第二十七章 反比例函数全章高频重点题型突破（五大高频+二大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数全章高频题型，以“基础-核心-综合”三级进阶构建知识网络，强化概念理解与几何直观，突出运算能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5题型（含定义、图象性质等）|选择填空为主，聚焦概念辨析与基础计算|从定义参数求解到图象性质（象限、增减性），构建函数认知基础| |核心提升|2题型（面积计算、实际应用）|解答题高频，融合几何图形与实际情境|以k的几何意义为桥梁，连接函数性质与面积计算，渗透模型思想| |综合攻坚|综合题（函数综合、动态问题等）|多知识点交叉，含中考真题与模拟题|整合反比例与一次/二次函数，强化推理能力与综合应用，对接中考命题趋势|

第二十七章 反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 反比例函数定义与参数求解 题型2 图象、象限、增减性与函数值比较 题型3 k 的几何意义（填空选择高频压轴） 题型4 反比例与一次/二次函数图象共存判断 题型5 一次函数与反比例函数交点与不等式解集 核心提升·重难题型归纳 题型1 反比例背景下面积计算（解答题高频） 题型2 反比例函数实际应用 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 反比例函数定义与参数求解 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知反比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 5．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 6．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 7．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． ◆题型2 图象、象限、增减性与函数值比较 8．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 9．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 11．（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） ◆题型3 k 的几何意义（填空选择高频压轴） 12．（2026·广西南宁·三模）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是轴上一点，连接、，若，的面积为4，的值为_______． 13．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 15．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 16．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 17．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 18．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，在x轴的正半轴上，，均为等腰直角三角形，且直角顶点，在反比例函数的图象上，若点，的纵坐标之和为，则k的值为______． 19．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 20．（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． ◆题型4 反比例与一次/二次函数图象共存判断 21．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 25．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． ◆题型5 一次函数与反比例函数交点与不等式解集 28．如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求方程的解（请直接写出答案）； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 30．如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与x轴交于点C，连接、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点且点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：______，______； (2)求的面积． (3)请观察图象，直接写出不等式的解集______． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出关于x的不等式的解集． ◆题型1 反比例背景下面积计算（解答题高频） 33．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 34．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． (1)求的值及直线的解析式； (2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 35．如图1，在平面直角坐标系中，的一个顶点与坐标原点重合，边落在x轴上，且，，．反比例函数的图象经过点C，与交于点D，连接．    (1)试求反比例函数的解析式； (2)求证：平分； (3)如图2，连接，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由． 36．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． ◆题型2 反比例函数实际应用 37．（2026·广东广州·中考真题）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 38．（26-27九年级上·全国·单元复习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 39．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 40．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 41．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 42．（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 一、单选题 1．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 2．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2026·北京·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 二、填空题 5．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 6．（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 7．（2026·山东枣庄·三模）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 三、解答题 8．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 9．（2026·黑龙江大庆·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于，则的取值范围是 ； (3)点在第二象限的反比例函数图象上，当面积为时，求点坐标； 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． (1)求经过点的反比例函数解析式； (2)点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． (3)在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 12．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 反比例函数定义与参数求解 题型2 图象、象限、增减性与函数值比较 题型3 k 的几何意义（填空选择高频压轴） 题型4 反比例与一次/二次函数图象共存判断 题型5 一次函数与反比例函数交点与不等式解集 核心提升·重难题型归纳 题型1 反比例背景下面积计算（解答题高频） 题型2 反比例函数实际应用 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 反比例函数定义与参数求解 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知反比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴将，代入中， 得， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 【答案】B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ， 解得， 故选：B． 5．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 6．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 7．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． ◆题型2 图象、象限、增减性与函数值比较 8．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 9．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 11．（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． ◆题型3 k 的几何意义（填空选择高频压轴） 12．（2026·广西南宁·三模）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是轴上一点，连接、，若，的面积为4，的值为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 反比例函数的图象在第一象限，即， ． 13．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】9 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 15．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 16．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 17．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 18．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，在x轴的正半轴上，，均为等腰直角三角形，且直角顶点，在反比例函数的图象上，若点，的纵坐标之和为，则k的值为______． 【答案】4 【详解】解：过作轴，轴，设，则， 又，均为等腰直角三角形， 所以，， ， ，即， 解得，即． 19．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 20．（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． ◆题型4 反比例与一次/二次函数图象共存判断 21．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 22．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 23．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或， 当时，一次函数过第一、二、三象限， 反比例函数在第一、三象限，故A符合； 当时，一次函数过第二、三、四象限， 反比例函数在第二、四象限，没有选项符合， 故选：A． 24．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 25．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即， ∴反比例函数中，图象经过第一、三象限； 一次函数中，所以该函数图象经过第一、二、三象限； ∴符合题意的只有C选项； 故选:C． 26．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 27．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． ◆题型5 一次函数与反比例函数交点与不等式解集 28．如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求方程的解（请直接写出答案）； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 【详解】（1）解：由题知， 将点代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点A坐标代入得，， ∴点A坐标为． 将A，B两点坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：方程的解可看成函数与函数交点的横坐标， ∴方程的解为，． （3）解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为：或． 29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由得， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）解：由图象可知，的解集为或； （3）解：如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时取得最大值，为， 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， . 30．如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与x轴交于点C，连接、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 【详解】（1）解：∵在反比例函数上， ∴， 则反比例函数的关系式为； 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 又∵，是一次函数的图象上的点， ∴，解得， 则一次函数的关系式为； （2）解：令，由得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 由图可知：不等式的解集为或． 31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点且点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：______，______； (2)求的面积． (3)请观察图象，直接写出不等式的解集______． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴一次函数为， 把代入，得； （2）解：设直线与轴交于点， 当时，， ∴， 由（1）知，， ∴ ； （3）解：根据图象可知，不等式的解集是或. 32．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为1 ∴将代入中，得， ∴点A的坐标为， ∵直线与双曲线交于A，B两点 ∴将代入中，得， ∴双曲线的解析式为； （2）解：∵点B的纵坐标为， ∴将代入中，得， 解得：， ∴， 设直线交y轴于C，把代入得：，则， 即， ∴． （3）解：不等式的解集表示的是一次函数图象在反比例函数图象上方，根据函数图象可得：关于x的不等式的解集为或． ◆题型1 反比例背景下面积计算（解答题高频） 33．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 34．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． (1)求的值及直线的解析式； (2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 【详解】（1）解： 点在反比例函数， 将点的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 点，在直线上 ， 直线的解析式为； （2）解：直线为， ． ， ， 设， 如图，在射线上，此时可得必在轴负半轴，， ． ， ． ∴； （3）解：依据题意，直线平行于直线，且与轴交于点E，则 与封闭图形有交点，下端与相切于点，上端相切于翻折后的曲线于点， 由题意，， ． 相切， 判别式． （负数舍去）． 此时．与轴的交点为，， ， ， ，， 此时．与轴的交点为， ． 35．如图1，在平面直角坐标系中，的一个顶点与坐标原点重合，边落在x轴上，且，，．反比例函数的图象经过点C，与交于点D，连接．    (1)试求反比例函数的解析式； (2)求证：平分； (3)如图2，连接，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图1，过点C作轴于E，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， （2）如图2，过点D作轴于G，交于F，    ∵轴， ∴， ∵， 由（1）知，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为①， ∵反比例函数解析式为②， 联立①②解得，或（舍）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D是的角平分线上， 即：平分； （3）存在，∵点， ∴直线的解析式为，， ∵， ∴ Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，    ∵， ∴设的中点为M， ∴， 过点M作交双曲线于P， ∴直线的解析式为③， ∵反比例函数解析式为④， 联立③④解得， 或（舍）， ∴； Ⅱ、当点在点C左侧时，即：点的横坐标大于0而小于2， 设点M关于的对称点为，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线的解析式为⑤， 联立④⑤解得，或（舍）， ∴． 即：点P的坐标为或． 36．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【详解】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． ◆题型2 反比例函数实际应用 37．（2026·广东广州·中考真题）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 38．（26-27九年级上·全国·单元复习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【详解】（1）解：由表格可得，随着的变化，先增大后减小， 函数①，随的增大而增大，显然不符合题意； 函数②，时，随的增大而减小，显然不符合题意； 函数③，随先增大后减小，符合题意； 故刻画，关系最准确的是③； （2）解：由（1）知，． ， 时，q达到最大值，最大值为1800， 即当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，此时， 当时，此时， ∴当时，该路段将出现轻度拥堵． 39．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 40．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 41．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 42．（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】(1)，， (2) ①结合表格数据画图如下： ②不存在，理由： 所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； (3)①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一） 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 ②略 （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 一、单选题 1．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 2．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 4．（2026·北京·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【答案】B 【详解】解： ∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上， ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 二、填空题 5．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 6．（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【答案】2 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 7．（2026·山东枣庄·三模）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 【答案】 【详解】解：， ∴点，，,…，的坐标分别为， ，，…，， 又∵点，，，…，，在反比例函数的图象上， ∴点，，，…，，的坐标分别为， ，，…，，， ， ，，，…，， ， 即， 整理得：． 三、解答题 8．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例解析式为； （2）解：联立方程组， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴； （3）解：设平移后的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设，，则，， 由得，， 又代入得， 令，则， 解得或 ∴，，其中不合题意，舍去， ∴或， ∴，，（反之也成立） 将代入，则，解得． 所以，平移后直线n的表达式为． 9．（2026·黑龙江大庆·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于，则的取值范围是 ； (3)点在第二象限的反比例函数图象上，当面积为时，求点坐标； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或； （3）解：联立方程组， 解得或， ∴， 当点D在点A的左侧时， 过点D作轴交于E， 设，则， ∵面积为， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴； 当点D在点A的右侧时， 过点D作轴交于E， 设，则， ∵面积为 ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴； 综上，点D的坐标为或． 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． (1)求经过点的反比例函数解析式； (2)点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． (3)在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A，C的坐标分别为，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴三点共线，即点在y轴上， ∴， 设经过点的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的反比例函数解析式为； （2）解：∵矩形的顶点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵点P的横坐标为t， ∴点P的坐标为 轴， ∴点Q的纵坐标为， 在中，当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； ②当时，则， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得，， ∴，， ∴； 如图所示，连接， 由旋转的性质可得，则点在x轴上， ∴， ∴， ∵点M在第一象限， ∴点M和点A在直线的同侧， ∴， 同理可得直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或． 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∴； （2）①当时，如图 有，共4个整点； ②当直线在上方时，如图： 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 当直线在下方时，如图： 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 综上：或． 12．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵菱形的面积为20， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （2）解：①∵是菱形对角线的交点， ∴是的中点， ∴点的坐标为，即， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； ②；理由： ∵ ∴， 又， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $