1.1 从自然数到有理数 课时作业 2026-2027学年浙教版数学七年级 上册

**基本信息** 初中数学有理数首课时同步练，通过A/B/C三层递进设计，实现从概念理解到综合应用再到拓展探究的知识巩固，培养抽象能力、模型意识与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|自然数/分数概念、正负数表示、有理数分类|选择/填空/解答题结合，强化数感与符号意识，如相反意义的量表示| |B组能力提升|有理数综合分类、实际情境应用（营业额/体重变化）|辨析题与应用题结合，发展模型意识，如-a正负性讨论| |C组拓展探究|特殊数（根号数/π）分类、概念辨析|探究题深化推理意识，如根号数是否为有理数的判断|

浙教版数学七年级上册 第1章 1.1 从自然数到有理数 课时作业 第1章 有理数 1.1 从自然数到有理数 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 了解数的产生和扩充过程，知道自然数、分数在实际生活中的应用；2. 理解正数、负数的意义，会用正数、负数表示具有相反意义的量；3. 理解有理数的概念，能对有理数按不同标准进行分类，做到不重不漏。 一、知识梳理 知识点 1 从自然数到分数 在计数和测量中，人们首先认识了自然数 0，1，2，3，…。自然数有两个基本作用： （1）计数：表示物体的个数，如"一个班有 45 名学生"； （2）测量与标号：表示顺序、编号或度量结果，如"3 号选手""第 7 页""门牌 12 号"。 当把一个整体平均分成若干份，需要表示其中的一份或几份时，自然数就不够用了，于是产生了分数。有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式。 提示 0 是自然数中最小的数，它既表示"没有"，也可以表示一个基准（如 0 ℃ 表示冰水混合物的温度，并不是"没有温度"）。 知识点 2 从分数到有理数：正数与负数 生活中常常遇到具有相反意义的量，如"上升与下降""收入与支出""向东与向西"。为了表示这样的量，人们引入了负数。 图 1-1 用正数、负数表示具有相反意义的量 （1）像 3，1.5， （1）像 3，1.5，，5% 这样大于 0 的数叫做正数。正数前面可以加"+"号，也可以省略不写。 （2）在正数前面加上"-"号的数叫做负数，如 -3，-1.5，，-5%。 （3）0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界。 易错提醒 ① 不能认为"带负号的数一定是负数"。字母 -a 是正是负要看 a：当 a 是负数时，-a 是正数；② 用正负数表示相反意义的量时，必须先规定"以哪个方向（或哪种意义）为正"，另一个方向就记为负；③ "相反意义的量"必须是同一类量，如"上升 3 m"与"向东走 3 m"就不是相反意义的量。 图 1-2 几个城市某日气温（零下用负数表示） 知识点 3 有理数及其分类 整数和分数统称为有理数。 其中，正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。 图 1-3 数的范围的扩充过程 有理数可以按两种不同的标准分类。 （1）按整数、分数分类： 图 1-4 有理数的分类（按定义分） （2）按正、负分类： 图 1-5 有理数的分类（按性质分） 易错提醒 ① 0 是整数，是有理数，但它既不是正数也不是负数；② 有限小数和无限循环小数都能写成分数，都是有理数；③ π 不能写成两个整数相除的形式，它不是分数，也不是有理数；④ 分类必须做到"不重不漏"：同一个数只能归入同一标准下的一类。 二、典例精析 例 1 用正负数表示相反意义的量 （1）如果把向东走 8 m 记作 +8 m，那么 -6 m 表示什么？ （2）某仓库运进货物 30 t 记作 +30 t，那么运出 25 t 应记作什么？ （3）某次数学测验，以 80 分为标准，小明得 92 分记作 +12 分，小红记作 -7 分，小红实际得多少分？ 【解】（1）-6 m 表示向西走 6 m。 （2）运出 25 t 记作 -25 t。 （3）-7 分表示比标准分低 7 分，所以小红的实际分数是 80 - 7 = 73（分）。 【解析】解这类题的关键是抓住"谁被规定为正"。规定向东为正，向西就为负；规定运进为正，运出就为负；规定"高于标准"为正，"低于标准"就为负。注意第（3）小题问的是实际分数，需要用标准分加上或减去相应的数。 例 2 有理数的识别与分类 把下列各数填入相应的集合中： 　　-7，　，　0，　+3.2，　-1.75，　12，　，　π，　-0.5，　+200。 　　正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　…}。 【解】正数集合：，+3.2，12，π，+200； 负数集合：-7，-1.75，，-0.5； 整数集合：-7，0，12，+200； 分数集合：，+3.2，-1.75，，-0.5。 【解析】三个关键点：① 0 既不是正数也不是负数，但它是整数；② 有限小数（+3.2、-1.75、-0.5）都能化成分数，属于分数；③ π 是正数，但它不是有理数，所以不能填入整数集合或分数集合。 例 3 0 的特殊性 下列说法中，哪些是正确的？请说明理由。 　　（1）0 是最小的自然数；　（2）0 是最小的整数； 　　（3）0 是最小的正整数；　（4）0 既不是正数，也不是负数，但它是有理数。 【解】（1）（4）正确，（2）（3）错误。 （1）自然数是 0，1，2，3，…，其中最小的是 0，故正确。 （2）整数包括负整数，如 -1，-2，-100，…，没有最小的整数，故错误。 （3）最小的正整数是 1，0 不是正整数，故错误。 （4）0 既不是正数也不是负数，但 0 是整数，因而是有理数，故正确。 【解析】0 是本节最容易出错的数。要牢记：0 是自然数、是整数、是有理数、是偶数，但它既不是正数也不是负数。此外，最小的自然数是 0，最大的负整数是 -1，最小的正整数是 1，而最小的整数不存在。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列各数中，属于负数的是（　　） 　　A. 0　　　B. +2.5　　　C. 　　　D. 7 2. 如果零上 12 ℃ 记作 +12 ℃，那么零下 5 ℃ 记作（　　） 　　A. +5 ℃　　　B. -5 ℃　　　C. -12 ℃　　　D. +17 ℃ 3. 在 -6，0，，2.5，+9 这五个数中，整数共有（　　） 　　A. 1 个　　　B. 2 个　　　C. 3 个　　　D. 4 个 4. 下列说法中，正确的是（　　） 　　A. 0 是正数　　　　　　　　　B. 0 是负数 　　C. 0 既不是正数也不是负数　　D. 0 不是有理数 5. 下列各组量中，不是具有相反意义的量的是（　　） 　　A. 收入 500 元与支出 300 元　　　B. 向东走 5 m 与向西走 5 m 　　C. 上升 3 m 与向北走 3 m　　　　　D. 盈利 2 万元与亏损 1 万元 6. 下列各数中，不是有理数的是（　　） 　　A. 　　　B. 0　　　C. 3.14　　　D. π 7. 最大的负整数是（　　） 　　A. -1　　　B. 0　　　C. 1　　　D. 不存在 8. 某天最高气温是 8 ℃，最低气温是 -3 ℃，则这一天的温差是（　　） 　　A. 5 ℃　　　B. 8 ℃　　　C. 11 ℃　　　D. -11 ℃ 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 若把水位上升 2.5 m 记作 +2.5 m，则水位下降 1.8 m 记作__________m。 10. 若某零件的直径标注为 20 ± 0.05 mm，则合格零件的直径最大是________mm，最小是________mm。 11. 在 -3，，0，-1.2，6， 中，正数有________个，负数有________个，整数有________个。 12. 最小的自然数是________，最小的正整数是________，最大的负整数是________。 13. 某市一天的气温从 -4 ℃ 上升了 9 ℃，这时的气温是________℃。 14. 如果规定一个月内体重增加 1.5 kg 记作 +1.5 kg，那么 -0.8 kg 表示____________________。 15. 请写出一个既不是正数也不是负数的有理数：________；再写出一个是负数但不是整数的有理数：________。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）把下列各数填入相应的集合中： 　　-20，　，　0，　-0.6，　+15，　，　3.75，　-100，　π。 　　（1）正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　…}； 　　（2）负有理数集合：{　　　　　　　　　　　　…}； 　　（3）整数集合：　　{　　　　　　　　　　　　…}； 　　（4）非负数集合：　{　　　　　　　　　　　　…}。 17.（10 分）某检修小组乘汽车沿东西方向的公路检修线路，规定向东行驶为正，向西行驶为负。某天他们从 A 地出发，行驶记录如下（单位：km）： 次序 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 行驶记录 +8 -5 +3 -9 +6 　　（1）第 2 次和第 4 次的记录分别表示什么实际意义？ 　　（2）哪一次行驶的路程最长？哪一次最短？ 　　（3）若汽车每行驶 1 km 耗油 0.1 L，求这一天共耗油多少升？ 18.（10 分）某学校对七年级学生进行体质测试，规定成绩达到 60 分为合格。若把高于 60 分的部分记为正，低于 60 分的部分记为负，五名同学的记录如下（单位：分）： 　　小 王：+15　　小 李：-8　　小 张：0　　小 陈：+22　　小 赵：-13 　　（1）分别写出这五名同学的实际成绩； 　　（2）成绩最高的同学比成绩最低的同学高多少分？ 　　（3）这五名同学中有几人合格？ B 组 能力提升 19.（8 分）已知下列各数： 　　，　-3.6，　0，　，　，　+7，　-0.3（循环小数 0.333…），　π。 　　（1）其中哪些是整数？哪些是分数？ 　　（2）其中哪些是有理数？哪些不是有理数？ 　　（3）请说明你的判断依据。 20.（8 分）用正、负数表示下列各量，并回答问题。 　　某超市 5 月份的营业额是 60 万元。6 月份比 5 月份增加 8 万元，记作 +8 万元； 　　7 月份比 6 月份减少 5 万元，记作 -5 万元；8 月份比 7 月份增加 12 万元。 　　（1）8 月份的变化量应记作什么？ 　　（2）分别求出 6 月、7 月、8 月的营业额； 　　（3）哪个月的营业额最高？8 月份比 5 月份增加了多少万元？ 21.（8 分）小明说："因为 -a 前面有负号，所以 -a 一定是负数。"你同意吗？ 　　（1）请分别取 a = 5，a = 0，a = -3，求出 -a 的值； 　　（2）根据（1）的结果，判断小明的说法是否正确，并说明理由； 　　（3）填空：当 a 是正数时，-a 是________数；当 a 是负数时，-a 是________数；当 a = 0 时，-a = ________。 C 组 拓展探究 22.（10 分）观察下面一组数：，　，　，　，　。 　　（1）其中哪些是整数？ 　　（2）其中哪些是有理数？哪些不是有理数？ 　　【知识链接（了解即可）】　符号 表示非负数 a 的算术平方根，即"平方等于 a 的那个非负数"。例如 ，因为 2 × 2 = 4；而 和 都不能写成两个整数相除的形式。本题只需用到这一点。 23.（8 分）一个数学兴趣小组研究"数的分类"，他们把下面的说法写在卡片上： 　　卡片①：整数和分数统称为有理数； 　　卡片②：正数、0、负数统称为有理数； 　　卡片③：正有理数、0、负有理数统称为有理数； 　　卡片④：有理数不是正数就是负数。 　　（1）以上四张卡片中，哪些说法正确？哪些错误？ 　　（2）对错误的说法，各举一个反例说明。 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. C　2. B　3. C　4. C　5. C　6. D　7. A　8. C 详解： 1. 小于 0 的数是负数。0 既不是正数也不是负数，+2.5 与 7 是正数，只有 是负数，选 C。 2. 零上为正，零下就为负，所以零下 5 ℃ 记作 -5 ℃，选 B。 3. 整数有 -6、0、+9 共 3 个； 与 2.5 是分数，选 C。 4. 0 既不是正数也不是负数，但 0 是整数，也是有理数，选 C。 5. 相反意义的量必须是同一类量。"上升 3 m"是竖直方向的量，"向北走 3 m"是水平方向的量，二者不是同一类量，选 C。 6. π 是无限不循环小数，不能写成两个整数相除的形式，不是有理数；3.14 是有限小数，是有理数，选 D。 7. 负整数为 -1，-2，-3，…，其中最大的是 -1，选 A。 8. 温差就是最高气温与最低气温相差的度数。从 -3 ℃ 上升到 0 ℃ 要升 3 ℃，从 0 ℃ 上升到 8 ℃ 要升 8 ℃， 　　所以温差为 3 + 8 = 11（℃），选 C。 二、填空题 9. -1.8 10. 20.05；19.95 20 ± 0.05 表示最大不超过 20 + 0.05 = 20.05（mm），最小不小于 20 - 0.05 = 19.95（mm）。 11. 2；3；3 正数有 和 6，共 2 个；负数有 -3、-1.2、，共 3 个；整数有 -3、0、6，共 3 个。 12. 0；1；-1 13. 5 从 -4 ℃ 上升 4 ℃ 到 0 ℃，还剩 9 - 4 = 5（℃），继续上升到 5 ℃。 14. 体重减少 0.8 kg 15. 0；答案不唯一，如 -2.5（或 -1.2 等非整数的负有理数） 三、解答题 16.（1）正有理数集合：，+15，3.75； （2）负有理数集合：-20，-0.6，，-100； （3）整数集合：-20，0，+15，-100； （4）非负数集合：，0，+15，3.75，π。 说明：π 是正数，但不是有理数，所以（1）（3）中都不能填 π； 　　"非负数"指的是正数和 0，π 是正数，所以（4）中要填 π。 17.（1）见解析　（2）第 4 次最长，第 3 次最短　（3）3.1 L （1）第 2 次记录 -5 表示汽车向西行驶 5 km；第 4 次记录 -9 表示汽车向西行驶 9 km。 （2）比较各次行驶的路程（不看方向，只看数的大小）：8，5，3，9，6。 　　其中 9 最大，3 最小，所以第 4 次行驶的路程最长，第 3 次最短。 （3）这一天行驶的总路程为 8 + 5 + 3 + 9 + 6 = 31（km）， 　　共耗油 31 × 0.1 = 3.1（L）。 　　注意：耗油量与方向无关，所以要把各次路程都按正数相加。 18.（1）75 分，52 分，60 分，82 分，47 分　（2）35 分　（3）3 人 （1）实际成绩 = 60 + 记录数： 　　小王：60 + 15 = 75（分）；小李：60 - 8 = 52（分）；小张：60 + 0 = 60（分）； 　　小陈：60 + 22 = 82（分）；小赵：60 - 13 = 47（分）。 （2）最高的是小陈 82 分，最低的是小赵 47 分，相差 82 - 47 = 35（分）。 　　也可以直接用记录数相减：22 - (-13)，即 22 + 13 = 35（分）。 （3）成绩不低于 60 分的有小王（75）、小张（60）、小陈（82），共 3 人合格。 B 组 能力提升 19.（1）整数：，0，，+7；　分数：-3.6，，-0.333… （2）有理数：，-3.6，0，，，+7，-0.333…；　不是有理数的：π。 （3）判断依据：先化简，再看它到底是整数还是分数，不能只看外表形式。 　　，化简后是整数；，化简后也是整数； 　　-3.6 是有限小数，可化为分数，属于分数；-0.333… 是无限循环小数，也可化为分数，属于分数； 　　π 是无限不循环小数，既不是整数也不是分数，所以不是有理数。 20.（1）+12 万元　（2）68 万元，63 万元，75 万元　（3）8 月最高，比 5 月增加 15 万元 （1）8 月比 7 月增加 12 万元，增加记为正，所以记作 +12 万元。 （2）6 月营业额：60 + 8 = 68（万元）； 　　7 月营业额：68 - 5 = 63（万元）； 　　8 月营业额：63 + 12 = 75（万元）。 （3）比较 60、68、63、75 可知 8 月份最高。 　　8 月比 5 月增加 75 - 60 = 15（万元）。 　　也可以把三个变化量合起来算：8 - 5 + 12 = 15（万元）。 21.（1）-5，0，3　（2）不同意，小明的说法错误　（3）负；正；0 （1）当 a = 5 时，-a = -5；当 a = 0 时，-a = 0；当 a = -3 时，-a = 3。 （2）不同意。因为当 a = -3 时，-a = 3 是正数；当 a = 0 时，-a = 0，既不是正数也不是负数。 　　可见 -a 不一定是负数，小明只看到了"负号"这个外表，没有考虑字母 a 本身的正负。 （3）当 a 是正数时，-a 是负数；当 a 是负数时，-a 是正数；当 a = 0 时，-a = 0。 C 组 拓展探究 22.（1）整数：，，。 （2）有理数：，，；　不是有理数的： 和 。 解析：带根号的数不一定不是有理数，要先化简再判断。 　　，因为 2 × 2 = 4；，因为 3 × 3 = 9；，因为 5 × 5 = 25。 　　这三个数化简后都是整数，因此都是有理数。 　　而 和 都不能写成两个整数相除的形式，既不是整数也不是分数，所以不是有理数。 23.（1）①③正确，②④错误　（2）见解析 （1）卡片①：整数和分数统称为有理数，这正是有理数的定义，正确； 　　卡片③：按正、负分类，有理数分为正有理数、0 和负有理数，正确； 　　卡片②：错误，因为"正数、0、负数"包含了所有的数，而不只是有理数； 　　卡片④：错误，因为 0 是有理数，但它既不是正数也不是负数。 （2）反例： 　　对卡片②：π 是正数，但 π 不是有理数，所以"正数、0、负数统称为有理数"不成立； 　　对卡片④：0 是有理数，但它既不是正数也不是负数，所以"有理数不是正数就是负数"不成立。 本课时小结 （1）用正负数表示相反意义的量，第一步永远是"确定以什么为正"；（2）有理数的定义是"整数和分数统称为有理数"，判断时要先化简再归类；（3）0 是最容易失分的数：它是自然数、整数、有理数，但既不是正数也不是负数；（4）π 是正数却不是有理数，带根号的数化简后可能是有理数，都要特别当心。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $