4.1 线段、射线、直线（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本初中数学讲义聚焦线段、射线、直线的概念与区别，系统梳理直线性质（两点确定一条直线）、线段性质（两点之间线段最短），以及线段比较、和差、中点及尺规作图等核心知识点，构建从概念理解到性质应用再到拓展计算的递进学习支架。 该资料以生活实例（如木工弹线、隧道缩短路程）培养数学眼光，通过分类讨论和规范推理步骤提升数学思维，设置分层练习（基础、素养、创新）强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识盲点。

第四章 基本平面图形 4.1 线段、射线、直线 课标要点 1. 通过实物和模型，了解从物体抽象出来的线段、射线、直线和点的概念；掌握基本事实“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”。 2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，会作出线段的和、差，会用几何语言表示线段的和、差，并能利用线段中点进行长度计算。 学习重难点 学习重点 1. 掌握线段、射线、直线的概念、特征与表示方法，理解其联系与区别。 2. 掌握比较线段长短的方法，理解线段的和、差及线段中点的概念，能进行相关的长度计算。 学习难点 1. 线段计算中的分类讨论问题，如点在延长线上时需分情况讨论，避免遗漏。 2. 综合运用线段和差与中点关系进行几何推理和计算，能规范地写出“因为……所以……”的推理步骤。 知识点 线段、射线、直线的概念 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 特别提醒 1. 线段有两个端点，可度量；射线只有一个端点，向一方无限延伸；直线无端点，向两方无限延伸。 2. 表示时，射线端点字母必须在前面，如射线OA，不能写成射线AO。 3. 直线和射线都不可度量长度。 随学随练 1.（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）直线与直线是否是同一条直线？___________（是/否） （2）射线与射线是否是同一条直线？___________（是/否） （3）线段与线段是否是同一条直线？___________（是/否） 【答案】 是 否 是 【分析】根据直线、射线、线段的表示方法，线段与射线的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）直线与直线是同一条直线， 故答案为∶是； （2）射线与射线不是同一条射线，错 故答案为∶否； （3）线段与线段是同一条线段， 故答案为∶是． 知识点 直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 特别提醒 1. 两点确定一条直线（即过两点有且只有一条直线）。 2. 该性质常用于解释实际应用（如木工弹线、植树对齐）。 3. 强调“有且只有”两层含义：存在性（有）和唯一性（只有）。 随学随练 1.（24-25六年级下·山东·阶段检测）过平面上不共线四点中的任意两点画直线，可以画出的直线共有________条． 【答案】6 【分析】此题考查过点作直线问题，正确理解过两点有且只有一条直线，根据题意画出图形求解即可． 【详解】解：如图所示， ∴可以画出的直线共有6条． 故答案为：6． 2．（25-26七年级上·四川南充·期末）下列三种现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握线段的性质是解题的关键．分别判断三种现象，确定用“两点确定一条直线”来解释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 故答案为：③． 知识点 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 特别提醒 1. 两点之间，线段最短。这是线段的基本性质，常用于解释“河边饮水”等实际最短路径问题。 2. 两点间的距离是指连接两点的线段长度，不是线段本身。 3. 注意区分“线段”与“距离”的表述差异。 随学随练 1.（2026·广西南宁·三模）彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 知识点 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 特别提醒 1. 比较方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（把一端对齐，看另一端位置）。 2. 叠合法必须将两条线段的一个端点重合，另一端点放在同侧。 3. 注意线段长短比较是数量比较，结果用“>、<、=”表示。 随学随练 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 【答案】在线段延长线上 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 知识点 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 特别提醒 1. 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图，不能使用刻度尺度量长度。 2. 直尺用于画直线、射线或线段；圆规用于画弧、截取等长线段。 3. 作图后要保留作图痕迹，并写出结论。 随学随练 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线和线段相交于点．在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小；在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了比较线段的长、短，解决本题的关键是用圆规作一条线段等于已知线段，把两条线段叠合在一起比较线段的长短． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画弧，交于点， 由图可知； 如下图所示，以点为圆心，为半径画弧，交于点， 由图可知． 知识点 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 特别提醒 1. 和与差是指线段长度的加减运算，结果仍是线段长度，用“+”“−”表示。 2. 计算时要带单位，且结果需化简。 3. 涉及中点或比例关系时，常需设未知数列方程求解。 4. 注意图形位置关系，线段和差常与中点、等分点结合考察，画图分析是关键。 随学随练 1.（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)比较线段的大小：________（填“”“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求； （2）由线段得出，即可得出结论； （3）由已知求出，根据，即可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ； 故答案为：； （3）解：∵，， ， ， ． 知识点 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 特别提醒 1. 定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。 2. 几何语言：若C是AB 中点，则AB = 2AC = 2CB。 3. 中点只有一个，且必须在线段上。 随学随练 1.（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，点B、C在线段上，且．若，，则的大小为（   ） A．5 B．4.5 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查线段之间的数量关系和长度计算，观察图形，寻找数量关系是解答关键；观察图形，根据题意和各线段之间的数量关系计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一个三角形纸片，不用任何工具，你能准确比较线段与线段的大小吗？试用你的方法分别确定线段，的中点． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了比较线段长短的知识，将纸片对折，使B点落在上，就可以得出；分别对折使A，B，C三点两两重合，线段，上折痕点就是线段中点． 【详解】解：将纸片对折，使边落在上，就可以得出； 对折使A、B重合，线段上折痕点就是线段中点． 对折使A、C重合，线段上折痕点就是线段中点． 拓展 直线相交的交点个数问题 1. 理解公式：n条直线两两相交且无三线共点时，交点总数为，由组合思想推导。 2. 考虑特殊情形：若有平行线，平行线间无交点；若多条直线交于同一点，需减去重复计数的交点。 3. 逐条添加分析：从第1条开始，每增加1条直线，最多与前面k条各产生1个新交点，累加得总数。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 【答案】 0或1或2或3个 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果． 分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 2．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有_______个交点． 【答案】 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】 5050个交点， 思考过程：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】略 4．（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 【答案】(1) 直线，射线，线段，如图所示， ； (2) 如图，点即为所求作； 此画图的依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短； (3)7，11． 【分析】本题主要考查了作直线，射线，及线段的基本性质，掌握直线、射线、线段的概念和线段的性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）连接交于点，点即为所求作，依据：两点间线段最短，据此即可求解； （3）根据题意画出图形即可得平面内最多不同的区域． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域． 故答案为：7，11． 拓展 线段的数量问题的应用 1. 理解公式：若一条直线上有n个不同端点，则线段总数为，由“每两点确定一条线段”推导。 2. 分类计数：按线段长度或端点位置分类，分别数出各类数量再相加，避免遗漏或重复。 3. 转化模型：将实际问题（如图形分割、路线规划）转化为线段计数模型，找准端点数n ，代入公式求解并验证合理性。 活学活用 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）请测量并比较线段的长短： 如图，在梯形中，___________，___________，___________（填“”“”或“”）． 【答案】 5 【分析】本题考查了线段长度的测量与比较，解题的关键是正确使用刻度尺测量线段长度并进行大小比较． 用刻度尺分别测量线段AD和BC的长度，再比较测量结果的大小． 【详解】解：用刻度尺测量得：，； ∵ ， ∴ ． 故答案为：①；②；③． 2．（25-26六年级下·山东泰安·期中）往返于泰安到北京的列车，中途停靠个站，则要准备____种不同的车票． 【答案】 【分析】结合线段的知识先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】解：泰安到北京的列车，中途停靠个站， 总站数为（个），每个站可到达站数为（个）， 要准备不同的车票种类数为（个）． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 【答案】(1) 如解图①，可以连成三条线段； (2) 如解图②，可以连成六条线段； (3) 共有10种票价 (4)见解析 【分析】本题考查线段的计数以及其在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点确定一条线段，并将实际问题转化为数学模型． （1）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （2）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （3）将站点看作点，不同站点间的距离不同对应不同票价，转化为求线段数量问题； （4）根据前面的原理构造类似的实际场景问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由表可得（千米），（千米），（千米）， 所以任意两站点间的距离均不相等，即票价均不相等， 故A市到E市各站点的距离如解图③所示： ①从A出发有4种票价，即； ②从B出发有3种票价，即； ③从C出发有2种票价，即； ④从D出发有1种票价，即， ⑤从E出发，有0种票价， 4+3+2+1＝10（种）， 综上共有10种票价； （4）解：若将一个点看作一个篮球队，每个篮球队两两之间进行一场比赛，则三个篮球队共需进行三场比赛，四个篮球队共需进行六场比赛．（答案不唯一） 拓展 线段n等分点的有关计算 1. 明确等分关系：n等分点将线段分成n条相等小段，每段长度为全线段的，各分点位置按比例确定。 2. 设参表示长度：设全长为L或单位长度，用含n和序号的代数式表示任意分点到端点或分点间的距离。 3. 利用中点综合：若涉及中点或其他比例点，结合等分点位置，通过加减线段关系建立方程，列式求解目标长度。 活学活用 1.（2025八年级上·全国·专题练习）把线段九等分，每一段的长度为，则线段的总长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 线段被九等分，每段长度为，总长度等于每段长度乘以段数，据此即可求解． 【详解】∵把线段九等分，每一段的长度为， ∴线段的总长度为， 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）点A、B、C是线段的四等分点，若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 由题意可确定是线段的三等分点，而，即可求解的长度． 【详解】解：∵点A、B、C是线段的四等分点，， ∴是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）已知线段，点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】或 【分析】本题考查线段的三等分点，分C靠近点和靠近点两种情况，进行求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的三等分点，， ∴当点C靠近点A时，； 当点C靠近点B时，． ∴线段的长度为或． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期中）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 【答案】(1)①见解析；②见解析，两点之间线段最短 (2)①8；②5或10 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）①根据两点确定一条线段求解即可；②根据三等分点的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短； （2）解：①图中有线段，共有8条线段， 故答案为：8； ②∵，M是的一个三等分点， ∴或， 故答案为：5或10． 拓展 与线段有关的动点问题 1.设参表示位置：设运动时间为 t，用含 t 的代数式表示各动点在数轴或线段上的位置（含方向）。 2. 分类讨论：根据动点是否到达端点或相遇，分时间段讨论位置关系，列出线段长度表达式。 3. 列方程求解：利用线段和差倍分关系（如 AP=2PB）建立方程，解 t 后代入检验是否满足范围。 活学活用 1.（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，C为线段上一点，B为的中点，且，． (1)求的长． (2)若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或. 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，关键是掌握分类讨论． （1）根据线段中点的性质，可求出的长，根据线段的和差，可得的长； （2）分类讨论：当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵B为的中点， ∴， 由线段的和差，得 ， 故：的长； （2）解：∵，， ∴， ①当点E在线段上时，由线段的和差，得； ②当点E在线段的延长线上时，由线段的和差，得 ， 综上所述：线段的长为或. 3．（25-26七年级上·全国·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 题型 线段、射线、直线的联系与区别 解题贴士 线段有两个端点，可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线无端点，向两方无限延伸。它们都是直的。联系：线段和射线都是直线的一部分。 ▌例1（25-26六年级下·山东淄博·期中）下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段、射线、直线的定义及延伸性质进行判断．线段有两个端点，不能延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线没有端点，向两方无限延伸． 【详解】解： A图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，能与线段相交，故A选项符合题意； B图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，不能与线段相交，故B选项不符合题意； C图中左边是射线，右边是直线，射线向左上方延伸，直线向左下方延伸，两者不能相交，故C选项不符合题意； D图中上方是直线，下方是线段，直线向左下方延伸，线段不能延伸，两者不能相交，故D选项不符合题意． ▌对点练1-1（25-26七年级上·河南开封·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是直线、射线、线段的定义，解题关键是正确掌握三者的概念．直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；而线段不延伸，根据定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：A、应为“点在射线上”，描述不相符，不符合题意； B、应为“射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； C、描述相符，符合题意； D、射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：C． ▌对点练1-2（25-26六年级下·全国·课后作业）手电筒发出的光线，给我们的感觉是一条（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．弧线 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段的概念辨析，需结合三者的端点数量与延伸特性，联系实际场景判断即可． 【详解】解：因为直线无端点，向两方无限延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；线段有两个端点，长度有限；弧线是弯曲的线， 又因为手电筒发出的光线有一个端点（手电筒处），并向一个方向无限延伸， 所以其符合射线的特征， 故选：B． ▌对点练1-3（25-26七年级上·全国·随堂练习）有下列说法：①射线和射线是同一条射线；②直线和直线不是同一条直线；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线；④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点．其中，正确的是________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，熟练掌握直线，射线的含义及表示方法是解题的关键． 根据直线、线段以及射线的概念来解答即可． 【详解】解：①射线和射线是同一条射线，该说法错误，因为两射线的端点和方向不同，不符合题意； ②直线和直线是同一条直线，故原说法错误，不符合题意； ③一条直线上一点把这条直线分成两条射线，说法正确，符合题意； ④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，说法正确，符合题意． 其中，正确的是③④， 故答案为：③④． 题型 点与线的位置关系 解题贴士 点在直线上（经过），点在直线外（不经过）；过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。用符号∈和∉表示。 ▌例2（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． ▌对点练2-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． ▌对点练2-2（25-26七年级上·河南周口·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系．根据两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系逐图判断即可． 【详解】解：A．图上应该是延长线段到C，与语言描述不相符，故A不符合题意； B．直线没有经过点C，即点C不在直线上，与语言描述不相符，故B不符合题意； C．直线a、b相交于点P，正确，故C符合题意； D．射线与线段有公共点，与语言描述不相符，故D不符合题意． 故选：C． ▌对点练2-3（25-26七年级上·全国·单元复习）如图所示的是一条直线和两个点的位置关系，现有以下结论：①直线在点C上；②点C在直线上；③点O不经过直线；④直线a经过点C，其中叙述正确的有_______（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解∶直线经过点C，或“点C在直线上”，不能说“直线在点C上”，故①错误，②正确； 直线不经过点O，直线a经过点C，故③错误，④正确； 所以正确的是②④． 故答案为：②④． 题型 两点确定一条直线 解题贴士 过两点有且只有一条直线（公理），常用于植树、钉木条、射击瞄准等生活实例。判断时注意“两点”必须是不同的点，端点或任意两点都适用。 ▌例3（2026·广西南宁·二模）如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】根据公理“两点确定一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， ∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线． ▌对点练3-1（2026·江苏常州·一模）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【详解】解：由题意得设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线 ． ▌对点练3-2（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】 两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． ▌对点练3-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据直线的性质可知： ①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③打靶瞄准，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 故体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，共3个， 故答案为：3． 题型 画直线、射线、线段 解题贴士 画直线：过两点画并向两端延长；画射线：先画端点，再向一方延伸；画线段：连接两点，不延伸。注意标注端点字母，射线用两个大写字母（端点在前）。 ▌例4（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 【答案】(1) 如图，直线，射线，线段即为所求： (2) 如图，点D即为所求： (3)8条，线段、线段、线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由图可知，图中共8条线段，以点为端点的线段：线段、线段、线段． ▌对点练4-1（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． 利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． 【答案】 如图所示， 【分析】根据射线和线段的画法以及线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 ▌对点练4-2（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知射线和射线外两点，． (1)画射线； (2)画直线； (3)在直线上找一点D，使最短． 【答案】(1)如图：射线即为所求 (2)如图，直线即为所求 (3)如图，点即为所求 【分析】根据射线、直线的定义即可作图，再根据两点之间线段最短即可作图． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌对点练4-3（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句补充图形 (1)画直线；画射线；画线段； (2)连接，并反向延长线段至E，使， (3)若，求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵，， ∴． 题型 两点之间线段最短 解题贴士 两点间所有连线中，线段最短（公理）。常用于修路、架桥等最短路径问题。注意与“两点确定一条直线”区分，前者讲最短，后者讲唯一性。 ▌例5（2026·湖南·三模）数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（     ） A．我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B．宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C．先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D．如今我们可以通过书籍传播文化知识 【答案】A 【详解】解：只有选项A直接将数学领域的几何知识应用于解决生活中的土地面积计算问题，B选项造纸技术，C选项文学创作，D选项文化传播，均不涉及数学知识的直接应用． ▌对点练5-1（2026·山西晋中·模拟预测）如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”即可解答． 【详解】解：∵从A到B有多条道路，其中中间的直路是线段，其余道路是曲线或折线． ∴根据线段的性质：两点之间线段最短，可知：走中间的直路路程最短． ▌对点练5-2（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【答案】 两点之间线段最短 【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短． ▌对点练5-3（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 题型 线段的和与差 解题贴士 求两条线段的和：首尾相接，用加法；求差：长线段上截取短线段，用减法。计算时先确定线段长度关系，再列式。注意中点和倍分关系。 ▌例6（25-26七年级下·广东深圳·期中）把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【答案】8 【分析】根据线段的和差和等量代换，即可进行解答． 【详解】解：， ，即， ， ． ，， ，即， ∴， ∴． ▌对点练6-1（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在射线上依次截取，在线段上截取，那么的长为________． 【答案】 【分析】根据线段的截取顺序确定各线段之间的数量关系．先由已知的和的长度求出线段的长，再结合的长度，通过线段的差计算的长度． 【详解】解：∵， ∴； 又∵，且点在线段上， ∴． ▌对点练6-2（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解，体现了思维的严密性． 分两种情况：当点A是绳子的对折点时，当点B是绳子的对折点时，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图． ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴，， 绳子的原长； 当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图． ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴，， 绳子的原长； 综上所述，绳子的原长为或． 故答案为：或 ▌对点练6-3（25-26七年级上·福建厦门·期末）在直线l上有A，B，C三点，使得，如果点O在线段上，且满足，则线段的长度是_________． 【答案】或 【分析】此题考查了线段的和差倍分． 本题需分两种情况讨论点C的位置，即点C在线段上和点C在线段的延长线上，先计算线段的长度，再根据已知比例求出的长度，最后计算线段的长度． 【详解】①当点C在线段上， ②当点C在线段的延长线上时． 故答案为：或 题型 作线段（尺规作图） 解题贴士 用直尺画射线，圆规量取已知线段长度，在射线上截取。作和差时，先画射线，依次截取（加法）或从长线段截短线段（减法），标出端点字母。 ▌例7（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，． 【分析】以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点即可． 【详解】略 ▌对点练7-1（25-26六年级下·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】 线段即为所求： 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】略 ▌对点练7-2（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）如图，已知线段和线段，用尺规作线段．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】在射线上截取，，则即为所作． 【详解】解：如图，线段为所作． ▌对点练7-3（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，已知线段，．请用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)作线段和线段，使得，，且点在线段上； (2)在（1）的条件下，若，点在直线上，且点是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作线段，再在线段上截取，使点落在上； （2）由得，代入求出，即，再根据是中点得，最后由线段和差得． 【详解】（1）解：线段，如图所示； （2）解：如图， ， ， ，解得， ． 点是线段的中点， ， ． 题型 线段中点的有关计算 解题贴士 中点把线段分成相等的两段，即AM=MB=½AB。已知一半求全长用乘法，已知全长求一半用除法。注意多个中点问题可设未知数列方程求解。 ▌例8（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知线段的长度是20，是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，则____________． 【答案】20 【分析】根据线段中点的定义，结合线段的和差关系，将所求式子转化为已知长度的线段，即可计算出结果. 【详解】解：是线段的中点， ，即. ∵，， ∴. ∴； 又， ， ∴. ▌对点练8-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 【答案】 【分析】由线段中点的定义得出，，再由线段的和差关系即可得出的长． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ． ▌对点练8-2（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵点为的中点，且， ∴， ∴． ▌对点练8-3（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点的定义，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段的中点的定义，结合线段的和差推出即可. 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为. 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．若，则点是线段的中点 C．射线和射线表示同一条射线 D．直线的长为 【答案】A 【分析】根据线段、射线、直线的基本性质，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解：两点之间的所有连线中，线段最短是数学基本事实，A选项正确； 若，当点不在线段上时，点不是线段的中点，B选项错误； 射线的端点为、方向是，射线的端点为、方向是，二者端点与方向均不同，不是同一条射线，C选项错误； 直线是无限延伸的，不具有长度，D选项错误． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北衡水·期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，点与线的位置关系，根据题意画出的图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是， ， 故选：D． 4．（2026·河北邯郸·三模）凸四边形各边的长度如图所示，则x不可能是（   ） A．10 B．9 C．7 D．3 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短得到，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， 即， 故x不可能是10． 5．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段的和差倍分进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】 3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 7．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】分析两枚钉子固定挂衣架的实际作用，对应数学中“两点确定一条直线”的性质，通过两个点锁定挂衣架的位置，使其保持水平状态且不会随意偏移． 【详解】解：用两枚钉子固定实木挂衣架时，两枚钉子的位置相当于两个点，这两个点能唯一确定挂衣架所在的直线位置，从而将挂衣架水平固定在墙上，防止其晃动或移位． 因此其中蕴含的数学知识是两点确定一条直线． 8．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是__________（直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 9．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）下面直线上点表示的数是 ______，若点在线段的中点，则点表示的数是 ______． 【答案】 / 【分析】利用数轴上的点表示数和线段中点的计算可得答案． 【详解】解：由图可知，点表示的数是，点表示的数为， ∵点在线段的中点， ∴点表示的数是． 10．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，两点在线段上． (1)如图，图中共有 条线段； (2)如图1，若，比较线段的大小： （填“＞”“”或“”）； (3)如图，是的中点，是的中点，若，，，求的长度． 【答案】(1)6 (2) (3)19 【分析】（1）根据线段的定义可得答案； （2），可得答案； （3）根据线段中点的定义可得，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，图中的线段有，共条； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，平面上有三点A，B，C． (1)请用无刻度直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作直线：②作线段；③作射线；④在射线上截取． (2)我们知道两条直线相交有一个交点；如（1），三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有_______个交点；若有n条直线相交，最多有_______个交点． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查直线，射线，线段，图形规律，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）按照题意作图即可； （2）通过画图找到规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线，线段，射线，线段即为所求； （2）解：如图，三条直线相交，最多有3个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 五条直线相交，最多有个交点； 若有n条直线相交，最多有个交点， 故答案为：；． 13．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 14．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，延长交该弧于点；以为圆心，为半径画弧，延长与该弧相交，并以该交点为圆心，为半径画弧，继续延长与第二条弧相交，该点即为点； （2）由点为的中点，求出、的长，继而可得、的长，最后由即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点，射线，线段即为所求： （2）解：为的中点， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 素养提升 1.（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东湛江·期末）2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 【答案】D 【分析】利用线段和的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴O点在直线外或O点在线段的延长线上或O点在线段的延长线上， 即O点不在线段上， 故D选项符合题意． 4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 6．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 8．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差倍分． （1）先根据中点求出的长，再求出的长，然后根据线段的和差求出和的长； （2）先求出的长，得到点在线段上，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】（1）解：点D为线段的中点，， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 点在线段上， ． 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 10．（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，6； (2)当时，；当时， (3)5． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点运动到点处，时，点从点处返回点，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的长度； （3）根据线段中点的相关计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为： 4，6． （2）解：由题意可知时，点C从点A运动到点B，，点C从点B处返回点A， ∴时，， 当点C从B运动到点A时，即时，； （3）解：当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， ∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴． 迁移创新 1.（25-26七年级上·全国·单元复习）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内n条直线相交，当这n条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这n条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有___________个交点；平面内有4条直线，则最多有___________个交点；若平面内有n条直线，则最多有___________个交点． (2)拓展：若平面内的n条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为___________． (3)应用：地面上有7条公路（假设公路是笔直的，并且可以足够长地延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24名交警，要求每个岔口至少站一名交警，那么最多有多少个岔口有不止一个交警？． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把7条公路看作是7条直线，先求出7条直线两两相交时的交点的个数，再根据交警数量先每个岔口各分1名交警，再将多余的交警分散分配即可． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即. （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数. （3）解：把7条公路看作是7条直线，则7条公路两两相交时交点的个数为：， ， 因此最多有3个岔口有不止一个交警． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 基本平面图形 4.1 线段、射线、直线 课标要点 1. 通过实物和模型，了解从物体抽象出来的线段、射线、直线和点的概念；掌握基本事实“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”。 2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，会作出线段的和、差，会用几何语言表示线段的和、差，并能利用线段中点进行长度计算。 学习重难点 学习重点 1. 掌握线段、射线、直线的概念、特征与表示方法，理解其联系与区别。 2. 掌握比较线段长短的方法，理解线段的和、差及线段中点的概念，能进行相关的长度计算。 学习难点 1. 线段计算中的分类讨论问题，如点在延长线上时需分情况讨论，避免遗漏。 2. 综合运用线段和差与中点关系进行几何推理和计算，能规范地写出“因为……所以……”的推理步骤。 知识点 线段、射线、直线的概念 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 特别提醒 1. 线段有两个端点，可度量；射线只有一个端点，向一方无限延伸；直线无端点，向两方无限延伸。 2. 表示时，射线端点字母必须在前面，如射线OA，不能写成射线AO。 3. 直线和射线都不可度量长度。 随学随练 1.（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）直线与直线是否是同一条直线？___________（是/否） （2）射线与射线是否是同一条直线？___________（是/否） （3）线段与线段是否是同一条直线？___________（是/否） 知识点 直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 特别提醒 1. 两点确定一条直线（即过两点有且只有一条直线）。 2. 该性质常用于解释实际应用（如木工弹线、植树对齐）。 3. 强调“有且只有”两层含义：存在性（有）和唯一性（只有）。 随学随练 1.（24-25六年级下·山东·阶段检测）过平面上不共线四点中的任意两点画直线，可以画出的直线共有________条． 2．（25-26七年级上·四川南充·期末）下列三种现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是______（填序号）． 知识点 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 特别提醒 1. 两点之间，线段最短。这是线段的基本性质，常用于解释“河边饮水”等实际最短路径问题。 2. 两点间的距离是指连接两点的线段长度，不是线段本身。 3. 注意区分“线段”与“距离”的表述差异。 随学随练 1.（2026·广西南宁·三模）彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 知识点 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 特别提醒 1. 比较方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（把一端对齐，看另一端位置）。 2. 叠合法必须将两条线段的一个端点重合，另一端点放在同侧。 3. 注意线段长短比较是数量比较，结果用“>、<、=”表示。 随学随练 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 知识点 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 特别提醒 1. 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图，不能使用刻度尺度量长度。 2. 直尺用于画直线、射线或线段；圆规用于画弧、截取等长线段。 3. 作图后要保留作图痕迹，并写出结论。 随学随练 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线和线段相交于点．在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小；在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小． 知识点 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 特别提醒 1. 和与差是指线段长度的加减运算，结果仍是线段长度，用“+”“−”表示。 2. 计算时要带单位，且结果需化简。 3. 涉及中点或比例关系时，常需设未知数列方程求解。 4. 注意图形位置关系，线段和差常与中点、等分点结合考察，画图分析是关键。 随学随练 1.（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)比较线段的大小：________（填“”“”或“”）； (3)若，，求的长． 知识点 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 特别提醒 1. 定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。 2. 几何语言：若C是AB 中点，则AB = 2AC = 2CB。 3. 中点只有一个，且必须在线段上。 随学随练 1.（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，点B、C在线段上，且．若，，则的大小为（   ） A．5 B．4.5 C．4 D．6 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一个三角形纸片，不用任何工具，你能准确比较线段与线段的大小吗？试用你的方法分别确定线段，的中点． 拓展 直线相交的交点个数问题 1. 理解公式：n条直线两两相交且无三线共点时，交点总数为，由组合思想推导。 2. 考虑特殊情形：若有平行线，平行线间无交点；若多条直线交于同一点，需减去重复计数的交点。 3. 逐条添加分析：从第1条开始，每增加1条直线，最多与前面k条各产生1个新交点，累加得总数。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 2．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有_______个交点． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 4．（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 此画图的依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短； 拓展 线段的数量问题的应用 1. 理解公式：若一条直线上有n个不同端点，则线段总数为，由“每两点确定一条线段”推导。 2. 分类计数：按线段长度或端点位置分类，分别数出各类数量再相加，避免遗漏或重复。 3. 转化模型：将实际问题（如图形分割、路线规划）转化为线段计数模型，找准端点数n ，代入公式求解并验证合理性。 活学活用 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）请测量并比较线段的长短： 如图，在梯形中，___________，___________，___________（填“”“”或“”）． 2．（25-26六年级下·山东泰安·期中）往返于泰安到北京的列车，中途停靠个站，则要准备____种不同的车票． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 4．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 拓展 线段n等分点的有关计算 1. 明确等分关系：n等分点将线段分成n条相等小段，每段长度为全线段的，各分点位置按比例确定。 2. 设参表示长度：设全长为L或单位长度，用含n和序号的代数式表示任意分点到端点或分点间的距离。 3. 利用中点综合：若涉及中点或其他比例点，结合等分点位置，通过加减线段关系建立方程，列式求解目标长度。 活学活用 1.（2025八年级上·全国·专题练习）把线段九等分，每一段的长度为，则线段的总长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）点A、B、C是线段的四等分点，若，则_____________． 3．（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）已知线段，点是线段的三等分点，求线段的长度． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期中）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 拓展 与线段有关的动点问题 1.设参表示位置：设运动时间为 t，用含 t 的代数式表示各动点在数轴或线段上的位置（含方向）。 2. 分类讨论：根据动点是否到达端点或相遇，分时间段讨论位置关系，列出线段长度表达式。 3. 列方程求解：利用线段和差倍分关系（如 AP=2PB）建立方程，解 t 后代入检验是否满足范围。 活学活用 1.（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 2．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，C为线段上一点，B为的中点，且，． (1)求的长． (2)若点E在直线上，且，求线段的长． 3．（25-26七年级上·全国·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 题型 线段、射线、直线的联系与区别 解题贴士 线段有两个端点，可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线无端点，向两方无限延伸。它们都是直的。联系：线段和射线都是直线的一部分。 ▌例1（25-26六年级下·山东淄博·期中）下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26七年级上·河南开封·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 ▌对点练1-2（25-26六年级下·全国·课后作业）手电筒发出的光线，给我们的感觉是一条（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．弧线 ▌对点练1-3（25-26七年级上·全国·随堂练习）有下列说法：①射线和射线是同一条射线；②直线和直线不是同一条直线；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线；④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点．其中，正确的是________（填序号）． 题型 点与线的位置关系 解题贴士 点在直线上（经过），点在直线外（不经过）；过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。用符号∈和∉表示。 ▌例2（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D ▌对点练2-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 ▌对点练2-2（25-26七年级上·河南周口·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（25-26七年级上·全国·单元复习）如图所示的是一条直线和两个点的位置关系，现有以下结论：①直线在点C上；②点C在直线上；③点O不经过直线；④直线a经过点C，其中叙述正确的有_______（填序号）． 题型 两点确定一条直线 解题贴士 过两点有且只有一条直线（公理），常用于植树、钉木条、射击瞄准等生活实例。判断时注意“两点”必须是不同的点，端点或任意两点都适用。 ▌例3（2026·广西南宁·二模）如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 ▌对点练3-1（2026·江苏常州·一模）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 ▌对点练3-2（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． ▌对点练3-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 题型 画直线、射线、线段 解题贴士 画直线：过两点画并向两端延长；画射线：先画端点，再向一方延伸；画线段：连接两点，不延伸。注意标注端点字母，射线用两个大写字母（端点在前）。 ▌例4（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． ▌对点练4-1（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． 利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． ▌对点练4-2（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知射线和射线外两点，． (1)画射线； (2)画直线； (3)在直线上找一点D，使最短． ▌对点练4-3（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句补充图形 (1)画直线；画射线；画线段； (2)连接，并反向延长线段至E，使， (3)若，求出的长度． 题型 两点之间线段最短 解题贴士 两点间所有连线中，线段最短（公理）。常用于修路、架桥等最短路径问题。注意与“两点确定一条直线”区分，前者讲最短，后者讲唯一性。 ▌例5（2026·湖南·三模）数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（     ） A．我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B．宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C．先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D．如今我们可以通过书籍传播文化知识 ▌对点练5-1（2026·山西晋中·模拟预测）如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 ▌对点练5-2（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． ▌对点练5-3（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 题型 线段的和与差 解题贴士 求两条线段的和：首尾相接，用加法；求差：长线段上截取短线段，用减法。计算时先确定线段长度关系，再列式。注意中点和倍分关系。 ▌例6（25-26七年级下·广东深圳·期中）把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． ▌对点练6-1（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在射线上依次截取，在线段上截取，那么的长为________． ▌对点练6-2（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为____________． ▌对点练6-3（25-26七年级上·福建厦门·期末）在直线l上有A，B，C三点，使得，如果点O在线段上，且满足，则线段的长度是_________． 题型 作线段（尺规作图） 解题贴士 用直尺画射线，圆规量取已知线段长度，在射线上截取。作和差时，先画射线，依次截取（加法）或从长线段截短线段（减法），标出端点字母。 ▌例7（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） ▌对点练7-1（25-26六年级下·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． ▌对点练7-2（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）如图，已知线段和线段，用尺规作线段．（要求：保留作图痕迹，不写作法） ▌对点练7-3（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，已知线段，．请用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)作线段和线段，使得，，且点在线段上； (2)在（1）的条件下，若，点在直线上，且点是线段的中点，，求线段的长． 题型 线段中点的有关计算 解题贴士 中点把线段分成相等的两段，即AM=MB=½AB。已知一半求全长用乘法，已知全长求一半用除法。注意多个中点问题可设未知数列方程求解。 ▌例8（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知线段的长度是20，是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，则____________． ▌对点练8-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． ▌对点练8-2（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． ▌对点练8-3（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．若，则点是线段的中点 C．射线和射线表示同一条射线 D．直线的长为 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 3．（25-26七年级上·河北衡水·期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·三模）凸四边形各边的长度如图所示，则x不可能是（   ） A．10 B．9 C．7 D．3 5．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 7．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 8．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是__________（直接填写序号）． 9．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）下面直线上点表示的数是 ______，若点在线段的中点，则点表示的数是 ______． 10．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，两点在线段上． (1)如图，图中共有 条线段； (2)如图1，若，比较线段的大小： （填“＞”“”或“”）； (3)如图，是的中点，是的中点，若，，，求的长度． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，平面上有三点A，B，C． (1)请用无刻度直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作直线：②作线段；③作射线；④在射线上截取． (2)我们知道两条直线相交有一个交点；如（1），三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有_______个交点；若有n条直线相交，最多有_______个交点． 13．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 14．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 15．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 素养提升 1.（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·广东湛江·期末）2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 6．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 8．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 10．（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 迁移创新 1.（25-26七年级上·全国·单元复习）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内n条直线相交，当这n条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这n条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有___________个交点；平面内有4条直线，则最多有___________个交点；若平面内有n条直线，则最多有___________个交点． (2)拓展：若平面内的n条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为___________． (3)应用：地面上有7条公路（假设公路是笔直的，并且可以足够长地延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24名交警，要求每个岔口至少站一名交警，那么最多有多少个岔口有不止一个交警？． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $