专题11 反比例函数图象与性质的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统提炼反比例函数核心解法，构建从定义到综合应用的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|聚焦k符号、几何意义及增减性前提，明确易错点|从概念本质出发，建立性质与应用的关联| |题型归纳|6类（每类1典例+3变式）|涵盖定义参数、图象性质、函数共存等六类题型通法|从基础定义到函数综合，形成递进式知识链| |压轴挑战|15题（选择5+填空5+解答5）|综合运用联立方程、面积转化等高阶技巧|对接中考命题趋势，强化模型意识与应用能力|

专题11 反比例函数图象与性质的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据反比例函数的定义求参数 题型二、反比例函数的图象和性质 题型三、根据反比例函数图象和性质求解 题型四、反比例函数的图象与其他函数图象共存问题 题型五、反比例函数的图象和性质综合 题型六、一次函数与反比例函数的交点综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：涉及y=（k≠0）的图象分布、增减性、对称性及k的几何意义，常与一次函数、面积结合。 - **解题方法**：利用k>0图象在一三象限，k<0在二四象限；增减性强调“在每个象限内”；k的几何意义用于求面积（|k|与矩形面积关联）。 - **易错提醒**：增减性忽略“在每个象限内”前提；k的几何意义中面积对应|k|而非k；图象平移时误用二次函数“左加右减”规律（反比例函数平移本质为坐标变换）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据反比例函数的定义求参数 典例1（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 题型模版 1.特征：函数可化为 y=（k≠0）或xy=k，求待定字母满足的条件。 2.方法：由定义列方程或不等式（如指数为-1，比例系数不为0），解出参数并验证。 变式1-1（25-26九年级上·重庆·期中）已知函数是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1-2（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则且即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 变式1-3（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图像分布得出且，进而得出答案． 【详解】解：∵是反比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 故答案为：． 题型二、反比例函数的图象和性质 典例2（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 题型模版 1.特征：图象为双曲线，关于原点对称，在每一象限内增减性取决于k的符号。 2.方法：列表描点作双曲线，利用k>0 在一、三象限减，k<0在二、四象限增，结合对称性分析。 变式2-1（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 变式2-2（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 变式2-3（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 题型三、根据反比例函数图象和性质求解 典例3（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 题型模版 1.特征：利用双曲线位置、增减性及对称性，求k值、点坐标或比较函数值大小。 2.方法：代入点坐标求k；增减性判断函数值大小；对称性求对应点坐标。注意象限分类。 变式3-1（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 变式3-2（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 变式3-3（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 题型四、反比例函数的图象与其他函数图象共存问题 典例4（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 题型模版 1.特征：同一坐标系中同时出现反比例与一次函数图象，由位置判断参数符号是否一致。 2.方法：先由一次函数图象判断斜率与截距符号，再与双曲线所在象限对应的 \(k\) 符号比较，验证是否矛盾。 变式4-1（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 变式4-2（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 变式4-3（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 题型五、反比例函数的图象和性质综合 典例5（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【答案】(1)这个函数的图像位于二、四象限； (2)． 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案； （2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为： ∵反比例函数的图像经过点， ∴ ∴这个函数的图像位于二、四象限； （2）解：∵ ∴反比例函数表达式为：． 把、代入上式， 得 题型模版 1.特征：综合考查反比例函数解析式、图象位置、增减性、对称性及与坐标轴交点等。 2.方法：由点求k，列表描点画双曲线；结合k符号判断象限与增减，利用对称性求解问题。 变式5-1（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 【答案】(1)第二、第四象限 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握函数图像性质与的关系是解题的关键． （1）将的值代入，由系数的正负判断函数图像的位置； （2）要使y随x的增大而增大，即，解得的取值范围； （3）根据与的大小关系进行分类讨论． 【详解】（1）解：当时，反比例函数， ∵系数为， ∴其图象位于第二、第四象限． （2）解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴，解得． （3）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 变式5-2（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 变式5-3（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； （2）解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 题型六、一次函数与反比例函数的交点综合问题 典例6（2026·山东东营·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）直线的解析式是，利用待定系数法求出直线的解析式；利用待定系数法求出双曲线的解析式； （2）求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、的长度，根据与的面积比等于线段、的长度比即可求出结果； （3）由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立，根据点、的坐标即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为； （2）解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ； （3）解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或． 题型模版 1.特征：求一次函数与反比例函数图象的交点坐标，或根据交点求参数范围。 2.方法：联立两个解析式，消去y得一元方程，解出x再求y；若已知交点，代入求参数。 变式6-1（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， (1)求反比例函数与直线的解析式； (2)连接，，求的面积S． (3)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； （2）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，当或时，． 变式6-2（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) ，的最小值为 【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，先把已知点代入反比例函数求值，再求出点坐标，最后把点和点坐标代入，求一次函数表达式； （2）函数值比较大小，当一次函数和反比例函数的自变量相同时，要求函数值，利用图像法观察可进行判断； （3）最短路径问题，作关于轴的对称点，把转化为，当，，三点共线时，最小 . 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象过点， ∴，解得    ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，则， ∴； 把，代入， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）∵点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 又∵， ∴， 即一次函数图象应在反比例函数图象上方， 用图像法观察可得，当时，的取值范围为：或； （3）∵点在直线上, 且横坐标为， ∴，即， ∵直线与轴交于点， ∴； ∵要在轴上作一点，使的值最小, ∴作关于轴的对称点， ∵轴是的垂直平分线，所以对于轴上任意一点，都有：， ∴， ∴当，，三点共线时，最小， 设直线，把和代入得： ，解得， ∴直线表达式为：， 令则，即； ∴， ∴点Q的坐标为；的最小值为． 变式6-3（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 4．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点，若点B在该图象上，则________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征，利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，得到函数解析式，再将点的坐标代入解析式求解的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点， 将代入解析式得， ∴反比例函数的解析式为， 点在该反比例函数图象上， 将代入解析式得 解得． 7．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 9．（2026·江苏盐城·三模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】设点坐标为，将点分别代入直线和双曲线的解析式，求出的值，再根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求解点的坐标． 【详解】解：设， ∵点是直线与双曲线的交点， ∴，， ∴， 解得， ∴直线解析式为，双曲线解析式为， 根据反比例函数图象的中心对称性质，直线过原点，交点和关于原点中心对称，点横坐标为， 因此点的横坐标为， 将代入，得， 因此点的坐标为． 10．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 【详解】解：设点A的横坐标为m，由图可知， ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数的表达式，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数的表达式即可； （2）分别求出当和当时的自变量的值，根据反比例函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵反比例函数（）在第一象限内随着的增大而减小， ∴当时，x的取值范围为． 12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q，使的值最小，此时最小值为_______． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)不等式解集为或 (3) 【分析】（1）先将点代入反比例函数求，再代入点横坐标求，将A、B代入一次函数列方程组求a、b； （2）观察图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方对应的x取值范围； （3）先求M、C坐标，作关于轴的对称点，连接对称点与，线段长度即为最小值，用勾股定理计算长度． 【详解】（1）解：把代入， ，得， 反比例函数解析式为． 将代入，． ． 把代入， 两式相减：，， 代入得， 一次函数解析式为． （2）解：由图像可知，直线在双曲线下方的范围： 或， 不等式解集为或． （3）解：直线：， 令， ． 令，.得 ． 作关于轴对称点，连接交y轴于点Q,再连接. 由轴对称性质：， 两点之间线段最短，长为最小值． ， 即最小值为． 13．（2025·广东潮州·一模）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图象与正比例函数的图象的一个交点为，若点的纵坐标是2，的值； (2)若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，当时，试比较与的大小． (4)在第（1）小题的条件下，在轴上求点，使是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）设点的坐标为，根据点在正比例函数的图象上可得，进而得出点的坐标，再将的坐标代入，进行计算即可得出答案； （2）由于在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小可得，即可得解； （3）由反比例函数图象的一支位于第二象限，可得在该函数图象的每一支上，随的增大而增大，由此即可得解； （4）根据等腰三角形的定义分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，设点的坐标为， ∵点在正比例函数的图象上， ，即， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 解得：； （2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小， ， 解得； （3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，随的增大而增大， ∵点与点在该函数的第二象限的图象上，且， ； （4）解：由（1）知，， ， 当时，是等腰三角形， ，， 当时，点在的垂直平分线上， 此时，， 当时，， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 14．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知反比例函数与一次函数，其中，且满足． (1)求a的值； (2)过点作平行于x轴的直线，与反比例函数的图象交于点M，且与一次函数的图象相交于点N． ①当时，比较线段的大小； ②当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或或 【分析】（1）利用因式分解法解方程，即可求解； （2）①求出点，可得，即可求解；②根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 整理得：， 解得： ∵， ∴； （2）解：①由（1）得：反比例函数与一次函数， 当时，点， ∵过点作平行于x轴的直线，与反比例函数的图象交于点M，且与一次函数的图象相交于点N， ∴点M，N的纵坐标均为4， ∴点， ∴， ∴； ②根据题意得：点，， ∴， ∵， ∴， ∴或或或， ∴n的取值范围为或或． 15．（25-26八年级下·四川资阳·期末）如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； (3)点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值求出点的坐标； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据，进行求解即可； （3）设点，分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ， ∴反比例函数表达式为； 把代入得：， ； （2）解：设直线的函数表达式是， 把、代入得： ， ， ， ∴直线的函数表达式是， 当时，， ， ， ， 设直线与轴交于点， ． ， ， ， （3）解：设点， 、 ①当四边形为矩形时，如图1，， ， ， ； ②当四边形为矩形时，如图2，， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11反比例函数图象与性质的六类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据反比例函数的定义求参数 题型二、反比例函数的图象和性质 题型三、根据反比例函数图象和性质求解 题型四、反比例函数的图像与其他函数图象共存问题 题型五、反比例函数的图象和性质综合 题型六、一次函数与反比例函数的交点综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 *“题型特征：涉及y上 (k0)的图象分布、增减性、对称性及k的几何意义，常与一次函数、面积 结合。 -*解题方法*：利用k>0图象在一三象限，k<0在二四象限；增减性强调“在每个象限内”；k的几何意 义用于求面积(k与矩形面积关联)。 ~*易错提醒**：增减性忽略“在每个象限内”前提；k的几何意义中面积对应k而非k;图象平移时误用 二次函数“左加右减”规律（反比例函数平移本质为坐标变换)。 夙题型归纳一精讲典型道法，夯尖解题振透 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、根据反比例函数的定义求参数 典例1(25-26九年级下广东糊州阶段检测)若y=3 是反比例函数，则m的值为 题型模版 1.特征：函数可化为y= ,k(k0)或y式，求待定字母清足的条件。 2方法：由定义列方程或不等式（如指数为-1，比例系数不为0），解出参数并验证。 变式11(25-26九年级上重庆期中)已知函数'=2 是反比例函数，则m的值为 变式12(25-26九年级上内蒙古包头阶段检测)已知函数”=(4-2) 是反比例函数，则a的值为 变式1-3(25-26九年级上山东潍坊阶段检测)函数"=(m+1x 是反比例函数，且图像在第二、四象 限内，则m的值是 题型二、反比例函数的图象和性质 奥例2(2627九年级上全国课后作业)关于反比例丙数，下列说法错误的是《) A.函数图象在第一、三象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而减小 C.当x>-1时，y<-3 D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上 题型模版 1.特征：图象为双曲线，关于原点对称，在每一象限内增减性取决于k的符号。 2方法：列表描点作双曲线，利用k>0在一、三象限减，k<0在二、四象限增，结合对称性分析。 变式21(25：26八年级下吉林长春期末)已知反比例函数y= x,下列结论正确的是() A.图象分别位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大 2,3) C.图象经过点 D.当x>2时，-3<y<0 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 变式2-2(25-26八年级下山东青岛期末)关于反比例函数y=一，下列说法错误的是（)· A点2-2)(4，) 均在其图象上 B.函数图象在第二、四象限 C.若y<-2,则x的取值范围是0<x<2 D.该函数图象上有两点 ）,B(）,若<5，则<% 变式23(25-26八年级下山东烟台期末)己知反比例函数y=的图象经过点(1，-2)，下面说法错误的是 A.反比例函数的关系式为y=-? B.点(-1,2)在反比例函数图象上 C.反比例函数的图象在第二、四象限 D.当x<O时，y随x增大而减小 题型三、根据反比例函数图象和性质求解 典例3(2026湖北武汉中考真题)反比例函敦y=4 x(k为常数)的图象位于第二、第四象限，写出一 个符合条件的k的值是 题型模版 1.特征：利用双曲线位置、增减性及对称性，求k值、点坐标或比较函数值大小。 2方法：代入点坐标求k:增减性判断函数值大小；对称性求对应点坐标。注意象限分类。 变式3-1(25-26八年级下福建泉州期末)己知4(a-l,)、B(a+1,乃)两点在反比例函数y=x的图像上， 且<%，则“的取值范围为 变式3-2(25-26八年级下·河南鹤壁·期末)已知 A(x,y）B(x,)C(x) 在反比例函数 y=-m2+1 （m为任意实数)的图象上，且x<0<,<x’则y,为2'与的大小关系为 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式33(26-27九年级上全国课后作业)如图，已知点A是反比例函数'=图象上的一点，过点A作 ABlly AC 0=2C0S△M0c= 轴，交x轴于点B,点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D,若 ,则 题型四、反比例函数的图象与其他函数图象共存问题 典例4(25-26九年级上安徽期末)已知反比例函数少=x的图象如图所示，则二次函数 y=a(x-k)(a≠0) 的图象可能是() B. 题型模版 1特征：同一坐标系中同时出现反比例与一次函数图象，由位置判断参数符号是否一致。 2方法：先由一次函数图象判断斜率与截距符号，再与双曲线所在象限对应的k)符号比较，验证是否 矛盾。 变式41(25-26八年级下山东东营期末)己知k≠0，则反比例函数y=元和一次函数y=-2+3的图象 4/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可能是() 变式4-2(2026四川巴中中考真题)函数y=:-k与y=5(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能 是() 水小 变式43(25-26九年级上安徽合肥期中)若at0,函数y=与y=-ar2+2a在同一平面直角坐标系中 的大致图象可能是() B. 题型五、反比例函数的图象和性质综合 A(-2,4) 典例5(25-26八年级下·上海崇明期末)已知某反比例函数的图像经过点 (1)这个函数的图像位于哪些象限？ B(-3,m)C(n,-4) (2)若 也在这个函数的图像上，求m、”的值. 题型模版 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：综合考查反比例函数解析式、图象位置、增减性、对称性及与坐标轴交点等。 2方法：由点求k,列表描点画双曲线：结合k符号判断象限与增减，利用对称性求解问题。 k-3 变式5-1(25-26九年级上河北邯郸阶段检测)已知反比例函数y= k-3 ()若k=2,写出反比例函数少=x的图像所在的象限： (2)当x>0时，y随x的增大而增大，求k的取值范围： ③若点(-则)与点(2，)均在双商线y= x上，请比较m与n的大小. k-5 变式5-2(25-26九年级上河北邢台期末)已知反比例函数y=x(k为常数)· (1)若点 A(1,2) 在这个函数的图象上，求的值： (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围： (3)若k=13,试判断点 )c(2) B 是否在这个函数的图象上，并说明理由. k-1 变式5-3(25-26九年级上·天津红桥·期末)已知反比例函数y= x（k为常数，k1), (I)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围： (2)若点 P(2,3) 在该反比例函数的图象上. ①求该反比例函数的解析式： ②当-3≤x≤-1时，求y的取值范围. 题型六、一次函数与反比例函数的交点综合问题 奥圆6(2026山东东营中考真题)如图，直线y=mm+0)与双曲线y=k≠0)交于A,B两点，其中 点A的坐标为 2-6).C为双曲线上的一点，横坠标为3，C0V轴，交直线4B于点D,连接OC, BC」 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求△BCD与△OBC的面积比： k ()根据图象，直接写出关于x的不等式x<mr的解集。 题型模版 1.特征：求一次函数与反比例函数图象的交点坐标，或根据交点求参数范围。 2方法：联立两个解析式，消去y得一元方程，解出x再求y:若已知交点，代入求参数。 变式61(2026甘肃嘉峪关·二模)反比例函数y-x的图象与直线乃2=ax+b相交于点A(-2,3),B(1,m), ①求反比例函数片 x与直线y,=ax+b的解析式： (2)连接OA,OB,求△OAB的面积S. y<y2 (3)直接写出当x取何值时， 变式6-2(25-26八年级下河南南阳期末)如图，一次函数1=ar+b(a≠0) 的图象与反比例函数 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 片=水（化≠0）的图象交于AL,m),B(-3-)两点，与x轴交于点C (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)若 P(,P川在一次顶数”的图象上，点(6,9）在反比例函数”的图象上，P>9,请直接写出的 取值范围； (3)直线AB上有一点M,其横坐标为-1，在y轴上作一点Q(不用尺规作图)，使M0+C的值最小， 求出点的坐标及M0+C9的最小值为（填空）. 变式63(25-26八年级下山东济南期末)直线y=-x+b与双曲线y=元(x<0)交于点A(-1,6)与X 轴交于点B,点C是线段AB上一点. VA 0 备用图 (1)求k,b的值： (②如图，过点C作y轴的垂线1,1与'=x(x<O)的图象交于点D,当线段CD=10时，求点D的坐标， (③)双曲线y=x(x<0)上是否存在点B,使得△COE是以0C为直角边的等腰直角三角形，若存在，求 出点卫的坐标；若不存在，请说明理由。 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 夙压轴桃战一攻克高牵压轴， 突破思维上限 一、单选题 1.（25-26九年级上山西运城阶段检测)若函数y=(m-2)x 为y关于x的反比例函数，则m的值为 () A.-1 B.0 C.2 D.-1或2 2.（25-26八年级下河南周口期末)已知反比例函数y=1 x，当x>0时，y随x增大而减小，则m的 取值范围是() A.m>1 B.m<1 C.m≥1 D.m≤1 3.(25-26八年级下·河南周口期末)反比例函数y=x的图象经过点(a,b),且b=-6,则下列说法错误 的是() A.k=-6 B.图象位于二、四象限 C.当x>0时，y随x增大而增大 （-b,a D.点 “也在该图象上 4(25-26八年级下河南周口期未)一次函数1三K+h和反比例函数为的图象如图所示，岩 y>y2 2,则的取值范围是() A.-1<x<0或x>7 B.-1<x<7 C.x<-1或x>7 D.x<-1或0<x<7 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx+c 5.(25-26八年级下山东济南期末)已知二次函数 y=ax+2b 的图象如下，则一次函数” 与反 y= 比例函数x在同一平面直角坐标系中的图象大致是() 二、填空题 6.(25-26八年级下河南周口期末)反比例函数y=x过点A(2,3),若点B(a,6)在该图象上，则a= 7（25-26八年级下产上海嘉定期末)如果反比例函数=(m+ (m是常数)的图像在第二、四象限， 那么m的值是 8.(25-26八年级下江苏扬州期未)已知点4,3)，Bk,-2C飞，2)在反比例函数=m 一的 X1 X2 X3 图象上，则，，的大小关系是 (用“<”连接). 12-2k 9,（2026江苏盐城：三模)在平面直角坐标系中，直线y=x(化≠0)与双曲线y=x相交于点A、B。 若点A的横坐标为2，则点B的坐标为 10。（25-26八年级下上海杨浦期末)函数y=名 (飞0)和少= =文（k,≠0)的部分图像如图所示，点 A在y=产的图俊上，过点4作B∥y轴交轴于点C,交y-生的图像于点a:如果BC=2AC,那么 10/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k2的值是 三、解答题 m 11,(25-26八年级下江苏泰州期末)如图，一次函数片=+b的图像与反比例函数乃=x(x>0)的 图像交于1,4)B2,n) 两点，与轴交于点C 4 B (1)求一次函数与反比例函数的表达式； ≤y2≤6 (2)若 ,求x的取值范围. =ax+b(a≠0) 12.(25-26八年级下·黑龙江大庆·期末)如图，一次函数 的图象与反比例函数 y-k+0)的图象交于40m),B(-3,-)两点，与x轴交于点C M (1)求反比例函数与一次函数的表达式： 11/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②)结合图象直接写出关于x的不等式+b≤，的解集， (3)直线AB上有一点M,其横坐标为-1，在y轴上作一点Q,使M0+C9的值最小，此时最小值为 1B。(2025广东糊州一模)已知反比例园数y= x（k为常数，k≠1)· ()其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2，k的值： (2)若在其图象的每一支上，'随x的增大而减小，求k的取值范围： ③)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点1(，)B(,为)，当>乃时，试比较与 X> 的大小. (④)在第(1)小题的条件下，在x轴上求点O,使△OP№是等腰三角形. 2a 14.(25-26八年级下浙江金华期末)已知反比例函数y=元与一次函数y=x+a,其中a>0,且满足 a2-a=2. (I)求a的值； 2a (2)过点P(0,n)作平行于x轴的直线，与反比例函数y=x的图象交于点M,且与一次函数y=x+a的图象 相交于点N, ①当n=4时，比较线段PM,MN的大小： ②当PM<MN时，求n的取值范围. 15.(25-26八年级下四川资阳期末)如图1，一次函数图象与反比例函数y=k≠0)的图象交于AB k 两点，点A的横坐标为2，点B的坐标为(-3，-2)， 12/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标： @图2，直我B与轴交于点C,若点M为y销正半箱上一点，并日S一C,求点的坐标： (3)点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形 时，请求出点P的坐标. 13/13