专题 3.4 位置与坐标全章复习 讲义 - 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学“位置与坐标”复习讲义通过知识梳理构建系统体系，以表格呈现各象限坐标符号特征，用口诀归纳对称点坐标规律，清晰呈现确定位置、平面直角坐标系、轴对称与坐标变化的知识脉络，突出平面直角坐标系及对称规律等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的位置确定、象限判断到综合的面积计算、将军饮马问题，结合数形结合思想培养几何直观与逻辑推理素养。同步检测覆盖选择、填空、解答题，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题 3.4 位置与坐标全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】确定位置 2 【知识点二】平面直角坐标系（全章重点） 2 【知识点三】轴对称与坐标变化 3 三.题型精析 4 【题型 1】位置确定与有序数对应用 4 【题型 2】判断点所在象限与坐标轴 5 【题型 3】点到坐标轴的距离计算 6 【题型 4】对称点坐标求解 6 【题型 5】坐标点位置与利用对称关系中的参数 7 【题型 6】轴对称图形作图题 7 【题型 7】平面直角坐标系与面积问题 9 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：掌握平面内确定位置的基本方法；熟练掌握平面直角坐标系的核心概念，理解点与有序实数对的一一对应关系；精准熟记各象限、坐标轴上点的坐标特征；牢固掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，理清坐标变换与图形轴对称的关联。 2. 能力目标：能运用有序数对、方位距离等方式确定平面内点的位置；可独立完成坐标系描点、读点坐标、判断点的位置；能快速求解对称点坐标、绘制轴对称图形；熟练利用坐标特征解决参数求解、图形变换类题型。 3. 素养目标：深化数形结合数学思想，建立“数（坐标）—形（图形位置）”的转化思维，提升几何直观、逻辑推理和综合解题能力，为后续一次函数学习奠定基础。 （二）重难点 重点：平面直角坐标系的概念及应用；各象限、坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离计算；坐标与轴对称变换的核心规律（本章核心必考考点）。 难点：理解平面内点与有序实数对的一一对应关系；区分坐标轴与象限点的特征，规避坐标规律混淆；灵活结合坐标性质、对称规律解决含参数综合题型；掌握图形整体坐标变换与位置关系的对应逻辑。 二.知识梳理与解读 【知识点一】确定位置 1. 核心原理：平面内确定一个点的唯一位置，需要两个独立数据，单一数据无法确定平面内点的位置。 2. 常用定位方法 （1）有序数对定位法：记作，两个数据有固定顺序，顺序调换代表不同位置。例如教室座位表示第3列第5行，与位置不同。 （2）方位角+距离定位法：以观测点为中心，通过方向角度和直线距离确定目标位置。 （3）经纬度定位法：常用于地理平面定位，通过经度、纬度两个数据确定唯一位置。 【知识点二】平面直角坐标系（全章重点） 1. 基本概念 在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点为坐标原点。 x轴与y轴将平面划分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。 2. 点的坐标定义 过平面内任意一点，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的数值为横坐标，垂足在y轴上对应的数值为纵坐标，点记作。平面内的点与有序实数对一一对应。 3. 各象限点的坐标符号特征 象限 横坐标x 纵坐标y 坐标符号 第一象限 正 正 （+,+） 第二象限 负 正 （-,+） 第三象限 负 负 （-,-） 第四象限 正 负 （+,-） 4. 坐标轴上点的坐标特征 （1）x轴上的点：纵坐标为0，坐标形式为； （2）y轴上的点：横坐标为0，坐标形式为； （3）原点：坐标为，同时在x轴、y轴上。 5. 特殊直线上点的坐标规律 （1）平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，横坐标不同； （2）平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等，纵坐标不同。 6. 点到坐标轴的距离（高频考点） 设点，则： （1）点P到x轴的距离：等于纵坐标的绝对值，即； （2）点P到y轴的距离：等于横坐标的绝对值，即。 易错提示：距离为非负数，切勿遗漏绝对值符号。 【知识点三】轴对称与坐标变化 1. 单点对称坐标规律 已知点： （1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，对称点为，口诀：x轴对称，横不变、纵变号； （2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，对称点为，口诀：y轴对称，纵不变、横变号。 2. 图形整体坐标变换规律 （1）图形所有顶点纵坐标不变，横坐标全部乘，新图形与原图形关于y轴对称； （2）图形所有顶点横坐标不变，纵坐标全部乘，新图形与原图形关于x轴对称。 3. 坐标法作轴对称图形步骤 找关键点坐标→求对称点坐标→坐标系描点→按原图顺序连线。 三.题型精析 【题型 1】位置确定与有序数对应用 【例题1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）帅帅和明明下棋，帅帅执圆形棋子，明明执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，明明将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则明明放的方形棋子的位置是___________． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．红星电影院2排 B．北京市朝阳区 C．北偏东 D．北纬，东经 【变式2】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为（ ）． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 【题型 2】判断点所在象限与坐标轴 【例题2】（25-26七年级下·四川泸州·期中）如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点与点B在同一条平行于坐标轴的直线上，并且点B在一、三象限的角平分线上，则B点坐标为________ 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，将“数”“形”“结”“合”四个字写在正方形网格纸中，若建立平面直角坐标系，使“数”“合”的坐标分别是、，则“形”所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）若点在轴上，则点在第__________象限. 【题型 3】点到坐标轴的距离计算 【例题3】（24-25七年级下·四川德阳·期中）若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级下·全国·课后作业）点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 【变式2】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【变式3】（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）已知第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则的值为________． 【题型 4】对称点坐标求解 【例题4】（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·开学考试）在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·上海崇明·期末）如果点关于轴对称的点记为点，那么线段长度是____________． 【题型 5】坐标点位置与利用对称关系中的参数 【例题5】（25-26七年级下·山东德州·期末）已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【变式1】（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）若和点关于x轴对称，则________． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如果点在第一象限且到x轴，y轴的距离相等，那么点P的坐标是______． 【题型 6】轴对称图形作图题 【例题6】（24-25八年级上·重庆江北·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出点的坐标； （3）若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上． （1）直接写出、、的坐标； （2）请画出关于轴的对称图形； （3）求的面积． 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； （2）作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； （3）直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【题型 7】平面直角坐标系与面积问题 【例题7】（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、、． （1）求出四边形的面积； （2）若点P在坐标轴上，且四边形的面积是面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，则的面积是___________． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． （1）填空： ， ； （2）求三角形的面积； （3）若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 【例题8】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的图形，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最大，则该最大值为多少． 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·阶段检测）已知点、，点在轴上，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·周测）已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【变式3】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于x轴的对称图形； （2）的面积为 ； （3）已知P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）以下描述中，能确定具体位置的是（   ） A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米 C．北偏东 D．东经，北纬 2．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 4．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）已知点，，，则三角形的面积为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 5．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，轴，，且，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在轴的负半轴上，为平面内一点，且，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 10．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）点到轴的距离是________． 12．（25-26七年级下·广西钦州·期中）小李在教室里坐在第二排第五列，记作，则小王坐在第三排第四列记作_____． 13．（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 14．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   15．（25-26七年级下·江西·阶段检测）若点在x轴上，则点P的坐标为_______． 16．（25-26七年级下·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴平行且经过点，若点也在该直线上，请写出一个符合条件的点的坐标______． 17．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 18．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山西吕梁·期中）已知平面直角坐标系内有一点． （1）若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． （2）点的坐标为，若轴，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出以、、三点为顶点的； （2）求的面积； （3）边上的高是_____． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的图形，并直接写出三个顶点的坐标： （2）若中存在一点，则点关于轴对称后其对应点的坐标是___________． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）若点D在y轴的负半轴上，连接，且三角形的面积为9，求出点D的坐标； （2）若平面内有一点，且点E到的距离为6，请求出三角形的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； （2）若M为，请用含m的式子表示的面积． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ； 过点作轴于点，，． ， ∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ； 【问题迁移】 （2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标； 【问题拓展】 （3）若点在直线上，的面积等于，求点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 位置与坐标全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】确定位置 2 【知识点二】平面直角坐标系（全章重点） 2 【知识点三】轴对称与坐标变化 3 三.题型精析 4 【题型 1】位置确定与有序数对应用 4 【题型 2】判断点所在象限与坐标轴 6 【题型 3】点到坐标轴的距离计算 8 【题型 4】对称点坐标求解 11 【题型 5】坐标点位置与利用对称关系中的参数 12 【题型 6】轴对称图形作图题 14 【题型 7】平面直角坐标系与面积问题 19 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 24 四.同步检测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 38 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：掌握平面内确定位置的基本方法；熟练掌握平面直角坐标系的核心概念，理解点与有序实数对的一一对应关系；精准熟记各象限、坐标轴上点的坐标特征；牢固掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，理清坐标变换与图形轴对称的关联。 2. 能力目标：能运用有序数对、方位距离等方式确定平面内点的位置；可独立完成坐标系描点、读点坐标、判断点的位置；能快速求解对称点坐标、绘制轴对称图形；熟练利用坐标特征解决参数求解、图形变换类题型。 3. 素养目标：深化数形结合数学思想，建立“数（坐标）—形（图形位置）”的转化思维，提升几何直观、逻辑推理和综合解题能力，为后续一次函数学习奠定基础。 （二）重难点 重点：平面直角坐标系的概念及应用；各象限、坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离计算；坐标与轴对称变换的核心规律（本章核心必考考点）。 难点：理解平面内点与有序实数对的一一对应关系；区分坐标轴与象限点的特征，规避坐标规律混淆；灵活结合坐标性质、对称规律解决含参数综合题型；掌握图形整体坐标变换与位置关系的对应逻辑。 二.知识梳理与解读 【知识点一】确定位置 1. 核心原理：平面内确定一个点的唯一位置，需要两个独立数据，单一数据无法确定平面内点的位置。 2. 常用定位方法 （1）有序数对定位法：记作，两个数据有固定顺序，顺序调换代表不同位置。例如教室座位表示第3列第5行，与位置不同。 （2）方位角+距离定位法：以观测点为中心，通过方向角度和直线距离确定目标位置。 （3）经纬度定位法：常用于地理平面定位，通过经度、纬度两个数据确定唯一位置。 【知识点二】平面直角坐标系（全章重点） 1. 基本概念 在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点为坐标原点。 x轴与y轴将平面划分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。 2. 点的坐标定义 过平面内任意一点，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的数值为横坐标，垂足在y轴上对应的数值为纵坐标，点记作。平面内的点与有序实数对一一对应。 3. 各象限点的坐标符号特征 象限 横坐标x 纵坐标y 坐标符号 第一象限 正 正 （+,+） 第二象限 负 正 （-,+） 第三象限 负 负 （-,-） 第四象限 正 负 （+,-） 4. 坐标轴上点的坐标特征 （1）x轴上的点：纵坐标为0，坐标形式为； （2）y轴上的点：横坐标为0，坐标形式为； （3）原点：坐标为，同时在x轴、y轴上。 5. 特殊直线上点的坐标规律 （1）平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，横坐标不同； （2）平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等，纵坐标不同。 6. 点到坐标轴的距离（高频考点） 设点，则： （1）点P到x轴的距离：等于纵坐标的绝对值，即； （2）点P到y轴的距离：等于横坐标的绝对值，即。 易错提示：距离为非负数，切勿遗漏绝对值符号。 【知识点三】轴对称与坐标变化 1. 单点对称坐标规律 已知点： （1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，对称点为，口诀：x轴对称，横不变、纵变号； （2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，对称点为，口诀：y轴对称，纵不变、横变号。 2. 图形整体坐标变换规律 （1）图形所有顶点纵坐标不变，横坐标全部乘，新图形与原图形关于y轴对称； （2）图形所有顶点横坐标不变，纵坐标全部乘，新图形与原图形关于x轴对称。 3. 坐标法作轴对称图形步骤 找关键点坐标→求对称点坐标→坐标系描点→按原图顺序连线。 三.题型精析 【题型 1】位置确定与有序数对应用 【例题1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）帅帅和明明下棋，帅帅执圆形棋子，明明执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，明明将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则明明放的方形棋子的位置是___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念与设计，用有序数对表示位置，解决本题的关键是找到的位置． 根据圆形棋子的位置为，右下角的圆形棋子为，确定的位置，再根据轴对称图形的概念确定方形棋子的位置即可． 解：∵圆形棋子的位置为，右下角的圆形棋子为， ∴可知的位置在右下角的圆形棋子的正下方， 若将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形， 则第4枚方形棋子如图所示， ∴明明放的方形棋子的位置是． 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．红星电影院2排 B．北京市朝阳区 C．北偏东 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，根据确定位置的方法，进行逐项分析，即可作答． 解：A．红星电影院2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B．北京市朝阳区，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C．北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D．北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为（ ）． 【答案】 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 【答案】D 解：由题意，游船在小艇的正北方向，且距小艇处，即在原点位置， 故小艇在游船的北偏东，且距游船处； 小艇在游船的北偏西，且距游船处； 故只有选项D符合题意. 【题型 2】判断点所在象限与坐标轴 【例题2】（25-26七年级下·四川泸州·期中）如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出，的值，再根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点所在象限． 解：， ， 由得， 把代入得：， 解得， 点坐标为， 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点与点B在同一条平行于坐标轴的直线上，并且点B在一、三象限的角平分线上，则B点坐标为________ 【答案】或 【分析】根据点A的坐标，结合平行于坐标轴分两种情况讨论，得到点B的一个坐标，再利用一、三象限角平分线上点横纵坐标相等的性质，求解点B的另一个坐标，即可得到结果. 解： 点与点在同一条平行于坐标轴的直线上， 分以下两种情况讨论： （1）当平行于轴时，点的纵坐标为， 点在一、三象限的角平分线上，一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等， 点的横坐标为，即. （2）当平行于轴时，点的横坐标为. 点在一、三象限的角平分线上，一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等， 点的纵坐标为，即. 综上，点坐标为或. 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，将“数”“形”“结”“合”四个字写在正方形网格纸中，若建立平面直角坐标系，使“数”“合”的坐标分别是、，则“形”所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 解：坐标系如图所示：则“形”所在的象限为第四象限． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）若点在轴上，则点在第__________象限. 【答案】二 【分析】本题主要考查了点的坐标，掌握直角坐标系中的点的位置特征是解题的关键． 直接利用y轴上点的坐标特点得出n的值，进而得出答案． 解：∵点在轴上，所以横坐标，解得， 点的坐标为，即点的坐标为 横坐标为负，纵坐标为正， 因此点在第二象限， 故答案为：二． 【题型 3】点到坐标轴的距离计算 【例题3】（24-25七年级下·四川德阳·期中）若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与轴平行的直线的点坐标特征（纵坐标相等）、点到轴的距离相等及两点互异的坐标特征（横坐标互为相反数），求、的值，进而得点坐标． 解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 【变式1】（26-27八年级下·全国·课后作业）点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 【答案】 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合勾股定理计算点到原点的距离． 解：已知点， ∵点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到原点的距离可构造直角三角形，如图所示： ∵两条直角边长分别为点到轴、轴的距离， ∴由勾股定理计算点到原点的距离为． 【变式2】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】平行于轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可求解点的坐标． 解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点B到x轴的距离为3， ∴点B的纵坐标的绝对值为3， ∴点B的纵坐标为或3， ∴点B的坐标为或 【变式3】（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）已知第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，结合点到两坐标轴距离相等可得横纵坐标的绝对值相等，列方程求解即可得到的值． 解：∵点在第二象限， ∴， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 【题型 4】对称点坐标求解 【例题4】（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数． 解：∵点关于轴对称的坐标规律为横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，原点坐标为， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·开学考试）在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点的坐标，再求点的坐标即可． 解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 解：∵和关于轴对称， 点与点Q关于x轴对称． 又点P的坐标是， 点Q的坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·上海崇明·期末）如果点关于轴对称的点记为点，那么线段长度是____________． 【答案】 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点N的坐标，再计算线段的长度． 解：∵点关于轴对称的点记为点， ∴， ∴线段长度是． 【题型 5】坐标点位置与利用对称关系中的参数 【例题5】（25-26七年级下·山东德州·期末）已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【答案】C 【分析】先根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到的值，再根据的长度得到的所有可能值，结合点在第四象限的条件确定的取值，最后代入计算即可． 解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ， 解得或， 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）若和点关于x轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数，列式求出的值，进而即可求出． 解：和点关于x轴对称， ， 解得， ． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可． 解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数， 又∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴，，解得，， ∴． 故选：D． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如果点在第一象限且到x轴，y轴的距离相等，那么点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点在第一象限的坐标特征，可知点的横纵坐标均为正数，结合点到轴、轴的距离相等，可得横纵坐标相等，据此列方程求解，再代入计算得到点的坐标． 解：∵点在第一象限， ∴，， ∵点到轴，轴的距离相等，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， ∴， ∴， 移项，合并同类项得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 【题型 6】轴对称图形作图题 【例题6】（24-25八年级上·重庆江北·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出点的坐标； （3）若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）；（3） 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上． （1）直接写出、、的坐标； （2）请画出关于轴的对称图形； （3）求的面积． 【答案】（1），，；（2）解：如图，即为所求作： （3） 【分析】（1）根据平面直角坐标系中格点的位置，直接读取各点的横纵坐标即可； （2）先求出三个顶点关于轴的对称点坐标（纵坐标不变，横坐标互为相反数），再在网格中描点并依次连接，即可得到对称图形； （3）采用割补法，用包围的最小矩形面积，减去矩形内三个多余直角三角形的面积，即可求出的面积． （1）解：，，； （2）略 （3）解：． 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； （2）作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； （3）直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【答案】（1）；（2）画图见解析；（3） 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点可得答案． （2）分别确定关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的对称点，再顺次连接即可． （3）根据对称的性质求解即可． （1）解：∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴三个顶点关于x轴对称的点的坐标为：，，． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线的对称点的坐标为． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求，，， （2）如图，点P即为所求， 【分析】（1）作出各顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可，两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）连接，由轴对称得，进而可得，因此点，P，B三点共线时，最短． 解：（1）略 （2）略 【题型 7】平面直角坐标系与面积问题 【例题7】（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、、． （1）求出四边形的面积； （2）若点P在坐标轴上，且四边形的面积是面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）用割补法进行计算即可； （2）根据题意求出四边形的面积，连接，割补法求出，分两种情况进行讨论：①当点P在x轴上时，②当点P在y轴上时，即可解答． （1）解：四边形的面积． （2）解：∵、， ∴轴， ∴的面积， ∵四边形的面积是面积的2倍， ∴四边形的面积， 连接， ∵、、， ∴，， ∴， ①当点P在x轴上时 ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； ②当点P在y轴上时， ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上：或． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 【变式2】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【分析】求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 解：， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． （1）填空： ， ； （2）求三角形的面积； （3）若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． （1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 【例题8】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的图形，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最大，则该最大值为多少． 【答案】（1）如图，即为所求，可知，，； （2） 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形，进而根据平面直角坐标系写出点，，的坐标即可； （2）根据勾股定理及三角形三边关系作答即可. （1）解：略； （2）解：最大值为， 若点为在轴上但不在直线上，此时中，两边之差小于第三边， ， 又， ， 若点为在轴上且该点在直线上（即延长交x轴于点P），此时， 综上所述最大值为． 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·阶段检测）已知点、，点在轴上，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，即，在x轴上另取一点N，即根据对称的性质有，即，当A、N、三点共线时取等号，即M点满足取最大值，再根据勾股定理即可求解． 解：取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，如图， 即根据对称的性质有， ∴， 在x轴上另取一点N，如图， 即根据对称的性质有， ∴，当A、N、三点共线时取等号， 即M点满足取最大值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，找到M点是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·周测）已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长度，利用两点间距离公式即可求解. 解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 【变式3】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于x轴的对称图形； （2）的面积为 ； （3）已知P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可； （2）根据网格的特点，的面积等于正方形的面积减去3个三角形的面积； （3）连接，根据，进而根据两点坐标勾股定理即可求得的长，即的最小值． 解：（1）略 （2）解：； 故答案为：； （3）解：连接， 又， ， 的最小值为． 故答案是：． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）以下描述中，能确定具体位置的是（   ） A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 解：A．仅给出第5排，未给出列数，不能确定具体位置，不符合题意； B．仅给出距离广州南站2千米，未给出方向，不能确定具体位置，不符合题意； C．仅给出北偏东的方向，未给出距离，不能确定具体位置，不符合题意； D．给出东经、北纬，可以唯一确定具体位置，符合题意． 2．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：在平面直角坐标系中，第三象限的点横、纵坐标均小于0， 对于A选项，横、纵坐标均大于0，不符合题意； 对于B选项，横坐标大于0，纵坐标小于0，不符合题意； 对于C选项，横、纵坐标均小于0，符合题意； 对于D选项，横坐标大于0，纵坐标等于0，不符合题意． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 【答案】C 【分析】根据已知棋子帅的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，即可确定点表示的棋子． 解：帅的坐标为， 坐标原点位于帅的位置向左个单位，向上个单位处，如图， 点对应的棋子是炮． 4．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）已知点，，，则三角形的面积为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】观察三个点坐标可得B和C纵坐标相同，平行于x轴，可直接求出长度作为底，再求出A到的距离作为高，代入三角形面积公式计算即可． 解：如图， ∵点，，两点纵坐标相等， ∴轴，的长度为， ∴． 5．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果． 解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为， 即点关于轴对称的点的坐标是． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，轴，，且，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行于轴的直线上点的横坐标相等确定点的横坐标，再根据线段长度列方程求解纵坐标，分情况得到点B的坐标． 解：∵轴，点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 7．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在轴的负半轴上，为平面内一点，且，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况，即点在轴下方或上方，再利用平行线的性质即可解答． 解：如图，点在轴上方， 点在第一象限的角平分线上， ， ， ； 如图，点在轴下方， 点在第一象限的角平分线上， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，结合点到x轴距离的定义求解，先推导出已知量，再判断选项即可． 解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ， ∵ 轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等， ∴ ， ∵ 点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，要求距离为，即， 逐一判断选项： A选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合； B选项坐标为，纵坐标为，，不符合； C选项坐标为，纵坐标为，，符合要求； D选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合． 9．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及点的位置确定、象限角平分线条件、象限判断及点到坐标轴的距离等概念，需逐一分析各说法的正确性． 解：① 距点A处20米的所有点构成一个以A为圆心，20米为半径的圆，仅距离不能确定具体位置，故 ①正确； ② 若，则，点A的坐标为，满足，在第二、四象限角平分线上，不一定在第一、三象限角平分线上，故②错误； ③ 点A在第一象限，则且，即且，点中，，所以点B在第二象限，故③正确； ④ 点A在第四象限，则且，点A到x轴的距离为，而，但与不一定相等，故④错误． 综上，正确说法有①和③，一共2个． 故选：C． 10．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）点到轴的距离是________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，计算绝对值即可得到结果． 解：∵平面直角坐标系中，任意点到轴的距离为纵坐标的绝对值， 又∵点的坐标为，纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 12．（25-26七年级下·广西钦州·期中）小李在教室里坐在第二排第五列，记作，则小王坐在第三排第四列记作_____． 【答案】 解：小李坐在第二排第五列记作， 有序数对中，第一个数表示排，第二个数表示列． 小王坐在第三排第四列， 记作． 13．（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 【答案】任意负数均可，例如 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，可得纵坐标小于，任选一个符合条件的负数即可． 解：∵ 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标小于， ∴， ∴ 可以取任意负数，例如． 14．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【答案】6 【分析】根据点A和点B纵坐标相同，线段平行于轴，线段长度可通过横坐标差的绝对值计算． 解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 15．（25-26七年级下·江西·阶段检测）若点在x轴上，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，据此列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 解：点在轴上， ， 解得， 点P的坐标为． 16．（25-26七年级下·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴平行且经过点，若点也在该直线上，请写出一个符合条件的点的坐标______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可知直线上所有点的纵坐标相等，确定纵坐标后，任取一个横坐标即可得到符合条件的点的坐标． 解：直线与轴平行， 直线上所有点的纵坐标相等， 又直线经过点， 直线上任意点的纵坐标都为， 任取横坐标为，可得符合条件的点的坐标为（答案不唯一）． 17．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【分析】由点、坐标结合点是线段的中点求出点坐标，设点坐标为，根据两点距离公式求出、、，当为等腰三角形时，分、、三种情况分别列方程求解，即可得点的坐标． 解：∵，，点是线段的中点， ∴点坐标为， 点在边上运动，可设点坐标为， ∵点是边的中点，， ∴点坐标为， 又∵，， ∴，，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ②当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ③当时， ，解得， 此时，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 18．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 【答案】675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山西吕梁·期中）已知平面直角坐标系内有一点． （1）若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． （2）点的坐标为，若轴，求的长． 【答案】（1）第四象限；（2） 【分析】（1）根据已知条件求解出的值，得到点的坐标，由此判断象限即可． （2）根据垂直关系得到点与点的横坐标相同，从而求解点的坐标，由此求解的长即可． （1）解：由题意，得，解得， 点的坐标为， 点在第四象限． （2）解：轴， 点与点的横坐标相同， ，解得， ， 点的坐标为， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出以、、三点为顶点的； （2）求的面积； （3）边上的高是_____． 【答案】（1）即为所求： （2）的面积为4；（3） 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的绘制、三角形面积的计算（补形法）以及两点间距离公式和三角形面积公式的综合应用，运用了数形结合和转化的思想．解题关键是熟练掌握坐标与图形的关系，灵活运用补形法求三角形面积，以及利用两点间距离公式和三角形面积公式求解高，易错点是补形时对周围三角形的判断和计算易出错，且在运用公式时容易混淆公式中的参数． （1）根据已知点的坐标在平面直角坐标系中描点连线即可画出三角形； （2）通过构造矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积； （3），先利用两点间距离公式求出的长度，再根据三角形面积公式，结合（2）中求出的面积，建立方程求解边上的高． 解：（1）略 （2）解：； ； ； ． ． （3），， ． 设边上的高为h，由， ， 解得． 故答案为：． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的图形，并直接写出三个顶点的坐标： （2）若中存在一点，则点关于轴对称后其对应点的坐标是___________． 【答案】（1）如图所示，即为所求， ；（2） 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案． 解：（1）略 （2）解：∵点， ∴点关于轴对称后其对应点的坐标是． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）若点D在y轴的负半轴上，连接，且三角形的面积为9，求出点D的坐标； （2）若平面内有一点，且点E到的距离为6，请求出三角形的面积． 【答案】（1）；（2）15或3 【分析】（1）过点C作轴于点N，则，设点D的坐标为，其中，则，根据三角形的面积为9，结合三角形的面积公式列出方程，求解即可； （2）由轴，且点到的距离为6，得到点E的坐标为或．分两种情况运用三角形的面积公式求解即可． （1）解：过点C作轴于点N， ∵， ∴． ∵点D在y轴的负半轴上， ∴设点D的坐标为，其中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴轴， ∵点到的距离为6， ∴或， ∴点E的坐标为或． ①当点E的坐标为时，如图，过点E作轴于点P， ∴， ∴． ②当点E的坐标为时，如图，过点E作轴于点Q， ∴， ∴． 综上所述，三角形的面积为15或3． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； （2）若M为，请用含m的式子表示的面积． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）先根据到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M的坐标，再根据，且即可求出点N的坐标； （2）先判断，再根据三角形的面积公式解答即可． （1）解：∵到坐标轴的距离相等， ∴， 即， 解得：或， ∵为第三象限内一点， ∴． ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标是或； （2）解：∵为且为第三象限内一点， ∴， ∴的面积． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ； 过点作轴于点，，． ， ∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ； 【问题迁移】 （2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标； 【问题拓展】 （3）若点在直线上，的面积等于，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 ． 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合、坐标求面积；再依据列方程求，确定坐标． （2）用面积法（通过等面积关系）求纵坐标． （3）根据面积公式列方程求横坐标，再代入直线解析式求纵坐标，确定坐标． 本题考查平面直角坐标系中三角形面积计算、点坐标求解．关键是熟练运用三角形面积公式，结合点的坐标特征，通过“面积关系列方程”或“代入解析式”解题． 解：（1）∵ ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，． ∴， 解得， ∴． （2）如图，过点作轴，轴，则， ，， ∴ 解得 ∴； （3）设，则为到轴距离， ∵， ∴． 由，，即， 解得或． 当时，如图过作轴，轴， ，， ∴， 解得． ∴． 当时，同理可得． ∴． 综上点的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $