第3章 整式及其加减 全章复习讲义 - 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学整式及其加减全章复习讲义以“学习目标—知识框架—要点解读”为主线构建体系，通过全章知识框架表格系统呈现代数式、整式加减等模块的核心知识点、关键法则及易错点，结合要点提示解析去括号符号处理等难点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，夯实基础部分涵盖代数式概念辨析、整式加减运算等基础题型，综合提升部分通过日历规律探究、整体代入求值等题型培养抽象能力和推理意识，每个题型配解题技巧如“先化简后代入”，助力不同层次学生提升，同步检测可支持学生自主复习与教师精准教学。

专题 3.4 整式及其加减全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 【学习目标】 2 【重点】 2 【难点】 2 【全章知识框架】 2 二.知识梳理与解读 3 【知识点一】代数式 3 【知识点二】单项式与多项式 3 【知识点三】整式的加减 4 【知识点四】探索与表达规律 4 三.题型精析（夯实基础） 5 【题型 1】代数式与整式的概念辨析 5 【题型 2】单项式系数、次数 7 【题型 3】多项式的项、项数、次数 8 【题型 4】同类项辨析与合并同类项 10 【题型 5】整式的加减运算 12 【题型 6】化简求值 13 【题型 7】列代数式解决实际问题 15 四.题型精析（综合提升） 17 【题型 8】同类项概念的综合应用 17 【题型 9】整式加减的综合运算 20 【题型 10】整式加减的整体代入求值 22 【题型 11】日历与图形中的规律 25 【题型 12】数与式规律的探究 30 【题型 13】图形规律的探究 33 五.同步检测 36 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 36 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 一.学习目标与重难点 【学习目标】 1. 系统掌握代数式、单项式、多项式、整式的概念，能准确识别和分类； 2. 熟练掌握单项式的系数和次数、多项式的项和次数的确定方法； 3. 理解同类项的概念，熟练掌握合并同类项和去括号法则； 4. 能熟练进行整式的加减运算，掌握化简求值的方法； 5. 能运用代数式表示实际问题中的数量关系，掌握探索规律的一般方法； 6. 培养观察、分析、归纳和推理能力，体会从特殊到一般的数学思想。 【重点】 1. 代数式、单项式、多项式、整式的概念及相关概念（系数、次数、项）； 2. 合并同类项法则和去括号法则； 3. 整式的加减运算及化简求值。 【难点】 1. 去括号时括号前是“-“号的处理； 2. 整式加减运算中符号的处理； 3. 用代数式表示实际问题中的数量关系及规律探究。 【全章知识框架】 模块 核心知识点 关键概念与法则 易错点 代数式 代数式的概念、代数式的值 用运算符号连接数和字母；单独一个数或字母也是代数式 代数式不含“=”、“”“”等关系符号 整式 单项式、多项式、整式 单项式的系数和次数；多项式的项和次数 是常数不是字母；多项式次数是最高项次数 整式加减 同类项、合并同类项、去括号 同类项系数相加，字母和指数不变；去括号看符号 括号前是“-“号，各项都要变号 探索规律 日历规律、图形规律、数字游戏、数论规律 观察—归纳—猜想—验证—应用 规律要验证，注意n的取值范围 二.知识梳理与解读 【知识点一】代数式 1. 代数式的定义 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 2. 列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 3. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。 【要点提示】 （1）代数式中不含“=”、“”、“”等关系符号，含有关系符号的是等式或不等式，不是代数式； （2）数与字母相乘时，数写在字母前面，如2a不写a2；除法写成分数形式； （3）求代数式的值分两步：①代入（注意负数和分数加括号）；②计算（按运算顺序）； （4）整体代入法是常用技巧：已知某个代数式的值时，将所求式子变形为含有已知式子的形式。 【知识点二】单项式与多项式 1. 单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 （1）系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号）； （2）次数：单项式中所有字母的指数的和。 2. 多项式 几个单项式的和叫做多项式。 （1）项：多项式中的每个单项式（包括前面的符号）； （2）常数项：多项式中不含字母的项； （3）次数：多项式中次数最高的项的次数。 3. 整式 单项式与多项式统称为整式。 【要点提示】 （1）π是常数，不是字母，所以πr²的系数是π，次数是2； （2）单独一个非零数的次数是0，单独一个字母的系数是1、次数是1（1省略不写）； （3）多项式的每一项都包括它前面的符号，移项或合并时要注意符号； （4）多项式的次数不是所有项次数之和，而是次数最高的项的次数； （5）分母中含有字母的代数式不是整式（是分式）。 【知识点三】整式的加减 1. 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3. 去括号法则 （1）括号前是“+“号，去掉括号和前面的“+“号，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“-“号，去掉括号和前面的“-“号，原括号里各项的符号都要改变。 4. 整式加减的一般步骤 先去括号，再合并同类项。 【要点提示】 （1）同类项与系数无关，与字母排列顺序无关，如2a²b与-3ba²是同类项； （2）不是同类项的不能合并，合并时系数相加要注意符号； （3）去括号是最易错点：括号前是“-“号时，括号内每一项都要变号，不能只变第一项； （4）括号前有数字因数时，要将数字因数与括号内各项分别相乘（乘法分配律）； （5）化简求值题要“先化简，再代入”，可以简化计算，避免直接代入的复杂运算。 【知识点四】探索与表达规律 1. 探索规律的一般步骤 观察（特殊情况）→ 归纳（变化规律）→ 猜想（代数式表示）→ 验证（代入检验）→ 应用（解决问题）。 2. 常见规律类型 （1）日历中的规律：33方框9个数之和=9中间数；十字形5个数之和=5中间数； （2）图形中的规律：等差规律（）、二次规律（）等； （3）数字游戏：设字母表示数，按规则列式化简找关系； （4）数论规律：被2、3、5、9整除的数的特征。 【要点提示】 （1）探索规律的核心是“从特殊到一般”：先观察前几个特殊情况，再归纳一般规律； （2）验证规律必不可少，可代入=1,2,3等特殊值检验； （3）图形规律常用“差分法”：计算相邻两项的差，差相等为等差规律，差成等差为二次规律； （4）数字游戏设两位数为、三位数为，按规则列式化简； （5）注意规律中字母的取值范围（通常n为正整数）。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】代数式与整式的概念辨析 【例题1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可． 解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 【变式1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． （1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【变式2】（2025·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 【变式3】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）李老师买了3个篮球，每个篮球元，付给售货员258元，且付的钱足够，表示______． 【答案】售货员找回李老师的钱数 【分析】本题考查代数式表示的意义，掌握知识点是解题的关键． 付给售货员的钱减去购买篮球的总价，即为找回的钱数 解：付给售货员258元，购买3个篮球每个x元，总价为元，因此表示售货员找回李老师的钱数． 故答案为：售货员找回李老师的钱数． 【题型 2】单项式系数、次数 【例题2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式1】（24-25七年级上·河南焦作·期中）a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律探究，观察单项式得到变化规律是解题关键． 观察单项式的符号、系数、指数变化规律，得到第n个单项式为，代入即可． 解：由单项式可知，第n个单项式为， 代入得， 即第7个单项式为． 故答案为：． 【题型 3】多项式的项、项数、次数 【例题3】（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）多项式的项是________，次数是________． 【答案】 ，， 3 【分析】多项式中每个单项式都是该多项式的项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 解：多项式的项是，，； 的次数是， 的次数是， 是常数项，次数为， ∴该多项式的次数为3． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解． 解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·周测）单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 【答案】 / 三 三 【分析】根据单项式系数的定义确定单项式的系数，根据多项式次数与项数的定义确定多项式的次数和项数即可. 解：单项式的系数为. ， 该多项式中次数最高项为，次数为3，共有3个单项式，因此该多项式是三次三项式. 【解题技巧】概念辨析“抓定义”：①单项式是数与字母的乘积，单独一个数或字母也是单项式；②多项式是几个单项式的和；③单项式的次数是所有字母指数和，系数是数字因数（含符号）；④多项式的次数是次数最高项的次数。注意π是常数，不是字母。 【题型 4】同类项辨析与合并同类项 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）不正确，改正为；（2）不正确，与不是同类项，不能合并；（3）不正确，改正为；（4）正确 【分析】先判断各小题中的项是否为同类项，再根据合并同类项的规则验证计算是否正确，错误的予以改正． 解：（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：，原式正确． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，每个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“”所表示的单项式与对面正方形所表示的单项式是同类项，则“”所表示的单项式可能是_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答． 解：由图得，“”所表示的单项式与是同类项，可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型 5】整式的加减运算 【例题5】（24-25七年级上·全国·期末）计算： 【答案】 解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、去括号法则逐项判断即可． 解：A：与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项不合题意； D：根据去括号法则，，故该选项符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古乌海·开学考试）已知一个多项式与的和等于，则此多项式是_______． 【答案】/ 【分析】用减去，即可求解． 解：此多项式是 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． （1）若，求．（用含，的式子表示） （2）若的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． （1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【解题技巧】整式加减“两步骤”：①去括号——括号前是“+“号直接去；括号前是“-“号，去括号后各项都变号；括号前有数字因数时，用乘法分配律将数字与各项分别相乘；②合并同类项——准确找出同类项，系数相加，字母和指数不变。注意：去括号时符号是最易错点，要逐项检查。 【题型 6】化简求值 【例题6】（24-25七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 解： ． 当，时， 原式． 【变式1】（25-26七年级上·天津南开·期末）已知代数式，有下列结论： ①当时，原式；   ②当时，原式；    ③当时，原式． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，把原式去括号、合并同类项后，发现其值恒为2035，与a无关，再验证各结论． 解： ， ∴ 代数式恒等于2035． ∴结论①当时，原式，正确； 结论②当时，原式，正确； 结论③当时，原式，错误． 故正确结论的个数是2． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．代数式的值与无关，则的系数和的系数均为零，由此求出的值，再代入常数项计算，即可求解． 解： 令的系数为零：，解得 代入常数项： 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 【解题技巧】化简求值“先化简后代入”：①化简——去括号、合并同类项，将整式化为最简形式；②代入——将字母的取值代入化简后的式子，注意负数和分数要加括号；③计算——按照运算顺序计算结果。先化简可以大大简化计算，避免直接代入的复杂运算。代入时要注意符号：（-1）²=1，（-1）³=-1。 【题型 7】列代数式解决实际问题 【例题7】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． （1）用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 （2）若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】（1）；（2）840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． （1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 【变式1】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）某网上书店出售一种图书，这种图书定价为每本80元，首本书运费5元，从第二本起每增加一本多加两元运费．小明共买本这种图书，用含的代数式表示总价为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总价等于图书的总费用加上运费，列出代数式即可. 解：由题意，总价为. 【变式2】（2026·山西朔州·一模）截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 【答案】/ 【分析】根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数． 解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个， 则该小区安装的充电桩总数为：个． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）请完成以下两个问题： （1）某三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边短，第三条边比第二条边的2倍还长，求这个三角形的周长； （2）某水库水位第一天连续下降了a小时，平均每小时下降2厘米；第二天连续上升了a小时，平均每小时上升厘米．这两天这个水库水位总体的变化情况如何？ 【答案】（1）；（2）水库的水位总体下降了厘米 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，理解题意，是解题的关键． （1）先表示出三条边长，然后求出三角形的周长即可； （2）设下降2厘米记作“厘米”，则上升厘米就记作“厘米”，根据题意列出算式，进行求解即可． （1）解：这个三角形的第一条边是： 第二条边是： 第三条边是： ∴这个三角形的周长是：； （2）解：设下降2厘米记作“厘米”，则上升厘米就记作“厘米”，根据题意得（厘米） 答：水库的水位总体下降了厘米． 【解题技巧】列代数式“四步法”：①审题——读懂题意，明确已知量和未知量；②抓关键词——“和、差、积、商、倍、分、平方、倒数、增加、减少”等；③确定运算顺序——注意“的”字的断句作用，如“a的2倍与b的和的平方”是（2a+b）²，不是2a+b²；④规范书写——数写在字母前，除法写成分数，带分数化假分数。实际问题中字母取值要符合实际意义。 四.题型精析（综合提升） 【题型 8】同类项概念的综合应用 【例题8】（25-26六年级上·山东烟台·期末）已知多项式中存在同类项，请求出m，n的值，并计算的值． 【答案】当，时，；当，时， 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项中相同字母的指数分别相等，列出关于、的方程并求解． 先根据同类项的定义，得到和；再解这两个方程求出、的值；最后将、的值代入计算． 解：∵ 多项式中存在同类项， ∴ 只有与或可能为同类项． 若与为同类项， 则，， 解得， 若与为同类项， 则，， 解得， 当，时，， 当，时，． 【变式1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 解：根据已知，可得单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【答案】 【分析】先由题意得到，继而确定与是同类项，再由同类项的定义求出的值，即可求解． 解：∵， ，且 ∴， ∴， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）若与是同类项， （1）______，______； （2）化简多项式； （3）在（1）的条件下，求（2）多项式的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式化简求值，同类项定义，熟练掌握同类项定义，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据同类项定义，进行求解即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）代入数据计算即可． （1）解：∵与是同类项， ∴，， ∴，； （2）解： ； （3）解：把，代入得： 原式． 【解题技巧】同类项综合题“列方程”：根据同类项定义中“相同字母的指数相同”这一条件，对每个字母分别列方程，解方程求出字母的值，再代入计算。注意：要对每个字母分别列方程，不要遗漏；同类项与系数无关，与字母排列顺序无关。 【题型 9】整式加减的综合运算 【例题9】（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解． 先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出、、的值；最后代入计算的值． 解： ∵ 该多项式与恒等 ∴ ，解得 ∴ ，解得 ∴ ，即， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）化简： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） （1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 【题型 10】整式加减的整体代入求值 【例题10】（25-26七年级上·湖南永州·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值； （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2028；（2）15；（3） 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减及求代数式的值，去括号，将代数式化简为，将已知等式代入，即可求解． 解：∵，， ∴ ， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【答案】4013 【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值．先去括号和合并同类项将式子化简，再整体代入即可. 解： ∵， ∴ ∴原式. 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：我们把看成一个整体，则 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： （1）已知，则______； （2）若x，y互为相反数，求的值； （3）当，时，求的值． 【答案】（1）2025；（2）10；（3） 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，解题的关键在于利用“整体思想”解决问题． （1）将原式变形为，再整体代入求值； （2）根据相反数的定义得，将原式变形为，再合并同类项，整体代入求值； （3）将原式变形为，再整体代入求值 （1）解：∵， ∴； （2）解：∵x，y互为相反数， ∴， ∴ ； （3）解： ， ∵，， ∴原式． 【解题技巧】整体代入法“找关系”：①观察——观察已知条件和所求代数式之间的关系，看所求式子能否变形为含有已知式子的形式；②变形——利用提公因式等方法将所求式子变形；③代入——将已知代数式的值整体代入计算。整体代入法是常用技巧，当已知条件是一个代数式的值（而不是字母的具体值）时，优先考虑整体代入法。 【题型 11】日历与图形中的规律 【例题11】（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下面日历图，思考下列问题： （1）日历图中的数有什么规律？ （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 【答案】（1）同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大；同一列中，下方的数比上方相邻的数大；（2）套色方框中的9个数之和等于方框正中间数的9倍；（3）成立，理由如下： 设方框正中间的数为，根据日历的数字规律，方框内9个数可表示为： 上一行：， 中间行：， 下一行：， 9个数相加得，， 所以9个数的和恒等于中间数的9倍，只要该月日历能框出3×3的9个日期，这个关系就成立，对任意月份的日历都适用． （4）对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3倍， 设方框正中间的数为， 左上到右下：． 右上到左下：． 【分析】（1）根据日历中的数写出规律即可； （2）求出套色方框中的9个数之和与中间的数比较即可； （3）设方框正中间的数为，根据日历中相邻日期数的规律，可表示出其余8个数，将这9个数相加，得，故9个数的和恒等于中间数的9倍； （4）由（3）设中间数为，两条对角线上的数分别可表示为和，相加均得，即可得出对角线的规律． 解：（1）略 （2）解：日历图的套色方框中的9个数的总和为：， 方框正中间的数为10，可得， 因此套色方框中9个数的和，等于方框正中间数的9倍． （3）略 （4）略 【变式1】（25-26六年级上·山东威海·期末）某月的日历如图所示，小颖在该日历上用如图所示的“”形框出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了日历中的数字规律和整式加减的应用，关键是设出中间数，利用日历中上下行、左右列的数字关系，用中间数表示出其余四个数，进而得到五个数的和与中间数的关系，再结合选项判断． 解：设“”形框中中间的数为，根据日历中每行有7个数的规律， 可得：左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为． 则这5个数的和为， 即5个数的和是中间数的5倍，因此和必须是5的倍数． 选项A中不是5的倍数，排除； 选项B中，中间数为，而在第三行第7列，右上角应在第二行第8列，超出日历列数，不符合实际，排除； 选项C中，中间数为，此时左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为，这些数均在日历中存在，符合条件； 选项D中，中间数为，此时左下角的数为，超出日历最大日期，不符合实际，排除． 故选：C． 【变式2】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动）．设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为_______． 【答案】51 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用， 设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y，求出，根据，得出，根据日历得出y的最小值为8，即可得出x的最小值为9，然后求出结果即可． 解：设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y， 由题意得：， ， ， ∴x、y为同一横行上，相邻的两个数， ∵， ∴当最小时，最小， 根据图可知，的最小值为8， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：51． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． （1）若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． （2）在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． （3）【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 【答案】（1）45；（2）解：能，理由如下： 设“”字形框中最小的数为x，则其余四个数字为， 这五个数之和为， ∵是5的倍数， ∴框中日历表中的五个数字之和能被5整除． （3） 【分析】本题考查了整式的加减法运算，以及代数式的化简运算，解决本题的关键是读懂题意并由其中一个数字表示出另外一个数字． （1）根据“”字形框中最小的数是1，可得到其余四个数字，再由加法运算求解即可． （2）设“”字形框中最小的数为x，再表示出其余四个数字，由加法运算后判断即可． （3）由“十”字框的框中心的数字，分别表示出其余四个数字，再由运算求解关系即可． （1）解：用“”字形框中五个数，其中最小的数是1， 则这五个数分别为， 故这五个数之和为． 故答案为：45． （2）略 （3）解：“十”字框中框中心的数字， 则框中心上方的数字，框中心下方的数字，框中心左方的数字，框中心右方的数字， ∴“十”字框中的5个数字之和， ∴“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为． 故答案为：． 【解题技巧】规律题“观察—归纳—验证”：①日历规律——设中间数为a，根据横行差1、竖列差7表示其余各数，再求和化简，9个数之和一定是9a；②图形规律——数出前几个图形的数量，计算相邻两项的差，若差相等则为等差规律（an+b），本题每次增加3根，所以通项为3n+1；③验证——代入n=1,2,3检验规律是否正确。 【题型 12】数与式规律的探究 【例题12】（26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 （1）观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ （2）根据（1）中的规律猜想： __________． （3）一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】（1）解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； （2） （3）（n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：（n为正整数）． 【变式1】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每一行的最后一个数字分别是，，，易得第行的最后一个数字为，求得最后一个数是在哪一行即可． 解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 【答案】 【分析】观察数阵可得规律，第行共有个数，最后一个数为，利用规律确定所在的行数和位置，再计算即可． 解：∵第1行有个数，最后一个数为， 第2行有个数，最后一个数为， 第3行有个数，最后一个数为， 第4行有个数，最后一个数为 …… ∴第行共有个数，最后一个数为， ∵，，且， ∴排在从上向下数的第行，即， ∵第行的最后一个数是， ∴第行的第一个数为， ∴是该行从左向右数的第个数，即， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，下图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题： （1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第8行中从左边数第3个数是____； （2）利用不完全归纳法探索出第n行中的所有数字之和为____ 【答案】（1）21；（2） 【分析】（1）根据图示规律可列出第行排列的数字，即可求出第行中从左边数第个数． （2）由题意得出每行的数字之和等于2的序数减一次幂，据此解答即可． （1）解：根据排列规律，第8行排列的数字为：1、7、21、35、35、21、7、1， 故第8行中从左边数第3个数是21； （2）解：∵第1行数字之和为：， 第2行数字之和为：， 第3行数字之和为：， 第4行数字之和为：， ……； ∴第n行数字之和为：． 【题型 13】图形规律的探究 【例题13】（26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． （1）按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 （2）按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】（1） 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 （2） 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． （1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【答案】C 解：观察可知，第个图中的棋子数为个， ∴第⑦个图中的棋子数为，第⑥个图中的棋子数为， ∴第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多枚. 【变式2】（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研究数学问题．如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有（ ）块，第幅图中白色六边形地砖有（ ）块． 【答案】 22 【分析】第1幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下四块，（块）；第2幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下两个四块，（块）；第3幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下三个四块，（块）；依次类推，第幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下个四块，（块）． 解：（块）， （块）． 【变式3】（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】本题考查图形规律的探究及代数式的应用，关键是根据给出的前几个图案的数量，归纳出第个图案中两种图形的数量表达式． （1）根据前4个图案的规律，第个图案中“★”的数量为，“▲”的数量为，将代入即可； （2）根据前几个图案的数量规律，提炼出第个图案中两种图形数量的代数式； （3）先分别表示出第个图案中“★”和“▲”的数量，再计算两者的差值，可通过代数式化简简化计算． （1）解：根据题目给出的规律，第1个图案对应，第2个对应，，第个图案对应，所以“★”有个；“▲”有个； 故答案为：；； （2）解：由前4个图案的规律可知，第个图案中，“★”的数量是个，“▲”的数量是个； 故答案为：；； （3）解：第个图案中，“★”的个数为，“▲”的个数为； ； 答：在第个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少个． 【解题技巧】规律探究证明题“猜想—证明”：①观察——仔细观察等式左右两边各部分与序号n的关系（左边第一个因数是n，第二个因数是n+2，加1；右边是（n+1）²）；②猜想——用含n的代数式表示第n个等式；③证明——利用整式运算（去括号、合并同类项、乘法公式等）证明等式左右两边相等。这种“猜想—证明“的方法是数学探究的重要方法，体现了从特殊到一般再到严格证明的思维过程。 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 解：因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 2．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【分析】根据代数式书写要求逐一判断选项即可． 解：A．书写时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意； B．符合书写规范，符合题意； C．书写时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意； D．书写时，“÷”号应写为分数线的形式，即厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 4．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 6．（2025七年级·贵州遵义·竞赛）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．不能确定 【答案】B 解：∵， ∴， 将代入得，． 7．（2026·河北石家庄·一模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（   ） A．5 B． C． D．12 【答案】A 解：由对角线和最后一列可得 ， ∴ ． 8．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 9．（2026·江西赣州·模拟预测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据3个图中矩形个数的变化，总结出规律即可． 解：由题意可知，第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； ∴第个图案用了（个）矩形． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 【答案】 【分析】由表格可知树每年生长的高度，然后问题可求解． 解：由表格可知树每生长一年长高， ∴当时，树高为， ∴满足的关系式为． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期中）请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义____________． 【答案】已知一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果和3个香蕉共需 元（答案不唯一）． 【分析】此题考查了代数式的实际意义，代数式 表示两个 与三个 的和，其实际意义取决于赋予字母 和 的具体含义．通过设计生活情境，如购物场景，可以解释该代数式表示总费用或总数量等． 解：例如，设一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果的费用为 元，购买3个香蕉的费用为 元，因此总费用为 元． 故答案为：购买2个苹果和3个香蕉共需 元． 13．（24-25七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 解：∵， ∴， ∴ ． 14．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 15．（24-25七年级上·全国·期末）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 【答案】0 【分析】由数轴可得a，b，c的正负及各自绝对值的大小，得出，，的正负；再根据绝对值的性质，先去掉绝对值号，再计算，得到结果． 解：由数轴可得，，，， ，，， 16．（24-25七年级上·上海·阶段检测）一个多项式加上得到 ，则这个多项式是_____________． 【答案】 【分析】根据加法的含义列式，再计算即可． 解：由题意可得： ， ∴这个多项式是． 17．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成． 【答案】 / 【分析】根据题意号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），，则第号图八分音符有（个），然后当时代入即可求解． 解：号图八分音符有（个）， 号图八分音符有（个）， 号图八分音符有（个）， ， 所以第号图八分音符有（个）， 当时，第号图八分音符有（个）， 故第号图由个八分音符组成，第号图由个八分音符组成． 18．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 【答案】38 【分析】先通过分析榫槽结构数为1和2时的长度，找出榫槽结构数与总长度之间的规律，再根据规律计算12个榫槽结构时的总长度． 解：由题意得：当榫槽结构数为1时，长度为；当榫槽结构数为2时长度为， 所以，从1个榫槽结构增加到2个榫槽结构，增加的长度为， 由此可推测，每增加1个榫槽结构，总长度就增加， 设榫槽结构数为n，总长度为L，则总长度L与榫槽结构数n的关系为． 当时，将其代入可得：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：． （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江西宜春·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】，13 【分析】先去括号，再合并同类项，然后利用绝对值和平方的非负性得到，，然后整体代入计算． 解： ， ，， 原式． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·新疆博尔塔拉·期末）O为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足． （1） ______，______； （2）P是A右侧数轴上的一点，设P表示的数为x，用含有x的式子表示点P，B之间的距离______； （3）在（2）的条件下M是的中点，则M，B之间的距离为______． 【答案】（1）20；；（2）；（3） 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性求解即可； （2）根据数轴上两点的距离可求解即可； （3）先求出点M表示的数为，且点M在点A的右侧，再运用数轴上两点间距离求解即可． （1）解：∵，且， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：点A表示20，点B表示， ∵P是A右侧数轴上的一点，设P表示的数为x， ∴， ∴点P，B之间的距离为． （3）解：∵点A表示20，点P表示的数为x，且，M是的中点， ∴点M表示的数为， ∵， ∴，即点M在点A的右侧， ∴M，B之间的距离为． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： （1）若代数式的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． （1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． （1）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ （2）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ （3）在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】（1）摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人；（2）摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人；（3）按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． （1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点拨】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： （1）若代数式，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）14；（2）2；（3）14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． （1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 整式及其加减全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 【学习目标】 2 【重点】 2 【难点】 2 【全章知识框架】 2 二.知识梳理与解读 3 【知识点一】代数式 3 【知识点二】单项式与多项式 3 【知识点三】整式的加减 4 【知识点四】探索与表达规律 4 三.题型精析（夯实基础） 5 【题型 1】代数式与整式的概念辨析 5 【题型 2】单项式系数、次数 6 【题型 3】多项式的项、项数、次数 6 【题型 4】同类项辨析与合并同类项 6 【题型 5】整式的加减运算 7 【题型 6】化简求值 8 【题型 7】列代数式解决实际问题 8 四.题型精析（综合提升） 9 【题型 8】同类项概念的综合应用 9 【题型 9】整式加减的综合运算 10 【题型 10】整式加减的整体代入求值 11 【题型 11】日历与图形中的规律 12 【题型 12】数与式规律的探究 13 【题型 13】图形规律的探究 14 五.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.学习目标与重难点 【学习目标】 1. 系统掌握代数式、单项式、多项式、整式的概念，能准确识别和分类； 2. 熟练掌握单项式的系数和次数、多项式的项和次数的确定方法； 3. 理解同类项的概念，熟练掌握合并同类项和去括号法则； 4. 能熟练进行整式的加减运算，掌握化简求值的方法； 5. 能运用代数式表示实际问题中的数量关系，掌握探索规律的一般方法； 6. 培养观察、分析、归纳和推理能力，体会从特殊到一般的数学思想。 【重点】 1. 代数式、单项式、多项式、整式的概念及相关概念（系数、次数、项）； 2. 合并同类项法则和去括号法则； 3. 整式的加减运算及化简求值。 【难点】 1. 去括号时括号前是“-“号的处理； 2. 整式加减运算中符号的处理； 3. 用代数式表示实际问题中的数量关系及规律探究。 【全章知识框架】 模块 核心知识点 关键概念与法则 易错点 代数式 代数式的概念、代数式的值 用运算符号连接数和字母；单独一个数或字母也是代数式 代数式不含“=”、“”“”等关系符号 整式 单项式、多项式、整式 单项式的系数和次数；多项式的项和次数 是常数不是字母；多项式次数是最高项次数 整式加减 同类项、合并同类项、去括号 同类项系数相加，字母和指数不变；去括号看符号 括号前是“-“号，各项都要变号 探索规律 日历规律、图形规律、数字游戏、数论规律 观察—归纳—猜想—验证—应用 规律要验证，注意n的取值范围 二.知识梳理与解读 【知识点一】代数式 1. 代数式的定义 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 2. 列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 3. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。 【要点提示】 （1）代数式中不含“=”、“”、“”等关系符号，含有关系符号的是等式或不等式，不是代数式； （2）数与字母相乘时，数写在字母前面，如2a不写a2；除法写成分数形式； （3）求代数式的值分两步：①代入（注意负数和分数加括号）；②计算（按运算顺序）； （4）整体代入法是常用技巧：已知某个代数式的值时，将所求式子变形为含有已知式子的形式。 【知识点二】单项式与多项式 1. 单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 （1）系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号）； （2）次数：单项式中所有字母的指数的和。 2. 多项式 几个单项式的和叫做多项式。 （1）项：多项式中的每个单项式（包括前面的符号）； （2）常数项：多项式中不含字母的项； （3）次数：多项式中次数最高的项的次数。 3. 整式 单项式与多项式统称为整式。 【要点提示】 （1）π是常数，不是字母，所以πr²的系数是π，次数是2； （2）单独一个非零数的次数是0，单独一个字母的系数是1、次数是1（1省略不写）； （3）多项式的每一项都包括它前面的符号，移项或合并时要注意符号； （4）多项式的次数不是所有项次数之和，而是次数最高的项的次数； （5）分母中含有字母的代数式不是整式（是分式）。 【知识点三】整式的加减 1. 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3. 去括号法则 （1）括号前是“+“号，去掉括号和前面的“+“号，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“-“号，去掉括号和前面的“-“号，原括号里各项的符号都要改变。 4. 整式加减的一般步骤 先去括号，再合并同类项。 【要点提示】 （1）同类项与系数无关，与字母排列顺序无关，如2a²b与-3ba²是同类项； （2）不是同类项的不能合并，合并时系数相加要注意符号； （3）去括号是最易错点：括号前是“-“号时，括号内每一项都要变号，不能只变第一项； （4）括号前有数字因数时，要将数字因数与括号内各项分别相乘（乘法分配律）； （5）化简求值题要“先化简，再代入”，可以简化计算，避免直接代入的复杂运算。 【知识点四】探索与表达规律 1. 探索规律的一般步骤 观察（特殊情况）→ 归纳（变化规律）→ 猜想（代数式表示）→ 验证（代入检验）→ 应用（解决问题）。 2. 常见规律类型 （1）日历中的规律：33方框9个数之和=9中间数；十字形5个数之和=5中间数； （2）图形中的规律：等差规律（）、二次规律（）等； （3）数字游戏：设字母表示数，按规则列式化简找关系； （4）数论规律：被2、3、5、9整除的数的特征。 【要点提示】 （1）探索规律的核心是“从特殊到一般”：先观察前几个特殊情况，再归纳一般规律； （2）验证规律必不可少，可代入=1,2,3等特殊值检验； （3）图形规律常用“差分法”：计算相邻两项的差，差相等为等差规律，差成等差为二次规律； （4）数字游戏设两位数为、三位数为，按规则列式化简； （5）注意规律中字母的取值范围（通常n为正整数）。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】代数式与整式的概念辨析 【例题1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【变式2】（2025·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）李老师买了3个篮球，每个篮球元，付给售货员258元，且付的钱足够，表示______． 【题型 2】单项式系数、次数 【例题2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【变式1】（24-25七年级上·河南焦作·期中）a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【变式3】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【题型 3】多项式的项、项数、次数 【例题3】（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）多项式的项是________，次数是________． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·周测）单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 【解题技巧】概念辨析“抓定义”：①单项式是数与字母的乘积，单独一个数或字母也是单项式；②多项式是几个单项式的和；③单项式的次数是所有字母指数和，系数是数字因数（含符号）；④多项式的次数是次数最高项的次数。注意π是常数，不是字母。 【题型 4】同类项辨析与合并同类项 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，每个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“”所表示的单项式与对面正方形所表示的单项式是同类项，则“”所表示的单项式可能是_________． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： （1）； （2）； （3）． 【题型 5】整式的加减运算 【例题5】（24-25七年级上·全国·期末）计算： 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古乌海·开学考试）已知一个多项式与的和等于，则此多项式是_______． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． （1）若，求．（用含，的式子表示） （2）若的值与的取值无关，求的值． 【解题技巧】整式加减“两步骤”：①去括号——括号前是“+“号直接去；括号前是“-“号，去括号后各项都变号；括号前有数字因数时，用乘法分配律将数字与各项分别相乘；②合并同类项——准确找出同类项，系数相加，字母和指数不变。注意：去括号时符号是最易错点，要逐项检查。 【题型 6】化简求值 【例题6】（24-25七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【变式1】（25-26七年级上·天津南开·期末）已知代数式，有下列结论： ①当时，原式；   ②当时，原式；    ③当时，原式． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 【变式3】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【解题技巧】化简求值“先化简后代入”：①化简——去括号、合并同类项，将整式化为最简形式；②代入——将字母的取值代入化简后的式子，注意负数和分数要加括号；③计算——按照运算顺序计算结果。先化简可以大大简化计算，避免直接代入的复杂运算。代入时要注意符号：（-1）²=1，（-1）³=-1。 【题型 7】列代数式解决实际问题 【例题7】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． （1）用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 （2）若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【变式1】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）某网上书店出售一种图书，这种图书定价为每本80元，首本书运费5元，从第二本起每增加一本多加两元运费．小明共买本这种图书，用含的代数式表示总价为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西朔州·一模）截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）请完成以下两个问题： （1）某三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边短，第三条边比第二条边的2倍还长，求这个三角形的周长； （2）某水库水位第一天连续下降了a小时，平均每小时下降2厘米；第二天连续上升了a小时，平均每小时上升厘米．这两天这个水库水位总体的变化情况如何？ 【解题技巧】列代数式“四步法”：①审题——读懂题意，明确已知量和未知量；②抓关键词——“和、差、积、商、倍、分、平方、倒数、增加、减少”等；③确定运算顺序——注意“的”字的断句作用，如“a的2倍与b的和的平方”是（2a+b）²，不是2a+b²；④规范书写——数写在字母前，除法写成分数，带分数化假分数。实际问题中字母取值要符合实际意义。 四.题型精析（综合提升） 【题型 8】同类项概念的综合应用 【例题8】（25-26六年级上·山东烟台·期末）已知多项式中存在同类项，请求出m，n的值，并计算的值． 【变式1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A． B． C．3 D．6 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【变式3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）若与是同类项， （1）______，______； （2）化简多项式； （3）在（1）的条件下，求（2）多项式的值． 【解题技巧】同类项综合题“列方程”：根据同类项定义中“相同字母的指数相同”这一条件，对每个字母分别列方程，解方程求出字母的值，再代入计算。注意：要对每个字母分别列方程，不要遗漏；同类项与系数无关，与字母排列顺序无关。 【题型 9】整式加减的综合运算 【例题9】（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）化简： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 【题型 10】整式加减的整体代入求值 【例题10】（25-26七年级上·湖南永州·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值； （3）已知，，求代数式的值． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：我们把看成一个整体，则 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： （1）已知，则______； （2）若x，y互为相反数，求的值； （3）当，时，求的值． 【解题技巧】整体代入法“找关系”：①观察——观察已知条件和所求代数式之间的关系，看所求式子能否变形为含有已知式子的形式；②变形——利用提公因式等方法将所求式子变形；③代入——将已知代数式的值整体代入计算。整体代入法是常用技巧，当已知条件是一个代数式的值（而不是字母的具体值）时，优先考虑整体代入法。 【题型 11】日历与图形中的规律 【例题11】（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下面日历图，思考下列问题： （1）日历图中的数有什么规律？ （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 【变式1】（25-26六年级上·山东威海·期末）某月的日历如图所示，小颖在该日历上用如图所示的“”形框出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动）．设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为_______． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． （1）若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． （2）在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． （3）【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 【解题技巧】规律题“观察—归纳—验证”：①日历规律——设中间数为a，根据横行差1、竖列差7表示其余各数，再求和化简，9个数之和一定是9a；②图形规律——数出前几个图形的数量，计算相邻两项的差，若差相等则为等差规律（an+b），本题每次增加3根，所以通项为3n+1；③验证——代入n=1,2,3检验规律是否正确。 【题型 12】数与式规律的探究 【例题12】（26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 （1）观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ （2）根据（1）中的规律猜想： __________． （3）一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【变式1】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，下图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题： （1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第8行中从左边数第3个数是____； （2）利用不完全归纳法探索出第n行中的所有数字之和为____ 【题型 13】图形规律的探究 【例题13】（26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． （1）按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 （2）按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【变式2】（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研究数学问题．如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有（ ）块，第幅图中白色六边形地砖有（ ）块． 【变式3】（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 【解题技巧】规律探究证明题“猜想—证明”：①观察——仔细观察等式左右两边各部分与序号n的关系（左边第一个因数是n，第二个因数是n+2，加1；右边是（n+1）²）；②猜想——用含n的代数式表示第n个等式；③证明——利用整式运算（去括号、合并同类项、乘法公式等）证明等式左右两边相等。这种“猜想—证明“的方法是数学探究的重要方法，体现了从特殊到一般再到严格证明的思维过程。 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 4．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 6．（2025七年级·贵州遵义·竞赛）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．不能确定 7．（2026·河北石家庄·一模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（   ） A．5 B． C． D．12 8．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 9．（2026·江西赣州·模拟预测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 12．（25-26七年级上·河南郑州·期中）请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义____________． 13．（24-25七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 14．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 15．（24-25七年级上·全国·期末）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 16．（24-25七年级上·上海·阶段检测）一个多项式加上得到 ，则这个多项式是_____________． 17．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成． 18．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江西宜春·期中）先化简再求值：，其中． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·新疆博尔塔拉·期末）O为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足． （1） ______，______； （2）P是A右侧数轴上的一点，设P表示的数为x，用含有x的式子表示点P，B之间的距离______； （3）在（2）的条件下M是的中点，则M，B之间的距离为______． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： （1）若代数式的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知，，且的值与x无关，求m，n的值 23．（本小题满分10分）（26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． （1）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ （2）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ （3）在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： （1）若代数式，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； （3）若，，求代数式的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $