精品解析：浙江省台州市书生中学2025-2026学年高三上学期8月开学考试数学试题

高三上学期8月开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，点满足，且直线与轴平行，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为或 C. 若为准线上任意一点，则直线的斜率成等差数列 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处有极值，则实数________． 13. 已知向量满足，，且，则________． 14. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点在棱上． （1）若为中点，证明：； （2）若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知双曲线经过点，动直线与恰有1个公共点，且与的两条互相垂直的渐近线分别交于点. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）过的右焦点作两条互相垂直的直线，且与交于两点，与交于两点，若的中点为的中点为，求证：直线与轴垂直. 19. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线过原点，求实数的值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期8月开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合A，再由集合的交集运算即可. 【详解】由题意知，， 则． 故选：C． 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算可得. 【详解】由，得． 故选：A． 3. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选：C． 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 6. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】应用等比数列片段和的性质有，，成等比数列，列方程求即可. 【详解】由题意及等比数列前n项和的性质，得，，成等比数列， 则，即，解得或（舍）. 故选：A 7. 已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合点与圆的位置、点到直线的距离公式求解判断. 【详解】由点在圆C外，得，则圆心C到直线l距离， 因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心C到直线l距离，则， 因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用已知条件结合赋值法及累加法得出得，再应用偶函数性质得出函数值即可. 【详解】因为，恒成立， 令，则恒成立，即， 所以， 所以，，，…，， 以上各式两边分别相加，得， 在中，令，得， 因为为偶函数，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，先确定众数落在区间上，中间值为7.5，A正确；B选项，根据平均数的定义进行计算；C选项，中位数落在中，利用中位数的定义计算出答案；D选项，先得到分位数落在中，利用百分位数定义得到答案. 【详解】A选项，1000名用户购买手机价格的众数落在区间上，中间值为7.5，A正确； B选项，同一组中的数据用该区间的中点值代表， 故平均数为，B正确； C选项，，，故中位数落在中， 中位数为，C错误； D选项，，， 故分位数落在中， 1000名用户购买手机价格的分位数为，D错误． 故选：AB 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由正弦定理计算判断即可；B选项由余弦定理计算判断即可；C选项由三角形面积公式计算判断即可；D选项利用余弦定理可求得，进而可得，结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确； 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误； 的面积为，故C正确； 由余弦定理，得，因为，所以， 因为，是的角平分线，所以， 所以. 在中，由正弦定理，得·解得，故D错误. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，点满足，且直线与轴平行，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为或 C. 若为的准线上任意一点，则直线的斜率成等差数列 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算进行求解；B选项，由得，结合韦达定理求出，，代入求出t即可求得直线l的斜率；C选项，设，分别写出直线的斜率，代入并利用韦达定理进行化简验证其等于零即可判断；D选项，由知，从而，代入的表达式化简即可. 【详解】由题意知，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 由得，所以， 则，所以，故A正确； 因为，所以，所以，又，解得或，所以或，即直线的斜率为或，故B错误； 设，则， 所以 ， 即，则直线的斜率成等差数列，故C正确； 如图所示，过点作，垂足为，又，所以，又， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处有极值，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出并检验极值的存在. 【详解】因为，，在处有极值， 所以，所以，解得． 经检验时，， 当或时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，函数在处有极大值，满足题意． 故答案为：. 13. 已知向量满足，，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，平方后结合，可得，解方程即可. 【详解】由，得，即， 整理得，解得，或（舍去）． 故答案为：2. 14. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由化简推得，即可判断为等差数列，继而求出和，代入，根据等式恒成立，对应系数成比例，求得和的值即可. 【详解】因为，所以当时，有， 两式相减得，所以， 所以数列是以m为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 则， 所以， 又因为对任意的，等式恒成立，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的表达式，利用最小正周期即可求出的值； （2）写出的表达式，即可求出的单调递增区间. 【小问1详解】 由题意， 在中， ， ∵的最小正周期为， ∴，解得. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，， ∴， 当单调递增时，，， 解得，， ∴的单调递增区间为． 16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，得到，结合条件证明平面，得证； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，利用夹角公式列式求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 则． 设异面直线与所成角为， 则 ， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以. 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为是否喜欢体育运动与性别有关联 （2）X分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据时间分组统计表，完成列联表，根据参考公式计算，对照附表作出相应判断. （2）根据(1)中的列联表，求出分层随机抽样抽取的8人中的男女人数，并求出随机变量X的可能取值及对应的概率，写出相应分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得， 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 【小问2详解】 从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为． X的所有可能取值为0，1，2，其中，，. 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 18. 已知双曲线经过点，动直线与恰有1个公共点，且与的两条互相垂直的渐近线分别交于点. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）过的右焦点作两条互相垂直的直线，且与交于两点，与交于两点，若的中点为的中点为，求证：直线与轴垂直. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程得到渐近线方程，再由渐近线垂直得到，然后结合点在双曲线上解方程组可得； （2）分当动直线的斜率不存在和存在时讨论，当存在时，设出直线方程，直曲联立，令判别式为零结合渐近线方程解出点坐标，再由点到直线的距离公式表示出，然后由三角形的面积公式计算； （3）当直线与的斜率都存在时，设直线的方程为，直曲联立，表示出韦达定理，由中点坐标公式得到点坐标，再将换成得到点坐标可得；当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时与当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时由特殊值验证即可. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线垂直可得，所以. 将点代入，得，解得， 所以的方程为. 小问2详解】 证明：当动直线的斜率不存在时，. 当动直线的斜率存在时，不妨设直线， 故由得， 从而，化简，得. 又因为双曲线的渐近线方程为， 由得所以，同理可得， 所以， 又原点到直线的距离， 所以，又，所以. 综上所述，的面积为定值1. 【小问3详解】 证明：由题意可得，双曲线的右焦点为， 当直线与的斜率都存在时，设直线的方程为， 由得， 且， 所以， 因为点是的中点，所以. 因为，所以将换成，得. 因为点与点的纵坐标相同，所以直线与轴垂直， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得； 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，易得. 所以直线的方程为，与轴垂直. 综上所述，直线与轴垂直. 19. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线过原点，求实数的值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出含参的切线方程，再将原点坐标代入求出值； （2）利用函数是增函数，导数大于或等于0，求出的取值范围； （3）利用导数求一个函数的最小值等于另一个函数的最大值，且不在同一点取得，从而得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， ， 因为的图象在点处的切线过原点，所以，所以. 【小问2详解】 令，则对成立， 所以在上是增函数，所以时，， 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以， 即的取值范围是. 【小问3详解】 证明：要证，只要证. 令， 易知在上是增函数，且， 所以在上存在一个实数，使得，且在上单调递减，在上单调递增. 于是其极小值点满足， 也即，① 函数的极小值，亦为最小值为. 令，则， 令，因为在上是增函数，所以在上是减函数， ， ， 所以存在唯一一个数，使得，且当时，； 当时，， 于是其极大值点满足，即，② 函数的极大值，亦为最大值为 ， 结合①②及函数在上是增函数且知，且. 即的最小值与的最大值相等，所以， 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $