4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按销售盈亏、数字问题、比赛积分三大模块分类，通过典例提炼“审题设元-找等量关系-列方程求解”系统方法，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售盈亏问题|6题|分段计费/利润/配套问题：设元→找等量关系→列方程|实际问题→方程模型的应用| |数字问题|6题|数列/数表规律：观察规律→代数式表示→方程验证|数与式规律→方程应用| |比赛积分问题|6题|积分规则转化：分析规则→设胜负场数→列方程|规则→等量关系→建模|

4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 一、销售盈亏问题 1．某商品的定价是5元，元旦期间，该商品优惠活动：若一次购买该商品的数量，超过2千克，则超过2千克的部分，价格打8折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款． (1)根据题意，填写如表： 购买的数量/千克 2 4 … 付款金额/元 16 … (2)若一次购买的数量为x千克，请你写出付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式； (3)若某顾客一次购买该商品花费了38元，求该顾客购买商品的数量． 2．某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 3．某校为开运动会购买奖品，购买100本大笔记本和200本小笔记本，共花去2400元，其中大笔记本比小笔记本每本贵3元，请你用一元一次方程的知识解决如下问题： (1)求大笔记本和小笔记本的单价各是多少元？ (2)后因学校将中考体育选项“排球垫球”加入运动会比赛项目，又去购买大小笔记本共30本． ①若每本单价不变，购买大小笔记本30本能刚好用去250元吗？请说明理由． ②若购30本笔记本后又买了一支笔共花去250元，笔的价格不超过5元，则这支笔的价格是多少元？ 4．利用一元一次方程解应用题：某潮玩店清仓热门动漫盲盒手办，推出如下两种促销方案：①直接按定价的7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损30元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满100元减10元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利50元．求每个盲盒的定价为多少元? 5．某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 6．某家居专营店用2730元购进A、B两种新型玻璃保温杯共60个，这两种玻璃保温杯的进价、标价如表所示： 价格/类型 A型 B型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 (1)这两种玻璃保温杯各购进多少个？ (2)若A型玻璃保温杯按标价的9折出售，B型玻璃保温杯按标价的8.5折出售，且在运输过程中有2个A型、1个B型玻璃保温杯不慎损坏，不能进行销售，请问这批玻璃保温杯全部售出后，该家居专营店共获利多少元？ 二、数字问题 7．观察下面三行数： 2，，，，，，① ，，，，，，② 2、、14、、62、，③ (1)第①行第8个数是 ；第n个数是 ； (2)分别说出第②行第8个数是 ；和第③行第8个数是 ； (3)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 8．将连续的偶数2，4，6，8…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？请说明理由． 9．观察下面有一定规律的三组数： ①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， (1)每组的第个数分别是________，________，________； (2)第二组和第三组的第个数分别是________和________；（用含的式子来表示） (3)取每组的第个数，若这三个数的和为，求的值． 10．如图，在的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行、同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等．下图是小兰同学要填的幻方，其中有三格被涂黑了，请你根据幻方的填数规则，求出的值． 11．如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数吗？请说明理由 12．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 三、比赛积分问题 13．学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了 3名参赛学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)答对1道题得______分，答错或不答1道题扣______分； (2)请求出 C同学答对的题数； (3)若分数在80分（包含 80分）以上的为优秀，若参赛学生小亮只答对了17道选择题，则小亮的得分是否达到优秀呢? 14．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 15．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 16．某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3名参赛同学的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)每答对一道题得 分，答错一道题扣 分． (2)参赛者D得了88分，他答对了多少道题？ 17．某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 18．在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分． (1)班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？ (2)班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) 填表如下： 购买的数量/千克 2 4 … 付款金额/元 10 16 18 … (2)当时，；当时， (3)该顾客购买商品的数量为9千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据总价=单价×数量结合优惠政策，可分别求出购买2千克和4千克时所需费用； （2）根据题意即可找出y与x之间的函数关系式； （3）由（2）的结论结合某顾客一次购买该商品花费了38元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：购买2千克时，付款金额为（元）； 购买4千克时，付款金额为（元）； （2）解：∵一次购买该商品的数量，超过2千克，则超过2千克的部分，价格打8折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款， ∴当时，， 当时，； （3）解：依题意有， 解得：． 答：该顾客购买商品的数量为9千克． 2．(1)该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件 (2)现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意得： ， 解， 此时， 答：该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件． （2）解：设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意得： ， 解得． 答：现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 3．(1)大笔记本的单价是10元，小笔记本的单价是7元 (2)①不能，理由见解析；②1元或4元 【分析】（1）设大笔记本的单价是元，则小笔记本的单价是元，根据共花去2400元建立方程，解方程即可； （2）①设购买大笔记本本，则购买小笔记本本，建立方程，解方程，结合为正整数解答即可； ②设购买大笔记本本，这支笔的价格是元，则购买小笔记本本，建立方程，化简可得，再结合均为正整数，且解答即可． 【详解】（1）解：设大笔记本的单价是元，则小笔记本的单价是元， 由题意得：， 解得， 则， 答：大笔记本的单价是10元，小笔记本的单价是7元． （2）解：①设购买大笔记本本，则购买小笔记本本， 由题意得：， 解得，不是正整数，不符合题意， 所以若每本单价不变，购买大小笔记本30本不能刚好用去250元． ②设购买大笔记本本，这支笔的价格是元，则购买小笔记本本， 由题意得：， 整理得：， ∴，， ∵是正整数，且， ∴也是正整数， 又∵这支笔的价格不超过5元，即， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：这支笔的价格是1元或4元． 4． 每个盲盒的定价为450元 【分析】根据两种促销方案下盲盒的成本价相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个盲盒的定价为元， 方案①中，7折出售价为元，亏损30元， ∴成本价； 方案②中，9折出售价为元，叠加满100减10后实际售价为元，盈利50元， ∴成本价元； ∵两种方案下成本价相同， ∴， 解方程得， 答：每个盲盒的定价为元． 5．(1)每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； (2)套装销售了套． 【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设套装销售了套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元． 解得 答：每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； （2）设套装销售了套，则 解得 答：套装销售了套． 6．(1)39个；21个 (2)635元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设购进A型玻璃保温杯x个，则购进B型玻璃保温杯个，根据A型保温杯的总进价型保温杯的总进价，列出方程求解即可； （2）根据总利润等于总售价减去总成本，列式计算即可． 【详解】（1）解：设购进A型玻璃保温杯x个，则购进B型玻璃保温杯个．由题意可得∶ ， 解得∶， 所以（个）． 答：购进 A 型玻璃保温杯39 个，购进 B 型玻璃保温杯21个； （2）解： （元）． 答：该家居专营店共获利635 元． 7．(1)； (2)； (3)存在这样一列，分别是256，254，510． 【分析】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出各行之间数的变化规律是解答此题的关键． （1）根据第①行每个数都是2的乘方得到，偶数个数的系数为负，据此即可求解； （2）利用第②③行与第①行的大小关系即可得出答案； （3）利用已知规律得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第①行：第n个数是， 第8个数是； 故答案为：；； （2）解：观察数据， 第②行第n个数是第①行第n个数减2； 第③行第n个数是第①行与第②行第n个数的和； ∴第②行第8个数是；第③行第8个数是； 故答案为：；； （3）解：存在， 由题意得，同一列的数字符号相同， ∴这三个数都是正数， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 解得， ∴存在这样一列，分别是256，254，510． 8．(1) (2) 不能等于2024，不能等于2025，理由如下： 设十字框中五个数之和等于2024，则， 解得：，此时不是整数，不符合题意，舍去； 设十字框中五个数之和等于2025，则， 解得：，此时不是偶数，不符合题意，舍去； ∴十字框中五个数之和不能等于2024，不能等于2025． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）设中间的数为a，由图可得十字框中五个数分别为、、、、，将这五个数相加即可求解； （2）设十字框中五个数之和等于2024和2025，求出对应的值，再根据题意即可解答． 【详解】（1）解：设中间的数为a， 则十字框中五个数之和为， ∴十字框中五个数之和为； （2）略 9．(1)，，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了数字的规律，一元一次方程的应用，解题的关键是仔细观察题目，归纳出每组数据的一般规律，并用代数式表示． （1）分别找出每组数的规律，写出每组数的第个即可； （2）根据（1）中找出的规律，即可进行解答； （3）将表示三组数据规律的代数式相加等于，求解即可． 【详解】（1）解：可得第一组数据第个为， 可得第二组数据第个为， 可得第三组数据第个为， ∴第一组数据第个为， 第二组数据第个为， 第三组数据第个为， 故答案为：；；； （2）由（1）可知：第二组和第三组的第个数分别是，； （3）设第一组的第个数为，则第二组的第个数为，第三组第个数为， 列方程得：， 解得：， ， ． 10．的值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 答：的值是5． 11．(1)7 (2) 仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍； (3) 不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由得，， 则余1， 所以中间数289排在第1列， 则它的左上方和左下方没有数字， 所以用这样的“工”字形框不能框出和为2023的七个数． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2023，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（倍）； （2）略 （3）略 12．(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 13．(1)5，2 (2)C同学答对12道题 (3)小亮的得分没达到优秀 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据表格信息列式计算即可； （2）设C同学答对了x道题，则答错或不答道，根据C同学得44分，列方程求解即可； （3）根据小亮答对17题，求出小亮得分，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，A学生答对20道题，得100分，则答对1道题得（分）， 根据B学生答对18道题，答错或不答题数为2，得分为86分，则答错一题扣（分）， 故答案为：5；2． （2）解：设C同学答对了x道题，则答错或不答道，根据题意得： ， 解得：， 答：C同学答对12道． （3）解：∵小亮得分为：， ∴小亮的得分没达到优秀． 14．(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 15．(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2) 胜场总积分不能等于负场总积分．理由如下： 设胜场，则负场． 依题意得， 解得． 因为为整数，所以不符合题意． 故胜场总积分不能等于负场总积分． 【分析】（1）设胜一场积分，负一场积分，根据表格中的数据列出方程组，解之即可；（2）设胜场数是，则负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于负场总积分，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分．根据题意， 得， 解得， 所以． 故胜一场积2分，负一场积1分． （2）略 【点睛】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，恰当地设未知数并正确地列方程是解题的关键． 16．(1)5，1 (2)18道 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）答对一道题的得分参赛者A的总得分参赛者A答对题目数，答错一道题扣的分答对一道题的得分参赛者B答对题目数参赛者B的总得分，即可求解； （2）设参赛者D答对了x道题，则答错了（）道题，等量关系式：参赛者D的总得分参赛者D答对题目数答错题目数，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：每答对一道题得（分）， 答错一道题扣（分）． 故答案为：5，1； （2）解：设参赛者D答对了x道题，则答错了（）道题， 根据题意得：， 解得：． 答：参赛者D答对了18道题． 17．(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 18．(1) 场 (2) ①胜平负； ②胜平负； ③胜平负； ④胜平负； ⑤胜平负； ⑥胜平负．（任意两种正确结果即可） 【分析】（1）设班胜了场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得到胜场数； （2）设班胜场，平场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的胜、平、负场次组合． 【详解】（1）解：设班胜了场， ∵一共场比赛，负了场， ∴平的场数为场， 根据总积分为分列方程：， 化简得， 解得， 答：班胜了场； （2）解：设班胜场，平场（为非负整数，且）， ∵总积分为分， ∴，即 取非负整数解即可： ①，则；即负场，即胜平负； ②，则负场，即胜平负； ③，则负场，即胜平负； ④，则负场，即胜平负； ⑤，则负场，即胜平负； ⑥，则负场，即胜平负（任选两种写出即可）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $