第十二章 函数与一次函数（9考点+8易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学“函数与一次函数”单元知识清单系统梳理了函数基础与一次函数核心内容，涵盖变量常量、函数概念、三种表达方式、正比例与一次函数的图像性质及实际应用，搭建了从基础概念到图像分析再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点解析-易错点警示-对点训练”三级架构呈现知识体系，突出完整性与条理性。通过函数定义“单对应”强调、图像性质表格对比等设计，培养抽象能力与推理意识。特别总结平移“左加右减自变量”等规律，配易错点“竖线检验法”等避错技巧，助力学生自主高效学习，教师可精准把握重难点，提升教学针对性。

第十二章 函数与一次函数 知识点一：函数： 1变量与常量的定义： 在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量；数值 始终不变 的量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 2. 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ．若存在时，则就是自变量为时的 函数值 ． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点二：函数的三种表达方式： 1. 函数解析式表达： 函数解析式即用式子来表达的函数关系． 通常情况下在等式右边的字母是函数关系的 自变量 ，等式左边的字母是自变量的 函数 ． （1）自变量的取值范围： ①在函数解析式中必须使式子成立． I：分母不能等于_____； II：被开方数 大于等于 _____； III：无意义．即中，与不能 同时为0 ． ②在实际应用中必须满足实际意义． （2）函数值： 将自变量的值带入 函数解析式 求解得函数值．自变量确定则函数值确定且唯一，若函数值确定，可对应一个自变量，也可对应多个自变量． 2. 列表法表达： 利用表格表达函数关系的方法． 3. 图像法表达： 利用画图像表达函数关系的方法． 知识点三：正比例函数： 1. 正比例函数的概念： 一般地，形如 的函数叫做正比例函数。其中，叫做 比例系数 。 注意：①自变量系数不能为 ____。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 2.正比例函数的图像与性质： （1）. 正比例函数的图像： 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。 （2） 正比例函数的图像与性质： 的取值 经过象限 大致图像 随的变化情况 一、三 随的增大而 增大 二、四 随的增大而 减小 （3）. 画正比例函数的图像： 正比例函数必经过原点，所以还需确定 1 个点即可画出正比例函数的图像。 知识点四：一次函数： 1. 一次函数的定义： 一般地，形如 的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中， ≠ ___，自变量系数为 ___。为_____。当的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数。 知识点五：一次函数的图像与性质： 1. 一次函数的图像： 一次函数的图像是一条直线。 2. 一次函数的图像与性质： 的取值 的取值 经过象限 大致图像 随的变化情况 一、二、三 随的增大而 增大。自变量越大，函数值就 越大 一、三、四 一、二、四 随的增大而 减小。自变量越大，函数值就 越小 二、三、四 3. 一次函数与坐标轴的交点坐标： 一次函数与横坐标的交点坐标计算公式是 。与纵坐标的交点坐标计算公式是 。 知识点六：待定系数法求函数解析式： 1. 待定系数法求函数解析式的具体步骤： ①设函数解析式——。 ②找点——经过函数图像上的点。 ③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。 ④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。 ⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。 知识点七：一次函数与一次方程、与不等式： 1. 一次函数与一次方程： ①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为 。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。 2. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。 3. 一次函数与不等式： ①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 4. 求函数交点坐标： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 横坐标 ，将所得的值带入任意函数值求得交点的 纵坐标 。 知识点八：一次函数的几何变换： 1. 一次函数的平移变换： ①一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 ②一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 2. 一次函数的对称变换： ①函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的自变量 不发生变化 ，函数值变为原来的 相反数 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 ②函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的函数值 不发生变化 ，自变量变为原来的 相反数 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 知识点九：一次函数的应用 1. 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 关键点：①分段函数各段的函数解析式． ②各个拐点的实际意义． ③函数交点的实际意义． 2. 一次函数的综合： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围． 易错点1对函数的核心定义理解不到位 易错提醒 忽略函数“对于自变量x的每一个确定取值，因变量y都有唯一确定的值与之对应”的要求，常会将一个x对应多个y的关系错误判定为函数，例如把非函数类曲线的对应关系错认为函数。针对这一问题，避错的核心方法是牢记判断依据：若要判断一个关系是否为函数，可以使用“竖线检验法”，用垂直于x轴的直线移动截取对应图像，若直线与图像始终只有一个交点，才符合函数定义。 【对点训练】1．如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   易错点2 求解自变量取值范围时漏考虑限制条件 易错提醒 部分题目中自变量同时受分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、实际情境约束等多个条件限制，解题时常只考虑其中一类条件，导致结果出错，尤其容易忽略实际问题中自变量需符合实际意义，例如表示数量、长度的自变量不能取负数或非整数。避开这类错误的方法是：先找出所有限制条件，分别求出每个条件下自变量的范围，再取所有范围的交集得到最终结果，涉及实际应用的问题，得到结果后要再结合实际情境验证合理性。 【对点训练】2．函数的自变的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 易错点3 混淆变量与常量 易错提醒 在动态变化的实际问题中，容易误将随条件变化的量当成常量，或是反过来把固定不变的量当成变量。例如在“路程一定，研究速度与时间的关系”问题中，错把路程当成变量。避错的方法就是紧扣定义判断：在问题研究的过程中，数值保持不变的量才是常量，发生变化的量是变量，判定的时候先明确问题研究的过程再下结论。 【对点训练】3．汽车在匀速行驶过程中，路程s、速度v、时间t之间的关系为s＝vt，下列说法正确的是（　　） A．s、v、t都是变量 B．s、t是变量，v是常量 C．v、t是变量，s是常量 D．s、v是变量，t是常量 易错点4判定一次函数或正比例函数时，忽略一次项系数不为零的限制条件 易错提醒 这类问题多在含参数的函数判定题中出现，例如给定函数y=(k+1)x|k|+k，要求判定k取何值时该函数为一次函数，不少同学只会根据x的次数为1得到|k|=1，解得k=±1，漏掉了一次项系数k+1≠0的限制，最终保留了k=-1这个错误结果。避开这类错误的方法是：牢记一次函数的定义要求，形y=kx+b（k、b为常数）的函数，必须满足k≠0才是一次函数，若要判定为正比例函数，还需要额外满足b=0，判定参数取值时一定要把限制条件全部列出，再筛选出符合要求的结果。 【对点训练】4．．若函数是一次函数，则m值为(    ) A．2 B．-2 C．-2或2 D．3 易错点5错记k、b对一次函数图像位置的影响 易错提醒 判断图像经过象限或根据象限判断参数范围时出错。例如已知一次函数y=kx+b满足k>0、b<0，不少同学会错记规律，误认为图像经过第一、二、四象限。避错的方法是不要死背结论，可以通过取特殊点确定图像位置：令x=0，y=b，可知函数与y轴交于(0,b)，b>0时交点在y轴正半轴，b<0则在负半轴；再结合k的符号判断增减性，k>0时y随x增大而增大，图像从左下到右上，k<0时y随x增大而减小，图像从左上到右下，结合两个特征就能准确判断图像经过的象限，不会出错。 【对点训练】5．．一次函数，y随x的增大而减小，且，则它的图象大致是（    ） A． B． C． D． 易错点6利用一次函数的增减性求参数的多解问题 易错提醒 .1.增减性判断混淆:误以为(k>0)时函数必增，忽略自变量范围限制(如只在某区间讨论)。 2.多情况遗漏:参数同时影响(k)和常数项，或需分段讨论。 3.端点取等问题:比较函数值大小时，临界点是否取等判断不清，导致参数范围边界错误。 4.实际约束忽略:实际问题中自变量有隐含范围(如时间非负)，未纳入增减性分析。注意事项: 先定k符号:由y=kx+b中k的正负确定整体增减趋势。 分类讨论参数:参数出现在k位置时，分别讨论k>0、k<0、k=0。 注意区间单调:若定义域不是全体实数，只在给定区间内讨论最值。 检验端点:参数边界值代入验证是否满足题意(如函数值大小关系)。 数形结合:画出草图，直观判断直线走向与参数关系。 【对点训练】 6已知一次函数，当自变量的取值范围是时，相应的函数值的范围是，则 ． 易错点7求解一次函数平移问题时，记错左右平移的规律 易错提醒 混淆“左加右减”的作用对象。不少同学会误将“左加右减”用在常数项$b$上，例如将y=2x+3向左平移1个单位，错写成y=2x+3+1，即y=2x+4。避错的方法是牢记平移规律中，左加右减是针对自变量x本身做变化，上下平移才是针对常数项做变化，平移的时候先对x调整，再整理解析式就能得到正确结果。 【对点训练】7．把直线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 易错点8解决一次函数与实际问题结合的题目时，忽略自变量的实际取值范围 易错提醒 忽略自变量的实际取值范围，导致画图像或者求解函数值时出错。例如用函数表示“用长度为XX的铁丝围矩形，矩形面积与一边长的关系”，不少同学会直接写出解析式后把图像画成完整的直线或抛物线，忘记边长本身必须为正，另一边也必须为正，因此自变量只能在某个正区间内取值，图像也只是对应区间上的一段。避开这类错误的方法是：拿到实际应用问题，先根据实际意义确定自变量的所有限制条件，求出取值范围后再分析函数性质、绘制图像或求解。 【对点训练】8．陕西洛川盛产苹果，政府要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的苹果共50亩，两种苹果的成本和售价如下表所示： 品种 成本（万元/亩） 售价（万元/亩） A 1.1 2.2 B 1.3 2.7 设种植A品种苹果x亩，若50亩地全部种植两种苹果共获得利润y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若A品种苹果的种植亩数不少于B品种苹果种植亩数的1.5倍，则种植A品种苹果多少亩时利润最大?并求出最大利润． 一、单选题 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．     C．   D．   2．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．x>-2且 D．且 3．若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1 4．已知一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（    ） A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 二、填空题 6．函数中自变量x的取值范围是 ． 7．若函数是一次函数，则 ． 8．将直线向左平移1个单位长度，则平移后的直线解析式为 ． 9．已知，一次函数的图象不经过第三象限，且点，在该函数图象上，则 0（用“＞、＜、＝”连接） 10．已知一次函数，当自变量x的取值范围是时，对应的因变量y的取值范围是，那么的值为 ． 三、解答题 11．已知，则函数是什么函数？当x时，函数值y是多少？ 12．已知一次函数. （1）为何值时，随的增大而减小？ （2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ （3），分别是何值时，函数图象经过原点？ （4）当，时，求这个一次函数的图象与两个坐标轴的交点. 13．已知一次函数． (1)求证：该函数图象过点． (2)若点，在函数图象上，当时，求k的取值范围． (3)当时，得，求k的值． 14．已知直线，记为． (1)填空：直线可以看做是由直线向______平移______个单位得到； (2)将直线沿x轴向右平移4个单位得到直线，解答下列问题： ①求直线的函数解析式； ②若x取任意实数时，函数的值恒大于直线的函数值，结合 图象求出m的取值范围． 15．某地为了保证库存防寒物资的安全，决定将甲、乙两仓库的防寒物资全部转移到A，B两仓库．已知甲库有防寒物资80吨，乙库有防寒物资50吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为60吨，从甲、乙两库到A，B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨防寒物资运送1千米所需费用）． 路程/千米 运费/（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A库 30 20 12 10 B库 25 25 10 8 (1)若甲库运往A库防寒物资x吨，请写出将防寒物资运往A，B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． (2)当甲、乙两库各运往A，B两库多少吨防寒物资时，总运费最少，最少的总运费是多少？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 函数与一次函数 知识点一：函数： 1变量与常量的定义： 在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量；数值 始终不变 的量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 2. 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ．若存在时，则就是自变量为时的 函数值 ． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点二：函数的三种表达方式： 1. 函数解析式表达： 函数解析式即用式子来表达的函数关系． 通常情况下在等式右边的字母是函数关系的 自变量 ，等式左边的字母是自变量的 函数 ． （1）自变量的取值范围： ①在函数解析式中必须使式子成立． I：分母不能等于 0 ； II：被开方数 大于等于 0； III：无意义．即中，与不能 同时为0 ． ②在实际应用中必须满足实际意义． （2）函数值： 将自变量的值带入 函数解析式 求解得函数值．自变量确定则函数值确定且唯一，若函数值确定，可对应一个自变量，也可对应多个自变量． 2. 列表法表达： 利用表格表达函数关系的方法． 3. 图像法表达： 利用画图像表达函数关系的方法． 知识点三：正比例函数： 1. 正比例函数的概念： 一般地，形如 的函数叫做正比例函数。其中，叫做 比例系数 。 注意：①自变量系数不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 2.正比例函数的图像与性质： （1）. 正比例函数的图像： 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。 （2） 正比例函数的图像与性质： 的取值 经过象限 大致图像 随的变化情况 一、三 随的增大而 增大 二、四 随的增大而 减小 （3）. 画正比例函数的图像： 正比例函数必经过原点，所以还需确定 1 个点即可画出正比例函数的图像。 知识点四：一次函数： 1. 一次函数的定义： 一般地，形如 的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中， ≠ 0，自变量系数为 1 。为任意实数。当的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数。 知识点五：一次函数的图像与性质： 1. 一次函数的图像： 一次函数的图像是一条直线。 2. 一次函数的图像与性质： 的取值 的取值 经过象限 大致图像 随的变化情况 一、二、三 随的增大而 增大。自变量越大，函数值就 越大 一、三、四 一、二、四 随的增大而 减小。自变量越大，函数值就 越小 二、三、四 3. 一次函数与坐标轴的交点坐标： 一次函数与横坐标的交点坐标计算公式是 。与纵坐标的交点坐标计算公式是 。 知识点六：待定系数法求函数解析式： 1. 待定系数法求函数解析式的具体步骤： ①设函数解析式——。 ②找点——经过函数图像上的点。 ③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。 ④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。 ⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。 知识点七：一次函数与一次方程、与不等式： 1. 一次函数与一次方程： ①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为 。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。 2. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。 3. 一次函数与不等式： ①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 4. 求函数交点坐标： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 横坐标 ，将所得的值带入任意函数值求得交点的 纵坐标 。 知识点八：一次函数的几何变换： 1. 一次函数的平移变换： ①一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 ②一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 2. 一次函数的对称变换： ①函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的自变量 不发生变化 ，函数值变为原来的 相反数 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 ②函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的函数值 不发生变化 ，自变量变为原来的 相反数 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 知识点九：一次函数的应用 1. 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 关键点：①分段函数各段的函数解析式． ②各个拐点的实际意义． ③函数交点的实际意义． 2. 一次函数的综合： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围． 易错点1对函数的核心定义理解不到位 易错提醒 忽略函数“对于自变量x的每一个确定取值，因变量y都有唯一确定的值与之对应”的要求，常会将一个x对应多个y的关系错误判定为函数，例如把非函数类曲线的对应关系错认为函数。针对这一问题，避错的核心方法是牢记判断依据：若要判断一个关系是否为函数，可以使用“竖线检验法”，用垂直于x轴的直线移动截取对应图像，若直线与图像始终只有一个交点，才符合函数定义。 【对点训练】1．如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的定义，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论． 【详解】解：A、由图象可知，对于给定的的值，都有2个值与其对应，故此选项能表示不是的函数，符合题意； B、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； C、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； D、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量和，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，熟练掌握此定义是解题的关键． 易错点2 求解自变量取值范围时漏考虑限制条件 易错提醒 部分题目中自变量同时受分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、实际情境约束等多个条件限制，解题时常只考虑其中一类条件，导致结果出错，尤其容易忽略实际问题中自变量需符合实际意义，例如表示数量、长度的自变量不能取负数或非整数。避开这类错误的方法是：先找出所有限制条件，分别求出每个条件下自变量的范围，再取所有范围的交集得到最终结果，涉及实际应用的问题，得到结果后要再结合实际情境验证合理性。 【对点训练】2．函数的自变的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】从二次根式的意义，分式有意义的条件两个方面去思考求解即可． 【详解】∵ 有意义， ∴x-2≥0， ∴x≥2， ∵ 是分式， ∴ ≠0， ∴x≠2， 综上所述， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个条件，并灵活运用是解题的关键． 易错点3 混淆变量与常量 易错提醒 在动态变化的实际问题中，容易误将随条件变化的量当成常量，或是反过来把固定不变的量当成变量。例如在“路程一定，研究速度与时间的关系”问题中，错把路程当成变量。避错的方法就是紧扣定义判断：在问题研究的过程中，数值保持不变的量才是常量，发生变化的量是变量，判定的时候先明确问题研究的过程再下结论。 【对点训练】3．汽车在匀速行驶过程中，路程s、速度v、时间t之间的关系为s＝vt，下列说法正确的是（　　） A．s、v、t都是变量 B．s、t是变量，v是常量 C．v、t是变量，s是常量 D．s、v是变量，t是常量 【答案】B 【分析】根据常量和变量的定义进行判断，在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量. 【详解】解：汽车在匀速行驶过程中，速度v不变，是常量，t、s是变量； 故选B． 【点睛】本题主要考查了常量和变量的定义，在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量，判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况. 易错点4判定一次函数或正比例函数时，忽略一次项系数不为零的限制条件 易错提醒 这类问题多在含参数的函数判定题中出现，例如给定函数y=(k+1)x|k|+k，要求判定k取何值时该函数为一次函数，不少同学只会根据x的次数为1得到|k|=1，解得k=±1，漏掉了一次项系数k+1≠0的限制，最终保留了k=-1这个错误结果。避开这类错误的方法是：牢记一次函数的定义要求，形y=kx+b（k、b为常数）的函数，必须满足k≠0才是一次函数，若要判定为正比例函数，还需要额外满足b=0，判定参数取值时一定要把限制条件全部列出，再筛选出符合要求的结果。 【对点训练】4．．若函数是一次函数，则m值为(    ) A．2 B．-2 C．-2或2 D．3 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义列出关于m的方程并解方程找到合适的解即可． 【详解】∵函数是一次函数， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 易错点5错记k、b对一次函数图像位置的影响 易错提醒 判断图像经过象限或根据象限判断参数范围时出错。例如已知一次函数y=kx+b满足k>0、b<0，不少同学会错记规律，误认为图像经过第一、二、四象限。避错的方法是不要死背结论，可以通过取特殊点确定图像位置：令x=0，y=b，可知函数与y轴交于(0,b)，b>0时交点在y轴正半轴，b<0则在负半轴；再结合k的符号判断增减性，k>0时y随x增大而增大，图像从左下到右上，k<0时y随x增大而减小，图像从左上到右下，结合两个特征就能准确判断图像经过的象限，不会出错。 【对点训练】5．．一次函数，y随x的增大而减小，且，则它的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据给出的条件可知从而得出函数经过二、四象限，再结合题意得出经过轴的正半轴上的点，从而得出结论． 【详解】解：一次函数，y随x的增大而减小， ， 函数经过二、四象限， ， ， 函数经过轴的正半轴上的点． 故选：C． 易错点6利用一次函数的增减性求参数的多解问题 易错提醒 .1.增减性判断混淆:误以为(k>0)时函数必增，忽略自变量范围限制(如只在某区间讨论)。 2.多情况遗漏:参数同时影响(k)和常数项，或需分段讨论。 3.端点取等问题:比较函数值大小时，临界点是否取等判断不清，导致参数范围边界错误。 4.实际约束忽略:实际问题中自变量有隐含范围(如时间非负)，未纳入增减性分析。注意事项: 先定k符号:由y=kx+b中k的正负确定整体增减趋势。 分类讨论参数:参数出现在k位置时，分别讨论k>0、k<0、k=0。 注意区间单调:若定义域不是全体实数，只在给定区间内讨论最值。 检验端点:参数边界值代入验证是否满足题意(如函数值大小关系)。 数形结合:画出草图，直观判断直线走向与参数关系。 【对点训练】 6已知一次函数，当自变量的取值范围是时，相应的函数值的范围是，则 ． 【答案】或． 【分析】根据题意，分别求得当，时的函数值，分根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】当时，, 当时，， ∵， 当时， ∴， ∴， 解得：，， 当时，， 则，解得:或（舍去） ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 易错点7求解一次函数平移问题时，记错左右平移的规律 易错提醒 混淆“左加右减”的作用对象。不少同学会误将“左加右减”用在常数项$b$上，例如将y=2x+3向左平移1个单位，错写成y=2x+3+1，即y=2x+4。避错的方法是牢记平移规律中，左加右减是针对自变量x本身做变化，上下平移才是针对常数项做变化，平移的时候先对x调整，再整理解析式就能得到正确结果。 【对点训练】7．把直线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用一次函数的平移规律即可解答． 【详解】解：把直线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 易错点8解决一次函数与实际问题结合的题目时，忽略自变量的实际取值范围 易错提醒 忽略自变量的实际取值范围，导致画图像或者求解函数值时出错。例如用函数表示“用长度为XX的铁丝围矩形，矩形面积与一边长的关系”，不少同学会直接写出解析式后把图像画成完整的直线或抛物线，忘记边长本身必须为正，另一边也必须为正，因此自变量只能在某个正区间内取值，图像也只是对应区间上的一段。避开这类错误的方法是：拿到实际应用问题，先根据实际意义确定自变量的所有限制条件，求出取值范围后再分析函数性质、绘制图像或求解。 【对点训练】8．陕西洛川盛产苹果，政府要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的苹果共50亩，两种苹果的成本和售价如下表所示： 品种 成本（万元/亩） 售价（万元/亩） A 1.1 2.2 B 1.3 2.7 设种植A品种苹果x亩，若50亩地全部种植两种苹果共获得利润y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若A品种苹果的种植亩数不少于B品种苹果种植亩数的1.5倍，则种植A品种苹果多少亩时利润最大?并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式； （2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润． 【详解】（1）解：； （2）由题可知：，解得：， 又∵， ∴， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 一、单选题 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义，在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，判定即可． 【详解】解：∵A、C、D的图象都满足对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应， ∴A、C、D的图象能表示是的函数；故A、C、D选项不符合题意； B的函数图象，对任意的一个值，y的对应值都有两个，不符合函数的定义，故此选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义的应用是解题关键 2．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．x>-2且 D．且 【答案】D 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x+2≥0且x-1≠0， 解得x≥-2且x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0）的形式，进行求解即可． 【详解】解：∵y＝（m+2）x|m|﹣1-5是一次函数 ∴|m|﹣1＝1，m+2≠0 ∴m＝±2且m≠﹣2 ∴m＝2 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的定义. 4．已知一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，由，时，函数的图象经过第一、二、四象限，即可得出； 【详解】解：根据一次函数的性质，，， 故，， 函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：B； 【点睛】本题考查了一次函数的性质．一次函数的图象经过的象限由k、b的值共同决定，有六种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小； ⑤当，时，函数的图象经过第一、三象限； ⑥当，时，函数的图象经过第二、四象限． 5．已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（    ） A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 【答案】C 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：由一次函数性质知，当时，y随x的增大而增大，所以得， 解得， 即； 当时，y随x的增大而减小，所以得， 解得， 即． ∴的值为或16． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数的性质,要注意根据一次函数图象的性质解答． 二、填空题 6．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】x⩾1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得： 则有 ， 解得：x⩾1. 故答案为x⩾1 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，掌握运算法则是解题关键 7．若函数是一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征: ，自变量的次数为1；常数项可以为任意实数. 8．将直线向左平移1个单位长度，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】根据左加右减的原则计算即可． 【详解】直线向左平移1个单位长度，则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移概率是解题的关键． 9．已知，一次函数的图象不经过第三象限，且点，在该函数图象上，则 0（用“＞、＜、＝”连接） 【答案】＜ 【分析】由一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，b＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合1＞−1，即可得出y1＜y2． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴k＜0，b＞0， ∴y随x的增大而减小． 又∵点（1，y1），（−1，y2）在一次函数的图象上，且1＞−1， ∴y1＜y2， ∴ ， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k＜0，b＞0⇔的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 10．已知一次函数，当自变量x的取值范围是时，对应的因变量y的取值范围是，那么的值为 ． 【答案】6或10 【分析】本题分情况讨论①时，对应；②时，对应． 【详解】解：①时，由题意得：时，， ∴； ②时，由题意得：时，， ∴； 综上，的值为6或10． 故答案为：6或10． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解． 三、解答题 11．已知，则函数是什么函数？当x时，函数值y是多少？ 【答案】一次函数， 【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再把a和b的值代入函数解析式即可判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴函数是一次函数， 当x时， ． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 12．已知一次函数. （1）为何值时，随的增大而减小？ （2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ （3），分别是何值时，函数图象经过原点？ （4）当，时，求这个一次函数的图象与两个坐标轴的交点. 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）图象与轴交点为，与轴交点为 【分析】（1）由y随x的增大而减小利用一次函数的性质可得出6+3m＜0，解之即可得出结论； （2）根据一次函数的定义结合一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论； （3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式以及关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）将，代入得出一次函数表达式，分别令x=0，y=0，即可求出函数与坐标轴交点坐标. 【详解】（1）当，即时，随的增大而减小. （2）当，即时，函数图象与轴交点在轴下方. （3）当，， 即，时，函数的图象过原点. （4）当，时，一次函数为： . 当时，； 当时，. 所以图象与轴交点为，与轴交点为 【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出6+3m＜0；（2）根据题意，找出关于m、n的一元一次不等式；（3）根据题意，找出关于m的一元一次方程及关于n的一元一次不等式；（4）利用一次函数与坐标轴交点的知识解答． 13．已知一次函数． (1)求证：该函数图象过点． (2)若点，在函数图象上，当时，求k的取值范围． (3)当时，得，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)k＜0 (3)k的值为2 【分析】（1）令x＝1，得y＝−1即可得证； （2）根据题意得出y随x的增大而减小，然后根据一次函数的性质即可得出结论； （3）由题意可知点（0，−3）、（3，3）在一次函数y＝k（x−1）−1（k≠0）的图象上，则有：−k−1＝−3，求解即可解决问题． 【详解】（1）解：在y＝k（x−1）−1（k≠0）中令x＝1，得y＝−1， ∴该函数图象过点（1，−1）； （2）解：∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在一次函数y＝k（x−1）−1（k≠0）的图象上，且（x1−x2）（y1−y2）＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0； （3）解：由题意可知点（0，−3）、（3，3）在一次函数y＝k（x−1）−1（k≠0）的图象上， 则有：−k−1＝−3， 解得k＝2， ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 14．已知直线，记为． (1)填空：直线可以看做是由直线向______平移______个单位得到； (2)将直线沿x轴向右平移4个单位得到直线，解答下列问题： ①求直线的函数解析式； ②若x取任意实数时，函数的值恒大于直线的函数值，结合 图象求出m的取值范围． 【答案】(1)上；1或左；2 (2)①直线的函数解析式为；② 【分析】（1）根据解析式的图象得出结论即可； （2）①根据直线沿x轴向右平移4个单位得到直线，得出直线过点(4，0)，进而得出解析式即可；②根据题意画出函数的图象，结合图象得出结论即可． 【详解】（1）如下图所示，是由向上平移1个单位得到的，或向左平移2个单位得到的； 故答案为：上，1或左，2； （2）①∵当沿x轴向右平移4个单位后经过点(4，0)， ∴平移得到的直线的函数解析式为； ②如下图所示，画出的图象， 的函数图象可以看作是沿x轴水平移动m个单位， 当时，向右平移m个单位， 当时，向左平移m个单位， 要是函数的值恒大于直线的函数值，则函数的图象位于直线的上方， 由函数图像可知当m<4时函数的图象位于直线的上方， ∴m的取值范围为m<4． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，图形的平移等知识是解题的关键． 15．某地为了保证库存防寒物资的安全，决定将甲、乙两仓库的防寒物资全部转移到A，B两仓库．已知甲库有防寒物资80吨，乙库有防寒物资50吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为60吨，从甲、乙两库到A，B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨防寒物资运送1千米所需费用）． 路程/千米 运费/（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A库 30 20 12 10 B库 25 25 10 8 (1)若甲库运往A库防寒物资x吨，请写出将防寒物资运往A，B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． (2)当甲、乙两库各运往A，B两库多少吨防寒物资时，总运费最少，最少的总运费是多少？ 【答案】(1)，且； (2)甲库运往A库防寒物资20吨，可得甲库存运往B库防寒物资为60吨，乙库存运用A库的防寒物资为50吨，乙库存运用B库的防寒物资为0吨，最少的总运费是元． 【分析】（1）由甲库运往A库防寒物资x吨，求得甲库存运往B库防寒物资为吨，乙库存运用A库的防寒物资为吨，乙库存运用B库的防寒物资为吨，根据距离和运费求解即可； （2）根据一次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：由甲库运往A库防寒物资x吨，可得甲库存运往B库防寒物资为吨，乙库存运用A库的防寒物资为吨，乙库存运用B库的防寒物资为吨， 由题意可得：，解得 则总费用 化简可得，且； （2）由（1）得，且； ∵ ∴随的增大而增大 又∵ ∴时，最小，为元， 此时，甲库运往A库防寒物资20吨，可得甲库存运往B库防寒物资为60吨，乙库存运用A库的防寒物资为50吨，乙库存运用B库的防寒物资为0吨，最少的总运费是元． 【点睛】此题考查了列函数关系式，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系，正确求得函数解析式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $