第7期 13.1 三角形中的边角关系-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

4 素养·拓展 A 数理招 数学来源于生活，又 专题辅导8一 数眼看世界 广泛应用于生活.三角形 的应用在生活中随处可 三 角形内角和的“黄金搭档避 三角形出谋划策 见，下面让我们一起领略 ◎河南 胡慧芳 三角形的魅力吧！ 三角形内角和定理是初中数学的重要定理 A.30° B.60° 问题迎刃而解 陕西 一、三角形的三边关 之一，常常与平行线、角平分线、垂线等结合在 C.90° D.120° 系献计 起考查.下面举例加以说明，供同学们参考， 解析：因为∠BDC=120°，所以∠DBC+ 崔毕峰 例1如图1，A,B 一、平行线 ∠DCB=180°-∠BDC=60°.因为BD和CD 为池塘岸边两点，小明在 例1如图1，直线a∥b, 分别是∠ABC,∠ACB的平分线，所以∠ABC= 直角△ABC的顶点A在直线b 2∠DBC,∠ACB=2∠DCB.所以∠ABC+ 池塘的一侧取一点0，测 上，已知∠B=90°，∠C= ∠ACB=2(∠DBC+∠DCB)=120°.所以∠A 得0A=16米，0B= 30°，边AC,BC与直线a分别相 =180°-（∠ABC+∠ACB)=60° 12米，则A,B间的距离 交于点D,E,若∠CED=50° 故选B. 可能是 则∠1的度数为 ( 图 三、垂线 A.30 B.40° 例3如图3，在 C.50 D.60° △ABC中，∠C=90°，点D 解析：因为∠CED=50°，∠C=30°，所以在AC上，DE1AB.若 ∠CDE=180°-∠CED-∠C=100°.因为∠B∠ADE=120°，则∠B的 图1 图3 A.25米B.30米C.35米 =90°，所以∠BAD=180°-∠B-∠C=60°.度数为 ( D.40米 因为a∥b,所以∠1+∠BAD=∠CDE=100° A.40 B.50 解析：如图1，连接AB.因为OA=16米，OB 所以∠1=100°-∠BAD=40° C.60 D.70° =12米，所以OA-OB<AB<OA+OB,即 故选B. 解析：如图3，设直线DE交AB于点F.因为 4米<AB<28米.结合四个选项知，A,B间的 二、角平分线 DE⊥AB,所以∠AFD=90°.因为∠ADE= 距离可能是25米.故选A. 例2如图2，在△ABC 120°，所以∠ADF=180°-∠ADE=60°.所以 二、三角形的稳定性献力 中，∠ABC和∠ACB的平分线 ∠A=180°-∠AFD-∠ADF=30°.因为∠C 例2要使图2的木架 相交于点D.若∠BDC =90°，所以∠B=180°-∠C-∠A=60° 不变形，至少需要再钉上木 120°，则∠A的度数为( 故选C 条 ( ) 第5期2版参考答案 三、13.(1)-1. A.1根 B.2根 图2 12.2.3.1一次函数与一元一次方程 (2)该一次函数的表达式为y=-2x-2. C.3根 D.4根 基础训练1.C:2.D;3.x=-1; 14.(1)这个一次函数的表达式为y=-4x+12 (2)依题意，得-4x+12>2x,解得x<2. 解析：根据三角形的稳定性可知，要使六边形 4.x=5. 5.(1)这个一次函数的表达式为y=2x-4 15.(1)直线L1的函数表达式为y=2x+4. 木架不变形，至少需要再钉上3根木条.故选C (2)x=2. 三、三角形的内角献策 (②图路报揭图象可刻方程粗化：的解 (3)因为A(0,-4),B(3,2),所以S=形0= 例3汽车大灯通常由灯 反光镜 1-41.3=6. 为x=-1, Ly=2. 泡、反光镜和配光镜三部分组 12.2.3.2一次函数与一元一次不等式 16.(1)直线AB的函数表达式为y1=x+6 成.如图3，光源位于焦点处，光 基础训练1.A;2.A;3.x>2;4.-2. (2)-3,3. 5.(1)x>-2. 线经反射后平行于地面射出，已 (3)关于x的不等式kx+b<-2x-3的解集为x (2)①x<1. <-3. 知∠1=20°，∠3=56°，则∠2 ②因为一次函数y=k:+b的图象经过点A(-2, 17.(1)%1=0.4x(x≥0)，2= 6(0≤x≤10)， 的度数为 o.以-1所0e[2 0.2x+4(x>10) A.20° B.26° C.36 D.76 (2)①B. 次函数y=kx+b的表达式为y=x+2.在y=x+2中 ②当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收 解析：由题意得，AB∥CD.所以∠DEF= 当x=1时，y=3,所以C(1,3).所以-2+a=3.所以费相差3元 ∠3=56°.所以∠CEF=180°-∠DEF= a=5 附加题(1)将C(1,a)代入y=2x,得a=2.将 124°.因为∠1=20°，所以∠2=180°-∠CEF 能力提高6.-1<x<宁 C1,2)代入y=-之+6，得-7+6=2解得6= -∠1=36°.故选C 12.3一次函数与二元一次方程 例4如图4，经测北D 基础训练1.A;2.C;3.B;4.(-2,-4); 2 量，B处在A处南偏西 5.三 of 57°方向上，C处在A处 6图略方程，2解是公 ly=-2 (3)存在因为点P在y=2x的图象上，所以设点P 南偏东15°方向上，C处 7.（1)根据题意，得y1=0.5×0.009x+49= 的坐标为(，2).对于y=-7x+弓，当x=0时y 0.0045x+49,y2=0.5×0.04x+18=0.02x+18. 在B处北偏东82°方向上，则∠C= (2)两种灯的使用费用一样，照明时间是2000小时. 3:当)=0时=5.所以A(0,),B(5,0).所以0A 解析：由题意得，∠BAE=57°，∠CAE= (3)小刚选节能灯合算理由略 5 15°，∠CBD=82°.所以∠BAC=∠BAE+ 第5期3版参考答案 .0B=5所以三角形B0P的面积为：×5× ∠CAE=72°.因为AE∥BD,所以∠ABD= 题号12345678 121=51t1,三角形A0P的面积为：？×之x11= LBAE=57°.所以∠ABC=∠CBD-∠ABD 答案AB AA CA D A =25°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC= 二、9.x=1;10.无解；11.(2,4)； 子11.当511=子11+5时，解得11=所以 83°.故填83°. 121,2)或(-，-号 4=±手所以点P的坐标为（，）或(-手，-》 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话， 2025年8月13日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 7期总第1151期 沪科 0351-5271248 数评橘 八年级(AH) 第6期综合测评卷 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 参考答案 、1.B;2.D 3.D:4.D: 名师点睛 5.D:6.A; 7.C;8.A; 本周主讲 9.B;10.C 活学活用三角形的三边关 二、11.x=2, 13.1三角形中的边角关系 y=3; 12.4;13.<; ©内蒙古孙艳 学习目标：1.了解三角形及其顶点、角、边， 9 三角形的三边之间存在如下关系：“三角形 考点二、确定三角形的第三边长 会对三角形进行简单的分类 15.(-4,0). 中任意两边的和大于第三边”和“三角形中任意 例2三根底端对齐的木棒 2.掌握三角形的角平分线、中线和高，理 三、16.(1)直线 两边的差小于第三边”.利用这个关系可以解决 中有一根被挡板遮住了，它们的长 解重心的概念 AB的表达式为y= 4 与三角形三边有关的题目，现举例剖析如下 度如图所示.若三根木棒可以围成 认知重点：1.掌握三角形的三边关系，会判 考点一、判断三条线段能否组成三角形 3 三角形，则第三根木棒的长度可以 断三条线段能否构成三角形 例1 下列长度的三条线段能组成三角形 (2)三角形ABM的 是 2.掌握三角形内角和定理 面积为6. 的是 A.2 B.3 17.(1)A(-1,0) A.3,3,6 B.3,5,10 3会判断三角形的形状 B(2,0),P(1,2) C.4或5 D.6 C.4,6,9 D.4,5,9 (2)S四边形P00B 解析：由图可知，有两根木棒的长度分别为 为2,4，则该三角形的周长是 解析：因为3+3=6，所以长度为3,3,6的三 10,7. A.6 B.8 条线段不能组成三角形，故选项A不符合题意； 18.(1)根据题意 C.10 D.8或10 得y1=0.25x+800,y2 因为3+5<10，所以长度为3,5,10的三条 设第三根木棒的长度是x 因为三根木棒可以围成三角形，由三角形的 解析：分两种情况讨论： =0.6x. 线段不能组成三角形，故选项B不符合题意； (2)当y=1500 因为4+6>9，所以长度为4,6,9的三条线 三边关系，得10-7<x<10+7,即3<x<17. 若腰长为4，则底边长为2,4+2>4，满足 时，0.25x+800= 由图中挡板高度为5，得3<x≤5. 三角形的三边关系，则此三角形的周长为：4+4 1500,解得x=2800, 段能组成三角形，故选项C符合题意； 即选择公路运输时，运 因为4+5=9，所以长度为4,5,9的三条线 结合四个选项可知，第三根木棒的长度可 +2=10: 送葡萄2800千克：0.6x 以是4或5 若腰长为2，则底边长为4,2+2=4，不满 =1500,解得x= 段不能组成三角形，故选项D不符合题意 2500,即选择铁路运输 故选C. 故选C 足三角形的三边关系，故不能构成三角形 时，运送葡萄2500 温馨提示：判断给定的三条线段能否组成 温馨提示：由三角形的三边关系得出第三 故选C. 克.所以选择公路运输 根木棒的长度，根据实际即可判断各选项是否 温馨提示：涉及等腰三角形边的问题时，一 运送的葡萄多. 三角形，关键是看三条线段是否满足任意两边 19.(1)一次函数 的和大于第三边.但在实际操作中，不必一一加 满足题意。 般需要分情况讨论，然后看它们是否满足三角 的表达式是y= 以验证，只需判断两条较短线段的长度和是否 考点三、计算等腰三角形的周长 形的三边关系，不满足的要舍去，既不能多解」 x+2. (2)点D的坐标是 大于最长线段的长即可， 例3 已知等腰三角形其中两边的长分别 也不能漏解 (0,2) (3)关于x的不等 “三线”是三角形的中线、角平分线、高这三 知识梳理 式-3x≥kx+b的解集 是x≤-1. 条重要线段的统称，它们在解题中有着广泛的 20.(1)80 应用。下面就请同学们一起欣赏“三线”的才艺 三 线”才艺大比拼 (2)CD段一次函 数的表达式为y=270x 吧！ ◎安徽顾荆州 -1050(5≤x≤15) 一、三角形的中线 故选C. 这三条高的位置根据三角形的形状而定.锐角 (3)由图可得，当 小亮回到家时，小明回 (1)三角形的中线是一条线段； 二、三角形的角平分线 三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角 家还需要25-15= (2)三角形的中线平分一条边： (1)三角形的角平分线是一条线段； 形有一条高在三角形的内部，有两条高恰好是 10(分钟)，由(1)可得 小明的速度为每分钟 (3)一个三角形有三条中线，这三条中线相 (2)三角形的角平分线平分一个内角； 它的两条直角边：钝角三角形最长边上的高在 80米，所以小明与家的 交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形 (3)三角形的三条角平分线相交于一点. 三角形的内部，另外两条较短边上的高在三角 距离为：80×10 = 800(米). 的重心 例2如图2，在△ABC 形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 21.(1)①3，-1,2. 例1 如图1，在△ABC中， 中，∠A=62°，∠B=74°，CD 例3如图3，AD,CE D,E,F分别为BC,AD,CE的中 是△ABC的角平分线，则 是△ABC的两条高，AB= ③由①得，一次函 点，且S△c=16,则阴影部分 ∠BDC的度数为 () 2,BC=6,CE=4.5,则AD 数y=kx+b的表达式 △AEF的面积为 ( A.72 B.789 图2 为y=3x-1.因为-次 的长为 图3 函数y=3x-1的图象 A.1 B.1.5 C.80° D.849 3 与x轴交于点C,所以 C.2 D.3 A. B.3 c(3,0). 所以 解析：因为∠A=62°，∠B=74°， 解析：因为SAAc=16,D为BC的中点， 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=449 C.4 S四边形OCD=S三角形ABD S三角形0c= ×2x1 所以Sam=2am=8. 因为CD是△ABC的角平分线， 解析：因为AD,CE是△ABC的两条高， 1 5 因为E为AD的中点， 所以∠BCD=7∠ACB=2 所以SAc=BC·AD= 2 AB·CE,即 (2)-1<k<1且 所以∠BDC=180°-∠B-∠BCD=84° k≠0. 所以S=号5m=4 64D=2×4.5. 因为F为CE的中点， 故选D 解得AD= 3 三、三角形的高 所以Sar=SaE=2. 一个三角形有三条高，这三条高交于一点， 故选A. 2 素养专练 数理极 13.1.2三角形中角的关系 13.1.3三角形中几条重要线段 跟踪训练 屋础训练 基础训练 GENZONGXUNLIAN 1.在△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，则∠B 1.如图1，AD是△ABC的中线，若BC=4,则 13.1三角形中的边角关系 的度数是 BD的长为 A.30° B.50° A.1 B.2 C.3 D.4 13.1.1三角形中边的关系 C.60° D.70° 垦础训练 2.一副三角板按如图1所示的方式摆放在 1.在△ABC中，AB=2,BC=6,则边AC的长 起，∠CED=45°，∠BAC=30°，则图中∠EBC的 可能是 ( ( ) 度数为 A.3 B.4 A.55° B.60° 图1 图2 C.5 D.8 C.65° D.75 2.如图2，在△ABC中，∠C=90°，D,E是BC 2.在下列长度的各组线段中，能组成三角形 边上的两点，BE=DE,AD平分∠CAE,下列说法 的是 ( 不正确的是 () A.1,2,4 B.1,4,9 A.AE是△ABD的中线 C.3,4,5 D.50,4,59 B.∠BAE=∠DAE=∠CAD E 3.如图1，图中共有 图1 图2 C.AD是△ACE的角平分线 个三角形，其中以BC 3.如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A= D.AC是△ABE的高 为边的三角形有一个： ∠BCD,则△BDC是 ( ) 3.如图3，在直角三角形ABC中，∠ACB= △BCE中，LECB所对的边是 A.锐角三角形 B.直角三角形 90°，BC=6,AC=8,AB=10,点P是线段AB上 一，边BC所对的角是 B 图1 C.钝角三角形 D.无法判断 的一动点，则线段CP的最小值为 4.一个三角形三个内角度数之比为1：2：3， 4.已知三角形的三边长分别为2，x,10,若x 则最大内角的度数为 为正整数，则满足条件的三角形有 个. 5.如图3，把三角形纸片ABC折叠，使得点B, 5.若等边三角形的三边长分别为2x-8,x+ 点C都与点A重合，折痕分别为DE,MN,若∠BAC 6,3y+2,则y的值为 =100°，则∠DAM= 图3 A 6.如图2，已知P是△ABC内一点，试说明： 4.如图4，在△ABC中，点M是△ABC的重 PA+PR+PC>(B+BC+AC). 心，连接AM并延长交BC于点D.已知DE和DF分 别为△ADB和△ADC的高，若AB=6,AC=8,DF =3,则DE= 图3 图4 5.如图5，△ABC 6.如图4，已知∠1=40°，如果∠2的一边与 ∠1的一边互相平行，且∠2的另一边与∠1的另 三边的中线AD,BE, CF的交点为G,若 图2 一边互相垂直，那么∠2的度数为 7.如图5，在△ABC中，∠A=46°，∠ACE= S△Bc=27,则图中阴 影部分的面积是 ∠ECB,点B,C,D在同一条直线上，FD∥EC,∠D 图5 =42°，求∠B的度数 6.如图6，CD是△ABC的角平分线，DE∥ BC,∠2=∠3=40°，FH⊥AB于点H. (1)求∠1的度数； (2)求证：CD是△ABC的高 7.在△ABC中，AB=7,BC=2 (1)求AC长度的取值范围： (2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周 长，并判断此时△ABC的形状 能刀提高 7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长 分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长 为 () A.6 cm B.6cm或8cm C.8 cm D.5cm或9cm 数理报社试题研究中心 （参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(12分)已知a,b,c为△ABC的三边长 同步检测 (1)若a,b,c满足1a-b1+(b-c)2=0,试 判断△ABC的形状： TONGBUJIANCE (2)若a=5,b=2,且三角形的周长为奇数， 求c的值； 【检测范围：13.1】 (3)化简：la-b-cl-1b-c-al+la+b 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号1 2 3 45 6 7 8 答案 1.如图1，以点A为顶点的A 图6 图7 三角形有 ( ) 11.如图7，BE,CD的交点0是△ABC的重心， A.5个 B.4个 C.3个 若CE=专BC=4,BD=子BC,则△ABC的周长 D.2个 2.在△ABC中，若∠A= 是」 C 92°，则△ABC是 图1 12.如图8，点D,E,F分别在 A.锐角三角形 △ABC的AB,BC,AC边上，且AB B.直角三角形 ∥EF,BC∥DF.将△ABC沿DF C钝角三角形 翻折，使得点A落在点A'处，沿EF D.以上三种情况都有可能 翻折，使得点C落在点C'处，连接 17.(14分)问题情境：如图12-①，△ABC的 3.下列长度的四根木棒中，能与4cm,9m长FC,CC,.若∠A'FC'=36,则 两条角平分线BD,CE交于点P ∠B= 的两根木棒钉成一个三角形的是 探索发现：(1)若∠A=60°，则∠BPC的度数 A.4 cm B.5 cm C.11 cm D.15 cm 三、耐心解一解（共52分） ;若∠A=130°，则∠BPC的度数为 13.(8分)如图9，直线AB,CD被BC所截，连 4.体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图 形（如图2），点A,B,D在一条直线上，若∠1= 接AC,BD交于点E,∠A=25°，∠BCD=50°，CA 平分∠BCD.若∠ABD=70°，求∠D的度数. (2)试猜想∠A与∠BPC之间的数量关系，并 115°，则∠2的度数为 ( ) 说明理由. A.10° B.15c C.20° D.25° 拓展应用：(3)如图12-②，在△ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线交于点P,∠PBC和 ∠PCB的平分线交于点P,请直接写出∠A与 ∠P,之间的数量关系. A 图2 图3 5.如图3，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E,若∠BAC=86°，则∠ADE的度数为 A.47° B.43° C.50° D.40° 14.(9分)如图10，已知△ABC,请在图中分 6.若实数x,y满足1x-41+√y-9=0,则 别画出下列线段： 以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为( (1)△ABC的中线AD: ) A.17 (2)△ABD的角平分线DM; B.22 (3)△ACD的高线CN. C.17或22 D.13 7.如图4，在△ABC中，点D是BC的中点，连 接AD,点E在AD上.且能=号，BR1B于点R 若BC=12,EF=8,则△ABC的面积为( A.48 B.64 C.72 D.80 图10 附加题⊙ 15.(9分)如图11，在△ABC中，点D是边BC 上的一点，连接AD. (以下试题供各地根据实际情况选用) (1)若∠ADC=60°，∠B=2∠BAD,求 【概念呈现】设一个钝角三角形的两个锐角为 ∠BAD的度数； a与B,如果2α+B=90°，那么我们称这个钝角三 图5 (2)若AD平分∠BAC,∠B=40°，∠ADC= 角形是“倍余三角形”. 8.如图5，E,F是△ABC的边AB,AC上的点，65°，试说明△ABC是直角三角形. 【特例感知】(1)若一个三角形的三个内角分 点D在点A的上方，若∠B+∠C=60°，∠D= 别为15°，60°和105°，则这个三角形 “倍 70°，则∠1+∠2的度数为 余三角形”（填“是”或“不是”）； A.50°B.60°C.65°D.70° 【深入探究】(2)在Rt△ABC中，∠B=90°， 二、细心填一填（每小题4分，共16分） ∠C=36°，点D是边BC上一点，连接AD,若 9.如果三角形的三边长分别是3,4,1-2a,则 △ADC是“倍余三角形”，求∠ADB的度数， a的取值范围是 10.如图6，CD是△ABC的高，且CD平分 ∠ACB,∠BAC=70°，∠CFE=25°，则∠CEF= 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)八年级数学沪科(AH)第6~9期 °拨理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH)第6~9期 第6期综合测评卷 (3)关于x的不等式-3x≥kx+b的解集是x≤-1. 题号12345678910 20.(1)由题意可得3000，：1000=80（米/分）.故填 25 答案BDDDDACAB C 80. 二1.=2,12.4：13.<；14号 9 (2)由图象可得函数过(5,300)，(15,3000)这两点，设 ly=3: ≤≤5 CD段一次函数的表达式为y=kx+b(5≤x≤15)，把(5， 15.(-4,0). 300),(15,3000)代入，可得 5k+b=300,解得 三、16.(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A(-2, 115k+b=3000, k= 4 0),B1,4A)代人，得2+6=0，解得 3 k=270,所以CD段一次函数的表达式为y=270x- 所以直线 lb=-1050. k+b=4. 8 b= 1050(5≤x≤15). 3 (3)由图可得，当小亮回到家时，小明回家还需要25-15 4 8 AB的表达式为y=3x+3 =10(分钟)，由(1)可得小明的速度为每分钟80米，所以小明 (2)记直线AB与y轴的交点C,因为将直线AB向下平移 与家的距离为：80×10=800（米）. 4个单位长度后得到直线l,直线l与y轴交于点M,所以CM= 21.(1)①3，-1,2. 4.所以三角形ABM的面积=S角6v+S=之CM小 ②/=1， ly=2. -1=7×4×(1+2)=6 ③由①得，一次函数y=x+b的表达式为y=3x-1. 17.(1)对于y=x+1,当y=0时，有x+1=0,解得x= 因为一次函数y=3x-1的图象与x轴交于点C,所以C(分 -1.所以A(-1,0).对于y=-2x+4,当y=0时，有-2x+ 1 4=0新得=2所以以20条方程里：4，得 0)所以=Sm-S既=之x2x1-乞× 号x1=名 6 x=1·所以P(1,2), y=2.1 (2)将B(0,-1)代入y=kx+b,得b=-1.所以直线BD (2)对于y=x+1,当x=0时，y=1,则Q(0,1).所以 的函数表达式为y=x-1.联立=红-1解得 Ay=x+1. Sga6m=5”-S有5网=分X3x2-分×1×1 -2 x=1-k 2 k+1 所以点D的坐标为（是 y=- 1-F 18.(1)根据题意，得y1=0.25x+800,2=0.6x. (2)当y=1500时，0.25x+800=1500,解得x=2800, 因为点D始终在第三象限，所以是<0且-十<0 即选择公路运输时，运送葡萄2800千克；0.6x=1500,解得x 解得-1<k<1且k≠0. =2500,即选择铁路运输时，运送葡萄2500千克.所以选择公 第7期2版 路运输运送的葡萄多. 13.1三角形中的边角关系 19.(1)将P(m,3)代入y=-3x,得-3m=3.解得m= 13.1.1三角形中边的关系 -1.所以P(-1,3).把B(1,1),P(-1,3)代入y=kx+b,得 基础训练1.C;2.C;3.8,4,BE,∠BEC;4.3; 「+6：1，解得，1所以一次函数的表达式是y 5.6. L-k+b=3. b=2. 6.在△ABP中，根据三角形的三边关系，得PA+PB>AB. -x+2. 同理，PB+PC>BC,PA+PC>AC (2)点D的坐标是(0,2) 以上三式相加，得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC 八年级数学沪科(AH)第6~9期 所以PA+PB+PC>(4B+BC+AC). 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=25°. 因为AD平分∠BAC, 7.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB-BC< 所以∠BAC=2∠BAD=50, AC<AB+BC,即5<AC<9. 所以∠B+∠BAC=90° (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇数，所以 所以△ABC是直角三角形， AC的长为奇数. 16.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0, 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的周长 所以a-b=0,b-c=0. 为：9+7=16，△ABC是等腰三角形 所以a=b,b=c. 13.1.2三角形中角的关系 所以a=b=c. 基础训练1.D;2.D;3.B;4.90°；5.20°； 6.50°或130°. 所以△ABC是等边三角形 (2)因为a=5,b=2, 7.因为FD∥EC,∠D=42°，所以∠ECB=42 所以5-2<c<5+2,即3<c<7. 因为∠ACE=∠ECB,所以∠ACB=2∠ECB=84°. 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB=50° 因为三角形的周长为奇数， 13.1.3三角形中几条重要线段 所以c是偶数 基础训练1.B;2.B;3.4.8;4.4;59. 所以c=4或6. 6.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, (3)由三角形的三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b> ∠DCB=∠2=40°. 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠DCB= 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b 80° C. 所以∠1=80. 17.(1)120°，155°. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. (2)猜想：∠BPC=0+7∠A理由如下： 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90° 所以∠CDB=90°. 因为△ABC的两条角平分线BD,CE交于点P, 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高 所以∠PBC=LABC,∠PCB=方LACR 能力提高7.B. 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC+ 第7期3版 ∠PCB=180°， 题号12345678 答案BC CDABDA 所以LBPC+(∠ABC+LACB)=∠BPC+(I0 -∠A)=180° 二、9.-3<a<0;10.115°；11.26；12.72 三、13.因为CA平分∠BCD,∠BCD=50°， 所以∠BPC=0°+LA 所以∠BCA=25°. (3)由(2)，得∠P=90+2∠A,2P=90°+∠P 1 因为∠A=25°， 所以∠ABC=180°-∠A-∠BCA=130°. 因为∠ABD=70°， 所以∠P,=0°+7∠P=90°+2(90°+7∠A)= 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=130°-70°=60°. 135+4 因为∠BCD=50°， 所以∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-60°-50°= 附加题(1)是. 70° (2)由△ADC是“倍余三角形”，∠ADC是钝角，分情况讨 14.图略. 论： 15.(1)因为∠ADC=60°， ①当2∠DAC+∠C=90°时，2∠DAC+36°=90°，解得 所以∠ADB=180°-∠ADC=120°. ∠DAC=27°， 所以∠B+∠BAD=180°-∠ADB=60°. 所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=117°. 又因为∠B=2∠BAD, 所以∠ADB=180°-∠ADC=63°. 所以3∠BAD=60°. ②当2∠C+∠DAC=90°时，即2×36°+∠DAC=90°， 解得∠BAD=20° 解得∠DAC=18°， (2)因为∠ADC=65°， 所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=126°. 所以∠ADB=180°-∠ADC=115°. 所以∠ADB=180°-∠ADC=54°. 因为∠B=40°， 综上所述，∠ADB的度数是63°或54°. 2 八年级数学沪科(AH)第6~9期 第8期2版 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30 13.2命题与证明 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=方∠BAC=15 13.2.1命题 基础训练1.C;2.B; 所以∠AEC=∠B+∠BAE=55° 综上所述，∠AEC的度数为75°或55°. 3.三个角是三角形的内角，它们的和等于180°： 4.两个角互为对顶角，这两个角相等； 第8期3版 5.答案不惟一，如14. 题号12345678 6.(1)逆命题为：若ab>0,则点(a,b)位于第一象限.是 答案C BBABC CA 假命题 二、9.两个角是同位角，这两个角相等；10.110°； (2)逆命题为：三个角都是60°的三角形是等边三角形. 是真命题 1如架？=么那么a=6,真：1210e 7.∠1，∠2（或∠2，∠1）；∠C;两直线平行，内错角相等； 三、13.(1)如果两个角的和等于平角，那么这两个角互为 ∠C;同位角相等，两直线平行. 补角.是真命题 能力提高8.因为AB,CD相交于点O(已知)，所以 (2)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.是假命题. ∠AOC=∠D0B(对顶角相等).因为OE,OF分别是∠AOC, (3)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形的面 ∠D0B的平分线（已知），所以∠1=子∠A0C,∠3= 积也相等.是假命题 14.(1)因为∠ACD=120°，AB∥CD,所以∠CAB=60°. 7∠D0B(角平分线的定义).所以∠1=∠3（等量代换）.因 因为∠ABE=40°， 所以∠BEC=∠CAB+∠ABE=1O0°. 为∠A0D+∠2+∠3=180°（平角的定义），所以∠AOD+∠2 (2)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180° +∠1=180°（等量代换）.所以OE与OF在同一条直线上. 因为∠ACD=∠BEC,所以∠BEC+∠CAB=180° 13.2.2三角形内角和定理的证明及推论 因为∠BEC+∠AEB=18O°，所以∠CAB=∠AEB. 基础训练1.D;2.C:3.33°；4.15. 因为∠EBW=∠CAB+∠AEB,所以∠EBN=2∠BAC. 5.两直线平行，同位角相等；180°；对顶角相等；∠GAE, 15.平角的定义，已知；同角的补角相等；内错角相等，两直 ∠FAG,∠DAF;等量代换. 线平行：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；对 6.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=∠BDC=90°. 顶角相等；等量代换。 因为∠DEC=70°，所以∠DCE=90°-∠DEC=20°.因为CE 16.(1)因为∠B=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°- 平分∠ACB,所以∠ACB=2∠DCE=40°.因为∠A=70°，所 ∠B-∠C=80°. 以∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-40°=70°. 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC= 能力提高7.20°或60° 13.2.3三角形的外角及推论 2∠BAC=40 基础训练1.A;2.25° 所以∠EDF=∠BAD+∠B=80. 3.因为CE平分∠ACD,∠DCE=40°，所以∠ACD= 因为EF⊥BC,所以∠E=90°-∠EDF=10°. 2∠DCE=80°. (2)因为∠BAC=180°-∠B-∠C,AD是△ABC的角平 又因为∠B=50°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=30°. 分线，所以∠BAD=(180°-∠B-∠C), 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=20°. 能力提高4.因为AD为△ABC的高，所以∠ADB=90°. 所以∠EDF=∠BAD+LB=90°-∠C+号∠B 又因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50° ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示 因为EF⊥BC,所以∠E=90°-∠EDF=(LC-∠B) 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70° 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=2∠BAC=350 =2m9, 17.(1)90,40. 所以∠AEC=∠B+∠BAE=75°. (2)由(1)知∠PBC+∠PCB=90°.所以∠ABP+∠ACP =180°-∠A-∠PBC-∠PCB=90°-∠A. (3)(2)中的结论不成立.结论：∠ACP-∠ABP=90°- ∠A.理由如下： 设AB与PC交于点D,图略. E D 因为∠PDB=∠ADC,所以∠P+∠ABP=∠A+∠ACP 图1 图2 因为∠P=90°，所以∠ACP-∠ABP=∠P-∠A=90° ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示. ∠A. 一3 八年级数学沪科(AH)第6~9期 附加题(1)①55.②65 (2)因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAC=2∠BAD ③∠BGE=90°-分∠A理由如下： =70°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70° 19.(1)因为(a-3)2+lb-21=0, 因为BD平分LABC,所以∠DBC=∠ABC 所以a-3=0,b-2=0. 解得a=3,b=2. 因为EF∥BC, 因为c为方程1c-4|=2的解，所以c-4=±2. 所以∠F=∠DBC=∠ABC,∠CEF=∠C 解得c=6或2. 因为EG平分∠CEF, 因为a,b,c为△ABC的三边长，a+b<6,所以c=2. 所以∠FEG=LCEF=分LC 所以△ABC是等腰三角形. (2)因为∠A-∠B=36°，所以∠A=∠B+36°. 所以∠BGE=∠FEG+∠F=3∠C+分∠ABC= 因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B+36°+∠B+∠C =2∠B+∠C+36°=180°. 72c+∠AB0)=21s0-∠)=90°-7<A 所以2∠B+∠C=144①. 因为∠B-∠C=36②，所以①+②得3∠B=180°.解 (2)设EG交BC于点H,图略. 得∠B=60. 因为BD平分∠ABC,所以∠GBH=号∠ABC=号(180 因为∠A=∠B+36°，所以∠A=60°+36°=96°.所以 -∠A-∠C)=90-3∠A-∠C △ABC是钝角三角形. 20.因为AE平分∠CAD,所以∠CAF=∠DAF.由折叠得， 因为EF∥BC,所以∠CEF=180°-∠C,∠FEH= ∠BAD=∠DAF.所以∠CAF=∠DAF=∠BAD. ∠GHC. (1)因为∠B=40°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-∠B 因为EH平分∠CEP,所以∠FEH=之∠CEF=之(I80 -∠C=106所以∠CP=号∠BMC=35 -LC)=0°-2∠C=∠GHc. 由折叠得，∠E=∠B=40°. 因为∠EFC=∠C+∠CAF=∠EDF+∠E,所以∠EDF 所以∠BGE=∠GC-∠66H=90°-号∠c-(90- =30. (2)因为∠EDF=20°，所以∠ADB+∠ADE=200°. 2A-0=A 由折叠得，∠ADB=∠ADE. 第9期综合测评卷 所以∠ADB=100°.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B= 80°-∠B. 题号12345678910 所以∠BAC=3∠BAD=240°-3∠B. 答案ACBCACBBAD 因为∠B比∠C大10°， 二、11.同旁内角互补，两直线平行；12.6：13.20： 所以∠C=∠B-10° 14.74；15.110,(80+22m×60) 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即240°-3∠B +∠B+∠B-10°=230°-∠B=180°.解得∠B=50°. 三、16.(1)是真命题. 21.(1)115,25. (2)是假命题，反例如下：如图3，两 (2)∠DPC,∠Q的度数不会发生变化.理由如下： 条不平行的直线被第三条直线所截，很 因为∠A=50°，所以∠ACB+∠B=180°-∠A=130°. 显然同位角不相等。 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB.因为DP 17.(1)由三角形的三边关系，得 图3 r3c-4>c, 平分∠ADE,CP平分∠ACB,所以∠PDG=号∠ADE= l2c-6<c. 1 1 ∠B,∠ACP=∠PCB=2∠ACB.所以∠DPC=I80°- 解得2<c<6. (2)因为c为偶数，所以c=4. ∠PDG-∠PGD=180°-（∠ACB+∠B)=1I5e 所以a+b=8. 所以△ABC的周长为：a+b+c=12. 因为CQ平分LACF,所以LACQ=∠ACR.所以 18.(1)因为∠BED=55°，∠BAD=35°，所以∠ABE= ∠BED-∠BAD=20° ∠PCQ=∠ACP+∠ACQ=2(∠ACB+∠ACF)=90°.所以 因为BE为△ABD的角平分线，所以∠ABC=2∠ABE= ∠Q=∠DPC-∠PCQ=25°. 40°. 所以当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数不会发 因为AF是△ABC的高，所以∠AFB=90°.所以∠BAF= 生变化 90°-∠ABF=50°. (3)45°或60°或120°或135°. -4