABC"。 知识点 2 三角形的分类 （1）按角分类： 图 1-2 三角形按角分类 名　称 特　　征 锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角（夹直角的两边叫直角边，直角所对的边叫斜边） 钝角三角形 有一个内角是钝角 （2）按边分类： 图 1-3 三角形按边分类 三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点 3 三角形的三边关系 图 1-4 三角形的三边关系 三边关系 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否组成三角形时，只需把最短的两条边相加，看是否大于最长的那条边即可。若能，则一定能组成三角形。 例如：3，4，5 中，3 + 4 = 7 ＞ 5，能组成三角形； 　　　2，3，6 中，2 + 3 = 5 ＜ 6，不能组成三角形。 三角形具有稳定性，四边形则容易变形，这一性质在生活中有广泛应用。 图 1-5 三角形的稳定性 知识点 4 三角形的内角和与外角 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 图 1-6 把三个角拼成一个平角 这个定理可以用平行线的性质来证明：过点 A 作 DE ∥ BC，则 ∠1 = ∠B，∠3 = ∠C（两直线平行，内错角相等），而 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，所以 ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°。 图 1-7 内角和定理的证明 （2）三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 图 1-8 三角形的外角 外角的性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；② 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 如图 1-8，∠ACD = ∠A + ∠B，且 ∠ACD ＞ ∠A，∠ACD ＞ ∠B。 常用结论 ① 直角三角形的两个锐角互余；② 一个三角形中至少有两个锐角，最多只有一个直角或一个钝角；③ 等边三角形的每个内角都是 60°。 知识点 5 三角形的角平分线、中线和高线 图 1-9 三角形的角平分线、中线和高线 名　称 定　　义 特　　点 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段 三条角平分线交于三角形内部一点 中　线 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段 三条中线交于三角形内部一点 高　线 从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 位置随三角形形状而变化 三种三角形的高的位置各不相同： 图 1-10 锐角、直角、钝角三角形的高 易错提醒 ① 角平分线、中线、高线都是线段，不是直线或射线；② 钝角三角形有两条高在三角形的外部，作图时要把对边延长；③ 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形（因为它们同底等高）。 二、典例精析 例 1 判断能否组成三角形 下列各组线段中，能组成三角形的是哪一组？请说明理由。 　　（1）2 cm，3 cm，4 cm；　（2）1 cm，2 cm，3 cm；　（3）3 cm，3 cm，7 cm。 【解】只有第（1）组能组成三角形。 （1）2 + 3 = 5 ＞ 4，两条较短边之和大于最长边，能组成三角形； （2）1 + 2 = 3，等于第三边，不满足"两边之和大于第三边"，不能组成三角形； （3）3 + 3 = 6 ＜ 7，不能组成三角形。 【解析】判断时只需检验"两条较短边之和是否大于最长边"这一个条件即可，不必把三个不等式都验证一遍。注意"等于"也不行，必须是严格大于。 例 2 已知两边求第三边的取值范围 已知三角形的两边长分别是 5 和 8，求第三边 x 的取值范围；若 x 是整数，x 可以取哪些值？ 【解】由三边关系得：8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5，即 3 ＜ x ＜ 13。 若 x 是整数，则 x 可以取 4，5，6，7，8，9，10，11，12，共 9 个值。 【解析】已知两边 a、b（a ＞ b）求第三边 x 的范围，公式是 a - b ＜ x ＜ a + b，即"两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和"。注意两端都取不到，所以整数解不包括 3 和 13。 例 3 内角和与外角的计算 （1）在 △ABC 中，∠A = 55°，∠B = 65°，求 ∠C 及 ∠C 的外角的度数； （2）在 △ABC 中，∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 2 ∶ 3 ∶ 4，求这三个角的度数。 【解】（1）由三角形内角和定理得 　　∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 65° = 60°。 　　∠C 的外角与 ∠C 互补，所以 ∠C 的外角 = 180° - 60° = 120°。 　　（也可用外角性质：∠C 的外角 = ∠A + ∠B = 55° + 65° = 120°。） （2）设 ∠A = 2x°，∠B = 3x°，∠C = 4x°。 　　由内角和定理得 2x + 3x + 4x = 180，即 9x = 180，所以 x = 20。 　　所以 ∠A = 40°，∠B = 60°，∠C = 80°。 【解析】已知角度之比求角度，标准方法是"设比例系数为 x"，把三个角都用 x 表示，再利用内角和列方程。求外角时，用"外角等于不相邻两内角之和"往往比先求内角再补角更快。 例 4 角平分线与内角和的综合 如图，在 △ABC 中，AE 平分 ∠BAC，∠B = 50°，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，且 ∠ACD = 110°。求 ∠BAE 的度数。 图 1-11 例 4 用图 【解】因为 ∠ACD 是 △ABC 的外角， 　　所以 ∠ACD = ∠B + ∠BAC， 　　所以 ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 110° - 50° = 60°。 　　又因为 AE 平分 ∠BAC， 　　所以 ∠BAE = ∠BAC = × 60° = 30°。 【解析】本题的突破口是外角性质。先用"外角等于不相邻两内角之和"求出 ∠BAC，再用角平分线的定义把它平分。遇到含角平分线的角度计算，通常都要用到"平分后是原角的一半"这一关系。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） 　　A. 1，2，3　　　B. 2，2，5　　　C. 3，4，5　　　D. 4，4，8 2. 在 △ABC 中，∠A = 40°，∠B = 60°，则 ∠C 等于（　　） 　　A. 60°　　　B. 70°　　　C. 80°　　　D. 100° 3. 三角形的三条角平分线的交点在（　　） 　　A. 三角形内部　　　B. 三角形外部　　　C. 三角形的边上　　　D. 无法确定 4. 下列说法中，正确的是（　　） 　　A. 三角形的高一定在三角形内部　　　B. 三角形的中线是一条直线 　　C. 等边三角形是特殊的等腰三角形　　D. 三角形可以有两个直角 5. 已知三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边长可能是（　　） 　　A. 4　　　B. 5　　　C. 8　　　D. 13 6. 在 △ABC 中，∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 1 ∶ 2 ∶ 3，则 △ABC 是（　　） 　　A. 锐角三角形　　　B. 直角三角形　　　C. 钝角三角形　　　D. 等边三角形 7. 三角形的一个外角等于 130°，与它不相邻的一个内角是 60°，则另一个不相邻的内角是（　　） 　　A. 50°　　　B. 60°　　　C. 70°　　　D. 130° 8. 如图 1-9 中，AE 是 △ABC 的中线，若 △ABC 的面积是 12，则 △ABE 的面积是（　　） 　　A. 3　　　B. 4　　　C. 6　　　D. 12 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 在 △ABC 中，∠A 所对的边是________，边 AB 所对的角是________。 10. 已知三角形的两边长为 6 和 10，则第三边 x 的取值范围是____________。 11. 一个三角形的三个内角度数之比为 3 ∶ 4 ∶ 5，则最大的内角是________度。 12. 直角三角形的一个锐角为 35°，则另一个锐角为________度。 13. 在 △ABC 中，若 ∠A = ∠B + ∠C，则 △ABC 是________三角形。 14. 三角形的一个外角等于 145°，则与它相邻的内角等于________度。 15. 一个等腰三角形的两边长分别是 3 cm 和 7 cm，则它的周长是________cm。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）已知等腰三角形的周长是 20 cm。 　　（1）若腰长是 6 cm，求底边长； 　　（2）若底边长是 6 cm，求腰长； 　　（3）若一边长为 4 cm，求另外两边的长（注意检验能否组成三角形）。 17.（10 分）如图，在 △ABC 中，∠B = 40°，∠C = 60°，AD 是 △ABC 的角平分线，AE 是 △ABC 的高线（点 D、E 都在边 BC 上）。 图 1-12 第 17 题参考图（角平分线、中线、高线） 　　（1）求 ∠BAC 的度数； 　　（2）求 ∠BAD 的度数； 　　（3）求 ∠BAE 的度数（提示：在 Rt△ABE 中利用两锐角互余）。 18.（10 分）如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角。 图 1-13 第 18 题用图 　　（1）若 ∠A = 45°，∠B = 65°，求 ∠ACD 和 ∠ACB 的度数； 　　（2）若 ∠ACD = 120°，∠A = 2∠B，求 ∠A 和 ∠B 的度数； 　　（3）说明为什么 ∠ACD 一定大于 ∠A。 B 组 能力提升 19.（8 分）已知 △ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a = 5，b = 8。 　　（1）求 c 的取值范围； 　　（2）若 c 是奇数，求 c 的所有可能值； 　　（3）若 △ABC 是等腰三角形，求 c 的值及三角形的周长。 20.（8 分）在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AE 是 BC 边上的高线。已知 BC = 10，AE = 6。 　　（1）求 △ABC 的面积； 　　（2）求 △ABD 的面积，并说明理由； 　　（3）若 F 是 AD 的中点，求 △ABF 的面积。 21.（8 分）已知在 △ABC 中，∠A = 80°，∠B 与 ∠C 的平分线交于点 O。 　　（1）求 ∠ABC + ∠ACB 的度数； 　　（2）求 ∠OBC + ∠OCB 的度数； 　　（3）求 ∠BOC 的度数。 C 组 拓展探究 22.（10 分）阅读并探究： 　　【探究背景】　在 △ABC 中，若 ∠A = α，∠B 与 ∠C 的平分线交于点 O， 　　我们想知道 ∠BOC 与 α 之间有怎样的数量关系。 　　（1）当 α = 60° 时，求 ∠BOC 的度数； 　　（2）当 α = 100° 时，求 ∠BOC 的度数； 　　（3）由（1）（2）猜想 ∠BOC 与 α 的关系，并用 α 表示 ∠BOC，写出推导过程。 23.（8 分）用一根长 24 cm 的铁丝围成一个三角形，要求三边长都是整数（单位：cm）。 　　（1）若围成的三角形三边长之比为 3 ∶ 4 ∶ 5，求各边的长； 　　（2）若围成一个等腰三角形，且有一边长为 6 cm，求另外两边的长； 　　（3）能否围成一个有一边长为 12 cm 的三角形？请说明理由。 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. C　2. C　3. A　4. C　5. C　6. B　7. C　8. C 详解： 1. A 中 1 + 2 = 3，不大于 3；B 中 2 + 2 = 4 ＜ 5；D 中 4 + 4 = 8，不大于 8； 　　只有 C 中 3 + 4 = 7 ＞ 5，能组成三角形，选 C。 2. ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，选 C。 3. 三角形的三条角平分线一定交于三角形内部一点，选 A。 4. A 错，钝角三角形有两条高在外部；B 错，中线是线段； 　　D 错，若有两个直角，则两角之和已是 180°，第三个角为 0°，不可能；C 正确，选 C。 5. 第三边 x 满足 9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4，即 5 ＜ x ＜ 13。四个选项中只有 8 在这个范围内，选 C。 6. 设三个角为 x°、2x°、3x°，则 x + 2x + 3x = 180，6x = 180，x = 30， 　　三个角为 30°、60°、90°，是直角三角形，选 B。 7. 由外角性质，外角等于不相邻两内角之和，所以另一个内角 = 130° - 60° = 70°，选 C。 8. 中线把三角形分成面积相等的两部分，所以 △ABE 的面积 = × 12 = 6，选 C。 二、填空题 9. BC；∠C 10. 4 ＜ x ＜ 16 由三边关系得 10 - 6 ＜ x ＜ 10 + 6，即 4 ＜ x ＜ 16。 11. 75 设三个角为 3x°、4x°、5x°，则 3x + 4x + 5x = 180，12x = 180，x = 15， 　　最大角为 5x = 5 × 15 = 75（度）。 12. 55 直角三角形两锐角互余，所以另一个锐角 = 90° - 35° = 55°。 13. 直角 由 ∠A = ∠B + ∠C 及 ∠A + ∠B + ∠C = 180° 得 ∠A + ∠A = 180°，所以 ∠A = 90°。 14. 35 外角与相邻的内角互补，所以相邻内角 = 180° - 145° = 35°。 15. 17 分两种情况讨论： 　　若腰长为 3 cm，则三边为 3、3、7，但 3 + 3 = 6 ＜ 7，不能组成三角形，舍去； 　　若腰长为 7 cm，则三边为 7、7、3，7 + 3 ＞ 7 成立，能组成三角形， 　　周长为 7 + 7 + 3 = 17（cm）。 三、解答题 16.（1）8 cm　（2）7 cm　（3）腰长 8 cm，底边 4 cm （1）底边长 = 20 - 6 × 2 = 20 - 12 = 8（cm）。 　　检验：6 + 6 = 12 ＞ 8，能组成三角形。 （2）腰长 = (20 - 6) ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7（cm）。 　　检验：7 + 7 = 14 ＞ 6，能组成三角形。 （3）分两种情况： 　　① 若 4 cm 是腰长，则底边 = 20 - 4 × 2 = 12（cm）。 　　　检验：4 + 4 = 8 ＜ 12，不能组成三角形，舍去； 　　② 若 4 cm 是底边，则腰长 = (20 - 4) ÷ 2 = 8（cm）。 　　　检验：8 + 4 = 12 ＞ 8，能组成三角形，符合题意。 　　所以另外两边都是 8 cm。 　　提示：等腰三角形的分类讨论题，每一种情况都必须用三边关系检验，这是最容易失分的地方。 17.（1）80°　（2）40°　（3）50° （1）∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。 （2）AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = ∠BAC = × 80° = 40°。 （3）因为 AE 是高线，所以 ∠AEB = 90°，△ABE 是直角三角形。 　　直角三角形两锐角互余，所以 ∠BAE = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°。 18.（1）∠ACD = 110°，∠ACB = 70°　（2）∠A = 80°，∠B = 40°　（3）见解析 （1）由外角性质：∠ACD = ∠A + ∠B = 45° + 65° = 110°； 　　∠ACB 与 ∠ACD 互补，所以 ∠ACB = 180° - 110° = 70°。 （2）由外角性质：∠A + ∠B = ∠ACD = 120°。 　　又 ∠A = 2∠B，代入得 2∠B + ∠B = 120°，即 3∠B = 120°， 　　所以 ∠B = 40°，∠A = 2∠B = 2 × 40° = 80°。 （3）因为 ∠ACD = ∠A + ∠B，而 ∠B 是三角形的内角，一定大于 0°， 　　所以 ∠ACD = ∠A + ∠B ＞ ∠A，即三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 B 组 能力提升 19.（1）3 ＜ c ＜ 13　（2）5，7，9，11　（3）c = 5 或 8，周长为 18 或 21 （1）由三边关系得 8 - 5 ＜ c ＜ 8 + 5，即 3 ＜ c ＜ 13。 （2）在 3 ＜ c ＜ 13 中，奇数有 5，7，9，11（注意 3 和 13 取不到）。 （3）△ABC 是等腰三角形，说明 c 与 a 或 b 相等： 　　若 c = a = 5，三边为 5、5、8，5 + 5 = 10 ＞ 8，成立，周长 = 5 + 5 + 8 = 18； 　　若 c = b = 8，三边为 5、8、8，5 + 8 = 13 ＞ 8，成立，周长 = 5 + 8 + 8 = 21。 　　所以 c = 5 时周长为 18，c = 8 时周长为 21。 20.（1）30　（2）15　（3）7.5 （1）S△ABC = × BC × AE = × 10 × 6 = 30。 （2）因为 AD 是中线，所以 BD = DC。 　　△ABD 与 △ACD 的底 BD、DC 相等，且它们的高都是点 A 到 BC 的距离 AE， 　　所以两个三角形面积相等，S△ABD = S△ABC = × 30 = 15。 （3）在 △ABD 中，F 是 AD 的中点，所以 BF 是 △ABD 的中线， 　　所以 S△ABF = S△ABD = × 15 = 7.5。 　　结论：三角形的中线总把它所在的三角形分成面积相等的两部分。 21.（1）100°　（2）50°　（3）130° （1）由内角和定理，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°。 （2）BO 平分 ∠ABC，CO 平分 ∠ACB，所以 ∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ∠ACB， 　　所以 ∠OBC + ∠OCB = (∠ABC + ∠ACB) = × 100° = 50°。 （3）在 △OBC 中，由内角和定理得 　　∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 50° = 130°。 C 组 拓展探究 22.（1）120°　（2）140°　（3）见解析 （1）当 α = 60° 时，∠ABC + ∠ACB = 180° - 60° = 120°，∠OBC + ∠OCB = × 120° = 60°， 　　所以 ∠BOC = 180° - 60° = 120°。 （2）当 α = 100° 时，∠ABC + ∠ACB = 180° - 100° = 80°，∠OBC + ∠OCB = × 80° = 40°， 　　所以 ∠BOC = 180° - 40° = 140°。 （3）猜想：∠BOC = 90° + α。 　　推导：在 △ABC 中，∠ABC + ∠ACB = 180° - α。 　　因为 BO、CO 分别平分 ∠ABC、∠ACB，所以 ∠OBC + ∠OCB = (180° - α) = 90° - α。 　　在 △OBC 中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (90° - α) = 90° + α。 　　检验：α = 60° 时，90° + × 60° = 120°；α = 100° 时，90° + × 100° = 140°，与（1）（2）相符。 23.（1）6 cm，8 cm，10 cm　（2）另外两边都是 9 cm　（3）不能 （1）设三边长分别为 3x cm、4x cm、5x cm，由周长得 3x + 4x + 5x = 24， 　　即 12x = 24，解得 x = 2， 　　所以三边长分别为 6 cm、8 cm、10 cm。 　　检验：6 + 8 = 14 ＞ 10，能组成三角形，且三边都是整数，符合题意。 （2）分两种情况： 　　① 若 6 cm 是底边，则腰长 = (24 - 6) ÷ 2 = 9（cm），三边为 9、9、6， 　　　检验 9 + 6 ＞ 9 成立，符合题意； 　　② 若 6 cm 是腰长，则底边 = 24 - 6 × 2 = 12（cm），三边为 6、6、12， 　　　检验 6 + 6 = 12，不大于 12，不能组成三角形，舍去。 　　所以另外两边都是 9 cm。 （3）不能。若有一边长为 12 cm，则另两边之和 = 24 - 12 = 12（cm）， 　　这与"任意两边之和大于第三边"矛盾，所以不能围成这样的三角形。 　　推广：用长为 L 的铁丝围三角形，任何一边都必须小于 L 的一半。 本课时小结 （1）三边关系判断口诀："较短两边之和大于最长边"；已知两边求第三边范围用"差 ＜ x ＜ 和"；（2）内角和 180° 与外角性质是角度计算的两大工具，已知角度之比时设比例系数列方程；（3）角平分线、中线、高线都是线段；钝角三角形有两条高在外部；（4）中线把三角形分成面积相等的两部分；（5）等腰三角形的分类讨论题，每种情况都必须用三边关系检验，这是最常见的失分点。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $