1.1 认识三角形 题型专练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过17类题型系统覆盖定义、内角和、三边关系及三线性质，典例引领+变式训练构建完整认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形定义|1典例+4变式|图形计数与要素辨识|从概念内涵到表示方法，培养几何直观| |内角和应用|4典例+18变式|角度计算与动态变换|结合平行线、翻折等综合情境，发展推理能力| |三线性质|3典例+15变式|中线面积/高线识别/角平分线计算|从定义辨析到性质应用，构建知识网络| |三边关系|4典例+20变式|线段组合与取值范围|结合非负数、等腰三角形等，强化应用意识|

浙教版（2024）八年级上册 1.1 认识三角形 题型专练 【题型1】三角形的定义及其表示方法 【典例】图中有（　　）个三角形． A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图，图中三角形的个数是（　　） A.10 B.8 C.6 D.4 【举一反三2】如图，以CD为公共边的三角形是　     　，∠EFB是　    　的内角；在△BCE中，BE所对的角是　    　，∠CBE所对的边是　  　；以∠A为公共角的三角形有　                　． 【举一反三3】图中共有三角形 　  　个，其中以AE为边的三角形有 　  　个． 【举一反三4】（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来． （2）如图，在△DBC中，写出∠D的对边，BD边的对角． 【题型2】已知两角求第三角的大小 【典例】三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为（　　） A.50° B.60° C.75° D.85° 【举一反三1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A.60° B.64° C.74° D.80° 【举一反三2】在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为　   　． 【举一反三3】一块三角形的材料被折断了一个角，余下的形状如图，请根据所剩的材料如何推算处所缺角的度数．（写出必要的文字说明及画出相应的图形） 【举一反三4】如图，AC与BE相交于点D． （1）图中有几个三角形？把它们写出来． （2）若∠ABE＝55°，∠EDC＝70°，求∠A的度数． 【题型3】已知两角或三角的数量关系求三角形内角 【典例】如图所示，α，β的度数分别为（　　） A.30°，50° B.40°，80° C.40°，40° D.60°，40° 【举一反三1】已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（　　）三角形． A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 【举一反三2】若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 　  　度． 【举一反三3】在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：3：4，那么△ABC是 　   　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【举一反三4】△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠A：∠B＝4：5，求三角形中各角的度数． 【题型4】三角形内角和与平行线 【典例】如图，CE∥AB，若∠ACB＝75°，∠ECD＝55°，则∠A的度数为（　　） A.50° B.55° C.70° D.75° 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝62°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　） A.62° B.55° C.63° D.117° 【举一反三2】如图，已知△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝60°，D是AB边上一点，DE∥BC，则∠BDE等于（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作DE∥AB，若∠B＝55°，则∠ACD等于 　  　度． 【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2． （1）试说明：DG∥BC； （2）若∠B＝54°，∠ACD＝35°，求∠3的度数． 【举一反三5】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝48°，∠C＝63°． （1）∠DAB＝　  　；∠EAC＝　  　；∠BAC＝　  　； （2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是180°？ 【题型5】三角形内角和与翻折 【典例】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2＝（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【举一反三1】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A.27° B.59° C.69° D.79° 【举一反三2】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CDA′＝β，∠BEA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A.γ＝2α+β B.γ＝α+2β C.γ＝α+β D.γ＝180°﹣α﹣β 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　   　． 【举一反三4】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C＝120°，∠A＝24°，则 ∠A'DB的度数为 　    　． 【举一反三5】如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四个角和的度数？ 【举一反三6】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合． （1）若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠A＝70°，求∠1+∠2的度数． 【题型6】三角形的分类 【典例】将锐角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 【举一反三1】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【举一反三2】根据下列三角形中角的特征，写出三角形的名称． 【举一反三3】如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E． （1）写出图中所有的直角三角形； （2）写出图中的锐角三角形和钝角三角形． 【举一反三4】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【题型7】判断任意三条线段可否组成三角形 【典例】下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是(　　) A.12 cm，8 cm，5 cm      B.12 cm，8 cm，6 cm C.12 cm，5 cm，6 cm      D.8 cm，5 cm，6 cm 【举一反三1】把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】已知三条线段长度分别为1、2、4，能否组成三角形？　  　．（填“能”或“不能”）． 【举一反三3】五条线段长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长，则可以组成　 　个三角形． 【举一反三4】某市木材市场上木棒规格与价格如表. 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根. (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？ 【举一反三5】判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形？ （1）1cm，2cm，3cm； （2）2cm，3cm，4cm； （3）4cm，5cm，6cm； （4）5cm，6cm，10cm． 【题型8】分析第三边的取值范围，确定其整数值 【典例】在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为奇数，△ABC的周长为（　　） A.17 B.19 C.17或21 D.17或19 【举一反三1】已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是（　　） A.1 B.4 C.8 D.14 【举一反三2】八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5 km和3 km.那么杨冲、李锐两家的距离不可能是(　　) A.3 km      B.9 km      C.5 km      D.4 km 【举一反三3】如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于　 　，而小于　 　，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是　   　． 【举一反三4】已知三角形的边长分别为3，8，x，若x的值为偶数，则x的值是多少？ 【举一反三5】已知，△ABC的三边长为3，5，x． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC的周长为偶数，求x的值． 【题型9】与非负数的综合运用 【典例】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12 【举一反三1】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足0，第三边c是整数，则c的值可以是（　　） A.1 B.3 C.5 D.7 【举一反三2】若a，b，c为△ABC的三条边，且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，第三条边c为整数，则△ABC的周长最小值为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 【举一反三3】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣6）2＝0，c为整数，则c＝　 　． 【举一反三4】已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 【举一反三5】已知a，b，c满足|a|（c）2＝0． （1）求a，b，c的值； （2）试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【题型10】等腰三角形中的三边关系 【典例】等腰△ABC的两条边长分别为4和9，则第三条边长为（　　） A.4或9 B.4 C.9 D.22 【举一反三1】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（　　） A.3 B.10 C.6.5 D.3或6.5 【举一反三2】小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根　 　cm长的木棒． 【举一反三3】等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于　   　． 【举一反三4】如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个等腰三角形的周长． 【题型11】三角形的角平分线、高线、中线的定义 【典例】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确 【举一反三1】下列说法中，正确的个数是(　　) ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点. A.1    B.2    C.3    D.4 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(　　) A.BF＝CF      B.∠C＋∠CAD＝90° C.∠BAF＝∠CAF      D.S△ABC＝2S△ABF 【举一反三3】在△ABC中，AB＜AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，有下列四个推断： ①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线； ②若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高； ③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线； ④若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是 　    　． 【举一反三4】如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论： ①BC＝2BF； ②； ③BE＝CE； ④AD⊥BC； ⑤S△AFB＝S△ADC． 其中错误的是 　   　（只填序号）． （2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数． 【题型12】画三角形的角平分线、高线、中线 【典例】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是(　　) A.    B. C.    D. 【举一反三2】画出三角形所有的中线 （1）边BC上的中线是　   　； （2）边AC上的中线是　   　； （3）边AB上的中线是　   　． 【举一反三3】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空． （1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠　    　＝∠　     　∠　     　（角平分线的定义）． （2）∵AE是△ABC的中线． ∴　　      ＝　   　 （ 　           　）． （3）∵AF是△ABC的高线． ∴∠　   　＝90°（高线的定义）． 【举一反三4】分别在图1、图2、图3中，画出△ABC的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高. 【题型13】三角形中线均分三角形面积 【典例】如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为64，则△BEF的面积是（　　） A.18 B.16 C.14 D.12 【举一反三1】如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A.10 B.8 C.6 D.4 【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　） A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 【举一反三3】如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为 　   　． 【举一反三4】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. (1)作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG； (2)若△ABC的面积为40，BD＝5，则在△BED中，BD边上的高EF为多少？ 【举一反三5】如图，AM是△ABC的中线，若S△ABC＝20cm2，AC＝5cm，MD⊥AC，求MD的长． 【题型14】识别三角形的高线 【典例】如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A.△ABC中，CF是AB边上的高 B.△AGC中，CF是AG边上的高 C.△GBC中，GC是BC边上的高 D.△BFC中，CG是BF边上的高 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高.其中正确的结论是(　　) A.①和②    B.①和③ C.②和③    D.只有②正确 【举一反三2】如图，△ABC的边AC上的高线是(　　) A.AF B.BD C.CE D.AE 【举一反三3】如图： （1）在△ABC中，BC边上的高是　  　； （2）在△AEC中，AE边上的高是　  　； （3）在△FEC中，EC边上的高是　　  ． 【举一反三4】在如图所示的△ABC的三条高中，其中AB边上的高是线段 　   　． 【举一反三5】如图，AE⊥BC于点E，以AE为高的三角形有哪些？ 【题型15】三角形面积的计算与等面积法 【典例】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝12，AC＝5，BC＝13，BC边上的高AD长是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（　　） A. B. C. D.2 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，垂足为F、G，若△ABC周长为41，ABAC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为　  　． 【举一反三3】如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长． 【题型16】结合三角形的角平分线、高线、中线求角 【典例】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A.25° B.35° C.45° D.55° 【举一反三2】如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高.请完成以下填空： (1)BF＝　　　　＝　　　　； (2)∠BAD＝　　　　＝　　　　； (3)∠AEB＝　　　　＝90°； (4)S△ABC＝　　　　. 【举一反三3】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1＝　　　　，∠3＝　　　　，∠ACB＝2　　　　. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F. (1)若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长； (2)若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数. 【题型17】结合三角形的角平分线、高线、中线求边 【典例】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（　　） A.3 B.6 C.9 D.12 【举一反三2】如图，在锐角△ABC中，AD为BC边上的中线，则(　　) A.BD＝AD      B.BD＝CD C.AD＝AC      D.AB＝BC 【举一反三3】如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　  　cm． 【举一反三4】已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 　  　. 【举一反三5】如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线． （1）若DE＝2，求BC的长； （2）若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长． 浙教版（2024）八年级上册 1.1 认识三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形的定义及其表示方法 【典例】图中有（　　）个三角形． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】根据三角形的定义即可得到结论． 图中有△ADC，△ABC，△DBC共3个三角形． 故选：C． 【举一反三1】如图，图中三角形的个数是（　　） A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】图中三角形有△AOB，△BOC，△AOD，△DOC，△ABD，△BDC，△ADC，△ABC， 故选：B． 【举一反三2】如图，以CD为公共边的三角形是　     　，∠EFB是　    　的内角；在△BCE中，BE所对的角是　    　，∠CBE所对的边是　  　；以∠A为公共角的三角形有　                　． 【答案】△CDF，△CBD　　△BEF　　∠BCE　　CE　　△ABC，△ABD，△ACE 【解析】CD为公共边的三角形是△CDF，△CBD，∠EFB是△BEF的内角；在△BCE中，BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；以∠A为公共角的三角形有△ABC，△ABD，△ACE， 故答案为：△CDF，△CBD，△BEF，∠BCE，CE，△ABC，△ABD，△ACE． 【举一反三3】图中共有三角形 　  　个，其中以AE为边的三角形有 　  　个． 【答案】8　　2 【解析】（1）①△BDO，△ABO，△AOE，共3个； ②△ABD，△ADC，2个； ③△ABE，△BCE，2个； ④△ABC，1个； 综上，图中共有共8个三角形； （2）以AE为边的三角形有：△AOE，△ABE，2个； 故答案为：8；2． 【举一反三4】（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来． （2）如图，在△DBC中，写出∠D的对边，BD边的对角． 【答案】解　（1）图中有5个三角形，△AOB，△ABC，△COD，△CDB，△BOC； （2）在△DBC中，∠D的对边是BC，BD边的对角是∠BCD． 【题型2】已知两角求第三角的大小 【典例】三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为（　　） A.50° B.60° C.75° D.85° 【答案】C 【解析】由题意得，∠B＝45°，∠AEB＝60°， 在△ABE中，∠B+∠EAB+∠AEB＝180°， ∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故选：C． 【举一反三1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A.60° B.64° C.74° D.80° 【答案】B 【解析】∵∠A＝48°，∠B＝68°， ∴∠C＝180°﹣48°﹣68°＝64°， 故选：B． 【举一反三2】在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为　   　． 【答案】45° 【解析】∵三角形的内角和是180°， 又∠A＝95°，∠B＝40° ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B ＝180°﹣95°﹣40° ＝45°， 故答案为：45°． 【举一反三3】一块三角形的材料被折断了一个角，余下的形状如图，请根据所剩的材料如何推算处所缺角的度数．（写出必要的文字说明及画出相应的图形） 【答案】解　补全三角形ABC，如图， 先测出∠A和∠B的度数，然后利用∠C＝180°﹣∠A﹣∠B可推算出∠C的度数． 【举一反三4】如图，AC与BE相交于点D． （1）图中有几个三角形？把它们写出来． （2）若∠ABE＝55°，∠EDC＝70°，求∠A的度数． 【答案】解　（1）由题意得，图中的三角形有△ABC，△ABD，△BCE，△BCD，△CDE； （2）∵∠ABE＝55°，∠EDC＝70°， ∴∠ADB＝∠EDC＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠ADB＝55°． 【题型3】已知两角或三角的数量关系求三角形内角 【典例】如图所示，α，β的度数分别为（　　） A.30°，50° B.40°，80° C.40°，40° D.60°，40° 【答案】C 【解析】根据三角形内角和定理α＝180°﹣20°﹣（180°﹣60°）＝40°， β＝180°﹣60°﹣80°＝40°． 故选：C． 【举一反三1】已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（　　）三角形． A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 【答案】A 【解析】∵△ABC的三个内角度数之比为3：4：5， ∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°， ∴3x+4x+5x＝180 解得：x＝15， ∴三个内角的度数分别为：45°60°75°， ∴此三角形为锐角三角形． 故选：A． 【举一反三2】若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 　  　度． 【答案】80 【解析】设三角形的三个内角分别为2x、3x、4x， 根据题意得：2x+3x+4x＝180°， 解得：x＝20°， ∴4x＝4×20°＝80°． 故答案为：80． 【举一反三3】在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：3：4，那么△ABC是 　   　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【解析】根据三角形内角和、三个内角比计算出每个内角度数即可判断． 设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝4x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+3x+4x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠A＝22.5°，∠B＝67.5°，∠C＝90°， 故答案为：直角． 【举一反三4】△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠A：∠B＝4：5，求三角形中各角的度数． 【答案】解　设∠A＝4x，∠B＝5x， 则∠C＝180°﹣4x﹣5x＝180°﹣9x， ∵∠B+∠C＝2∠A， ∴5x+180°﹣9x＝2×4x， 解得x＝15°， ∴∠A＝4×15°＝60°，∠B＝5×15°＝75°，∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°， 综上所述，三角形中各角的度数为∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°． 【题型4】三角形内角和与平行线 【典例】如图，CE∥AB，若∠ACB＝75°，∠ECD＝55°，则∠A的度数为（　　） A.50° B.55° C.70° D.75° 【答案】A 【解析】∵CE∥AB， ∴∠B＝∠ECD＝55°． 在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝75°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣55°﹣75°＝50°． 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝62°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　） A.62° B.55° C.63° D.117° 【答案】C 【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣55°﹣62°＝63°， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠A＝63°， 故选：C． 【举一反三2】如图，已知△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝60°，D是AB边上一点，DE∥BC，则∠BDE等于（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 【答案】B 【解析】在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°， 则∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠B＝40°． 故选：B． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作DE∥AB，若∠B＝55°，则∠ACD等于 　  　度． 【答案】35 【解析】∵DE∥AB， ∴∠B＝∠BCE＝55°，∠A＝∠ACD， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A＝35°， ∴∠ACD＝35°， 故答案为：35°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2． （1）试说明：DG∥BC； （2）若∠B＝54°，∠ACD＝35°，求∠3的度数． 【答案】（1）证明　∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠BFE＝∠BDC＝90°， ∴CD∥EF， ∴∠2＝∠BCD． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴DG∥BC； （2）解　在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠B＝54°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝180°﹣90°﹣54°＝36°， ∴∠BCA＝∠BCD+∠ACD＝36°+35°＝71°． 又∵BC∥DG， ∴∠3＝∠BCA＝71°． 【举一反三5】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝48°，∠C＝63°． （1）∠DAB＝　  　；∠EAC＝　  　；∠BAC＝　  　； （2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是180°？ 【答案】解　（1）∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵∠B＝48°，∠C＝63°， ∴∠DAB＝48°，∠EAC＝63°， ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣48°﹣63°＝69°， 故答案为：48°，63°，69°； （2）∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 即三角形内角和是180°． 【题型5】三角形内角和与翻折 【典例】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2＝（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【解析】∵在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°， ∴在△CDE中，∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝150°， ∵折叠， ∴∠1+∠2+2（∠CDE+∠CED）＝360°， 即20°+∠2+2×150°＝360°， 解得∠2＝40°， 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A.27° B.59° C.69° D.79° 【答案】D 【解析】如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处， ∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ABC＝3∠3， 在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°， ∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°， 在△ABC中， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°， 即20°+2∠3+106°＝180°， ∴∠3＝27°， ∴∠C＝106°﹣27°＝79°， 故选：D． 【举一反三2】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CDA′＝β，∠BEA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A.γ＝2α+β B.γ＝α+2β C.γ＝α+β D.γ＝180°﹣α﹣β 【答案】A 【解析】由翻折的性质可知，∠A＝∠A′＝α，∠AED＝∠A′ED， ∵∠BEA′＝γ， ∴∠AEA′＝180°﹣γ， ∵∠AFE＝∠CDA′+∠A′＝α+β， 在△AEF中．由三角形内角和定理得， ∠AEA′+∠A+∠AFE＝180°， 即180°﹣γ+α+（α+β）＝180°， ∴γ＝2α+β， 故选：A． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　   　． 【答案】38° 【解析】∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACB＝90°，∠B＝26°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°， ∴∠CED＝64°， ∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°． 故答案为：38°． 【举一反三4】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C＝120°，∠A＝24°，则 ∠A'DB的度数为 　    　． 【答案】108° 【解析】∵∠C＝120°，∠A＝24°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣24°﹣120°＝36°， ∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′， ∴∠ADE＝∠B＝36°， ∠A′DE＝∠ADE＝36°， ∴∠A′DB＝180°﹣36°﹣36°＝108°． 故答案为：108°． 【举一反三5】如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四个角和的度数？ 【答案】解　∵∠A＝55°， ∴△ABC中，∠B+∠C＝125°， 又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣125°＝235°． 【举一反三6】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合． （1）若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠A＝70°，求∠1+∠2的度数． 【答案】解　（1）∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣60°＝85°； （2）∵∠A＝70°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣70°＝110°， ∵△ABC沿着DE折叠压平，A与N重合， ∴∠NDE＝∠ADE，∠NED＝∠AED， ∴∠1+∠2＝180°﹣（∠NED+∠AED）+180°﹣（∠NDE+∠ADE）＝360°﹣2×110°＝140°． 【题型6】三角形的分类 【典例】将锐角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 【答案】B 【解析】因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形应该是锐角三角形， 故选：B． 【举一反三1】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【答案】D 【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角． 故选：D． 【举一反三2】根据下列三角形中角的特征，写出三角形的名称． 【答案】钝角三角形；直角三角形；锐角三角形 【解析】第1个三角形中有一个角比90°大，满足钝角三角形的定义． 第2个三角形中有两条边互相垂直，符合直角三角形的特征． 第3个三角形中三个角都比90°小，满足钝锐角三角形的定义． 故答案为：钝角三角形；直角三角形；锐角三角形． 【举一反三3】如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E． （1）写出图中所有的直角三角形； （2）写出图中的锐角三角形和钝角三角形． 【答案】解　∵四边形ABCD是长方形且CE⊥BD于点E， ∴∠BAD、∠BCD、∠BEC、∠CED是直角，并是三角形的一个内角； ∴（1）直角三角形有：△ABD、△BCD、△BCE、△CDE； （2）易找锐角三角形：△ABE， 钝角三角形：△ADE． 【举一反三4】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】解　由题意得：锐角三角形有：△AED，直角三角形有：△ACD，钝角三角形有：△ABC，△BDC． 【题型7】判断任意三条线段可否组成三角形 【典例】下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是(　　) A.12 cm，8 cm，5 cm      B.12 cm，8 cm，6 cm C.12 cm，5 cm，6 cm      D.8 cm，5 cm，6 cm 【答案】C 【解析】 A项，因为5＋8>12， 所以长为12 cm，8 cm，5 cm的三条线段能组成三角形，不符合题意； B项，因为6＋8>12， 所以长为12 cm，8 cm，6 cm的三条线段能组成三角形，不符合题意； C项，因为5＋6<12， 所以长为12 cm，5 cm，6 cm的三条线段不能组成三角形，符合题意； D项，因为5＋6>8， 所以长为8 cm，5 cm，6 cm的三条线段能组成三角形，不符合题意. 【举一反三1】把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 A项，2＋4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B项，3＋3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C项，2＋3<7，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； D项，2＋5>5，5＋5>2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形. 【举一反三2】已知三条线段长度分别为1、2、4，能否组成三角形？　  　．（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【解析】根据三角形的三边关系，1+2＝3＜4，不能组成三角形； 故答案为：不能． 【举一反三3】五条线段长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长，则可以组成　 　个三角形． 【答案】3 【解析】根据三角形的三边关系可知： 以其中三条线段为边长，可以组成三角形的是：2cm、3cm、4cm；3cm、4cm、5cm；2cm、4cm、5cm，共3个三角形． 【举一反三4】某市木材市场上木棒规格与价格如表. 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根. (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？ 【答案】 解　(1)设第三根木棒的长度为x m， 根据三角形的三边关系可得5－3<x<5＋3， 解得2<x<8， 所以x＝3，4，5，6，共4种， 所以有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择. (2)根据木棒的价格可得选3 m最省钱. 【举一反三5】判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形？ （1）1cm，2cm，3cm； （2）2cm，3cm，4cm； （3）4cm，5cm，6cm； （4）5cm，6cm，10cm． 【答案】解　（1）1+2＝3，不能组成三角形； （2）2+3＞4，能组成三角形； （3）4+5＞6，能组成三角形； （4）5+6＞10，能组成三角形． 【题型8】分析第三边的取值范围，确定其整数值 【典例】在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为奇数，△ABC的周长为（　　） A.17 B.19 C.17或21 D.17或19 【答案】D 【解析】首先根据三角形的三边关系定理可得2﹣2＜AC＜2+2，再根据AC为奇数确定AC的值． 由题意得：8﹣2＜AC＜8+2， 即：6＜AC＜10， ∵AC为奇数， ∴AC＝7或9， ∴△ABC的周长为17或19． 故选：D． 【举一反三1】已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是（　　） A.1 B.4 C.8 D.14 【答案】C 【解析】此三角形第三边的长为x，则 9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14， 只有选项C符合题意． 故选：C． 【举一反三2】八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5 km和3 km.那么杨冲、李锐两家的距离不可能是(　　) A.3 km      B.9 km      C.5 km      D.4 km 【答案】B 【解析】 当杨冲家、李锐家和嵊州书城在一条直线上时，杨冲、李锐两家的直线距离为2 km或8 km； 当杨冲家、李锐家和嵊州书城不在一条直线上时， 设杨冲家、李锐家的直线距离为x km， 根据三角形的三边关系得5－3<x<5＋3，即2<x<8， 杨冲、李锐两家的直线距离不可能为9 km. 【举一反三3】如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于　 　，而小于　 　，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是　   　． 【答案】4　　10　　17 【解析】第三边的取值范围是大于4而小于10； 如果三角形中，有两边相等，则分情况讨论： 当三边是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，舍去； 当三角形的三边是3，7，7时，符合，此时周长是17． 【举一反三4】已知三角形的边长分别为3，8，x，若x的值为偶数，则x的值是多少？ 【答案】解　∵3+8＝11，8﹣3＝5， ∴5＜x＜11， ∵x为偶数， ∴x可以是6或8或10． 【举一反三5】已知，△ABC的三边长为3，5，x． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC的周长为偶数，求x的值． 【答案】解　（1）∵△ABC的三边长为3，5，x， ∴5﹣3＜x＜5+3， 即2＜x＜8； （2）∵△ABC的三边长为3，5，x，△ABC的周长为偶数， ∴3+5+x＝8+x为偶数， ∵3+5＝8，8为偶数，2＜x＜8， ∴x为4或6． 【题型9】与非负数的综合运用 【典例】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12 【答案】C 【解析】∵a，b满足， ∴a﹣4＝0，b﹣8＝0， 即a＝4，b＝8， ∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边， ∴8﹣4＜c＜8+4， 即4＜c＜12， 故选：C． 【举一反三1】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足0，第三边c是整数，则c的值可以是（　　） A.1 B.3 C.5 D.7 【答案】B 【解析】由题意得，a﹣3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝3，b＝2， ∵3﹣2＝1，3+2＝5， ∴1＜c＜5． 故选：B． 【举一反三2】若a，b，c为△ABC的三条边，且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，第三条边c为整数，则△ABC的周长最小值为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【解析】由题意知：a﹣4＝0，b﹣3＝0， 解得a＝4，b＝3， ∴1＜c＜7， 又∵c为整数， ∴当c＝2时， ∴△ABC的周长最小值为4+3+2＝9． 故选：B． 【举一反三3】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣6）2＝0，c为整数，则c＝　 　． 【答案】6． 【解析】∵|a﹣1|+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣6＝0， 解得：a＝1，b＝6， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴5＜c＜7， ∵c为整数， ∴c＝6， 故答案为：6． 【举一反三4】已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 【答案】解　∵（b﹣5）2+|c﹣7|＝0， ∴，解得 ∵a为方程|a﹣3|＝2的解， ∴a＝5或1， 当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a＝1不合题意； ∴a＝5， ∴△ABC的周长＝5+5+7＝17， 【举一反三5】已知a，b，c满足|a|（c）2＝0． （1）求a，b，c的值； （2）试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】解　（1）根据题意得：a0，0，c0， 解得：a，b＝5，c． （2）因为5， 所以以a，b，c为边能构成三角形． 该三角形的周长为：a+b+c5． 【题型10】等腰三角形中的三边关系 【典例】等腰△ABC的两条边长分别为4和9，则第三条边长为（　　） A.4或9 B.4 C.9 D.22 【答案】C 【解析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得： 9﹣4＜x＜9+4， 5＜x＜13， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【举一反三1】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（　　） A.3 B.10 C.6.5 D.3或6.5 【答案】C 【解析】（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10， 此时3+3＝6＜10，不能组成三角形； （2）当3是底边时，腰长为（16﹣3）＝6.5， 此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形． 所以腰长为6.5． 故选：C． 【举一反三2】小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根　 　cm长的木棒． 【答案】7 【解析】（1）当3cm为腰长时，因为+3＝6＜7，不符合三角形三边关系，所以舍去； （2）当7cm为腰长时，符合三角形三边关系，符合题意． ∴再选用一要把的长度为7cm． 故答案为7． 【举一反三3】等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于　   　． 【答案】15 【解析】当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形； 当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15． 故答案为：15． 【举一反三4】如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个等腰三角形的周长． 【答案】解　①当腰长为4时，4、4、9，4+4＜9，不能够组成三角形； ②当腰长为9时，4、9、9，能够组成三角形，此时周长＝4+9+9＝22． 答：这个等腰三角形的周长是22． 【题型11】三角形的角平分线、高线、中线的定义 【典例】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确 【答案】A 【解析】AD是三角形ABC的角平分线， 则是∠BAC的角平分线， 所以AO是△ABE的角平分线，故①正确； BE是三角形ABC的中线， 则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误． 故选：A． 【举一反三1】下列说法中，正确的个数是(　　) ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点. A.1    B.2    C.3    D.4 【答案】A 【解析】 ①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段，共三条高，故错误； ④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高所在的直线一定交于一点，高指的是线段，故错误. 所以正确的有1个. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(　　) A.BF＝CF      B.∠C＋∠CAD＝90° C.∠BAF＝∠CAF      D.S△ABC＝2S△ABF 【答案】C 【解析】 因为AF是△ABC的中线， 所以BF＝CF，A说法正确，不符合题意； 因为AD是高， 所以∠ADC＝90°， 所以∠C＋∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； 因为AE是角平分线， 所以∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意； 因为BF＝CF， 所以＝2，D说法正确，不符合题意. 【举一反三3】在△ABC中，AB＜AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，有下列四个推断： ①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线； ②若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高； ③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线； ④若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是 　    　． 【答案】①②③ 【解析】①∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵BD＜BE． 当AD＝AE时，AE可能是△ABC的中线， 故①符合题意； ②∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵∠B≠∠C时， ∴AE不可能是△ABC的高， 故②符合题意； ③∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 当AB＝AC时，AE可能是△ABC的中线， 故③正符合题意； ④∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 当∠BAD＝∠CAD时，AE可能是△ABC的角平分线， 故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【举一反三4】如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论： ①BC＝2BF； ②； ③BE＝CE； ④AD⊥BC； ⑤S△AFB＝S△ADC． 其中错误的是 　   　（只填序号）． （2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数． 【答案】解　（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线， ∴AD⊥BC，∠CAE＝∠BAE＝∠CAB，BF＝CF，BC＝2BF， ∵S△AFB＝BF•AD，S△AFC＝CF•AD， ∴S△AFB＝S△AFC，故①②④⑤正确，③错误， 故答案为：③． （2）∵∠C＝70°，∠ABC＝28°， ∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°， ∴∠CAE＝∠CAB＝41°， ∵∠ADC＝90°，∠C＝70°， ∴∠DAC＝20° ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝41°﹣20°＝21°． 【题型12】画三角形的角平分线、高线、中线 【典例】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高． 故选：D． 【举一反三1】如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是(　　) A.    B. C.    D. 【答案】D 【解析】 △ABC的边AB上的高经过点C与AB垂直. 【举一反三2】画出三角形所有的中线 （1）边BC上的中线是　   　； （2）边AC上的中线是　   　； （3）边AB上的中线是　   　． 【答案】（1）AD；（2）BE；（3）CF 【解析】如图所示： （1）边BC上的中线是AD； （2）边AC上的中线是BE； （3）边AB上的中线是CF． 故答案为AD；BE；CF． 【举一反三3】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空． （1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠　    　＝∠　     　∠　     　（角平分线的定义）． （2）∵AE是△ABC的中线． ∴　　      ＝　   　 （ 　           　）． （3）∵AF是△ABC的高线． ∴∠　   　＝90°（高线的定义）． 【答案】（1）BAD；DAC；BAC；（2）BE；EC；三角形中线的定义；（3）F 【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC（角平分线的定义）； （2）∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝EC（三角形中线的定义）， （3）∵AF是△ABC的高线． ∴∠F＝90°（高线的定义）． 故答案为：（1）BAD；DAC；BAC； （2）BE；EC；三角形中线的定义； （3）F． 【举一反三4】分别在图1、图2、图3中，画出△ABC的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高. 【答案】 解　如图，AD为中线，AE为角平分线，AF为高. 【题型13】三角形中线均分三角形面积 【典例】如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为64，则△BEF的面积是（　　） A.18 B.16 C.14 D.12 【答案】B 【解析】∵点E是AD的中点， ∴S△AEB＝S△DEB，S△AEC＝S△DEC， ∵点D是BC的中点， ∴S△DEB＝S△DEC， ∴S△AEB＝S△DEB＝S△AEC＝S△DEC， ∵△ABC的面积为64， ∴S△AEB＝S△DEB＝S△AEC＝S△DEC＝16， ∴S△BEC＝S△DEB+S△DEC＝32， ∵点F是CE的中点， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】C 【解析】∵点E是AD的中点， ∴S△BDES△ABD，S△ACES△ADC， ∴S△BDE+S△ACES△ABC12＝6， 故选：C． 【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　） A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 【答案】A 【解析】∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为12cm2， ∴△ADC的面积为：12＝6（cm2）， ∵CE是△ADC的边AD上的中线， ∴△CDE的面积为：6＝3（cm2）， 故选：A． 【举一反三3】如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为 　   　． 【答案】12． 【解析】∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点， ∴S△ABD＝S△CBD，S△ABF＝S△ADF，S△BDE＝S△CDE，S△BEF＝S△DEF， ∴S△ADFS△ABDS△ABC32＝8， S△DEFS△BDES△BCDS△ABC32＝4， ∴S四边形ADEF＝S△ADF+S△DEF＝8+4＝12． 故答案为：12． 【举一反三4】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. (1)作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG； (2)若△ABC的面积为40，BD＝5，则在△BED中，BD边上的高EF为多少？ 【答案】 解　(1)如图所示，EF，DG即为所作. (2)因为AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， 所以S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD， 所以S△BDE＝S△ABC， 因为△ABC的面积为40，BD＝5， 所以S△BDE＝BD·EF＝×5·EF＝×40＝10， 所以EF＝4， 即在△BED中，BD边上的高EF为4. 【举一反三5】如图，AM是△ABC的中线，若S△ABC＝20cm2，AC＝5cm，MD⊥AC，求MD的长． 【答案】解　∵AM是△ABC的中线，S△ABC＝20cm2， ∴△ABM的面积＝△ACM的面积△ABC的面积＝10（cm2）， ∵AC＝5cm，MD⊥AC， ∴AC•MD＝10， ∴5DM＝10， 解得：MD＝4cm， ∴MD的长为4cm． 【题型14】识别三角形的高线 【典例】如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A.△ABC中，CF是AB边上的高 B.△AGC中，CF是AG边上的高 C.△GBC中，GC是BC边上的高 D.△BFC中，CG是BF边上的高 【答案】D 【解析】A．△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B．△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C．△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D．△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高.其中正确的结论是(　　) A.①和②    B.①和③ C.②和③    D.只有②正确 【答案】D 【解析】 根据题意知，从△ABD的一个顶点D向底边AB作垂线，垂足A与顶点D之间的线段叫作三角形的高.即AD是△ABD的高，即②正确. 【举一反三2】如图，△ABC的边AC上的高线是(　　) A.AF B.BD C.CE D.AE 【答案】B 【解析】 因为点B到AC边的垂线段是BD，所以AC边上的高是BD. 【举一反三3】如图： （1）在△ABC中，BC边上的高是　  　； （2）在△AEC中，AE边上的高是　  　； （3）在△FEC中，EC边上的高是　　  ． 【答案】（1）AB（2）DC（3）EF 【解析】（1）在△ABC中，BC边上的高是AB； （2）在△AEC中，AE边上的高是DC； （3）在△FEC中，EC边上的高是EF； 故答案为：AB，DC，EF． 【举一反三4】在如图所示的△ABC的三条高中，其中AB边上的高是线段 　   　． 【答案】CE 【解析】∵△ABC为钝角是三角形，CE⊥AE， ∴CE为AB边上的高． 故答案为：CE． 【举一反三5】如图，AE⊥BC于点E，以AE为高的三角形有哪些？ 【答案】解　以AE为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC共六个． 【题型15】三角形面积的计算与等面积法 【典例】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝12，AC＝5，BC＝13，BC边上的高AD长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵∠CAB＝90°，AD是BC边上的高， ∴， ∵AB＝12，AC＝5，BC＝13， ∴12×5＝13AD， 解得AD， 故选：D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（　　） A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】∵AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H， ∴AB•CEBC•AD， ∴8CE6AD， ∴． 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，垂足为F、G，若△ABC周长为41，ABAC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为　  　． 【答案】6.4 【解析】∵ABAC，AC＝10， ∴AB＝15， ∵△ABC周长为41， ∴BC＝41﹣AB﹣AC＝41﹣15﹣10＝16， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD＝8， ∵E是AC中点， ∴CE＝AE＝5， ∵EF⊥BC，DG⊥AC， ∴， ∵EF＝4， ∴8×4＝5DG， 解得DG＝6.4， 故答案为：6.4． 【举一反三3】如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长． 【答案】解　∵AD，BE分别是△ABC的高， ∴S△ABC， ∴BC•AD＝AC•BE， ∵AC＝5，BC＝12，BE＝9， ∴12AD＝5×9， ∴AD． 【题型16】结合三角形的角平分线、高线、中线求角 【典例】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】A 【解析】在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC80°＝40°． ∵BD是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°． 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A.25° B.35° C.45° D.55° 【答案】B 【解析】∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°， Rt△ABD中，∠B＝180°-90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°． 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高.请完成以下填空： (1)BF＝　　　　＝　　　　； (2)∠BAD＝　　　　＝　　　　； (3)∠AEB＝　　　　＝90°； (4)S△ABC＝　　　　. 【答案】 (1)CF　BC　(2)∠CAD　∠BAC　(3)∠AEC　(4)BC·AE 【解析】 (1)因为AF是中线， 所以BF＝CF＝BC. (2)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. (3)因为AE是△ABC的高， 所以∠AEB＝∠AEC＝90°. (4)因为AE是△ABC的高， 所以S△ABC＝BC·AE. 【举一反三3】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1＝　　　　，∠3＝　　　　，∠ACB＝2　　　　. 【答案】 ∠2　∠ABC　∠4 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F. (1)若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长； (2)若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数. 【答案】 解　(1)因为AD为边BC上的高，△ABC的面积为20， 所以AD·BC＝20， 因为AD＝4， 所以BC＝10， 因为点E为边BC上的中点， 所以BE＝BC＝5. (2)因为AD为边BC上的高， 所以∠ADB＝90°， 因为∠BFD＝60°， 所以∠FBD＝90°－∠BFD＝90°－60°＝30°， 因为BF平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠FBD＝60°， 因为∠C＝25°， 所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－60°－25°＝95°. 【题型17】结合三角形的角平分线、高线、中线求边 【典例】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】∵BD＝5，CD＝9， ∴BC＝BD+CD＝14， ∵AE是△ABC的中线， ∴CE＝BEBC＝7， 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（　　） A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】A 【解析】∵BD是△ABC的中线， ∴CD＝AD， ∵DC＝6， ∴AD＝6， ∵BE是△ABD的中线， ∴AE＝EDAD＝3， 故选：A． 【举一反三2】如图，在锐角△ABC中，AD为BC边上的中线，则(　　) A.BD＝AD      B.BD＝CD C.AD＝AC      D.AB＝BC 【答案】B 【举一反三3】如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　  　cm． 【答案】23 【解析】∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm）， ∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm， ∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）． 故答案为23． 【举一反三4】已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 　  　. 【答案】6 【解析】∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大6， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝6， 即AB﹣AC＝6， 故答案为：6． 【举一反三5】如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线． （1）若DE＝2，求BC的长； （2）若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长． 【答案】解　（1）∵AE是△ACD的中线，DE＝2， ∴CD＝2DE＝2×2＝4， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD＝2×4＝8； （2）∵△ABC的周长为35， ∴AB+AC+BC＝35， ∵BC＝11， ∴AB+AC＝24， ∵△ABD与△ACD的周长差为3， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝3， 则， 解得， 答：AC的长为10.5． 学科网（北京）股份有限公司 $