第三章 整式及其加减（4核心+10题型+6难点+复习讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学第三章“整式及其加减”复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，将代数式概念、整式分类、加减运算等知识按“概念辨析-法则应用-规律探索”递进构建知识框架，清晰呈现单项式与多项式的联系及运算逻辑。 讲义亮点在于“题型+难点”双维度设计，如整式加减运算强调去括号与合并同类项步骤培养运算能力，探索规律题通过图形与数字变化引导学生用数学语言表达规律，分层练习兼顾基础与进阶，助力教师实施精准教学，提升学生数学思维与应用意识。

第三章 整式及其加减 复习要点 1. 理解代数式、整式的概念，能区分单项式与多项式，并准确辨析单项式的系数与次数、多项式的项与次数。 2. 掌握同类项的概念，能准确识别同类项，并运用合并同类项法则（系数相加，字母及指数不变）进行化简。 3. 掌握去括号法则，能区分括号前是“+”号与“-”号时的不同处理方式，避免符号错误。 4. 掌握整式加减运算的一般步骤（去括号、合并同类项），能进行准确的化简与求值。 5. 理解用字母表示数的一般性，能运用整式表示实际问题中的数量关系，并初步探索数与图形中的变化规律。 复习重难点 重点：整式相关概念的辨析，以及整式加减运算法则（去括号、合并同类项）的掌握与应用。 难点：识别同类项，正确处理去括号时符号的变化，以及将实际问题中的数量关系抽象为整式表达式。 知识点 代数式 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或字母也是代数式。其书写格式有特定要求，如数字与字母相乘时，数字应写在字母前面等。 要点速测 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有_______个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③是等式，不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦是不等式，不是代数式； ⑧是不等式，不是代数式． 综上，代数式有①②④⑤⑥，共5个， 故答案为：5． 知识点 整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数和是次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项的次数是多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 要点速测 2．（22-23七年级上·河北张家口·期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有__________，多项式有__________，整式有__________．（填序号） 【答案】 ②④ ① ①②④． 【分析】根据单项式，单项式，整式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①是多项式，是整式，②是单项式，是整式，③，不是整式，④，是单项式，是整式， ∴单项式有②④；多项式有①；整式有①②④． 故答案为：②④；①；①②④． 【点睛】本题考查了单项式，单项式，整式的定义，掌握以上定义是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式），几个单项式的和叫做多项式，整式：单项式与多项式统称为整式． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的次数是_____，系数是__________________． 【答案】 4 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【详解】单项式中，数字因数是， 因此系数是； 字母部分包括、和，它们的指数分别为1、1和2，指数之和为， 因此次数是4． 故答案为：4；． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）整式是______次______项式． 【答案】 五 四 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的概念即可得解，熟练掌握多项式的概念是解此题的关键． 【详解】解：整式是五次四项式， 故答案为：五，四． 知识点 整式的加减 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。 3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。 要点速测 5．（25-26七年级上·吉林白山·期末）已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意表达出，然后去括号化简即可； （2）根据（1）中的结果并转化得，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：因为，， 所以． 知识点 探索与表达规律 探索与表达规律：包括图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律等，体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想。 要点速测 6． （25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 7．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 题型1 代数式的识别 ▌例1 （25-26七年级上·广东广州·期中）在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号，因此，方程和不等式不是代数式，据此判断． 【详解】∵ 代数式需由数字、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号， ∴ 0是数字，是代数式； a是字母，是代数式； 含有等号，是方程，不是代数式； 由变量和数字通过减号连接，是代数式； 由数字和字母通过乘法连接，是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式， ∴ 代数式有0、a、、，共4个， 故选：C 解题要点 1.抓结构：先看整体运算（加减乘除、乘方），再逐层拆分项与因子，明确运算顺序，避免将单项式误判为多项式。 2.辨类别：根据字母取值（常数/变量）及运算形式，区分整式、分式、根式，注意分母或根号内是否含字母，决定后续处理规则。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·海南三亚·期中）在式子，，，，中，代数式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的定义，需区分代数式与方程、不等式的不同． 根据代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不包含等号或不等号． 【详解】解：∵代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式， ∴是代数式， 是代数式， 含有等号，不是代数式， 是常数，是代数式， 含有不等号，不是代数式． ∴代数式有3个． 故选C． ▌迁移练1-2（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可． 【详解】解：10， 10，，，是代数式； 故选：B． ▌迁移练1-3（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 题型2 代数式书写方法 ▌例2 （25-26七年级上·全国·期中）下列式子书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤万元 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式的书写规范．根据初中数学教材，乘号通常省略，除号应写成分数形式，带分数在代数式中易产生歧义，应避免使用；加法或减法表达式附加单位时，需用括号明确单位应用于整个表达式，逐项进行判断即可． 【详解】解：①中的乘号要省略，不符合题意； ②的除号应用分数线，不符合题意； ③中的带分数应该化为假分数，不符合题意； ④正确，符合题意； ⑤万元中应加括号，不符合题意． 综上分析可知，正确个数为1个． 故选：A． 解题要点 1.规范简写：乘号省略（数字在前，字母在后，如3a），除号用分数线，带分数化假分数，相同字母写成幂（a²）。 2.代入有序：代入数值时还原省略乘号，添加括号（负数、分数），先算乘方再按运算顺序化简求值。 ▌迁移练2-1（24-25六年级上·山东·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写规则，对各小题的代数式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． ▌迁移练2-2（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解；理解要求是解题的关键． 【详解】解：①的正确书写格式为；②书写格式正确；③书写格式正确；④正确书写格式为； 书写规范的有②③， 故选：B． ▌迁移练2-3（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写要求，根据代数式的书写规则：分数不能为带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，数与字母相乘，乘号省略或者用“．”表示，对各项代数式逐一判定即可． 【详解】①中分数不能为带分数； ②2•3中数与数相乘不能用“”，应该用“”； ③中不能出现除号； ④20%x，书写正确； ⑤书写正确； ⑥书写正确； 不符合代数式书写要求的有①②③共3个． 故选：C． 题型3 单项式、多项式、整式的判断 ▌例3 （25-26七年级上·湖南·期末）下列说法错误的是（   ） A．的系数是 B．是单项式 C．的次数是 D．是一次单项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数和定义，关键是熟练利用知识点进行判断；单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式. 【详解】解：∵ 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式， ∴ 中，的指数为，的指数为，次数为， ∴ 选项C错误，选项A、B、D均正确. 故选：C． 解题要点 1.抓分母：看字母是否出现在分母中。若分母含字母，则不是整式（属分式），更非单项式或多项式。 2.看运算：整式只含加、减、乘、乘方。单项式是数字与字母的乘积（无加减）；多项式是多个单项式的和（有加减）。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·重庆·期末）关于整式的概念，下列说法错误的是（   ） A．是二次三项式 B．是四次单项式 C．的系数是 D．的次数是3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的相关概念（单项式的系数、次数，多项式的次数、项数），熟练掌握这些概念的定义是解题的关键． 根据整式中单项式的系数、次数以及多项式的次数、项数的定义，对每个选项逐一进行分析判断正误，即可． 【详解】解：A、∵ 多项式的项为（次数）、（次数）、（次数），最高次数为，项数为， ∴ 它是二次三项式， 故A正确，不符合题意． B、∵ 单项式的次数为， ∴ 它是四次单项式， 故B正确，不符合题意． C、∵ 单项式的系数是，而不是， ∴ C选项错误，符合题意． D、∵ 单项式的次数为， ∴ D选项正确，不符合题意． 故选：C． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有________________．多项式有 ________________，整式有 ________________． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 题型4 多项式系数、指数中字母求值 ▌例4 （24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 解题要点 1.系数求值：紧扣“同类项”定义，即字母相同且指数对应相等。据此列方程，解出参数后，务必回代检验系数是否为非零实数（系数为0则该项不存在）。 2.指数求值：利用幂的运算法则（乘、除、乘方）化简等式，转化为底数相同的形式，进而建立关于字母指数的方程，最后解方程并验根（确保底数不为零且指数有意义）。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． ▌迁移练4-2（25-26六年级上·上海金山·期末）一次式 中，一次项系数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是． 故答案为：． ▌迁移练4-3（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）如果整式是关于x的二次三项式，那么___________． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式的定义，观察已知的整式，由二次三项式的定义可知“二次”指次数最高项的次数是2，结合整式可得，由此可解． 【详解】解：整式是关于x的二次三项式， ， ， 故答案为：4． 题型5 同类项与合并同类项 ▌例5 （25-26七年级上·云南普洱·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合并同类项：字母及其指数不变，只把系数相加减． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、不是同类项，不能合并，原计算错误； D、，原计算正确． 解题要点 1.识别条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同（与系数无关）。 2.合并法则：只把系数相加减，字母和字母指数不变。注意移项时连同符号一起移动，避免漏项或符号错误，最终结果按某字母降幂排列。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合并同类项：字母及其指数不变，系数相加减． 【详解】解：A、不是同类项，原计算错误； B、不是同类项，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·江苏无锡·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的运算法则，需先判断各项是否为同类项，再依据合并同类项法则（系数相加减，字母及字母的指数保持不变）判断运算正误． 【详解】解： A、与n不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、与不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·山东淄博·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型6 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ▌例6 （24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果与是同类项，那么＝_____． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出、的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ． 解题要点 1.列方程：根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数相等），将对应字母的指数分别用等号连接，列出方程或方程组。 2.解方程：准确解出所列方程（组），得到字母或代数式的值。注意检验解是否满足题目隐含条件（如指数为正整数）。 ▌迁移练6-1（24-25七年级上·云南德宏·期末）若单项式和是同类项，则__________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数相同，列出方程求得与的值，再代入计算的值. 【详解】解：根据同类项的定义可得： ， 解得：， 则. ▌迁移练6-2（25-26七年级上·福建漳州·期末）若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】同类项是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式，根据同类项中相同字母的指数相等这一关键条件，直接建立关于的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·山东滨州·期末）若与是同类项，则______． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相等，列出关于、的方程，求解、的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：与是同类项， 对于字母的指数，可得：，解得； 对于字母的指数，可得：，解得； 将，代入，可得：． 题型7 程序流程图与代数式求值 ▌例7 （24-25七年级上·河北张家口·期末）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是操作型题目，利用给定程序执行是解题的关键．按照程序执行运算即可． 【详解】解：当时，， ， ∴最后输出的结果是：． 故答案为：． 解题要点 1.理清流向：严格按箭头顺序执行，明确每个框的作用（输入、赋值、判断、输出），尤其注意判断框的分支条件与循环路径。 2.逐代计算：将已知数值代入变量，按流程逐步运算，每次赋值更新当前值，最终输出结果。注意区分输出值与中间变量。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据程序流程图计算即可． 【详解】解：输入，则，此时， 输入，则，此时，输出结果， ∴最后输出的结果是． 故答案为：． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·全国·期末）如图，当输入x的值为时，输出的结果为__________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了程序图与代数式求值， 将代入，根据结果小于10，再重新代回，循环直至结果大于10即可输出． 【详解】解：当时，， 因为， 所以将代入，得， 因为， 所以将代入，得， 因为， 所以输出，其结果为11． 故答案为：11． ▌迁移练7-3（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是掌握代数式求值的方法． （1）观察运算程序图可知乘以，再加上4，由此列出代数式即可； （2）将代入（1）中所列代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：由运算程序图可知输出的结果为：， 故答案为：； （2）解：当时， ． 题型8 整式的加减运算 ▌例8 （25-26七年级上·福建泉州·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题要点 1.去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，不变号；是“-”，全变号），正确去掉括号，注意分配律的应用，防止漏乘。 2.合并同类项：找出同类项，将它们的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。运算结果按某一字母的降幂或升幂排列，确保最简。 ▌迁移练8-1（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）（2）先去括号，再合并同类项进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：，， ． ▌迁移练8-2（25-26七年级上·江苏泰州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练8-3（25-26七年级上·河南洛阳·期末）化简： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，核心知识点为去括号法则与合并同类项法则．去括号时，括号前是负系数的，需将系数乘到括号内每一项并改变对应项的符号；合并同类项时，仅将同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变． （1）先运用去括号法则去掉式子中的两个括号，再识别同类项并合并即可得到最简结果； （2）先将括号前的系数乘到括号内每一项完成去括号操作，再合并同类项化简式子． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型9 整式的加减中的化简求值 ▌例9 （24-25七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，40 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 解题要点 1.先去括号：根据去括号法则（括号前为正，去括号不变号；为负，去括号全变号）或乘法分配律，逐层去掉括号。 2.再合并同类项：将化简后的式子中，所含字母相同且相同字母指数相同的项，系数相加减，字母及指数不变。最后代入数值计算即可。 ▌迁移练9-1（24-25七年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【分析】先去括号，合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． ▌迁移练9-2（25-26七年级上·山西太原·期末）先化简，再求值． ，其中． 【答案】化简为，值为 【分析】先根据乘法分配律去括号(注意括号前是负系数时，括号内每一项都要变号)，再合并同类项将整式化为最简形式，最后代入给定的、的值计算出最终结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． ▌迁移练9-3（25-26七年级上·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；15 【分析】先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 题型10 整式的加减运算与应用 ▌例10 （25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图所示，其中长方形的长为，宽为． (1)求阴影部分的面积；（用字母表示） (2)当时，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用及代数式求值，解题的关键是正确的表示出阴影部分的面积． （1）根据“阴影部分的面积长方形面积以为半径的圆的面积以为直径的圆的面积”列式求解，即可解题； （2）将代入解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 解题要点 1.去括号与合并：先去括号（注意符号变化），再合并同类项（系数相加，字母及指数不变），将结果化为最简形式。 2.代入求值或列式：化简后，若给出字母值则直接代入计算；若为应用题，则根据题意列出整式表示数量关系，再化简求解。 ▌迁移练10-1（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，其中窗框将A型窗框分成了两个小长方形，窗框将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B型窗框的长都是x米，宽都是y米．（制作窗框时，均要用材料，接缝处忽略不计） (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当，，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米的材料？ 【答案】(1)A需要材料米，B需要材料米 (2)这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． （1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）由（1）知共需材料的长度为米，再将，，代入求值即可． 【详解】（1）解：制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米； （2）解：由（1）得则制作这两种造型的窗框各1个， 共需要米的材料； 当，时， 米， 则这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． ▌迁移练10-2（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，合肥新四军渡江战役纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花坛，尺寸如图所示（单位：米）． (1)求阴影部分的面积（用含的代数式表示，保留）； (2)当，取3时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)阴影部分的面积为14.5平方米 【分析】本题考查了整式的加减的应用，正确的列出代数式是解题的关键． （1）利用两个长方形的面积之和减去半圆的面积即可； （2）将，取3代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为 阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，取3时， ． 答：阴影部分的面积为14.5平方米． ▌迁移练10-3（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，长方形是一个花圃的示意图，四边形区域（阴影部分）种花，剩余两个三角形区域（三角形和三角形）种草，已知长方形花圃的长为，宽为，点E、F分别在线段上． (1)用含a、b的代数式表示种花区域（阴影部分）的面积；（结果化为最简） (2)当，时，求种花区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)种花区域（阴影部分）的面积为； (2)种花区域（阴影部分）的面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值，正确列出代数式是解决本题的关键． （1）用长方形的面积减去两个三角形的面积即可； （2）将，代入（1）中结果，计算即可解答． 【详解】（1）解： 答：种花区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， 则， 答：种花区域（阴影部分）的面积为． 难点一 整式的加减中的无关问题 难点1：对“无关”条件的转化误区难点在于将文字描述准确转化为数学条件。如“值与字母x无关”，则含x 的所有项系数必须为0，需合并后令系数和为零。常见错误是只关注最高次项，忽略一次项和常数项中的隐含变量，导致条件不全。 难点2： 对“不含有”与“无关”的区分 “不含有某项”特指该项系数为零，是局部条件；而“与某字母无关”是整体要求，需该字母所有次数项的系数和均为零。解题时若混淆，易漏解或错设条件，尤其在多项式含多个字母时，需明确主元再分类讨论。 难点精练 1．（25-26六年级上·山东泰安·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则，将原式变形为，再根据该多项式不含三次项得出，求出结果即可； （2）将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵该多项式不含三次项， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． 2．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）设a是已知常数，如果，，且的常数项为0． (1)求常数a的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 12 【分析】本题考查整式的加减，整式的无关项问题，整体代入求值，理解题目所给式子中a表示数，通过条件列方程求出a是解题关键． （1）计算，用含a的式子表示计算结果的常数项，令该式子等于0，解出a的值即可； （2）根据（1）中的结果，计算，再根据所给条件，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∴常数项为， 由题意，得， ∴； （2）解：代入，得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知 ，．若的值与y无关，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可； （2）先求出，再根据的值与y无关，得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解： ， 把，代入得： 原式； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与y无关， ∴， 解得：． 难点二 带有字母的绝对值化简问题 难点1： 符号的“不确定性” 字母代表未知数，其正负性未定，导致绝对值内整体符号无法直接判断。化简时必须先明确字母取值范围或分类讨论，不能默认其为正，否则易错。 难点2：分类讨论的“完整性” 通常需根据零点分段法划分区间，讨论要既不遗漏也不重复。尤其含多个绝对值时，需确保每种情况下的符号假设与化简结果严格对应，避免区间合并错误或边界值处理失误。 难点精练 1.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：，，； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴与有理数的大小关系、绝对值的化简以及整式的加减运算． （1）由数轴得，， ，从而判断进行； （2）先根据数轴得到，，，再利用绝对值的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ， ， 故答案为：，，； （2）， ，， ． 2．（25-26七年级上·江苏·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、利用数轴判断式子的正负性，整式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴可知，则，，，即可作答； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：观察数轴，得， ∴，，； （2）解：由（1）得，，； ． 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)_________0，_______0，_______0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2)0 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，合并同类项，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的位置，确定它们的正负，进而判断它们的和与差的正负； （2）先确定绝对值内式子的正负，根据绝对值的意义去绝对值，然后化简即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：，且， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：因为，，， 所以 难点三 用整体代入法求代数式的值 难点1：构造与识别“整体” 关键在于敏锐观察已知条件与所求代数式之间的结构关联。难点在于当系数不匹配或符号相反时，需通过恒等变形（如提取负号、倍数）主动构造出整体，而非生硬代入。 难点2： 变形过程中的等价性 对已知条件进行变形时必须保持恒等，避免引入额外倍数或符号错误。同时，需注意整体与部分的辩证关系，确保每一步变换都严格等价，否则会导致求值结果的偏差。 难点精练 1.（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； （2）由已知条件可得，然后将原式代入已知数值计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； 掌握整体思想和整式的加减运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 2．（24-25六年级上·山东济南·期末）运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)2002 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入方法． （1）将整体代入求解即可； （2）根据题意得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴． 3．（24-25七年级上·青海西宁·期中）理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； 【答案】(1)2025 (2)11 【分析】本题考查了求代数式的值，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，整体代入计算即可得解； （2）将式子整理变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵； ∴ ∴； （2）解：， ∴． 难点四 整式的加减中的新定义型问题 难点1：对新定义运算法则的准确“翻译”与代入 题目常定义如“※”或“△”等抽象符号，需严格按示例将整式代入对应位置。学生易犯代入时漏括号的错误，尤其在涉及减法时，未将后项整体视为被减数，导致符号处理失误，从而影响后续化简。 难点2：对“结果与某字母无关”或“不含某次项”条件的转化 此类条件本质是合并后该项的系数为0。难点在于化简后如何正确提取系数并建立方程。特别是系数含多个参数，或“无关”与“恒等”概念混淆时，容易遗漏条件或列错等式，导致参数求解失败。 难点精练 1.（24-25六年级上·山东济南·期末）定义新运算：． (1)若，，化简； (2)若，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算及代入求值，非负性的运用，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的计算方法，整式的混合运算法则计算即可； （2）根据非负性得到的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，， ∴， ∴， ∴原式． 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）定义：对于一个两位数，它的个位数字与十位数字不相同，且都不为零，将其个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，除以11所得的商记为．例如，对调个位数字与十位数字得到的新两位数为31，因为，所以． (1) ； (2)若，在下列各数中可能为 （填序号）； ①14；②25；③32；④43 (3)若的十位数字是，个位数字是，猜想 （用含，的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1)12 (2)②④ (3) ， 理由如下： ∵x的十位数字是m，个位数字是n， ∴x为， ∴． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）参照示例，代入运算，即可得到结果； （2）对所给的四个数字，逐一计算，可得到结果； （3）表示出这个两位数，代入运算，可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：，， ，， ∴若，则x可能为25或43； （3）略 3．（25-26七年级上·河北保定·期末）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______________．任何数同0进行“※”运算，都得__________________． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值；（2）； （3）当时，； 当时，； 当时，． 【分析】本题考查有理数加法运算，去括号，绝对值，以及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3） 略 难点五 用代数式表示数的规律 难点1： 从具体到抽象的“模型建构”核心在于准确捕捉变量间的内在联系。面对数列或图形，易被表面形式迷惑，需透过增量、倍数或比值等特征，提炼出核心变量（如序号n），并用运算符号将未知与已知联结，完成从特殊到一般的抽象建模。 难点2： 代数式的“化简与验证” 归纳出的代数式需进行化简整理，并代入初始项验证。此过程易因运算失误或形式变换不当导致表达式失真，只有确保通项公式对所有限定条件均成立，才算是正确的规律表征。 难点精练 1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第4个等式：_______； (2)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)第个等式可表示为（为正整数） 验证如下：左边右边， ∴等式成立． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出等式中数字的变化规律是解题的关键． （1）归纳出数字的变化规律，继续写出第4个等式即可； （2）归纳出变化规律，写出第n个等式，并验证即可． 【详解】（1）解：由上述规律可得，第4个等式为 故答案为：． （2）略 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，整式的加减； （1）仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可； （2）总结以上式子的规律求解即可． 【详解】（1）解：；（答案不唯一） （2）解： ． 3．（25-26七年级上·全国·期末）根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：________； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： ， ， ， … 通过探索，我们发现________；（用含n的代数式表示） (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查数字规律，找到数字变化规律是解答本题的关键． （1）观察前3个式子发现规律：，据此即可得到结果； （2）利用（1）的规律将每一项（到100）表示为，然后裂项相消即可得到结果； （3）类比（1）的思路可解答． （4）类比（2）的思路可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，…， ∴ ； （3）解：∵， ， 同理，， 故答案为； （4）解：∴ ． 难点六 用代数式表示图形的规律 难点1：从“形”到“数”的准确抽象 难点在于识别图形增量，而非仅数总数。需区分序数（n）与数量（如周长、面积）的关系，尤其当图形涉及重叠、共用边或分层结构时，易漏算公共部分，导致代数式（如4n-2）忽略“-”修正。 难点2： 代数式的化简与验证 推导出的含括号代数式需化简为最简形式（如3n+1），但化简过程易出错。同时，需代入n=1验证是否与首项相符，否则等式不成立，这是检验规律正确性的关键步骤。 难点精练 1.（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点． (1)当时，图形的点数为_________个； (2)当时，图形的点数为_________个； (3)当时，图形的点数为_________个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是图形类规律探究，列代数式，观察图形，找出相应的规律是解题的关键． （1）由观察图形直接便可得出，，时点的数量，进一步可得时点的数量． （2）结合（1）可得时点的数量． （3）结合（1）可得时点的数量． （4）结合（1）归纳可得每个图形的点数． 【详解】（1）解：依题意得：，点数为， ，点数为， ，点数为， ，点数为（个）． 故答案为：12． （2）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：30． （3）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：． （4）解：由（1），（2），（3）归纳可得： 每个图形的点数用含n的式子表示为：个． 故答案为：个． 2．（23-24六年级上·山东济宁·期末）如图，正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： (1)填写下表： 正方形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 … (2)原正方形能否被分割成2004个三角形？若能，求此时正方形内部有多少个点；若不能，请说明理由． 【答案】(1)8，10， (2) 【分析】此题考查图形的变化规律，根据数据的变化规律，结合图形，总结出每增加一个点，三角形的个数增加2的规律是解题的关键． （1）由图形中三角形的个数，并观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可； （2）根据（1）中规律得到，进而即可得到答案， 【详解】（1）解：有1个点时，内部分割成4个三角形； 有2个点时，内部分割成个三角形； 有3个点时，内部分割成个三角形； 有4个点时，内部分割成个三角形； 以此类推，有n个点时，内部分割成个三角形， 补全表格如下： 正方形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … （2）解：能， 由（1）知， 解得：， 所以正方形内部有个点． 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图案． 图案标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 小棒根数 6 11 16 ________ ________ … (1)按照图中的规律将表格补充完整； (2)按照这种方式继续拼摆图案，用含的代数式表示第个图案所需的小棒根数． 【答案】(1)21，26 (2)根 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中小棒的个数总结规律，用此规律求解在第个图形中的小棒的个数． （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正六边形小棒数增加5个，则第个图形中的小棒数为根； 【详解】（1）解：第①个图形中，小棒的根数是6； 第②个图形中，小棒的根数是11； 第③个图形中，小棒的根数是16； 第④个图形中，小棒的根数是； 第⑤个图形中，小棒的根数是； 故答案为：21，26． （2）解：根据（1）中规律可得第个图案所需的小棒根数为根． 基础达标 一、单选题 1.（24-25七年级上·河南南阳·期末）在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 2．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）下列说法正确的是（    ） A．单项式的次数是3 B．多项式的次数是3 C．单项式的系数是2 D．代数式、、都是单项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念． 依据单项式的次数、系数定义，多项式的次数定义逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵单项式的次数为所有字母的指数和，对于，x的指数是3，y的指数是1， ∴其次数为，故A错误； ∵多项式的次数是其最高次项的次数， ∴多项式的最高次项为，次数是2，故B错误； ∵单项式的系数是其数字因数， ∴的数字因数是，故C错误； ∵由数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或字母也属于单项式，是与x的积，是与的积，是单独的数， ∴它们都是单项式，故D正确； 故选：D． 3．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式运算中的合并同类项法则与去括号法则，逐一计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，A错误． 选项B：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，B错误． 选项C：∵去括号时，括号外的因数要乘括号内每一项， ∴，C错误． 选项D：∵，符合去括号法则， ∴D正确． 4．（25-26七年级上·河南新乡·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把所给多项式合并同类项，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴． 5．（25-26六年级上·山东威海·期末）若，则化简（   ） A． B． C．1 D．11 【答案】A 【分析】根据已知的的取值范围判断绝对值内式子的正负性，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 二、填空题 6．（23-24六年级上·山东威海·期末）多项式是__________次__________项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据定义解答即可． 【详解】解：多项式中，项的次数为，项的次数为，常数项的次数为， 因此最高次数为，故为三次多项式；项数为，故为三项式，即该多项式为三次三项式． 故答案为：三，三． 7．（25-26七年级下·广东阳江·期末）已知则__________． 【答案】 【详解】解：． 8．（25-26六年级下·上海·期末）如果，那么________． 【答案】 【分析】平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出和的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，． 解得，． 将，代入， 得：． 9．（25-26七年级上·福建厦门·期中）按如图所示的运算程序，当输入，时，输出的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，首先理解图示，然后再代入求值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）观察下列单项式：，，，…，（）按照此规律，第个单项式是________，第100个单项式是________． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示规律，通过观察找出系数和指数的变化规律，写出表达式，再代入求值即可解答． 【详解】解：第1个单项式为1，即， 第2个单项式为，即， 第3个单项式为，即， 第4个单项式为，即， ， 第n个单项式为， 当时，， 故答案为；． 三、解答题 11．（25-26六年级下·上海·期末）已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 13．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：： ．．．．．． (1)请写出第8个等式：___________； (2)请写出第个等式（是正整数）___________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到规律是解题的关键． （1）观察所给等式写出结论即可； （2）根据题目中给出的等式，结合（1）中结论找到规律得出即可． （3）根据（2）中得出的规律，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为； ； ； …， 所以第n个等式可表示为： 当时， 第8个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， ＝ ＝． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 【答案】(1)30 (2)个 (3)个 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形的规律，并用代数式表示． （1）根据图形分布，求出第7个图案中的图形个数即可； （2）找出规律，列出代数式即可； （3）代数求值，然后求差即可． 【详解】（1）解：第⑦个图案中有30个“○”， 故答案为：30； （2）解：第n个图案中“○”的个数为个； （3）解：第120个图案中“○”的个数为（个）． 第132个图案中“○”的个数为（个）． 所以第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少（个）． 能力进阶 一、单选题 1.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26六年级上·山东东营·期末）若与的差仍是单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义． 由于两个单项式的差仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而建立方程求解m和n，再代入计算表达式值． 【详解】解；∵单项式与的差仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴相同字母的指数相等， 即且， 解得，， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列各题中，正确的是（   ） ①﹣[5a﹣(3a﹣4)]＝2a+4 ②a﹣3b+c﹣3d＝(a+c)﹣3(b+d) ③a﹣3(b﹣c)＝a﹣3b+c ④(x﹣y+z)(x+y﹣z)＝[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]． A．①② B．②④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据去括号法则及合并同类项法则逐一求解分析即可。 【详解】解：①﹣[5a﹣（3a﹣4）]＝﹣（5a﹣3a+4）＝﹣（2a+4）＝﹣2a﹣4，故错误； ②因为(a+c)﹣3(b+d)=a+c-3b-3d=a﹣3b+c﹣3d，所以②正确； ③a﹣3（b﹣c）＝a﹣3b+3c，故错误； ④因为[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]= (x﹣y+z)(x+y﹣z)，所以④正确． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：∵小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项， ∴小华的计算过程为：， ∴，解得， ∴正确的化简结果为， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江西吉安·期末）已知，则的所有可能值为______． 【答案】3或7或 【分析】根据绝对值的性质，对a，b，c的正负性按负数个数分类讨论，分别计算代数式的值，即可得到所有可能结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知，对于非零数， 当时，，当时，， 按中负数的个数分类讨论如下. 1. 当a，b，c全为正数时，，则，，，， ∴原式； 2. 当a，b，c中有1个负数，2个正数时，， 则无论哪个数为负，， ， ∴原式； 3. 当a，b，c中有2个负数，1个正数时，， 则无论哪两个数为负，，， ∴原式； 4. 当a，b，c全为负数时，， 则，，，， ∴原式， 综上，所有可能值为3或7或． 6．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律探究，观察单项式得到变化规律是解题关键． 观察单项式的符号、系数、指数变化规律，得到第n个单项式为，代入即可． 【详解】解：由单项式可知，第n个单项式为， 代入得， 即第7个单项式为． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 8．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章整式及其加减 复习目标 1.理解代数式、整式的概念，能区分单项式与多项式，并准确辨析单项式的系数与次 数、多项式的项与次数。 2.掌握同类项的概念，能准确识别同类项，并运用合并同类项法则（系数相加，字母及 指数不变)进行化简。 复习要点 3.掌握去括号法则，能区分括号前是“+”号与“-”号时的不同处理方式，避免符号错 误。 4.掌握整式加减运算的一般步骤（去括号、合并同类项），能进行准确的化简与求值。 5.理解用字母表示数的一般性，能运用整式表示实际问题中的数量关系，并初步探索数 与图形中的变化规律。 重点：整式相关概念的辨析，以及整式加减运算法则（去括号、合并同类项）的掌握与 应用。 复习重难点 难点：识别同类项，正确处理去括号时符号的变化，以及将实际问题中的数量关系抽象 为整式表达式。 理脉络 知识体系构建 单项式 整式定义 多项式 系数 单项式 次数 项 多项式 知识梳理 次数 单项式系数与次数混淆 定义 同类项 多项式项数遗漏常数项 合并法则 易错点 式及其 同类项指数误判 去括号 整式加减 去括号符号错误 学法指导 合并同类项 同类项判断与合并 减 化简求值 整式应用 整式化简求值 高频考点 实际应用 实际应用列式 1/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主千 核心内容整合 知识点 代数式 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或字母也是代数式。其 书写格式有特定要求，如数字与字母相乘时，数字应写在字母前面等。 一要点速测 1.(24-25六年级上·上海奉贤期末)下列式子中：①0：②a;③x+y=2；④x-5;⑤2a;⑥a2+1； ⑦a≠1；⑧x≤3. 属于代数式的有 个 知识点 整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数， 所有字母的指数和是次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项 的次数是多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 口口要点速测 1 a+1 2,(2-23七年级上河北张家口期末)在式不：0。a+b）,。 3x2y2z ,②2，③x,④0.la中，单项式 有 多项式有」 整式有 (填序号) 2 3.(25-26七年级上·四川成都期末)单项式3mmx的次数是一，系数是 4.(24-25七年级上山东滨州期末)整式 5xy+xy2+9x2y3-4 是 次 项式 知识点 整式的加减 2/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和 字母的指数不变。 2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”， 去掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。 3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合 并同类项。 要点速测 5.(25-26七年级上吉林白山期末)已知A=2a2-a+3b-ab,B=a2+2a-b+ab, (1)化简A-2B: (2)当a-b=2,ab=-l时，求A-2B的值. 知识点 探索与表达规律 探索与表达规律：包括图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律等，体现了从特殊到一般和归纳、猜 想的数学思想。 一要点速测 6.(25-26七年级下江西吉安期末)观察下列各式，解答问题： P=1=x1x2×3」 6 1 12+22=5=×2×3×5 6 12+2+32=14=2×3×4×7； 6 … 1 ()【发现规律】填空：P+2+3+4=（)=6×()×()×(): 6 总结规律】猜想填空：+2+3++㎡=×()）×C 6 3)【应用规律】求182+192+202+212+222+232+242的值. 3/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(24-25七年级上·广东茂名·期末)【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组 织大家用磁力棒搭等边三角形.老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： 1 (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是 (2)当三角形的个数是n时，所用的磁力棒的根数是 (用含n的代数式表示)： (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由： 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等 边三角形， 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 研题型 高频题型突破 题型1代数式的识别 例1(25-26七年级上广东广州期中)在式子：0，a,x+y=2,x-5,2a,a≠1，x≤3中，代数 式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解题要点 1.抓结构：先看整体运算（加减乘除、乘方），再逐层拆分项与因子，明确运算顺序，避免将单项式 误判为多项式。 2.辨类别：根据字母取值（常数/变量）及运算形式，区分整式、分式、根式，注意分母或根号内是否 含字母，决定后续处理规则。 ■迁移练1-1(25-26七年级上·海南三亚期中)在式子x-5,2ab,C=πd,-2,a+2>b中，代数式有 4/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1迁移练12(2425七年级上内蒙古呼伦贝尔期中)在式了：10，a=2x,m+n<0中，代数式有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 迁移练13(2026七年级上全国专题练习)下列式子中：①0，②a:③x+y=2;④x-5;⑤2a:⑥ a≠1：⑦x≤3.属于代数式的有() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 题型2代数式书写方法 ■例2(25-26七年级上·全国期中)下列式子书写正确的有() D2xb:②m3:③22ab:④90-c:⑤m-n元 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题要点 1.规范简写：乘号省略（数字在前，字母在后，如3），除号用分数线，带分数化假分数，相同字母 写成幂(a2)。 2.代入有序：代入数值时还原省略乘号，添加括号（负数、分数），先算乘方再按运算顺序化简求值。 1迁移练2(2425六年级上山东期末)下列各式：（山）b,(2)3:(3)35x:④)b*6 a2-2b2 (5)5；(6)3a-b吨，其中符合书写要求的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ■迁移练2-2(2425七年级上·湖南邵阳·期末)下列单项式书写规范的有()个 ①22b:@2ry:@2:⑩-l6n 3 A.1 B.2 C.3 D.4 5/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1迁移练23(2024七年级上全国专题练习)下列各式：①l4);②2.3：®g-b÷c:④20%r:回4； ⑥x-5,其中不符合式子书写要求的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型3单项式、多项式、整式的判断 ■例3(25-26七年级上湖南期末)下列说法错误的是() 2 2 A xy的系数是3 3 B.0是单项式 C. 3y的次数是1 D.-x是一次单项式 解题要点 1.抓分母：看字母是否出现在分母中。若分母含字母，则不是整式（属分式），更非单项式或多项式。 2.看运算：整式只含加、减、乘、乘方。单项式是数字与字母的乘积（无加减）；多项式是多个单项 式的和（有加减）。 ■迁移练3-1(25-26七年级上·重庆·期末)关于整式的概念，下列说法错误的是（) A.1-d-ab是二次三项式 B x'y 是四次单项式 C,二2πx的系数是；2 D.-4ab的次数是3 2 x-y ■迁移练3-2(25-26七年级上江苏镇江·期末)下列判断：①5不是单项式：②3是多项式；③0 1+x 不是单项式；④x是整式.其中正确的有() A.2个 B.1个 C.3个 D.4个 b2 y+3 ab+x 3 1 ■迁移练3-3(25-26七年级上宁夏银川期中)在3,2，-2,5，y，a+b,单项式有 多项式有 整式有 题型4多项式系数、指数中字母求值 6/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4(24-25七年级上吉林期末)若关于x的多项式(a-3)x+4r2+(4-b)x+3中不含三次项和一次项， 则a°=() A.7 B.12 C.64 D.81 解题要点 1.系数求值：紧扣“同类项”定义，即字母相同且指数对应相等。据此列方程，解出参数后，务必回 代检验系数是否为非零实数（系数为0则该项不存在）。 2.指数求值：利用幂的运算法则（乘、除、乘方）化简等式，转化为底数相同的形式，进而建立关于 字母指数的方程，最后解方程并验根（确保底数不为零且指数有意义）。 m-3)xm-2y3+x2y-2y2 ■迁移练41(25-26七年级上·安徽淮南·期中)已知多项式 是关于x,y的四次 三项式，m的值是() A.6 B.3 C.-3 D.-3或3 3 迁移练42(25-26六年级上·上海金山期末)一次式2x+2中，一次项系数是 迁移练43(24-25六年级下黑龙江绥化期末)如果整式x”2-5x+2是关于x的二次三项式，那么n= 题型5同类项与合并同类项 ■例5(25-26七年级上·云南普洱·期末)下列计算正确的是（) A.7x+x=7x2 B.5y-3y=2 C 6x+2y=8y D 3x2y-2x2y=x'y 解题要点 1.识别条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同（与系数无关）。 2.合并法则：只把系数相加减，字母和字母指数不变。注意移项时连同符号一起移动，避免漏项或符 号错误，最终结果按某字母降幂排列。 ■迁移练5-1(25-26七年级上·安徽六安·期末)下列运算中，结果正确的是（) 7/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a+2a2=3a B.5a+b=5ab C.3a-a=2 D.3ab-2ab=ab ■迁移练5-2(25-26七年级上：江苏无锡期末)下列运算正确的是() A.5m+n=5mn B.a+a=2a C.xy-xy=x D.-y+y=0 Ⅱ迁移练53(25-26七年级上·山东淄博期末)计算 ()m+n-6m+2n 2r-2y-(y-6) 题型6已知同类项求指数中字母或代数式的值 例6(24-25七年级上河北石家庄期末)如果xy与2ry是同类项，那么mn= 解题要点 1.列方程：根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数相等），将对应字母的指数分别用等 号连接，列出方程或方程组。 2.解方程：准确解出所列方程（组），得到字母或代数式的值。注意检验解是否满足题目隐含条件 (如指数为正整数)。 迁移练61(2425七年级上云南德宏期末)若单项式2x"y'和-xy是同类项，则mn= 1迁移练6-2(25-26七年级上·福建漳州期末)若ab与-3b"是同类项，则m的值为 迁移练63(25-26七年级上山东滨州期末)若8xy与3xy”是同类项，则m+=一 题型7程序流程图与代数式求值 【例7(24-25七年级上河北张家口期末)按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入x=-1,则最 后输出的结果是 8/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x yes ×4→（1) 输出 no 解题要点 1.理清流向：严格按箭头顺序执行，明确每个框的作用（输入、赋值、判断、输出），尤其注意判断 框的分支条件与循环路径。 2.逐代计算：将已知数值代入变量，按流程逐步运算，每次赋值更新当前值，最终输出结果。注意区 分输出值与中间变量。 ■迁移练7-1(25-26七年级上辽宁沈阳期末)如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=-2,则最 后输出的结果是 输入x 计算3x+2的值 是 输出结果 否 ■迁移练7-2(25-26七年级上全国·期末)如图，当输入x的值为-1时，输出的结果为 输入x 计算-2x+1 是 >10 输出结果 否 ■迁移练7-3(2425七年级上陕西汉中·期末)如图，是一个简单的数值运算程序. 输入x=)→×2)=-4输出 (1)请用含x的代数式表示输出的结果 (2)计算当x=-2时，输出的结果。 题型8整式的加减运算 例8(25-26七年级上福建泉州期末)化简： )4w-3y2+y-y a5a-3b)+5(a-2b) 9/26 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，不变号；是“-”，全变号），正确去掉括号，注意分 配律的应用，防止漏乘。 2.合并同类项：找出同类项，将它们的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。运算结果按某一字 母的降幂或升幂排列，确保最简。 ■迁移练8-1(25-26七年级上：四川乐山期末)已知M=3x2-2xy+y2,N=2x2+xy-3y2 (1)求M+2N: (2)求2M-3N 迁移练8-2(25-26七年级上·江苏泰州期末)化简： 0)4a-ab-3a2）+2ab 22x+4(x-x) ■迁移练8-3(25-26七年级上河南洛阳·期末)化简： a)-2ah+3a）-2(2a-b)+2ab a2x-+-x-r+: 题型9整式的加减中的化简求值 例9(24-25七年级上浙江宁波期未)先化简，再求值：3ab-ab2-3(db-2ab2+1)+3,其中a=2, b=-2 解题要点 1.先去括号：根据去括号法则（括号前为正，去括号不变号；为负，去括号全变号）或乘法分配律， 逐层去掉括号。 2.再合并同类项：将化简后的式子中，所含字母相同且相同字母指数相同的项，系数相加减，字母及 指数不变。最后代入数值计算即可。 ■迁移练1(2425七年级上江西赣州期末)先化简，再求值： 4d2-2ab2）-4(5d-3ab）.其中 10/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=-1,b=2. ■迁移练92(25-26七年级上山西太原·期末)先化简，再求值。 2(a2-2ab)-3(a2+ab)+a2 其中a=-2,b=3 ☐迁移练9-3(25-26七年级上·安徽合肥·期末)先化简，再求值： (6w ra)-2 a=-1,b=-3 题型10整式的加减运算与应用 例10(25-26七年级上安徽合肥期末)如图所示，其中长方形的长为a,宽为b. (1)求阴影部分的面积；（用ab字母表示） (2)当a=3,b=1时，求阴影部分的面积.（结果用π表示） 解题要点 1.去括号与合并：先去括号（注意符号变化），再合并同类项（系数相加，字母及指数不变），将结 果化为最简形式。 2.代入求值或列式：化简后，若给出字母值则直接代入计算；若为应用题，则根据题意列出整式表示 数量关系，再化简求解。 ■迁移练10-1(25-26七年级上·陕西渭南期末)如图是用相同材料做成的A,B两种造型的长方形窗框， 其中窗框MN将A型窗框分成了两个小长方形，窗框PQ将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B 型窗框的长都是x米，宽都是y米.（制作窗框时，MNPQ均要用材料，接缝处忽略不计） 11/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A型 B型 (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当x=2，y=3，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米 的材料？ ■迁移练102(25-26七年级上·安徽阜阳期末)如图，合肥新四军渡江战役纪念馆要在两块紧挨在一起的 长方形荒地上修建一个半圆形花坛，尺寸如图所示（单位：米）· 2 (1)求阴影部分的面积（用含x的代数式表示，保留π）： (2)当x=8,π取3时，求阴影部分的面积， ■迁移练10-3(25-26七年级上·陕西西安期末)如图，长方形ABCD是一个花圃的示意图，四边形ACFE 区域（阴影部分）种花，剩余两个三角形区域（三角形ABC和三角形DEF)种草，已知长方形花圃的长 为m,宽为4m,点E、F分别在线段ADCD上. E← 4 B (1)用含a、b的代数式表示种花区域（阴影部分）的面积；（结果化为最简） (2)当a=6,b=2时，求种花区域（阴影部分）的面积. 12/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 破难点 方法聚焦透析 难点一整式的加减中的无关问题 难点1：对“无关”条件的转化误区难点在于将文字描述准确转化为数学条件。如“值与字母x无关”， 则含x的所有项系数必须为0，需合并后令系数和为零。常见错误是只关注最高次项，忽略一次项和常数 项中的隐含变量，导致条件不全。 难点2：对“不含有”与“无关”的区分 “不含有某项”特指该项系数为零，是局部条件：而“与某字母无关”是整体要求，需该字母所有次数项 的系数和均为零。解题时若混淆，易漏解或错设条件，尤其在多项式含多个字母时，需明确主元再分类讨 论。 口口难点精练 1.(25-26六年级上山东泰安期末)已知关于x,y的多项式 5x-2y2-[3y+4y2+(9y-2y2-2mgy2）+7x]-1 (I)若该多项式不含三次项，求的值： (2)在(1)的条件下，当 2+y2=26y=-12」 时，求这个多项式的值. 2。(25-26七年级上重庆忠县期末)设a是已知常数，如果M=(a+3)r+a(x+) B=(5-a)x2+2(x-1 ,且A+B的常数项为0. (1)求常数a的值： (2)若2x2+x-3=0,求A+B的值. 3.(25-26七年级上山东德州期末)先化简，再求值： 0b+(-6+3as-b-a6）其中a=2,b= 2 ②尼知4=5-4w+y,B=+3g-2y若24-38的值与y无关，求x的值 13/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点二带有字母的绝对值化简问题 难点1：符号的“不确定性” 字母代表未知数，其正负性未定，导致绝对值内整体符号无法直接判断。化简时必须先明确字母取值范围 或分类讨论，不能默认其为正，否则易错。 难点2：分类讨论的“完整性” 通常需根据零点分段法划分区间，讨论要既不遗漏也不重复。尤其含多个绝对值时，需确保每种情况下的 符号假设与化简结果严格对应，避免区间合并错误或边界值处理失误。 口口难点精练 1.(25-26七年级上陕西渭南期末)已知a,b,C为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示. a0b 6→ (1)用“>”或“<”填空：a0,b0,c-a0； 2)化简： la+b-c-lc-al 2.(25-26七年级上·江苏期末)有理数a、b、c在数轴上的位置如图： -3-2-10123 (1)用“>”或“<”填空：b-C0,a+b0,c-a0. ②化简：b-+a+M-k-a 3.(25-26七年级上·安徽准北期末)有理数a,b，c在数轴上的位置如图所示. a 0 b (1)a+c 0,c-b0,a-b0;(填“>”“<”或“=”) (2)化简： a+c-c-b+a+b 难点三用整体代入法求代数式的值 难点1：构造与识别“整体” 14/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关键在于敏锐观察已知条件与所求代数式之间的结构关联。难点在于当系数不匹配或符号相反时，需通过 恒等变形（如提取负号、倍数)主动构造出整体，而非生硬代入。 难点2：变形过程中的等价性 对已知条件进行变形时必须保持恒等，避免引入额外倍数或符号错误。同时，需注意整体与部分的辩证关 系，确保每一步变换都严格等价，否则会导致求值结果的偏差。 ■难点精练 1.(2425七年级上甘肃兰州：期中)在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减 的运算中经常使用.比如，已知：a2+2a=1,求代数式2a2+4a+4的值. 解：2a2+4a+4 =2(a2+2a+4 =2×1+4 =6 在解决上面问题时，我们无需知道的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为己知 a2+2a a2+2a=1 的形式，再将已知 代入求值即可. 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若x2-4x=1,则2x2-8x-1=一 (2)当x2+2x-1=0,求4-4x-2x2的值. 2.(24-25六年级上·山东济南·期末)运用整体思想在代数式求值中经常会有用到. 例如：已知a+2a=1,则代数式 a2+4a+4=2a2+2a+4=2×1+4=6 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若x2-3x=2,则x2-3x+4= (2)若代数式x2+x+1的值为12，求代数式-2x2-2x+2024的值. 15/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25七年级上·青海西宁·期中)理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法，例如：x2+x=0,则x2+x+1186= 我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若x2+x-1=0,则x2+x+2024= (2)如果a+b=5,求 (a+b)-4a-4b+21 的值： 难点四整式的加减中的新定义型问题 难点1：对新定义运算法则的准确“翻译”与代入 题目常定义如“※”或“△”等抽象符号，需严格按示例将整式代入对应位置。学生易犯代入时漏括号的 错误，尤其在涉及减法时，未将后项整体视为被减数，导致符号处理失误，从而影响后续化简。 难点2：对“结果与某字母无关”或“不含某次项”条件的转化 此类条件本质是合并后该项的系数为0。难点在于化简后如何正确提取系数并建立方程。特别是系数含多 个参数，或“无关”与“恒等”概念混淆时，容易遗漏条件或列错等式，导致参数求解失败。 口口难点精练 1.(24-25六年级上山东济南期末)定义新运算：A@B=2A+B (1)若A=a2b-2ab2,B=-2a2b+3ab2,化简A@B: 2若a-+b+2=0 求(1)中4@B的值. 2.(25-26七年级上山东青岛期末)定义：对于一个两位数x,它的个位数字与十位数字不相同，且都 不为零，将其个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，除以1 13+31=4,所以 所得的商记为S(x).例如x=13,对调个位数字与十位数字得到的新两位数为31，因为11 S(13)=4 16/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a539)= Q若5(y=7 在下列各数中x可能为（填序号）： ①14；②25：③32；④43 s(x)= 3)若x的十位数字是m,个位数字是”，猜想° (用含m,”的代数式表示)，并说明理由. 3.(25-26七年级上河北保定·期末)【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3×5=8, (-3)※5=-8， 3※0=3， (-3)※(-5)=8. 3※(-5)=-8. (-3)※0=3. 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 任何数同0进行“※”运算， 都得 【运用】 (-12)※(4※0) (2)计算： (-7)※x (3)化简： 难点五用代数式表示数的规律 难点1：从具体到抽象的“模型建构”核心在于准确捕捉变量间的内在联系。面对数列或图形，易被表面 形式迷惑，需透过增量、倍数或比值等特征，提炼出核心变量（如序号），并用运算符号将未知与已知 联结，完成从特殊到一般的抽象建模。 难点2：代数式的“化简与验证” 归纳出的代数式需进行化简整理，并代入初始项验证。此过程易因运算失误或形式变换不当导致表达式失 真，只有确保通项公式对所有限定条件均成立，才算是正确的规律表征。 一难点精练 1.(25-26八年级上·安徽阜阳期末)观察下列等式： 17/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1个等式：1-日x3 1-2=2×2: 第2个等式：1-=2x4 3233: 第3个等武：1字 X- 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第4个等式： (2)写出第n个等式(n为正整数)，并验证其正确性. 2.(24-25七年级上·甘肃张掖期末)观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： 11×10-(1+)=9×12 15×10-(1+5)=9×16 34×10-(3+4)=9×37 21×10-(2+1)=9×23 (1)请另外写出一个符合上述规律的算式： (2)设算式中第一个两位数的十位数字为4，个位数字为b,请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 3.(25-26七年级上·全国·期末)根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： 22-2=2×2-2=2, 23-22=2×22-22=22, 24-23=2×23-23=23, … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：2206-2205= (2)计算：2+22+23+…+210. (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： 32-3=3×3-3=…, 33-32=…, 18/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-33=…, … 通过探索，我们发现31-3”=一；（用含n的代数式表示） (4)计算：32025+32024+3223+…+32+3 难点六用代数式表示图形的规律 难点1：从“形”到“数”的准确抽象 难点在于识别图形增量，而非仅数总数。需区分序数()与数量（如周长、面积）的关系，尤其当图形 涉及重叠、共用边或分层结构时，易漏算公共部分，导致代数式（如4-2）忽略“.”修正。 难点2：代数式的化简与验证 推导出的含括号代数式需化简为最简形式（如3+1），但化简过程易出错。同时，需代入n=1验证是否与 首项相符，否则等式不成立，这是检验规律正确性的关键步骤。 口难点精练 1.(25-26七年级上河北沧州阶段检测)如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个 顶点)有n(n为正整数)个点. ● ●● ●●● ●●●● ●●●●● n=2 n=3 n=4 n=5 (1)当n=5时，图形的点数为 个： (2)当n=11时，图形的点数为 个： (3)当n=200时，图形的点数为 个： (4)每个图形的点数用含n的式子表示为 个 2.(23-24六年级上山东济宁·期末)如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 19/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 内部有1个点 内部有2个点 内部有3个点 (1)填写下表： 正方形 ABCD内点 1 2 3 4 的个数 分割成的三 6 角形的个数 (2)原正方形能否被分割成2004个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明 理由 正方形 ABCD内 3 点的个数 分割成的 三角形的 6 8 10 2n+2 个数 3. (25-26七年级上·陕西渭南期中)如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图案. 图案标 ① ② ③ ④ ⑤ 号 小棒根 6 11 16 数 ① ② ③ 20/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)按照图中的规律将表格补充完整； (2)按照这种方式继续拼摆图案，用含n的代数式表示第n个图案所需的小棒根数. 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.(24-25七年级上河南南阳期末)在式子n-3、a、1、80%1、S=ab中，代数式的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(25-26七年级上·河南平顶山期末)下列说法正确的是() xy A.单项式3的次数是3 B.多项式2x-y+1的次数是3 C.单项式2r的系数是2 D.代数式2、πr2、-1都是单项式 3.(25-26七年级上·广东河源期末)下列计算正确的是() A.2m+3m=5m2 B.5y-3y=2 c.2r2-3(x-4)=2x2-3x+4 D.2x-2(y-)=2x2-2y2+2 4.(25-26七年级上河南新乡期末)若多项式2x2-x2+-5-3x不含x的一次项，则a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.(25-26六年级上山东威海期末)若5<a<6,则化简 a--la-6=(） A.2a-11 B.2a-1 C.1 D.11 二、填空题 6.(23-24六年级上山东威海期末)多项式a2b+3ab-2024是 次 项式 21/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级下·广东阳江期末)已知x-2y=-2,则5x-10y+9= 8.(25:26六年级下上海期末)如果(x-2+2y+3到=0 那么x+4y2= 9.(25-26七年级上福建厦门期中)按如图所示的运算程序，当输入x=-3,y=2时，输出的结果是 是 (x+y)2 输入x,y x>y 输出结果 (r-y)2 否 10.(25-26七年级上湖南邵阳期末)观察下列单项式：1,6a2,11a,16a,(a≠0)按照此规律， 第n个单项式是 一，第100个单项式是 三、解答题 1。(2526六年级下上海期末)已知不BC都是-次式，且4=(5x-4),B=y+6-3: C-A4-2B 3 (1)化简C: (2)求出当x=-2,y=3时C的值. 12.(25-26七年级上湖南湘潭期末)对于有理数a,b,定义两种新运算“※”与“回”，规定： ※b=a-b.0b=la+b+a-分，例如， 2※(-1)=2-（-1)=2+1=3 (-2)O3=-2+3+-2-3=1+5=6 ()填空： 2※(-3)=2⊙(-1)= (2)a,b在数轴上的位置如图所示，化简aOb 22/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1a0 13.(25-26七年级下·安徽安庆期末)“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较 为广泛.如已知a+2b=2,求3a+6b-3的值.根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将 (a+2b) 3a+6b-3=3(a+2b)- 看作一个整体，其值即为2，而 ,将a+2b=2整体代入，即可求得 3a+6b-3=3×2-3=3 2-y=53x2-3y-5= (1)已知 ,则 ②若m+3n=-5,求23m+-4(m-的值， 6)设多项式4=a㎡+4x-,B=h:-+2,C=5+-),若4+B+C的结果与x的取销无关，求 a+b-c+d的值. 14.(25-26七年级上安徽合肥期末)观察下列各式： 113 第1个等式：1-2=2×2： 12.4 第2个等式：175×3： 135 第3个等式：1一平-4×4： (1)请写出第8个等式： (2)请写出第n个等式(n是正整数) 3)根据上述规律，计算： (--…个2 15.(25-26七年级上陕西西安期末)用大小相同的“O”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中 有6个“O”,第②个图案中有10个“O”，第③个图案中有14个“O”,…按此规律继续拼图案. 23/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OOOOO 00OO ① ② ③ ④ (1)第⑦个图案中有 个“O”: (2)用含n的代数式表示第n个图案中“O”的个数： (3)求第120个图案中“O”的个数比第132个图案中“O”的个数少多少个？ ①能力进阶 一、单选题 1.(25-26七年级下·安徽合肥期末)若x2-4x-4=0,则-2x2+8x+14的值为() A.-6 B.6 C.22 D.-22 2.(25-26六年级上山东东营期末)若-5am+bc3与5abc”的差仍是单项式，则-2m+3n的值为() A.-1 B.-7 C.1 D.7 3.(25-26七年级上广东广州期中)下列各题中，正确的是() ①-[5a-(3a-4】=2a+4 2 a-3b+c-3d=(a+c)-3(b+d) ③a-3(b-c)=a-3b+c 4(x-y+2)(x+y-2)=[x-(v-2][x+(y-2)]. A.①② B.②④ C.①②④ D.①③④ 二、填空题 4.(25-26七年级上·江西上饶期末)化简代数式 -y+m+2灯时，小华将”看成了它的相反数，最 终他的化简结果不含x项，则正确的化简结果为 3+ a b c abc 5.(25-26七年级上江西吉安期末)已知lal,b2,c3,则1a'1b1'1c1abc|的所有可能值为 3 5 62526七年级张液期末观察下面一组项武：4X只8父，6根据其中的 24/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 规律，得出第7个单项式是 三、解答题 7.(24-25七年级上·河北秦皇岛期末)定义新运算“△”和“口”： ①定义新运算“△”：给定有理数ab,对于整式A、B,规定A△B=aA-bB,等式右边是通常的减法、 乘法运算： noM=M△M△..△M ②定义新运算“口”：给定正整数n(n≥2)，对于整式M,规定 个M (按从左到右的 顺序依次做“△”运算)例如：当a=1、b=2,n=2时，对于A=x,B=y,则有A△B=A-2B=x-2y, 20A=A△A=x-2x=-x. (1)当a=2,b=2时，若A=x+2y,B=2x-3y,求AaB和3oA. (2)直接写出一组a,b的值，使得对任意一个正整数n(n之2)和任意一个整式M,都有noM=M成立. 同当0=l,6=2时，若4=4r+3四+5y.B=10x-7四+6>+8，若p加0△(g如8 、q为正整数， 且P≥2、9≥2)中不含x项，直接写出满足条件的一组卫、q的值. 8.(25-26八年级下·安徽宣城期末)综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合 拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边 形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题， 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十 二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板 砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…， 依此类推。 图1 图2 25/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)【问题探究】①第4层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖： ②第n层中含有 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）. (2)观察下列算式，并完成填空： 3=22-1 3+5=32-1 3+5+7=42-1 3+5+7+9=52-1 3+5+7+9+…+(2n+1)= (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正 方形和80块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由. 26/26