2.1.1有理数的加法（分层作业，6大题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到创新应用，构建“概念理解-综合运用-思维创新”三阶知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解层级）|有理数加法的计算、符号规则、简单应用及运算律|基础题型（选择/填空/计算）为主，强化运算能力与抽象能力| |B组（掌握层级）|综合应用（如多情境问题解决、跨知识点整合）|情境化问题（水位/盈利），培养推理意识与应用意识| |C组（运用层级）|创新性问题（新定义运算、规律探究）|开放探究题型，发展创新意识与数学眼光|

分层作业 2.1.1 有理数的加法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数加法的计算 题型02 有理数加法中符号问题 题型03 有理数在实际生活中的应用 题型04 有理数加法的运算律 B组 能力进阶 题型 有理数的加法·综合应用 C组 思维拔高 题型 有理数的加法·创新性问题 有理数加法的计算题型01 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A．5 B． C．1 D． 3．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）下面给出的四个数中，使式子的结果为正数的是（   ） A．2025 B． C．2026 D． 4．计算： （1）_____； （2）_____=_____． 5．若，，且，那么的值是______． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 有理数加法中符号问题题型02 1．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 2．如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 3．已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．（1）与3的和的符号是________号“”或“”）； （2）与的和的符号是________号（填“”或“”）； （3）与的和的符号是________号（填“”或“”）； （4）与3的和的符号是________号（填“”或“”）． 5．用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 8．在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要弄清几个算式如何计算就可以了． (1)下列给出的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧， 可以帮助我们探究有理数加法法则的算式组合是（     ） A．①②③④⑤⑧    B．②③⑤⑥⑦⑧    C．①③④⑤⑥⑧    D．①②④⑤⑦⑧ (2)当时，若有，则a，b需要满足的条件是什么？ 有理数在实际生活中的应用题型03 1．水利勘察队沿一条河向上游走了千米，又继续向上游走了千米，然后又向下游走了千米，又向下游走了千米，这时勘察队在出发点的（   ）处． A．上游1千米 B．下游9千米 C．上游千米 D．下游1千米 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）北方某地10月10日早晨的气温是到中午上升了，那么中午的气温是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26上·上海·期中）上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 4．气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 5．（25-26上·上海·期末）小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 6．有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为 ____________千克． (2)与标准质量相比，这6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 7．一个病人每天需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160个单位（“+”表示收缩压比前一天上升，“-”表示收缩压比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 收缩压的变化/个单位 +30 -20 +15 +5 -20 (1)请算出星期五该病人的收缩压（要求先列式后计算）． (2)若收缩压大于或等于180个单位为重度高血压，该病人本周哪几天的血压属于这个范围？ 8．（24-25上·上海·期中）苏州河青浦段上周末的水位为米，下表是本周内水位的变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 根据上表，请计算哪天水位最高？本周日的水位是多少？ 有理数加法的运算律题型04 1．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 3．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 4．计算：______）][（______）]（______）（______）______． 5．计算：的结果是____． 6．计算：． 7．计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 8．（25-26七年级上·福建·月考）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 有理数的加法·综合应用题型 1．一家快餐店一周中每天的盈亏情况如下（盈利为正）：37元，-26元，-15元，27元，-7元，128元，98元，这家快餐店总的盈亏情况是（    ） A．盈利了290元 B．亏损了48元 C．盈利了242元 D．盈利了-242元 2．浙江的张阿姨准备在隆回花瑶步行街买一顶纯手工花瑶女帽、一条机绣女裙和一套花瑶男装作为旅游纪念，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示： 欲购买的商品 原价（元） 优惠方式 一顶纯手工花瑶女帽 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 一条机绣女裙 280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券 一套花瑶男装 300 付款时可以使用购物券，但不返购物券 请帮助张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案，此时，张阿姨买这三件物品实际所付出的钱的总数为_________元． 3．某餐馆一周每天的盈亏情况（盈余为正，亏损为负）如下：元，元，672元，元，85元，596元，455元．这一周总的盈亏数额是多少元? 4．某地第6路公交车从起点到终点共有8个站，一辆公交车由起点开往终点（到达终点时所有乘客均下车），在起点站始发时上了部分乘客，从第二站开始下车上车的乘客数如下表： 站次/人数 二 三 四 五 六 七 八 下车（人） 2 4 3 6 5 7 16 上车（人） 7 8 9 4 3 5 0 （1）直接写出起点站上车人数________； （2）汽车从第三站开往第四站途中车上共有多少乘客？ （3）公交车在哪两个站之间运行时车上乘客最多？是几人？ 5．我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负） (1)这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 6．某一出租车一天下午以辰山植物园南门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：+10，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在辰山植物园南门的什么方向？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 7．中秋节时，小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 (1)小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表，请把下列表格补充完整： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 (2)小雨看到包装说明上标记的总质量为克，他告诉妈妈这盒月饼的总质量在______克和______克之间是合格的，请你通过计算说明这盒月饼是否合格． 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）综合与探究 问题情境：如图，数轴上有四点A，B，C，D，它们表示的数分别是，6，1， 易知点A，B间的距离可以表示为，点A，D间的距离可以表示为，点B，C间的距离可以表示为 (1)【数学思考】若A，B两点在数轴上表示的数分别是和1，A，B两点间的距离可以表示为 ． (2)【深入探究】 如图，若点M，N在数轴上表示的数分别为，3，点P在数轴上表示的数为x，x为整数且满足条件，求的值． (3)如图，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为）上依次排列的6个工作台（包括点C，）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和． 有理数的加法·创新性问题题型 1．（24-25上·上海·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 2．将被3整除余数为1的正整数按照如图所示的规律排成一个三角形数阵，则第10行第9个数是_______． 3．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是____．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）小明定义了一种新的运算“◎”，写出一些按照“◎”运算法则进行运算的算式： ，， ，， ，． (1)计算：______；______；______． (2)计算：______．（括号的作用与在有理数运算中一致） (3)若整数满足，且，请直接写出的值． 5．计算： 6．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 7．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 8．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1.1 有理数的加法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数加法的计算 题型02 有理数加法中符号问题 题型03 有理数在实际生活中的应用 题型04 有理数加法的运算律 B组 能力进阶 题型 有理数的加法·综合应用 C组 思维拔高 题型 有理数的加法·创新性问题 有理数加法的计算题型01 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则， 根据有理数的加法法则逐项计算判断即可. 【详解】解：因为，所以A选项不符合题意； 因为，所以B选项不符合题意； 因为，所以C选项符合题意； 因为，所以D选项不符合题意； 故选：C. 2．计算的结果是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．根据有理数的加法法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：C． 3．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）下面给出的四个数中，使式子的结果为正数的是（   ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法运算、正负数等知识，熟练掌握有理数加法法则是解题关键． 根据有理数加法法则以及正负数的定义，逐项分析判断即可； 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项符合题意； D. ，本选项不符合题意． 故选：C． 4．计算： （1）_____； （2）_____=_____． 【答案】 0 0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：0； （2）， 故答案为：，0． 5．若，，且，那么的值是______． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的加法及绝对值，根据绝对值的意义确定出与的值，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 则或， 故答案为：或． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算； （1）根据有理数的加法进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法进行计算即可求解； （3）根据有理数的加法进行计算即可求解； （4）根据有理数的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加法可以解答本题； （2）根据有理数的加法可以解答本题； （3）根据有理数的加法可以解答本题； （4）根据有理数的加法可以解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法．有理数的加法法则：1.同号的两个数相加，取与加数相同的符号，并将它们的绝对值相加；2.异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两数相加得0． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3)11 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ． 故答案为：；； （3）解： ． 有理数加法中符号问题题型02 1．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 2．如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【答案】D 【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案． 【详解】解：∵两数和为正数， ∴绝对值大的数的符号为正， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解题的关键． 3．已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确． 【详解】解：当时，，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，，此时，故C选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小． 4．（1）与3的和的符号是________号“”或“”）； （2）与的和的符号是________号（填“”或“”）； （3）与的和的符号是________号（填“”或“”）； （4）与3的和的符号是________号（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法法则，根据两个加数的符号与绝对值大小，按照有理数加法法则即可判断和的符号． 【详解】解：根据有理数加法法则： （1）计算，两个加数同为正数，同号两数相加，取相同的符号，得： ，因此和的符号是正号． （2）计算，两个加数同为负数，同号两数相加，取相同的符号，得： ，因此和的符号是负号． （3）计算，两个加数异号，，，，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，得： ，因此和的符号是正号． （4）计算，两个加数异号，，，，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，得： ，因此和的符号是负号． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 5．用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 7．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 8．在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要弄清几个算式如何计算就可以了． (1)下列给出的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧， 可以帮助我们探究有理数加法法则的算式组合是（     ） A．①②③④⑤⑧    B．②③⑤⑥⑦⑧    C．①③④⑤⑥⑧    D．①②④⑤⑦⑧ (2)当时，若有，则a，b需要满足的条件是什么？ 【答案】(1)B (2)a和b同为负数或a为负数，b为非负数，且a的绝对值比b的绝对值大． 【分析】利用有理数的加法法则判断即可． 【详解】（1）解：根据②得出两个正数相加，根据③得出两个负数相加，根据⑤得出任何数和0相加，根据⑥得出一正一负相加且正数绝对值大，根据⑦得出一正一负相加且负数绝对值大，根据⑧得出互为相反数的两数相加. 故选：B. （2）解：当时，若有，则a，b需要满足的条件是a和b同为负数或a为负数，b为非负数，且a的绝对值比b的绝对值大． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 有理数在实际生活中的应用题型03 1．水利勘察队沿一条河向上游走了千米，又继续向上游走了千米，然后又向下游走了千米，又向下游走了千米，这时勘察队在出发点的（   ）处． A．上游1千米 B．下游9千米 C．上游千米 D．下游1千米 【答案】A 【分析】规定向上游走为正，向下游走为负，然后把所有数相加，即可得出答案. 【详解】解：规定向上游走为正，向下游走为负， ∴（千米）， ∴在上游1千米处. 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）北方某地10月10日早晨的气温是到中午上升了，那么中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法的应用，正确列式、熟练掌握加法法则是解题的关键． 用早晨的气温加上上升的温度列式计算即可． 【详解】． 故选：A． 3．（25-26上·上海·期中）上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，正负数的应用． 将盈利记为正数，亏损记为负数，计算四个季度的和即可． 【详解】解：∵第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万， ∴全年盈亏（万）． 故选：B． 4．气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据气温变化，使用有理数加法法则计算中午气温． 【详解】解：∵早晨的气温为，中午气温上升了， ∴中午气温为． 故答案为：． 5．（25-26上·上海·期末）小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 【答案】490 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法的应用，根据题意，总里程为实际多跑的里程与需要补跑的里程之和，即所有偏差的绝对值之和，由此计算即可得出结果，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故所有偏差的总里程为米， 故答案为：． 6．有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为 ____________千克． (2)与标准质量相比，这6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)24.5 (2)总计超过3千克 【分析】（1）根据正负数的意义，绝对值的意义，求得每个数据的绝对值，求得绝对值的最小值即可求解； （2）根据正负数的意义，将所有数据相加即可求解． 【详解】（1）解：∵|﹣3|＞|2|＝|2|＞|1.5|＞|1|＞|﹣0.5|， ∴﹣0.5的最接近标准，这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜的质量为： 25﹣0.5＝24.5（千克）； 故答案为：24.5； （2）由题意，得（﹣3）+2+（﹣0.5）+1+2+1.5＝3（千克）， 答：与标准重量比较，6筐白菜总计超过3千克． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，正负数的意义，有理数的加法的应用，掌握正负数的意义是解题的关键． 7．一个病人每天需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160个单位（“+”表示收缩压比前一天上升，“-”表示收缩压比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 收缩压的变化/个单位 +30 -20 +15 +5 -20 (1)请算出星期五该病人的收缩压（要求先列式后计算）． (2)若收缩压大于或等于180个单位为重度高血压，该病人本周哪几天的血压属于这个范围？ 【答案】(1)星期五该病人的收缩压为170个单位 (2)本周星期一、星期三、星期四这三天属于重度高血压范围 【分析】（1）根据每天的增长情况计算即可求解． （2）根据每天增长情况分别计算出每天的收缩压即可求解． 【详解】（1）解： =170（个单位） 答：星期五该病人的收缩压为170个单位． （2）周一血压为160+（+30）=190（个单位）， 周二血压为190+（-20）=170（个单位）， 周三血压为170+（+15）=185（个单位）， 周四血压为185+（+5）=190（个单位）， 周五血压为170个单位， 所以本周星期一、星期三、星期四这三天属于重度高血压范围． 【点睛】本题考查了正数与负数的意义、有理数的加法的应用，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键． 8．（24-25上·上海·期中）苏州河青浦段上周末的水位为米，下表是本周内水位的变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 根据上表，请计算哪天水位最高？本周日的水位是多少？ 【答案】本周五水位最高；本周日的水位高为米． 【分析】本题考查正数和负数，用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．计算出每一天的水位变化，比较即可得出答案，根据题中数据得出周日的水位． 【详解】解：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降： 周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：． 故本周五水位最高；本周日的水位高为米． 有理数加法的运算律题型04 1．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断． 【详解】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 3．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律，解题关键是掌握加法交换律、加法结合律．根据加法交换律和加法结合律进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 4．计算：______）][（______）]（______）（______）______． 【答案】 【分析】此题考查有理数的加减法，根据有理数加法交换律交换加数位置，根据简便算法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：，，，，． 5．计算：的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．计算：． 【答案】10 【详解】． 7．计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 8．（25-26七年级上·福建·月考）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) 解：原式 ． (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解： ． 有理数的加法·综合应用题型 1．一家快餐店一周中每天的盈亏情况如下（盈利为正）：37元，-26元，-15元，27元，-7元，128元，98元，这家快餐店总的盈亏情况是（    ） A．盈利了290元 B．亏损了48元 C．盈利了242元 D．盈利了-242元 【答案】C 【分析】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况． 【详解】∵37+(−26)+(−15)+27+(−7)+128+98=242（元）， ∴一周总的盈亏情况是盈利242元.故选择C. 【点睛】本题考查正数和负数、有理数的加法，解题的关键是掌握正数和负数、有理数的加法. 2．浙江的张阿姨准备在隆回花瑶步行街买一顶纯手工花瑶女帽、一条机绣女裙和一套花瑶男装作为旅游纪念，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示： 欲购买的商品 原价（元） 优惠方式 一顶纯手工花瑶女帽 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 一条机绣女裙 280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券 一套花瑶男装 300 付款时可以使用购物券，但不返购物券 请帮助张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案，此时，张阿姨买这三件物品实际所付出的钱的总数为_________元． 【答案】600 【分析】此题考查了有理数的加法在生活中的应用，结合实际生活经验确定运算顺序是解题的关键． 根据优惠方式，买花瑶男装时可以使用购物券，但不返购物券，故应最后买花瑶男装；买机绣女裙付款时返购物券但不可以使用购物券，故应首先买机绣女裙；于是购物顺序为机绣女裙、纯手工花瑶女帽、花瑶男装．据此计算即可得到张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数． 【详解】买一条机绣女裙先付280元现金，得200元购物券；将200元购物券与220元现金购买420元纯手工花瑶女帽一顶， 得200元购物券；将200元购物券与100元现金购300元花瑶男装一套． 张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（元）． 故答案为：600． 3．某餐馆一周每天的盈亏情况（盈余为正，亏损为负）如下：元，元，672元，元，85元，596元，455元．这一周总的盈亏数额是多少元? 【答案】盈利1545元 【分析】本题考查了有理数加法的应用、正负数的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． 将餐馆一周中每天的盈亏情况全部相加，得出总的盈亏情况即可解答． 【详解】解：（元）， ∴该餐馆一周总的盈亏情况是盈利1545元． 4．某地第6路公交车从起点到终点共有8个站，一辆公交车由起点开往终点（到达终点时所有乘客均下车），在起点站始发时上了部分乘客，从第二站开始下车上车的乘客数如下表： 站次/人数 二 三 四 五 六 七 八 下车（人） 2 4 3 6 5 7 16 上车（人） 7 8 9 4 3 5 0 （1）直接写出起点站上车人数________； （2）汽车从第三站开往第四站途中车上共有多少乘客？ （3）公交车在哪两个站之间运行时车上乘客最多？是几人？ 【答案】（1）7人；（2）16名；（3）四站到五站上车的乘客最多，是22人． 【分析】（1）根据下车的总人数减去上车的总人数得到起点站上车的人数即可； （2）根据前三站上车的人数减去下车的人数即可得到答案； （3）根据表格得出四站到五站上车的乘客最多，是20人． 【详解】解：（1）根据题意得：（2+4+3+6+5+7+16）-（7+8+9+4+3+5）=43-36=7（人）， 则起始站上车7人； 故答案为：7； （2）7+7+8-（2+4）=16（人） 所以，汽车从第三站开往第四站途中车上共有16名乘客； （3）第二站的乘客为7+7-2=12（人）； 第三站的乘客为12+8-4=16（人）； 第四站的乘客为16+9-3=22（人）； 第五站的乘客为22+4-6=20（人）； 第六站的乘客为20+3-5=18（人）； 第七站的乘客为18+5-7=16（人）； 第八站的乘客为16（人）， 则四站到五站上车的乘客最多，是22人． 【点睛】此题考查了有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． 5．我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负） (1)这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)这架飞机比起飞点高了千米． (2)这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 【分析】（1）本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，将题干中的数据相加求解，即可解题． （2）本题考查绝对值意义，以及有理数加法的实际应用，根据燃油消耗总量飞机上升消耗的燃油飞机下降消耗的燃油列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：（）， 上升记为正，下降记为负， 这架飞机比起飞点高了千米． （2）解：飞机上升消耗的燃油为：（升）， 飞机下降消耗的燃油为：（升）， （升）， 这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 6．某一出租车一天下午以辰山植物园南门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：+10，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在辰山植物园南门的什么方向？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)在辰山植物园南门向东1km处；(2)司机一个下午的营业额是141.6元． 【分析】(1)计算各数的和即可. (2) 计算各数绝对值的和即可得出总路程，再乘以单价即可计算出营业额. 【详解】解：(1)+10﹣3﹣5+4﹣8+6﹣3﹣6﹣4+10＝1km 所以出租车离出发点1km，在辰山植物园南门向东1km处． (2)10+3+5+4+8+6+3+6+4+10＝59(km)， 2.4×59＝141.6(元)， 答：司机一个下午的营业额是141.6元． 【点睛】本题考查正数与负数的应用，解题的关键是弄清要解决的实际问题与什么数量有关，再运用有理数的运算法则进行解答，本题属于基础题型． 7．中秋节时，小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 (1)小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表，请把下列表格补充完整： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 (2)小雨看到包装说明上标记的总质量为克，他告诉妈妈这盒月饼的总质量在______克和______克之间是合格的，请你通过计算说明这盒月饼是否合格． 【答案】(1) (2)422；418．这盒月饼在总质量上是合格的 【分析】（1）根据题意可知，标准质量为70克，据此可得结果； （2）求出6记录的数的和，判断其是否在至2之间即可得出答案． 【详解】（1）由题意，得标准质量为70克， ， 故答案为：； （2）， ∴他告诉妈妈这盒月饼的总质量在422克和418之间是合格的； ∵， ， ∴这盒月饼在总质量上是合格的． 故答案为：422；418． 【点睛】此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）综合与探究 问题情境：如图，数轴上有四点A，B，C，D，它们表示的数分别是，6，1， 易知点A，B间的距离可以表示为，点A，D间的距离可以表示为，点B，C间的距离可以表示为 (1)【数学思考】若A，B两点在数轴上表示的数分别是和1，A，B两点间的距离可以表示为 ． (2)【深入探究】 如图，若点M，N在数轴上表示的数分别为，3，点P在数轴上表示的数为x，x为整数且满足条件，求的值． (3)如图，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为）上依次排列的6个工作台（包括点C，）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容的应用． （1）仿照题干中表示两点间距离的方法可表示出A，B两点间的距离； （2）先根据题意得，，则，可得出点P不在点M，N之间，再分两种情况讨论：当点P在点N的右侧时，即时；当点P在点M的左侧时，即时，分别求解即可； （3）分别求出当工具台设置在表示的数为、、、、0、1、2的点时，6名工人所走的路程和，即可得出最小路程之和． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，，， 所以， 因为M，N两点之间的距离为7， 所以点P不在点M，N之间， 分以下两种情况讨论： 当点P在点N的右侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为4， 所以； 当点P在点M的左侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为， 所以． 综上所述，的值为或； （3）解：当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为0的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为1的点时，6名工作人员所走的路程和为． 综上所述，当工具台设置在表示的数为或的点的位置时，6名工人所走的路程之和最小，最小路程之和为． 有理数的加法·创新性问题题型 1．（24-25上·上海·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．将被3整除余数为1的正整数按照如图所示的规律排成一个三角形数阵，则第10行第9个数是_______． 【答案】160 【分析】规律题型关键在于观察规律性，从而推导出所要求的数值．这题应该从每行的数字的个数入手，然后从题意中的被3整除余1分析，最后得到答案． 【详解】解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…， 则前10行的数字有：个数， ∴第10行第10个数是：163， ∴第10行第9个数是：160， 故答案为： 160． 【点睛】本题考查了数字的摆放规律题型，多从每行每列的数字个数以及数值变化的规律观察，找到变化规律即可推导答案． 3．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是____．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）小明定义了一种新的运算“◎”，写出一些按照“◎”运算法则进行运算的算式： ，， ，， ，． (1)计算：______；______；______． (2)计算：______．（括号的作用与在有理数运算中一致） (3)若整数满足，且，请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解新运算的运算性质并熟练 应用是解题的关键． （1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）运用新定义运算法则进行计算即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：两个非零数进行“◎”运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行“◎”运算，或任何数和0进行“◎”运算，结果为正，取这个数的绝对值； 所以，； ； ； 故答案为：；；； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：当同号时， ∵整数满足，且，， ∴或； 当中有一个为0时， ∵整数满足， ∴或， ∵， ∴或， 综上，或或或． 5．计算： 【答案】 【分析】利用“拆项法”和加法交换律和结合律解题即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键． 6．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) 解：可以如下计算： 原式， 故答案为： (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）略 （2）解： 7．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都等于这个数的绝对值． (2) (3) 解：当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）略 8．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $