培优01 反比例函数的性质5大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以反比例函数图象与性质为核心，通过五阶题型实现从基础概念到综合应用的递进训练，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据图象求解析式或参数范围|28题（含选择/填空/解答）|结合图象位置判断k值范围，含多图象比较|从k值几何意义切入，建立解析式与图象的对应关系| |反比例函数的增减性|30题（含性质判断/参数求解）|聚焦k值对增减性的影响及象限内单调性|深化性质理解，衔接函数变化规律的应用| |比较函数值或自变量大小|17题（多点比较/大小关系判断）|结合象限分布与增减性比较数值|强化数形结合，提升函数值分析能力| |根据图象解不等式|16题（一次函数与反比例函数结合）|利用交点坐标确定不等式解集|综合函数图象，培养应用意识与直观判断| |平移后的反比例函数拓展|13题（图象识别/性质探究）|探究平移对函数图象与性质的影响|延伸基础概念，发展空间观念与创新意识|

专题01 反比例函数的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 根据反比例函数的图象求解析式或参数范围 1 题型二、 反比例函数的增减性 6 题型三、 比较反比例函数值或自变量的大小 10 题型四、 根据图象解不等式 11 题型五、 平移后的反比例函数拓展 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据反比例函数的图象求解析式或参数范围 1．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 4．如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 8．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 9．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 12．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 13．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 14．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．双曲线位于第一、三象限，则“”可以是（   ） A． B． C．1 D．0 16．已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 17．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 19．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 20．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 21．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 22．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 23．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 24．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 25．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 26．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 27．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 28．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 29．把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．   B．   C．   D． 30．反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 题型二、反比例函数的增减性 31．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 32．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 33．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 34．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 35．若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点；②函数图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可能是（     ） A． B． C． D． 36．已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 37．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 38．下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 39．点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 40．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 41．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 42．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 43．关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 44．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 45．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 46．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 47．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 48．已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 49．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 50．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 52．若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 55．若反比例函数图象的每一支上，当时，．则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 57．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 58．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 59．已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 60．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 61．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 62．已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 63．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 64．已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 65．若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 题型三、比较反比例函数值或自变量的大小 66．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 67．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 68．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 69．已知点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 70．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 71．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 72．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 73．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 74．已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 75．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 76．已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 77．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 78．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 79．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 80．点，在函数的图象上，若，则______（填“”、“”或“”） 81．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 82．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 83．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 题型四、根据图象解不等式 84．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 85．如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点的横坐标分别为， 则关于的不等式的解集为（    ） A．​ B． C．​ D．​或​ 86．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 87．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 88．已知点，是反比例函数图象上的两点，若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 89．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 90．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 91．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 92．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 93．如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为________．    94．如图，函数与函数（）的图像交于点A，则根据图像可得不等式的解集是________． 95．已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为______． 96．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求m、n的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 97．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 98．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 99．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 100．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 题型五、平移后的反比例函数拓展 101．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 102．在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 103．综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 104．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 105．小欣学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象． ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 … … 3 2 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． ①自变量x的取值范围： ； ②描述图像的增减性： ； ③函数图象的对称中心为： ． (3)已知一次函数与相交于点，结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 106．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：______，______； x … 0 2 3 … y … m 0 n 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (4)结合函数的图象，解决问题： ①方程的解为：______； ②当函数值时，x的取值范围是：______． 107．问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？    （1）该函数的自变量的取值范围为 ； （2）描点画图： ①列表：如表是x与y的几组对应值； x … 0 1 2 4 5 6 7 … y … 2 3 6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平面直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整． 【应用】 观察你所画的图象，解答下列问题： （3）若点，为该函数图象上不同的两点，则　　； （4）直接写出当时，x的取值范围为 ． 108．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即　 　： x … －1 0 1 3 4 5 … y … －1 －2 2 ▲ … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：①　 　；②　 　． (3)函数y＝的图象经过　 　的变化或得到y＝的图，这是因为　 　． 109．探究函数的性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象的特征，概括函数的性质的过程．以下是我们探究函数性质的部分过程．请按要求完成下列各小题． (1)下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请依次写出m，a，b的值； x …… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … －2.6 a 1 3 不存在 1 b 5.5 … (2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象，如图所示，请结合所画的函数图象，直接写出不等式的解集（误差不超过0.1）． 110．小明根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）如表是与的几对对应值： 0 1 2 3 4 5 3 其中　　，　　； （2）函数图象与轴的交点坐标是　　； （3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象； （4）结合图象，写出函数的一条性质：　　； （5）观察函数图象，将直线向上平移个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则的值是　　． 1．如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”． (1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值； (2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点． ①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”； ②若，，求点与原点的距离的取值范围． 2．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 3．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 根据反比例函数的图象求解析式或参数范围 1 题型二、 反比例函数的增减性 15 题型三、 比较反比例函数值或自变量的大小 29 题型四、 根据图象解不等式 36 题型五、 平移后的反比例函数拓展 49 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据反比例函数的图象求解析式或参数范围 1．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 4．如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 6．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 8．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 9．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 10．已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象经过的象限，即可得出结论. 【详解】解：∵反比例函数的图象过一，三象限， ∴， ∴的值可以是. 11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 解得 观察选项，只有0满足． 12．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴，解得． 13．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 14．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 15．双曲线位于第一、三象限，则“”可以是（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据双曲线的象限分布由k的符号决定，当时，图像位于第一、三象限，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线位于第一、三象限， ∴“”大于0， 选项C符合题意， 故选：C． 16．已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限， 则， 解得：． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 17．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 18．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 19．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 20．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 21．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 22．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 23．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 24．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 【详解】解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 25．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 当时，， ． 故答案为：． 26．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 27．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 28．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2) 不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）略 29．把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．   B．   C．   D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论． 【详解】解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B； （2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A； （3）的图象在二，四象限，对应着图象C； （4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D． 【点睛】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 30．反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 题型二、反比例函数的增减性 31．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】通过代入点坐标验证、结合比例系数k的符号判断反比例函数的图象性质，逐一判断选项． 【详解】解：对于，比例系数．将代入解析式，得． ∴图象经过点，不经过点，故A错误，C正确． ∵， ∴函数图象位于第一、三象限，故B错误． 当时，随的增大而减小，故D错误． 32．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 33．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 34．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 35．若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点；②函数图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的三个函数特征，逐一验证每个选项，结合一次函数和反比例函数的图象与性质，排除不符合条件的选项即可得到结果． 【详解】解：A、：当时，，满足条件①，当时，随增大而减小，不满足条件③，故A选项不符合题意； B、：当时，，不满足条件①，故B选项不符合题意； C、：当时，，满足条件①；当时，，函数图象经过第四象限，满足条件②；对于反比例函数，，在时，随的增大而增大，满足条件③，故C选项符合题意； D、：当时，，不满足条件①，故D选项不符合题意． 36．已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 37．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 38．下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项B：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项C：是反比例函数，仅在每个象限内满足随增大而增大，不符合题意； 选项D：中，，随增大而减小，符合题意． 39．点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 40．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 41．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 42．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 43．关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 44．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 45．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 46．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 47．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 48．已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两点坐标代入反比例函数解析式，得到关于的表达式，再根据的条件求出的取值范围，最后结合选项判断即可. 【详解】解：∵ 点，都在反比例函数的图象上， ∴ 将坐标代入解析式得：，， ∵ ， ∴  ， 即 ， 故选：A. 49．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断随的变化规律，结合确定的最大值和最小值，再根据差值为列方程求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵的最大值和最小值之差为， ∴， 解得：． 50．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 51．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意； D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； 52．若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用反比例函数的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ． 解得， 故选：B． 53．若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：D 54．如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 55．若反比例函数图象的每一支上，当时，．则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，依据题意，由反比例函数的图象与性质进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵反比例函数图象的每一支上， ∵当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：D． 56．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 57．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 58．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 59．已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的比例系数时，在每一象限内随的增大而减小，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数在每一象限内，函数值随的增大而减小， 解得． 60．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 61．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 【答案】3 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以得到哪个函数的y随着x的增大而减小，从而可以解答本题． 【详解】解：①在中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小，故①符合题意； ②在中，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而增大，故②不符合题意； ③在中，一次项系数， ∴y随着x的增大而增大，故③不符合题意； ④在中，变形得函数，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而减小，故④符合题意； ⑤在中，反比例函数系数， 当时，y随着x的增大而减小，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①④⑤，共有3个． 62．已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势． 【详解】解：将点代入， 得， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，函数图象位于第四象限，因此随的增大而增大， 63．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 64．已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 65．若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，随的增大而增大． 题型三、比较反比例函数值或自变量的大小 66．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 67．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 68．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 69．已知点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而减小． ， ，两点均在第三象限， ． 70．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 71．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 72．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 73．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 74．已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题可根据反比例函数的增减性比较函数值大小，先判断比例系数的符号，得到函数的增减规律，再结合两点横坐标的范围即可比较和的大小． 【详解】反比例函数中，， 函数图像在二、四象限， 在每个象限内，随的增大而增大． 点，都在第二象限，且， ． 75．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 76．已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，再根据y的符号推导出对应x的符号，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限， 第一象限满足，第三象限满足． 又∵， ∴，可得点在第一象限，因此； ，可得点在第三象限，因此． ∴大小关系为． 77．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的图像性质解题．先根据判断反比例函数图象所在象限，再根据两点横坐标判断点所在象限，通过和的正负比较大小． 【详解】解： 反比例函数 ， 该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 点 的横坐标 ， 点 在第二象限，得 ． 点 的横坐标 ， 点 在第四象限，得 ． ． 78．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 79．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 80．点，在函数的图象上，若，则______（填“”、“”或“”） 【答案】> 【分析】由，双曲线在第二、四象限，根据即可判断在第二象限，在第四象限，从而判定． 【详解】解：， 双曲线在第二、四象限， ， 在第二象限，在第四象限， ． 81．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据得出反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，然后根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第三象限，点在第一象限， ∴，，， ∵， ， ∴． 82．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 83．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 题型四、根据图象解不等式 84．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 85．如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点的横坐标分别为， 则关于的不等式的解集为（    ） A．​ B． C．​ D．​或​ 【答案】B 【分析】把的横坐标代入一次函数的解析式可求出其纵坐标，再把的横坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值，由此可知求关于的不等式解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量取值范围，问题得解． 【详解】解：观察图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 关于的不等式的解集为：． 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． 86．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把的坐标代入求得的值，观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把点的坐标代入得． ∴反比例函数表达式为． 把点的坐标代入，得． ∴点坐标为． ∵，即： 由图象得，不等式的解集为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后求出交点的坐标，体现了数形结合的思想． 87．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选C． 【点睛】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．理解求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围是解题关键． 88．已知点，是反比例函数图象上的两点，若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中哪个是一定成立的，从而可以解答本题． 【详解】解：∵y=中，k=1＞0 ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，x1＞0＞x2， ∴y1＞0＞y2， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 89．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 90．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 91．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 92．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 93．如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为________．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，利用了数形结合的数学思想．先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：直线与双曲线相交于，两点， ， ， ， 关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 94．如图，函数与函数（）的图像交于点A，则根据图像可得不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图像上得到函数y＝﹣x+1与函数（x＞0）的图像交点坐标，再根据两个函数的增减性，即可得到不等式的解集． 【详解】解：函数与函数（）的图像交于点， 当时，函数（）的图像对应的点在函数的点的上边，不等式成立， ∴不等式的解集是． 故本题答案为：． 95．已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数和一次函数的解析式，然后根据反比例函数的对称性求出另一个交点坐标，最后利用图像法求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为， 由反比例函数的对称性可知，一次函数与反比例函数的另一个交点为（-3，1）， ∴两者的函数图像如下所示， ∵关于的不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数上图上方的x的取值， ∴由函数图像可知当或时一次函数图像在反比例函数上图上方， ∴关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，利用图形法解不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 96．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求m、n的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入，求出m的值，得到反比例函数的解析式，进而将B的坐标代入，求出n的值，即可解答； （2）结合函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点也在反比例函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：如图所示，当时，x的取值范围是或， ∴不等式的解集为或． 97．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 将代入， 解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 98．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 99．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）直线交轴于点，用割补法求出的面积； （3）根据函数图象找到不等式的解集． 【详解】（1）解：反比例函数过， 可得：， 解得：， 反比例解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 一次函数过、， 可得：， ， 一次函数解析式：； （2）解：当时，, 直线交轴于点， ， 答：的面积为； （3）解：由函数图象可知，当或时，变形为， 不等式的解集为或． 100．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：不等式时x的解集为或． 题型五、平移后的反比例函数拓展 101．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 102．在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 103．综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 【答案】(1) (2)①5，；②函数图象如下： (3)；和； (4) 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可； （3）结合图象和平移的性质求解即可； （4）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出、、三点坐标，再利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 函数的自变量取值范围是； （2）解：①当时，， 当时，， 解得：，即； ②图象如答图； （3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和． （4）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 联立， 解得：，， ，， 令，则，解得：， ， ． 104．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 【答案】(1) ；；如图所示： (2)函数图象是中心对称图形 (3)或 【分析】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． （1）分别将和代入，求出的值，再描点连线可得函数的图象； （2）根据函数图象可得函数性质； （3）画出的图象，结合函数图象可得不等式的解集． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 依据表格中的数据，描点，连线， 故答案为：；； （2）解：观察函数图象得：该函数的一条性质：函数图象是中心对称图形， 故答案为：函数图象是中心对称图形； （3）解：画出函数的图象，知两函数图象交点横坐标为和2， 所以，不等式的解集为或． 105．小欣学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象． ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 … … 3 2 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． ①自变量x的取值范围： ； ②描述图像的增减性： ； ③函数图象的对称中心为： ． (3)已知一次函数与相交于点，结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) ①1； ②根据表中的数值描出个各点，如下： ③如图，画出函数图象，如下： (2)①；②每一个分支上的函数值y随x的增大而减小；③； (3)或 【分析】本题考查函数的图形及性质． （1）①根据分式有意义的条件解答，即可；②③根据表格画出函数图象，即可； （2）①直接根据图象，数形结合即可判断；②直接根据图象，数形结合即可判断；③直接根据图象，数形结合即可判断； （3）画出一次函数的图象，直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，； ②略 ③略 （2）解：①根据题意得：， ∴， 即自变量x的取值范围：； 故答案为：； ②描述图像的增减性：每一个分支上的函数值y随x的增大而减小； 故答案为：每一个分支上的函数值y随x的增大而减小； ③函数图象的对称中心为：； 故答案为：； （3）解：如图， 观察图象得：当或时，一次函数的图象位于函数的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 106．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：______，______； x … 0 2 3 … y … m 0 n 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (4)结合函数的图象，解决问题： ①方程的解为：______； ②当函数值时，x的取值范围是：______． 【答案】(1) (2)，3 (3) 如图所示，即为所求； (4)①，；② 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意并掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件进行求解即可； （2）分别把，代入到函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可； （4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵要有意义， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，3； （3）解：略． （4）解：①由下图函数图象可知， 直线与函数交于点和， ∴方程的解为， 故答案为：； ②由下图函数图象可知当时，函数的图象在直线的上方， ∴当时，， 故答案为：． 107．问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？    （1）该函数的自变量的取值范围为 ； （2）描点画图： ①列表：如表是x与y的几组对应值； x … 0 1 2 4 5 6 7 … y … 2 3 6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平面直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整． 【应用】 观察你所画的图象，解答下列问题： （3）若点，为该函数图象上不同的两点，则　　； （4）直接写出当时，x的取值范围为 ． 【答案】（1）； （2）解：作图如图所示； （3）0；（4）或或． 【分析】（1）由分母不为0可求得自变量的取值范围； （2）根据图中描出的点，用平滑的曲线顺次连接即可； （3）由图可得，函数的图象关于y轴对称，再由A、B点的纵坐标可得A、B两点关于y轴对称，即可求得结果； （4）观察图象，找到函数图象在直线上方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2） 略 （3）解：由图可得，函数的图象关于y轴对称， 点， ， A、B两点关于y轴对称， ， 故答案为：0； （4）解：由图可得，    当时， x的取值范围为：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了新函数的图象和性质的研究，属于创新探究题型，正确作出图象，会观察图象的特征是解决本题的关键． 108．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即　 　： x … －1 0 1 3 4 5 … y … －1 －2 2 ▲ … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：①　 　；②　 　． (3)函数y＝的图象经过　 　的变化或得到y＝的图，这是因为　 　． 【答案】(1)1，见解析 (2)①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小； (3)向右平移2个单位；在函数中，把x－2视作一个整体x 【分析】（1）先求出空余部分的值，再画图像：①在坐标系中描出各点；②把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可； （2）根据图象，数形结合即可写出两条性质； （3）观察图象即可求得． 【详解】（1）解：将x=3代入y＝得：y=1，表中空余部分的值为1； 连线正确画出图形（如图所示） （2）其性质有：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小； 故答案为：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小； （3）函数y=的图象向右平移2个单位即得函数  图象； 这是因为在函数，把“x－2”视作一个整体“x”就可以了. 故答案为：向右平移2个单位；在函数中，把x－2视作一个整体x． 【点睛】本题考查函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． 109．探究函数的性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象的特征，概括函数的性质的过程．以下是我们探究函数性质的部分过程．请按要求完成下列各小题． (1)下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请依次写出m，a，b的值； x …… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … －2.6 a 1 3 不存在 1 b 5.5 … (2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象，如图所示，请结合所画的函数图象，直接写出不等式的解集（误差不超过0.1）． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x=-3求a值，代入x=3求b值即可； （2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可； （3）根据图像求出即可． 【详解】（1）把x=2，y=1代入得， ∴ ∴ 当时， 当时， ∴，，； （2）描点，连线，得 性质：函数图象处左向右逐渐上升，对应的函数值随x的增大而增大； （3）根据图象可得，不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键． 110．小明根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）如表是与的几对对应值： 0 1 2 3 4 5 3 其中　　，　　； （2）函数图象与轴的交点坐标是　　； （3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象； （4）结合图象，写出函数的一条性质：　　； （5）观察函数图象，将直线向上平移个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则的值是　　． 【答案】（1）1，2；（2）；（3）见解析；（4）函数有最大值5；（5）3或4 【分析】（1）将x=-5代入y=x+6，将x=2代入即可求值； （2）考查表格数据，当x=0时，y=3，即可求得函数图象与y轴的交点坐标； （3）连点成线，画出函数图象； （4）观察函数图象，写出一条函数性质；函数有最大值5； （5）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， ，， 故答案为：1，2； （2）当时，， 函数图象与轴的交点坐标是， 故答案为； （3）如图： （4）观察函数图象，可知：函数有最大值5， 故答案为：函数有最大值5； （5）将直线向上平移个单位，得到，若平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则直线经过点， ， ， 此时直线经过函数图象是和两点， 由，整理得，， 当△时，平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点， △，解得或（舍去）， 综上，符合题意的的值为3或4， 故答案为3或4． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数图象与几何变换，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论． 1．如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”． (1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值； (2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点． ①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”； ②若，，求点与原点的距离的取值范围． 【答案】(1)2或 (2)①证明：∵， ∴均不为0， ∴都不为0， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， 联立直线与抛物线解析式，消去可得， 即， ∵直线与抛物线交于两点， ∴是方程的两根， ， ， ∴构成“美丽三数组”； ②且 【分析】（1）把三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用和分别表示出，再由“美丽三数组”的定义可得到关于的方程，可求得的值； （2）①由直线解析式可求得，联立直线和抛物线解析式消去，利用一元二次方程根与系数的关系可求得，再利用“美丽三数组”的定义证明即可； ②由条件可得到，可得，由可求得的取值范围，令，利用两点间距离公式可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得的取值范围，从而可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵三点均在（为常数，）的图象上， 将三点横坐标代入函数可得：，，， ∵， ， ∵这三点的纵坐标构成“美丽三数组”， 或或， ∴或或， ∴或或， 或或0（此时无意义，舍去）， 或； （2）解：①略 ②∵，是方程的根， ， ， ， ∴， 若，则，由可得，则，因此，故与（负数大于正数）矛盾，因此， 整理可得， 解得， ， ， 令， 则，且，， ， ∴当时，随的增大而减小，当时，有最大临界值，当时，有最小临界值， 当时，随的增大而增大，当时，有最小临界值，当时，有最大临界值， 且， ∵P到原点的距离为非负数， 且． 2．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 3．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 【答案】(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；         ②当时，， 即，说明随的增大而增大． (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，          因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”． 【分析】（1）仿照【阅读材料】的方法解答即可； （2）利用作差法解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)， (2)，的最大值为 (3)或 【分析】（1）先将点，代入求出，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）先由求解点的坐标，然后根据中点坐标公式求解点，再联立直线与反比例函数表达式求解点坐标，再根据平移以及对称的性质求解最大值即可； （3）连接，过点作轴于点，当点在点上方时，记为，此时点记为，证明出，然后通过联立直线与求解点；当点在点下方时，记为，此时点记为，此时，则，可得，通过中点坐标公式求解点，再通过联立直线与求解点即可． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴，反比例函数表达式为， 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵的中点是， ∴，即， 设直线， 则代入、同理可求直线， 联立得，， 解得， ∴； 将点向右平移1个单位得到，再过点作轴的对称点，连接，，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值为， ∵, ∴的最大值为； （3）解：连接，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 当点在点上方时，记为，此时点记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线， ∴设直线， 代入点可得，，解得， ∴直线， 联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 当点在点下方时，记为，此时点记为， 此时， ∴， ∵， ∴， 联立直线与直线得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴同理可求直线， 再联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 综上：符合条件的点M的坐标为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $